第35讲平面向量的概念与坐标运算_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第35讲 平面向量的概念与坐标运算 知识梳理 知识点一．向量的有关概念 (1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．    (2)向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作|AB|． (3)特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量．  ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向 量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二．向量的线性运算和向量共线定理 (1)向量的线性运算 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 ①交换律     求两个向量和的 a+b=b+a 加法 运算 ②结合律       (a+b)+c=a+(b+c) 三角形法则平行四边形法则   求a与b的相反  向量-b的和的     减法   a-b=a+(-b) 运算叫做a与b 的差 三角形法则   (1)|λa|=|λ||a|   λ(μa)=(λμ)a   求实数λ与向量 (2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0    数乘 (λ+μ)a=λa+μa    a的积的运算 时，λa与a的方向相同；     λ(a+b)=λa+λb  当λ=0时，λa=0 【注意】  (1)向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0． (2)两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直 线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． (3)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量 的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角 第 页 共 页 945 3427形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．        (4)向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA-OB=BA，AM-AN=NM，OA           =OB+CA⇔OA-OB=CA⇔BA-CA=BA+AC=BC． 知识点三．平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理          如果a=λb(λ∈R)，则a⎳b；反之，如果a⎳b且b≠0，则一定存在唯一的实数λ，使a=  λb．(口诀：数乘即得平行，平行必有数乘)． 2、平面向量基本定理    如果e 和e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存 1 2      在唯一的一对实数λ ,λ ，使得a=λ e +λ e ，我们把不共线向量e ，e 叫做表示这一平面内 1 2 1 1 2 2 1 2   所有向量的一组基底，记为e,e 1 2       ，λe +λ e 叫做向量a关于基底e,e 1 1 2 2 1 2  的分解式．    注意：由平面向量基本定理可知：只要向量e 与e 不共线，平面内的任一向量a都可以 1 2        分解成形如a=λ e +λ e 的形式，并且这样的分解是唯一的．λ e +λ e 叫做e ，e 的一个 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也 是向量的坐标表示的基础．      推论1：若a=λe +λ e =λ e +λ e ，则λ =λ ,λ =λ ． 1 1 2 2 3 1 4 2 1 3 2 4     推论2：若a=λe +λ e =0，则λ =λ =0． 1 1 2 2 1 2 3、线段定比分点的向量表达式    如图所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点，且BD=λDC(λ≠-1)，则向量AD=   AB+λAC ．在向量线性表示(运算)有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽 1+λ 为神奇”之功效，建议熟练掌握． 4、三点共线定理    平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数λ,μ，使OC=λOA+μOB，其中λ+ μ=1，O为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线   ⇔存在唯一的实数λ，使得AC=λAB；    ⇔存在唯一的实数λ，使得OC=OA+λAB；    ⇔存在唯一的实数λ，使得OC=(1-λ)OA+λOB；    ⇔存在λ+μ=1，使得OC=λOA+μOB． 5、中线向量定理    1 如图所示，在△ABC中，若点D是边BC的中点，则中线向量AD= (AB+AC)，反之 2 亦正确． 知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算 (1)平面向量的坐标表示．   在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底，    那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x,y使a=xi    +yj，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)． 第 页 共 页 946 3427(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有  一一对应 一一对应 向量(x,y) 向量OA 点A(x,y)．       (3)设a=(x ,y )，b=(x ,y )，则a+b=(x +x ,y +y )，a-b=(x -x ,y -y )，即两 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．   若a=(x,y)，λ为实数，则λa=(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来 向量的相应坐标．    (4)设A(x,y)，B(x ,y )，则AB=OB-OA=(x -x ,y -y )，即一个向量的坐标等于 1 1 2 2 1 2 1 2 该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 知识点五．平面向量的直角坐标运算   ①已知点A(x ，y)，B(x ，y )，则AB=(x -x ，y -y)，|AB|= (x -x)2+(y -y)2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1      ②已知a=(x,y)，b=(x ,y )，则a±b=(x ±x ，y ±y )，λa=(λx,λy)， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1    a⋅b=xx +yy ，|a|= x2+y2． 1 2 1 2 1 1     a∥b⇔xy -x y =0，a⊥b⇔xx +yy =0 1 2 2 1 1 2 1 2 【解题方法总结】 (1)向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向 量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指 向最后一个向量终点的向量．     即AA +A A +⋯+A A =AA ． 1 2 2 3 n-1 n 1 n          (2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，当且仅当a,b至少有一个为0时，向量不等式的等号成 立．            (3)特别地：||a|-|b||≤|a±b|或|a±b|≤|a|+|b|当且仅当a,b至少有一个为0时或者 两向量共线时，向量不等式的等号成立．    (4)减法公式：AB-AC=CB，常用于向量式的化简．    (5)A、P、B三点共线⇔OP=(1-t)OA+tOB(t∈R)，这是直线的向量式方程． 必考题型全归纳 1 题型一：平面向量的基本概念 1571 (2024·全国·高三专题练习)下列说法中正确的是 ( ) A.单位向量都相等 B.平行向量不一定是共线向量       C.对于任意向量a,b，必有|a+b|≤|a|+|b|         D.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b 【答案】C 【解析】依题意， 对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误； 对于B，平行向量就是共线向量，故错误；       对于C，若a,b同向共线，|a+b|=|a|+|b|，       若a,b反向共线，|a+b|<|a|+|b|， 第 页 共 页 947 3427  若a,b不共线，根据向量加法的三角形法则及     两边之和大于第三边知|a+b|<|a|+|b|.       综上可知对于任意向量a,b，必有|a+b|≤|a|+|b|，故正确； 对于D，两个向量不能比较大小，故错误. 故选：C. 1572 (2024·全国·高三专题练习)给出如下命题：   ①向量AB的长度与向量BA的长度相等；     ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；   ⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B   【解析】对于①，向量AB与向量BA，长度相等，方向相反，故①正确；     对于②，向量a与b平行时，a或b为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确； 对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；   对于⑤，向量AB与CD是共线向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故⑤错误． 综上，正确的命题是①③． 故选：B． 1573 (2024·全国·高三专题练习)下列命题中正确的是 ( )     A.若a=b，则3a>2b     B.BC-BA-DC=AD  C. a   +b    =a+b    ⇔a与b的方向相反  D.若a   =b   =c     ，则a=b=c 【答案】B 【解析】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；       对于B选项，BC-BA-DC=AC+CD=AD，故B对；  对于C选项，a   +b    =a+b    ⇔a与b的方向相同，故C错；  对于D选项，若a   =b   =c     ，但a、b、c的方向不确定，故D错. 故选：B. 1574 (2024·全国·高三专题练习)下列说法正确的是 ( )  A.若a   >b     ，则a>b B.若a   =b    ，则a=b         C.若a=b，则a⎳b D.若a≠b，则a,b不是共线向量 【答案】C 【解析】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；  B. 若a   =b    ，则a,b不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；     C. 若a=b，则a⎳b，所以该选项正确； 第 页 共 页 948 3427    D. 若a≠b，则a,b也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所 以该选项错误. 故选：C 1575 (2024·全国·高三对口高考)给出下列四个命题：       ①若|a|=|b|，则a=b,a=-b；   ②若AB=DC，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；       ③若a=b,b=c，则a=c；       ④若a⎳b，b⎳c，则a⎳c； 其中正确的命题的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D     【解析】①若|a|=|b|，只能说明a,b模相等，它们方向不一定相同或相反，错；   ②若AB=DC，若AB⎳DC且AB=DC，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶 点，若A,B,C,D四点共线，不能构成平行四边形，错；           ③若a=b,b=c，即a,b、a,c分别为相等向量，故a=c，对；        ④若a⎳b，b⎳c，当b为零向量时a⎳c不一定成立，错. 