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第 34 讲 三角形中最值与范围
知识梳理
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难
点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式
子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用
条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定
义域）找完善，避免结果的范围过大．
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1）求角的最值；
（2）求边和周长的最值及范围；
（3）求面积的最值和范围．
必考题型全归纳
题型一：周长问题
例1．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）记 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且 ．
(1)求C；
(2)若 为锐角三角形， ，求 周长范围．
例2．（2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中， ，，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周长l的范围.
例3．（2024·全国·高三专题练习）在① ；② ；③
；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角 中，内角 、 、 ，的对边分别是 、 、 ，且______
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的范围．
变式1．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的范围.
变式2．（2024·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c且满足 ， ．
(1)求角A的大小；
(2)求 周长的范围．题型二：面积问题
例4．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且 ， ， ， ．
(1)求角A的值；
(2)若 ，求 面积的范围．
例5．（2024·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边
形 内种植了两种花卉，其中 区域内种植兰花， 区域内种植丁香花，
对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界 ， ， ．
（1）求观赏小道BD的长及种植区域 的面积；
（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，
使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域
（四边形 ）的面积最大，并求出这个面积的最大值．例6．（2024·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：
，且______，求△ABC的面积的值（或最大值）．
变式3．（2024·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块
三角形空地 ，其中 ， ， ．物业管理部门拟在中间
开挖一个三角形人工湖 ，其中 ， 都在边 上（ ， 均不与 重合， 在
， 之间），且 ．
(1)若 在距离 点 处，求点 ， 之间的距离；
(2)设 ，
①求出 的面积 关于 的表达式；
②为节省投入资金，三角形人工湖 的面积要尽可能小，试确定 的值，使 得
面积最小，并求出这个最小面积．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）在 中， ．
（1）D为线段 上一点，且 ，求 长度；
（2）若 为锐角三角形，求 面积的范围．变式5．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知在 中，内角 ， ， 的对边分别
为 ， ， ，且 .
（1）若 ， ，求 的大小；
（2）若 ，且 是钝角，求 面积的大小范围.
题型三：长度问题
例7．（2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角 内角 的
对边分别为 .若 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的范围.
例8．（2024·福建莆田·高三校考期中）在 中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，
，
(1)求角B﹔
(2)求 的范围．例9．（2024·重庆江北·高三校考阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别 ，
， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，当 仅有一解时，写出 的范围，并求 的取值范
围.
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且满足条件； ， ．
（I）求角A的值；
（Ⅱ）求 的范围．
变式7．（2024·全国·高三专题练习）在 中， 分别是角 的对边
.
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求 的范围.变式8．（2024·山西运城·统考模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求证： ；
（2）若 是锐角三角形， ，求 的范围.
变式9．（2024·安徽亳州·高三统考期末）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）设 为 的垂心，且 ，求 的范围.
题型四：转化为角范围问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 .
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
且 ．(1)判断 的形状并给出证明；
(2)若 ，求 的取值范围．
例12．（2024·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）设 的内角 的对边分别
为 ，已知 ．
(1)判断 的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；
(2)求 的最小值．
变式10．（2024·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知 的三个内角A，B，C
的对边分别为a，b，c，且 ；
(1)若 ，判断 的形状并说明理由；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.
变式11．（2024·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
已知 .
(1)若 ，求角A的大小；(2)求 的取值范围.
变式12．（2024·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试）在锐角 中，角A，
B，C所对的边分别是 ， ．
（1）求角A的大小；
（2）求 的取值范围．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c．若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五： 倍角问题
例13．（2024·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中）在锐角 中，内角A，B，C所对的
边分别为a，b，c，已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求a的取值范围；
(3)若 的三边边长为连续的正整数，求 的面积．例14．（2024·全国·高三专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．
若 ，且 为锐角，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2024·全国·高三专题练习）锐角 的角 所对的边为 ，
，则 的范围是_________．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， 的面积为5，若 ，则 的取值范围为______．
变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、
，若 ，则 的取值范围为__________．
变式16．（2024·全国·高三专题练习）在锐角 中 ， ， 的对边长分别是 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式17．（2024·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习）在锐角 中，
， ， 的对边分别是 ， ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．变式18．（2024·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分
别为a，b，C，若A＝2B，则 的最小值为（ ）
A．－1 B． C．3 D．
题型六： 角平分线问题
例16．（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）已知 的内角 的
对边分别为 ， 且 .
(1)求角 的大小；
(2)若角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值.
例17．（2024·江苏淮安·高一统考期中）如图， 中， ， 的平分线
AD交BC于 ．
(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求AD的取值范围．例18．（2024·浙江杭州·高一校联考期中）在① ，②
，③ ．这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并解答．
已知在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， ．
(1)求角C的值；
(2)若角C的平分线交 于点D，且 ，求 的最小值．
变式19．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，
且 ，角A的平分线与边 交于点 .