故选：D        1576 (2024·全国·高三对口高考)若a+b+c=0，则a，b，c ( ) A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形 【答案】A        【解析】ACD选项，若非零向量a,b,c共线时，也能满足a+b+c=0，但无法构成一个三 角形，A正确，CD错误；    B选项，当非零向量a,b,c两两不共线时，可构成三角形，B错误. 故选：A 【解题方法总结】 准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向 量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量 方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关． 2 题型二：平面向量的线性表示 1577 (2024·山东泰安·统考模拟预测)在△ABC中，点D为AC中点，点E在BC上且BE=      2EC.记AB=a,AC=b，则ED= ( ) 1  1  1  1  1  1  1  1  A.- a+ b B.- a- b C.- a- b D. a- b 3 6 3 6 6 3 3 6 【答案】B 【解析】如图所示： 第 页 共 页 949 3427    由AB=a,AC=b，      所以BC=AC-AB=b-a， 又∵BE=2EC，  1  1   ∴EC= BC= b-a 3 3  ， 又因为D为AC中点，  1  ∴CD=- b， 2    1  1  则ED=EC+CD=- a- b， 3 6 故选：B. 1578 (2024·河北邯郸·统考三模)已知等腰梯形ABCD满足AB⎳CD，AC与BD交于点P， 且AB=2CD=2BC，则下列结论错误的是 ( )     A.AP=2PC B.|AP|=2|PD|       2 1 1 2 C.AP= AD+ AB D.AC= AD+ AB 3 3 3 3 【答案】D 【解析】 AB AP PB 2 依题意，显然△APB∽△DPC，故有 = = = ， CD PC PD 1   即AP=2PC，PB=2PD，则AP=2PC，故A正确；  又四边形ABCD是等腰梯形，故AP=PB，即AP   =2PD  ，故B正确；         1 1 在△ABD中，AP=AD+DP=AD+ DB=AD+ AB-AD 3 3    2 1 = AD+ AB， 3 3 故C正确；     3 3 2 1 又AC= AP=  AD+ AB 2 2 3 3    1 =AD+ AB，所以D错误； 2 故选：D.   1 1579 (2024·河北·统考模拟预测)已知D为△ABC所在平面内一点，且满足CD= DB，则 3 ( )       3 1 2 1 A.AD= AB- AC B.AD= AB+ AC 2 2 3 3       C.AB=4AD-3AC D.AB=3AD-4AC 【答案】C 【解析】如图， 第 页 共 页 950 3427  1 因为CD= DB，所以D是线段BC的四等分点，且BD=3DC, 3         3 3 所以AD=AB+BD=AB+ BC=AB+ AC-AB 4 4    1 3 = AB+ AC, 4 4 故A,B错误；       1 3 由AD= AB+ AC，可得AB=4AD-3AC，故C正确，D错误， 4 4 故选:C.    1580 (2024·河北·高三学业考试)化简PA-PB+AB所得的结果是 ( )     A.2AB B.2BA C.0 D.PA 【答案】C          【解析】PA-PB+AB=PA+AB-PB=PB-PB=0. 故选：C 1581 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中  点，则EC= ( )     3 1 1 3 A. AB- AC B.- AB- AC 4 4 4 4     3 1 1 3 C. AB+ AC D.- AB+ AC 4 4 4 4 【答案】D 【解析】 由D为BC中点，根据向量的运算法则，    1 可得AD= AB+AC 2  ，           1 1 3 1 在△ABC中，EC=AC-AE=AC- AD=- (AB+AC)+AC= AC- AB. 2 4 4 4 故选:D． 1582 (2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习)已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是边  CD，BC的中点，则EF= ( )         1 1 1 1 1 1 A. AB-AD B. AB-BC C. AB+ AD D. AB- BC 2 2 2 2 2 2 【答案】D 【解析】如图所示，由中位线定理和平行四边形的性质得：     1 1 EF= DB= AB-AD 2 2    1 = AB-BC 2  ， 第 页 共 页 951 3427故选：D 1583 (2024·山东滨州·校考模拟预测)如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段  BE上靠近点B的四等分点，则AF= ( )     3 5 5 3 A. BA+ BC B. BA+ BC 8 8 4 4     7 1 3 1 C.- BA+ BC D.- BA+ BC 8 8 4 4 【答案】C         1 3 1 3 【解析】AF=AE+EF= AC+ EB= AC+ (AB-AE) 2 4 2 4      1 3 3 1 3 = AC+ AB- AC= AC- BA 2 4 8 8 4      1 3 7 1 = (BC-BA)- BA=- BA+ BC. 8 4 8 8 故选：C. 1584 (2024·全国·高三专题练习)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若    AB+AD=λAO，则λ= ( ) 1 1 3 A. B.2 C. D. 2 3 2 【答案】B     【解析】在平行四边形ABCD中，AC=AB+AD=λAO，所以λ=2． 故选：B． 1585 (2024·河南·襄城高中校联考三模)已知等腰梯形ABCD中，AB⎳DC，AB=2DC=  2AD=2，BC的中点为E，则AE= ( )         1 5 1 5 1 1 2 5 A. DB+ AC B. DB+ AC C. DB+ AC D. DB+ AC 3 3 3 6 3 2 3 6 【答案】B       【解析】∵AB=DB-DA=DB-DC+CA        1 =DB-DC-CA=DB- AB-CA， 2    3 ∴ AB=DB-CA， 2    2 2 ∴AB= DB+ AC， 3 3    1 ∴AE= AB+AC 2    1 2 2 =  DB+ AC 2 3 3     1 1 5 + AC= DB+ AC． 2 3 6 第 页 共 页 952 3427故选：B. 