(1)求角A；
(2)若 ，求 的最小值.
变式20．（2024·山东泰安·校考模拟预测）在锐角 中，内角 所对的边分别为
，满足 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围．变式21．（2024·全国·高一专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且满足 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 与 的平分线交于点 ，求 周长的最大值．
变式22．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）在 中，角 所对的边分别
为 ，且 ，边 上有一动点 .
(1)当 为边 中点时，若 ，求 的长度；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的最大值.
题型七： 中线问题
例19．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）在锐角 中，角 的对边分别
是 ， ， ，若
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求中线 长的范围（点 是边 中点）.例20．（2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别是
a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 边中线 的取值范围．
例21．（2024·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，已知 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 ，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
变式23．（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别
是a，b，c，若
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．
变式24．（2024·广东广州·高二广州六中校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 边上的中线 长度的最小值．
题型八： 四心问题
例22．（2024·四川凉山·校联考一模）设 （ 是坐标原点）的重心、内心分别是
，且 ，若 ，则 的最小值是__________．
例23．（2024·全国·高三专题练习）在 中， 分别为内角 的对边，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 的内心，求 的最大值.
例24．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，
且 .
(1)求角 ；
(2)若 为 的垂心， ，求 面积的最大值.变式25．（2024·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）在 中， 分别是角 的
对边， ．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且其面积为 ，点 为 重心，点 为线段 的中点，
点 在线段 上，且 ，线段 与线段 相交于点 ，求 的取值范围.
变式26．（2024·河北邢台·高一统考期末）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知 ，且 外接圆的半径为 ．
(1)求C的大小；
(2)若G是 的重心，求 面积的最大值．
变式27．（2024·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角 的内角A，
B，C的对边分别为a，b，c， ，A的角平分线交BC于点D，O为 的重心，
过O作 ，交AD于点P，过P作 于点E.
(1)求 的取值范围；
(2)若四边形BDPE与 的面积之比为 ，求 的取值范围.变式28．（2024·浙江·高一路桥中学校联考期中）若O是 的外心，且
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．2
变式29．（2024·全国·高三专题练习）已知 是三角形 的外心，若
，且 ，则实数 的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．3
题型九： 坐标法
例25．（2024·全国·高三专题练习）在 中， ， ，点 在
内部， ，则 的最小值为______．
例26．（2024·全国·高一专题练习）在 中， ， ， ，M是
所在平面上的动点，则 的最小值为________．
例27．（2024·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，
已知B，C为圆 上两点，点 ，且 ，则线段 的长的取值范围是___________.
变式30．（2024·全国·高三专题练习）在 中， ，且 所在平面内
存在一点 使得 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式31．（2024·全国·高三专题练习）在等边 中， 为 内一动点，
，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
变式32．（2024·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离
之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点
所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则
的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
题型十： 隐圆问题
例28．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形 中，连接对角线 ，已知
， ， ， ，则对角线 的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
例29．（2024·江苏泰州·高三阶段练习）已知 中， ， 为 的重心，且
满足 ，则 的面积的最大值为______.例30．（2024·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试）已知等边 的边长
为2，点G是 内的一点，且 ，点P在 所在的平面内且满足
，则 的最大值为________.
变式33．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中， ， ，
．若 ， 则 的最小值为____．
变式34．（2024·全国·高三专题练习）若 满足条件 ， ，则
面积的最大值为__.
变式35．（2024·江苏·高三专题练习）在 中， 为定长， ，若
的面积的最大值为 ，则边 的长为____________．
变式36．（2024·全国·高三专题练习） 中 ， 所在平面内存在点P
使得 ， ，则 的面积最大值为__________________．
变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知 中， ， 所在平面内
存在点 使得 ，则 面积的最大值为__________．
题型十一：两边夹问题
例31．（2024·全国·高三专题练习）在 中，若 ，且的周长为12．
(1)求证： 为直角三角形；
(2)求 面积的最大值．
例32．（2024·全国·高三专题练习）设 的内角 的对边长 成等比数列，
，延长 至 ，若 ，则 面积的最大值为__________.
例33．（2024·全国·高三专题练习）设 的内角A，B，C的对边为 ，b，c．已知 ，
b，c依次成等比数列，且 ，延长边BC到D，若 ，则 面
积的最大值为______．
题型十二：与正切有关的最值问题
例34．（2024·全国·高一专题练习）在锐角三角形 中，角 ､ ､ 的对边分别为 ､
､ ，且满足 ，则 的取值范围为___________.
例35．（2024·全国·高一阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且 .
(1)求A角的值；
(2)若 为锐角三角形，利用（1）所求的A角值求 的取值范围.例36．（2024·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且 ．求：
(1) ；
(2) 的取值范围．
变式38．（2024·全国·高三专题练习）锐角 是单位圆的内接三角形，角A，B，C的
对边分别为a，b，c，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式39．（2024·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中）在锐角 中，角 ， ，
的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
变式40．（2024·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，
若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．题型十三：最大角问题
例37．（2024·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是
锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其
结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决
以下问题：在平面直角坐标系 中，给定两点 ， ，点P在x轴上移动，
当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7
例38．（2024·全国·高三专题练习）设 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例39．（2024·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边
分别为a，b，c，且 ，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为
A． B． C． D．
变式41．（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学
家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶 离地
面12米，树上另一点 离地面8米，若在离地面2米的 处看此树，则 的最大值
为（ ）A． B． C． D．
变式42．（2024·江苏扬州·高一统考期中）如图：已知树顶A离地面 米，树上另一点
离地面 米，某人在离地面 米的 处看此树，则该人离此树（ ）米时，看A、 的
视角最大.
A．4 B．5 C．6 D．7
题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题
例40．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习） 内一点O，满足
，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，
对其进行探索得到许多正确结论，比如 ，请你和他一
起解决如下问题：(1)若a，b，c分别是A，B，C的对边， ，证明： ；
(2)在（1）的条件下，若 的周长为4，试把 表示为a的函数 ，并求
的取值范围．
例41．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提
出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点
的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于 时，所求的点为三角形的正
等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 ；当三角形有一内角大于或等
于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在
中，已知 ， ， ，且点 在 线段上，且满足 ，若
点 为 的费马点，则 （ ）
A． B． C． D．
例42．（2024·全国·高三专题练习）点 在 所在平面内一点，当 取到
最小值时，则称该点为 的“费马点”.当 的三个内角均小于 时，费马点满足如下特征： .如图，在 中， ，
，则其费马点到 三点的距离之和为（ ）
A．4 B．2
C． D．
变式43．（2024·湖南邵阳·统考三模）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意
三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为
另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知
，且 ， ，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其
外接圆圆心依次记为 ， ， ，则 的边长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
变式44．（2024·河南·高一校联考期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构
造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破
仑三角形）的顶点．在 中，已知 ， ，外接圆的半径为 ，现以其三
边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ， ， ，则 的面积为
（ ）
A．3 B．2 C． D．题型十五：托勒密定理及旋转相似
例43．（2024·江苏淮安·高一校联考期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，
托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面
积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸
四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公
式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD
的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线， ，且 为正三
角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C． D．12
例44．（2024·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒
密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等
于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四
边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公
式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形
的四个顶点在同一个圆的圆周上， 、 是其两条对角线， ，且
为正三角形，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
例45．（2024·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地
理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四
边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为 的圆，
， ， ，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式45．（2024·江苏·高一专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四
边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四
边形，如图，在凸四边形ABCD中， ， ， ， ，当
变化时，对角线BD的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
变式46．（2024·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）在 中，
， ，以 为边作等腰直角三角形 ( 为直角顶点， ， 两点在直线
的两侧).当角 变化时，线段 长度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9变式47．（2024·全国·高一专题练习）在 中， ， ，以 为边作等腰
直角三角形 （ 为直角顶点， 、 两点在直线 的两侧）.当 变化时，线段
长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式48．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，
ACD为正三角形，则 BCD面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型十六：三角形中的平方问题
例46．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2
＝8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例47．（2024·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且满足 ，则 的取值范围是___________.
例48．（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他
的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是 ，其中a，b，c是 的
内角A，B，C的对边，若 ，且 ，则 面积S的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
变式49．（2024·河南洛阳·高三校考阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若 ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式50．（2024·云南·统考一模）已知 的三个内角分别为 、 、 .若
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式51．（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设 的内角 ， ， 所对
的边 ， ， 满足 ，则 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．变式52．（2024·全国·高三专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型十七：等面积法、张角定理
例49．（2024·全国·高三专题练习）已知 的内角 对应的边分别是 ， 内
角 的角平分线交边 于 点， 且 ．若 ， 则 面
积的最小值是（ ）
A．16 B． C．64 D．
例50．（2024·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC的面积为 , ∠BAC= , AD是
△ABC的角平分线, 则AD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例51．（2024·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中）给定平面上四点 满足
，则 面积的最大值为_______.
变式53．（2024·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在 中， ，
是 的角平分线，且交 于点 .若 的面积为 ，则 的最大值为
______.
变式54．（2024·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知 的内角对应的边分别是 ，内角 的角平分线交边 于 点，且 .若
，则 面积的最小值是______.
变式55．（2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中） 中， 的角平分线
交AC于D点，若 且 ，则 面积的最小值为________.
变式56．（2024·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知 中，角 、
、 所对的边分别为 、 、 ， ， 的角平分线交 于点 ，且
，则 的最小值为___．
变式57．（2024·全国·高一专题练习）已知 ，内角 所对的边分别是 ，
的角平分线交 于点D．若 ，则 的取值范围是
____________．
变式58．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知 ， ，
为 上一点，且 为 的角平分线，则 的最小值为___________