【解题方法总结】 (1)两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类 问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题． (2)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基 本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (3)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位 线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关 系的向量来求解． 3 题型三：向量共线的运用   1 1586 (2024·广东广州·统考模拟预测)在△ABC中，M是AC边上一点，且AM= MC,N是 2    1 BM上一点，若AN= AC+mBC，则实数m的值为 ( ) 9 1 1 1 1 A.- B.- C. D. 3 6 6 3 【答案】D     1 【解析】由AM= MC，得出AC=3AM， 2        1 1 由AN= AC+mBC得AN= AC+mAC-AB 9 9  1 = +m 9    AC-mAB 1 = +3m 3    AM-mAB， 1 因为B,N,M三点共线，所以 +3m 3  +-m  1 =1，解得m= . 3 故选：D. 1587 (2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，   G为线段AM上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点，   AB=xAPx>0    ，AC=yAQy>0  4 1 ，则 + 的最小值为( )． x y+1 3 9 A. B. C.3 D.9 4 4 【答案】B      1 【解析】因为M为线段BC的中点，所以AM= (AB+AC)，又因为AG=2GM，所以 2 第 页 共 页 953 3427    2 1 AG= AM= (AB+AC)， 3 3   又AB=xAPx>0    ，AC=yAQy>0   x  y  ，所以AG= AP+ AQ， 3 3 x y 又P,G,Q三点共线，所以 + =1，即x+y=3， 3 3 4 1 1 4 1 所以 + =  + x y+1 4 x y+1  x+(y+1)  1  x 4(y+1) = 4+ + +1 4  y+1 x  ≥ 1 x 4(y+1) 5+2 ⋅ 4 y+1 x  9 = ， 4 x 4(y+1) 8 1 当且仅当 = ，即x= ,y= 时取等号. y+1 x 3 3 故选：B.   1 1588 (2024·山西·高三校联考阶段练习)如图，在△ABC中，D是BC边中点AP= AD， 3 CP的延长线与AB交于AN，则 ( )         1 1 1 1 A.AN= AB B.AN= AB C.AN= AB D.AN= AB 4 5 6 7 【答案】B   【解析】设AB=λAN，     1 1 1 则AP= AD= × AB+AC 3 3 2      1 1 λ 1 = AB+ AC= AN+ AC， 6 6 6 6 因为N，P，C三点共线， λ 1 所以 + =1，解得λ=5， 6 6     1 所以AB=5AN，所以AN= AB. 5 故选：B. 1589 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别     1 1 与AB，AC两边交于M，N两点，设xAB=AM，yAC=AN，则 + 的值为 ( ) x y 第 页 共 页 954 3427A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A        【解析】由题意AG=λAM+(1-λ)AN且0≤λ≤1，而xAB=AM，yAC=AN，    所以AG=xλAB+y(1-λ)AC，      2 1 1 又G是△ABC的重心，故AG= × (AB+AC)= (AB+AC)， 3 2 3 1 xλ=  3 1 1 1 1 所以 ，可得 + =1，即 + =3. 1 3x 3y x y y(1-λ)= 3 故选：A  1590 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)在△ABC中，E为AC上一点，AC=     1 3 3AE,P为线段BE上任一点(不含端点)，若AP=xAB+yAC，则 + 的最小值是 x y ( ) A.8 B.10 C.13 D.16 【答案】D      【解析】由题意，如下示意图知：AP=λAB+(1-λ)AE，且0<λ<1，又AC=3AE，   1-λ   x=λ 所以AP=λAB+ AC，故 1-λ 且0<λ<1， 3 y= 3 1 3 1 9 故 + = + x y λ 1-λ  1-λ 9λ 1-λ 9λ [λ+(1-λ)]=10+ + ≥10+2 ⋅ =16， λ 1-λ λ 1-λ 1-λ 9λ 1 仅当 = ，即λ= 时等号成立. λ 1-λ 4 1 3 所以 + 的最小值是16. x y 故选：D        1591 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a、b不共线，且c=xa+b,d=a+2x-1    b，若c  与d共线，则实数x的值为 ( ) 1 1 1 A.1 B.- C.1或- D.-1或- 2 2 2 【答案】C      【解析】因为c与d共线，则存在k∈R，使得d=kc，即a+2x-1     b=kxa+kb， 第 页 共 页 955 3427因为向量a  、b  不共线，则  kx=1 ，整理可得x2x-1 k=2x-1  =1，即2x2-x-1=0， 1 解得x=- 或1. 2 故选：C. 1592 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l上有三点A，B，C，O为l外一点，又等差数列    {a }的前n项和为S ，若OA=(a +a )OB+2a OC，则S = ( ) n n 1 3 10 11 11 11 13 A. B.3 C. D. 4 2 2 【答案】A 【解析】∵点A、B、C是直线l上不同的三点，         ∴存在非零实数λ，使AB=λBC⇒OB-OA=λ(OC-OB)⇒OA=(1+λ)OB-  λOC；    ∵若OA=(a +a )OB+2a OC， 1 3 10 ∴1+λ=a +a ，-λ=2a ； 1 3 10 ∴a +a +2a =1； 1 3 10 ∵数列{a }是等差数列， n 1 ∴2a +2a =1⇒a +a = =a +a ； 2 10 2 10 2 1 11 11(a +a ) 11 ∴S = 1 11 = ． 11 2 4 故选：A．   1593 (2024·全国·高三对口高考)设两个非零向量a与b不共线．          (1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3a-b  ，求证A，B，D三点共线．     (2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线．          【解析】(1)因为AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3a-b  ，，        所以BD=BC+CD=2a+8b+3a-b        =2a+8b+3a-3b=5a+b   =5AB   所以AB，BD共线， 又因为它们有公共点B， 所以A,B,D三点共线；     (2)因为ka+b和a+kb共线，     所以存在实数λ，使ka+b=λa+kb  ，     所以ka+b=λa+kλb， 即 k-λ   a=kλ-1   b.   又a，b是两个不共线的非零向量， 所以k-λ=kλ-1=0 所以k2-1=0， 所以k=1或k=-1.  1594 (2024·全国·高三对口高考)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE 第 页 共 页 956 34272      = AD,AB=a,AC=b. 3        (1)用a,b表示AD,AE,AF,BE,BF； (2)求证：B，E，F三点共线． 【解析】(1)在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，         1 1 则AD=AB+BD=AB+ BC=AB+ AC-AB 2 2  1  1  1  1  = AB+ AC= a+ b， 2 2 2 2  2  1  1  故AE= AD= a+ b， 3 3 3  1  1  AF= AC= b， 2 2    1  1   1  2  BE=AE-AB= a+ b-a= b- a， 3 3 3 3    1   BF=AF-AB= b-a； 2  1  2  1   (2)证明：因为BE= b- a= b-2a 3 3 3   1   ，BF= b-2a 2  ，   2 所以BE= BF， 3   所以BE ∕∕BF，   又因BE,BF有公共点B， 所以B，E，F三点共线． 【解题方法总结】     要证明A，B，C三点共线，只需证明AB与BC共线，即证AB=λBC(λ∈R)．若已知     A，B，C三点共线，则必有AB与BC共线，从而存在实数λ，使得AB=λBC． 4 题型四：平面向量基本定理及应用   1595 (2024·上海·高三专题练习)设e 、e 是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成 1 2 平面向量的一个基底的是 ( )         A.e +e 和e -e B.e +2e 和e +2e 1 2 1 2 1 2 2 1        C.3e -2e 和4e -6e D.e 和e +e 1 2 2 1 2 2 1 【答案】C   【解析】依题意，e 、e 不共线， 1 2     A选项，不存在λ∈R使e 1 +e 2 =λe 1 -e 2  ，     所以e +e 和e -e 可以组成基底. 1 2 1 2     B选项，不存在λ∈R使e 1 +2e 2 =λe 2 +2e 1  ，     所以e +2e 和e +2e 可以组成基底. 1 2 2 1     C选项，4e 2 -6e 1 =-23e 1 -2e 2  ，     所以3e -2e 和4e -6e 不能构成基底. 1 2 2 1    D选项，不存在λ∈R使e 2 =λe 2 +e 1  ， 第 页 共 页 957 3427   所以e 和e +e 可以组成基底. 2 2 1 故选：C   1596 (2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)已知向量e,e 是平面内所有向 1 2 量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是 ( )    A. e,e -e  1 1 2      B. e +e ,e -3e  1 2 1 2      C. e -2e ,-3e +6e  1 2 1 2      D. 2e +3e ,2e -3e  1 2 1 2  【答案】C       【解析】对于A，假设e,e -e 共线，则存在λ∈R，使得e =λe -e 1 1 2 1 1 2  ，   因为e,e 不共线，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立， 1 2    即假设不成立，也即e,e -e 不共线，则能作为基底； 1 1 2         对于B，假设e +e ,e -3e 共线，则存在λ∈R，使得e +e =λe -3e 1 2 1 2 1 2 1 2  ， λ=1 即  无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立， -3λ=1     即假设不成立，也即e +e ,e -3e 不共线，则能作为基底； 1 2 1 2     对于C，因为-3e +6e =-3(e -2e )，所以两向量共线， 1 2 1 2 不能作为一组基底，C错误；     对于D，假设2e +3e ,2e -3e 共线，则存在λ∈R， 1 2 1 2     使得2e +3e =λ2e -3e 1 2 1 2  ， 2λ=2 即  无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立， -3λ=3     即假设不成立，也即2e +3e ,2e -3e 不共线，则能作为基底， 1 2 1 2 故选:C.      1 1 1597 (2024·河北沧州·校考模拟预测)在△ABC中BE= EC,BF= BA+BC 2 2  ，点P为    AE与BF的交点，AP=λAB+μAC，则λ-μ= ( ) 1 1 3 A.0 B. C. D. 4 2 4 【答案】B    1 【解析】因为BF= BA+BC 2  ，所以F为AC中点，       B,P,F三点共线，故可设BP=kBF，即AP-AB=kAF-AB  ，   整理得AP=kAF+1-k   AB=1-k    1 AB+ kAC， 2          1 1 1 1 2 因为BE= EC，所以AE-AB= AC- AE，即AE= AC+ AB， 2 2 2 3 3 A,P,E三点共线，     1 2 可得AP=mAE=m AC+ AB 3 3    1 2 = mAC+ mAB， 3 3 2m 1  3 =1-k  k= 2 所以 ，解得 ， m 1 3 = k m= 3 2 4    1 1 1 1 1 可得AP= AB+ AC，则λ= ,μ= ，λ-μ= . 2 4 2 4 4 故选：B     1598 (2024·全国·模拟预测)如图，在△ABC中，CM=λCB，NC=μAC，其中0<λ<1，0< 第 页 共 页 958 3427  3 μ<1，若AM与BN相交于点Q，且BQ= BN，则 ( ) 5 A.λμ=λ+μ B.2λμ=λ+μ C.5λ=2+3λμ D.3λ=2+5λμ 【答案】C     3 3 【解析】由题意得BQ= BN= BA+AN 5 5    3 = BA+(1-μ)AC 5  =  3 BA+1-μ 5    BC-BA      3 = μBA+(1-μ)BC 5  3  3 1-μ  = μBA+ ⋅ BM， 5 5 1-λ 因为Q，M，A三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1， 3 3 1-μ 所以 μ+ ⋅ =1， 5 5 1-λ 化简整理得5λ=2+3λμ． 故选：C．     1599 (2024·广东汕头·统考三模)如图，点D、E分别AC、BC的中点，设AB=a，AC=b，F  是DE的中点，则AF= ( ) 1  1  1  1  1  1  1  1  A. a+ b B.- a+ b C. a+ b D.- a+ b 2 2 2 2 4 2 4 2 【答案】C 【解析】因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，        1 1 1 1 所以AF=AD+DF= AC+ DE = AC+ AB. 2 2 2 4  1  1  即AF= a+ b. 4 2 故选：C.  1600 (2024·山西大同·统考模拟预测)在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，BM=   mAB+nAC，则m+n= ( ) 1 1 A.- B. C.1 D.-1 2 2 【答案】A 【解析】 第 页 共 页 959 3427       1 1 1 1 因为D是BC的中点，所以AD= AB+ AC，BD= BC= ×AC-AB 2 2 2 2  =   1 1 AC- AB. 2 2 又因为M是AD的中点，       1 1 1 1 所以，BM= BA+ BD=- AB+ AC-AB 2 2 2 4    3 1 =- AB+ AC， 4 4    3 1 1 又BM=mAB+nAC，所以m=- ，n= ，所以m+n=- ． 4 4 2 故选：A． 1601 (2024·广东·统考模拟预测)古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中， 提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而 储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构  的平面图形如图所示，则AB= ( )     3 5 5 3 A.- CE+ DE B.- CE+ DE 2 6 6 2     2 5 5 2 C.- CE+ DE D.- CE+ DE 3 6 6 3 【答案】B 【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 不妨设AD=2，则A-1，3  ，B5，5 3  ，D0，0  ，E9，3  ，C0，4 3  ，  故AB=6，4 3   ，CE=9，-3 3   ，DE=9，3  .    6=9x+9y 设AB=xCE+yDE，则  ， 4 3=-3 3x+ 3y 5 x=-  6 解得 ， 3 y= 2    5 3 所以AB=- CE+ DE. 6 2 第 页 共 页 960 3427故选：B. 1602 (2024·吉林长春·统考模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD         2 上的点，且BM=MC，CN= CD，连接AM，BN交于P点，若AP=λPM，BP=μPN， 3 则λ+μ= ( ) 13 25 18 19 A. B. C. D. 5 7 5 5 【答案】C   【解析】在▱ABCD中，取{AB,AD}为平面的基底，        1 由BM=MC，得AM=AB+BM=AB+ AD， 2       λ λ λ 由AP=λPM，得AP= AM= AB+ AD， 1+λ 1+λ 2(1+λ)        2 2 由CN= CD，知BN=BC+CN=- AB+AD， 3 3    μ  2μ  μ  由BP=μPN，得BP= BN=- AB+ AD， 1+μ 3(1+μ) 1+μ   λ = 3+μ    3+μ  μ  1+λ 3(1+μ) 因此AP=AB+BP= AB+ AD，则 ，解得λ=3,μ= 3(1+μ) 1+μ  λ μ  =   2(1+λ) 1+μ 3 ， 5 18 所以λ+μ= . 5 故选：C 1603 (2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AB⎳CD，      AB=4CD，点E在线段CB上，且CE=2EB，设AB=a，AD=b，则AE= ( ) 5  1  1  5  1  3  3  1  A. a+ b B. a+ b C. a+ b D. a+ b 8 2 2 8 3 4 4 3 【答案】D   1 【解析】在梯形ABCD中，AB⎳CD，且AB=4CD，则DC= AB， 4   1 因为E在线段CB上，且CE=2EB，则BE= BC， 3       1   3  BC=BA+AD+DC=-a+b+ a=b- a， 4 4     1   1  3  所以，AE=AB+BE=AB+ BC=a+ b- a 3 3 4  3  1  = a+ b. 4 3 故选：D. 第 页 共 页 961 34271604 (2024·安徽·校联考二模)如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线  段AD上靠近D，A的三等分点，则AD= ( )         1 1 4 A.-BE- CF B.- BE-CF C.-BE-CF D.- BE-CF 3 3 9 【答案】C         1 1 3 3 【解析】BE=BD+DE=BD- AD，则 AD= BD- BE①； 3 2 2 2         2 3 3 CF=CD+DF=CD- AD，则AD= CD- CF②； 3 2 2       3 3 3 ①+②两式相加， AD=- CF- BE，即AD=-BE-CF， 2 2 2 故选：C.  1605 (2024·全国·模拟预测)如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，EB=     3DE，若AO=λAE+μBCλ,μ∈R  λ ，则 = ( ) μ 1 1 A.- B.-2 C. D.2 2 2 【答案】B 【解析】因为平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，可得O为BD的中点，        1 1 1 1 由EB=3DE，可得E为OD的中点，所以AE= AO+ AD= AO+ BC， 2 2 2 2    可得AO=2AE-BC，    λ 又由AO=λAE+μBC，所以λ=2,μ=-1，所以 =-2. μ 故选：B． 【解题方法总结】 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求 解．   (3)三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数λ,μ，使OP=λOA+  μOB，其中λ+μ=1，O为AB外一点． 5 题型五：平面向量的直角坐标运算   1606 (2024·全国·高三对口高考)AC为平行四边形ABCD的对角线，AB=(2,4),AC=(1,  3)，则AD= ． 第 页 共 页 962 3427【答案】(-1,-1) 【解析】 如图在平行四边形ABCD中，   AB=DC=(2,4)，      在△ACD中，AC=AD+DC=AD+AB，    所以AD=AC-AB=(1,3)-(2,4)=-1,-1  ， 故答案为：(-1,-1).       1607 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a=(-2,1)，b=(3,2)，c=(5,8)，且c=λa+μb， λ 则 = . μ 2 【答案】 3    【解析】c=λa+μb=(-2λ+3μ,λ+2μ)， 由c  =(5,8)可知  -2λ+3μ=5, 解得  λ=2, 故 λ = 2 ． λ+2μ=8, μ=3, μ 3 2 故答案为： 3 1608 (2024·四川绵阳·模拟预测)已知A-2,4  ，C-3,-4    ，且CM=3CA，则点M的坐标 为 . 【答案】0,20   【解析】由题意得CA=-2+3,4+4  =1,8    ，所以CM=3CA=3,24  . 设Mx,y   ，则CM=x+3,y+4  =3,24  ， x+3=3 x=0 所以 ，解得 ，   y+4=24 y=20 故点M的坐标为0,20  . 故答案为：0,20      1609 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OC与        OA和OB的夹角分别为30°和90°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=2 3，若OC=λOA+  μOB(λ,μ∈R)，则λ+2μ= ． 【答案】8   【解析】如图所示，过点C作向量OA,OB的平行线与它们的延长线分别交于D,E两点，    所以四边形ODCE平行四边形，则OC=OD+OE，    因为向量OC与OA和OB的夹角分别为30°和90°， 第 页 共 页 963 3427即∠BOC=90°,∠AOC=30°,则∠OCD=90°,∠OCE=30°,    OC 在直角ΔOCD中，|OC|=2 3，∠AOC=30°，所以|OD|=  =4， cos30°    在直角ΔOCE中，|OC|=2 3，∠OCE=30°，所以|OE|=OC  3 ⋅tan30°=2 3× = 3 2，      又由|OA|=|OB|=1，可得OC=4OA+2OB，    又因为OC=λOA+μOB(λ,μ∈R)，所以λ=4,μ=2， 所以λ+2μ=8． 故答案为：8．  1610 (2024·河南·郑州一中校联考模拟预测)已知向量a=x,2   ，b=-x,1    ，且2a+b  = 26，则实数x= ． 【答案】±1   【解析】由题意，得2a+b=x,5    ，所以2a+b  = x2+52= 26，解得x=±1． 故答案为：±1.     1611 (2024·全国·高三对口高考)已知向量a=( 3,1),b=(0,-2)．若实数k与向量c满足a    +2b=kc，则c可以是 ( ) A.( 3,-1) B.(-1,- 3) C.(- 3,-1) D.(-1, 3) 【答案】D  【解析】设c=x,y  ，   因为向量a=( 3,1),b=(0,-2)，   所以a+2b=( 3,1)+2(0,-2)= 3,-3  ，    又a+2b=kc， 所以 3,-3  =kx,y  kx= 3 ⇒   ， ky=-3 k=0时不成立，所以k≠0， 所以y=- 3x，  选项A，c=( 3,-1)不满足y=- 3x，  选项B，c=(-1,- 3)不满足y=- 3x，  选项C，c=(- 3,-1)不满足y=- 3x，  选项D，c=(-1, 3)满足y=- 3x， 故选：D.  1612 (2024·河北·统考模拟预测)在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足AM=   AC+mAD，则m= ( ) 1 1 1 A.1 B. C. D. 2 3 4 第 页 共 页 964 3427【答案】B 【解析】在正六边形ABCDEF中，以A为原点， 分别以AB,AE所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系， 3 3 不妨令AB=1，则A(0,0),C , 2 2  ,D(1, 3),M(t, 3)，  3 3 AC= , 2 2    ,AD=(1, 3),AM=(t, 3), 3     t= 2 +m m= 1 由AM=AC+mAD，可得 ，解之得 2 3 3= + 3m t=2 2 故选：B 1613 (2024·内蒙古赤峰·校联考三模)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=    30°，AB=1，AC=3，AD=2，AC=xAB+yAD，则x+y= ( ) A.2 3 B.2 C.3 D.6 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，以AD为x轴，过点A作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标 系， 1 3 则A(0,0),B- , 2 2  3 3 3 ,C , 2 2  ,D(2,0),  3 3 3 故AC= , 2 2   1 3 ,AB=- , 2 2   ,AD=(2,0),     3 3 3 则由AC=xAB+yAD可得AC= , 2 2  1 3 =x- , 2 2  +y(2,0)， 第 页 共 页 965 3427即    3 2 3 =- 2 1 x+2y ,∴   x= 3 ， 3 3 y= 3  = x  2 2 故x+y=2 3， 故选：A   1614 (2024·全国·高三专题练习)已知O为坐标原点，P 1 P=-2PP 2 ，若P 11,2  、P 22,-1  ，则  与OP共线的单位向量为 ( ) A. 3,-4  B. 3,-4  或-3,4  3 4 C.  ,- 5 5  3 4 或- , 5 5  3 4 D.  ,- 5 5  【答案】C           【解析】由PP=-2PP 得PP+2PP =0，即PP +PP =0，PP =PP， 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2     OP -OP =OP-OP， 2 1 2    OP=2OP -OP =2(2,-1)-(1,2)=(3,-4)， 2 1  OP  = 32+(-4)2=5，   OP 与OP同向的单位向量为  OP  3 4 = ,- 5 5  3 4 ，反向的单位向量为- , 5 5  ． 故选：C． 【解题方法总结】 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点 的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 6 题型六：向量共线的坐标表示  1615 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)在平面直角坐标系中，向量PA=(1,   4)，PB=(2,3)，PC=(x,1)，若A，B，C三点共线，则x的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】因为A，B，C三点共线，    则PC=λPA+μPB，λ+μ=1  ， 即(x,1)=λ1,4  +μ2,3  =λ+2μ,4λ+3μ  ， x=λ+2μ μ=3   则1=4λ+3μ，解得λ=-2. λ+μ=1 x=4 故选：C 1616 (2024·全国·高三专题练习)已知Am,0  ,B0,1  ,C3,-1  ，且A,B,C三点共线，则m= ( ) 3 2 3 2 A. B. C.- D.- 2 3 2 3 【答案】A 【解析】由Am,0  ,B0,1  ,C3,-1   ，得AB=-m,1   ,BC=3,-2  , 第 页 共 页 966 3427  因为A,B,C三点共线，所以AB⎳BC，即-m  ×-2  3 -1×3=0，解得m= . 2 3 所以m= . 2 故选：A.  1617 (2024·甘肃定西·统考模拟预测)已知向量a=1,3   ，b=4,-1     ，若向量m∥a，且m与   b的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为 .  【答案】m=-1,-3  (答案不唯一)  【解析】设m=x,y  ，     因为向量m∥a，且m与b的夹角为钝角， 1⋅y=3⋅x  所以4⋅x+(-1)⋅y<0，所以x<0， 4⋅y≠(-1)⋅x  不妨令x=-1，则y=-3，故m=-1,-3  ，  故答案为：m=-1,-3  (答案不唯一).  1618 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a=-1,2   ，b=1,2022      ，向量m=a+2b，n=     2a-kb，若m∥n，则实数k= . 【答案】-4   【解析】根据题意可知a，b不共线         若m∥n，则∃λ∈R，使得m=λn，即a+2b=λ2a-kb    =2λa-kλb 1 则可得  1=2λ ，解得   λ= 2 2=-kλ k=-4 故答案为：-4．  1619 (2024·北京·北京四中校考模拟预测)已知向量a=t,4   ,b=1,t    ，若a∥b，则实数t= . 【答案】±2  【解析】因为向量a=t,4   ,b=1,t    且a∥b， 所以t×t-4×1=0,解得t=±2， 故答案为：±2  1620 (2024·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测)已知a=k,1   ，b=-2,3    ，若a与b互 相平行，则实数k的值是 ． 2 【答案】- 3   【解析】因为a∥b， 2 所以3k=-2，解得k=- ， 3 2 故答案为：- ． 3       1621 (2024·全国·高三对口高考)已知向量a=(1,2),b=(1,λ),c=(3,4)．若a+b与c共线， 则实数λ= ． 第 页 共 页 967 34272 【答案】 3    【解析】由题意知向量a=(1,2),b=(1,λ),c=(3,4)，   故a+b=(2,2+λ)，    2 由于a+b与c共线，故2×4-3(2+λ)=0,∴λ= ， 3 2 故答案为： 3  1622 (2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知a=1,2   ,b=-3,2    ，若ka+b   与a-2b平行，则实数k= ． 1 【答案】- /-0.5 2  【解析】因为a=1,2   ,b=-3,2  ，     所以ka+b=(k-3,2k+2)，a-2b=(7,-2)，     1 因为ka+b与a-2b平行，所以-2(k-3)=7(2k+2)，得k=- . 2 1 故答案为：- . 2 1623 (2024·全国·高三专题练习)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6) ，O为坐标原点，则AC与 OB的交点P的坐标为 . 【答案】(3,3)   【解析】法一:由O，P，B三点共线，可设OP=λOB=(4λ,4λ),    则AP=OP-OA=(4λ-4,4λ),    又AC=OC-OA=(-2,6)，   由AP,AC共线，得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0，   3 3 解得λ= ，所以OP= OB=(3,3), 4 4 所以点P的坐标为(3,3), 故答案为：(3,3)     法二:设点P(x,y)，则OP=(x，y) ，因为OB=(4,4)，且OP 与OB共线， 所以4x-4y=0 ，即x=y.     又AP=(x-4，y) ，AC=(-2，6) ，且AP,AC共线， 所以(x-4)×6-y×(-2)=0 ，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3,3)， 故答案为：(3,3) 【解题方法总结】     (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a=(x,y)，b=(x ,y )，则a∥b的充要 1 1 2 2      条件是xy -x y =0；②若a∥b(b≠0)，则a=λb． 1 2 2 1 (2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐 标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解 第 页 共 页 968 3427