第63讲直线与圆的综合_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第63讲 直线与圆的综合 必考题型全归纳 1 题型一：距离的创新定义 3355 (2024·浙江绍兴·高三统考期末)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小 的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在 的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知A(-1,0),B (1,0),C(0,2)，P为△ABC内一点，记f(P)=|PA|+|PB|+|PC|，则f(P)的最小值为 ，此时sin∠PBC= . 3356 (2024·全国·高三专题练习)闵氏距离(Minkowskidistance)是衡量数值点之间距离的 一种非常常见的方法，设点A、B坐标分别为x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  ，则闵氏距离D pA,B  = x 1 -x 2  p+y 1 -y 2  p   1p p∈N*  .若点A、B分别在y=ex和y=x-1的图像上，则 D pA,B  的最小值为 ( ) A.21p B.2p C.e1p D.ep 3357 (2024·全国·高三专题练习)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关 于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和 最小．现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB=∠APC =∠BPC=120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．    根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且  b   =2,c    =3，则a-b    +a+b    +a-c  的最小值是 ( ) A.3-2 3 B.3+2 3 C.2 3-2 D.2 3+2 3358 (2024·全国·高三专题练习)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定 义.设两组数据分别为A=a 1 ,a 2 ,⋅⋅⋅,a n  和B=b 1 ,b 2 ,⋯,b n  ，这两组数据间的闵氏距离 n 定义为d (q)= a -b AB k k k=1     q   1 q，其中q表示阶数.现有下列四个命题： ①若A=(1,2,3,4),B=(0,3,4,5)，则d (1)=4； AB ②若A=(a,a+1),B=(b-1,b)，其中a,b∈R，则d (1)=d (2)； AB AB ③若A=(a,b),B=(c,d)，其中a,b,c,d∈R，则d (1)≥d (2)； AB AB ④若A=a,a2  3 2 ,B=(b,b-1)，其中a,b∈R，则d (2)的最小值为 . AB 8 其中所有真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3359 (2024·全国·高三专题练习)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点. 当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周 角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则F(x,y)= (x-2 3)2+y2+ (x+1- 3)2+(y-1+ 3)2+ x2+(y-2)2的最小值为 ( ) A.4 B.2+2 3 C.3+2 3 D.4+2 3 第 页 共 页 632 10433360 (2024·全国·高三专题练习)点M是ΔABC内部或边界上的点，若M到ΔABC三个顶点 距离之和最小，则称点M是ΔABC的费马点(该问题是十七世纪法国数学家费马提出). 若A0,2  ，B-1,0  ，C1,0  时，点M 是ΔABC的费马点，且已知M 在y轴上，则 0 0 AM 0  +BM 0  +CM 0  的大小等于 . 3361 (2024·全国·高三专题练习)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事 休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： (x-a)2+(y-b)2可以 转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)= x2+4x+20 + x2+2x+10的最小值为 ． 2 题型二：切比雪夫距离 3362 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义dA,B  = max|x -x |,|y -y | 1 2 1 2  为两点A(x,y)，B(x ,y )的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任 1 1 2 2 意一点Q，称d(P，Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P，l)．给出下 列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有dC,A  +dC,B  ≥dA,B  ；②已知点P(3， 1)和直线l:2x-y-1=0，则dP,l  4 = ；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹 3 是正方形．其中正确的序号为 ． 3363 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义d(P,P)= 1 2 max x 1 -x 2  ,y 1 -y 2    为两点P(x,y)、P(x ,y )的“切比雪夫距离”．若点P到点 1 1 1 2 2 2 (2014，2015)的切比雪夫距离为2，则点P的轨迹长度之和为 ． 3364 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,定义dA,B  = max x 1 -x 2  ，y 1 -y 2    为两点Ax 1 ,y 1  、Bx 2 ,y 2  的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任 意一点Q,称dP,Q  的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作dP,l  ，给出下列 四个命题: ①对任意三点A,B,C，都有dC,A  +dC,B  ≥dA,B  ； ②已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则dP，l  4 = ； 3 ③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3365 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{|x -x |,|y - 1 2 1 y |}为两点A(x,y)、B(x ,y )的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点Q，称d(P, 2 1 1 2 2 Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l). (1)求证：对任意三点A、B、C，都有d(A,C)+d(C,B)≥d(A,B)； (2)已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，求d(P,l)； (3)定点C(x ,y )，动点P(x,y)满足d(C,P)=r(r>0)，请求出点P所在的曲线所围成图 0 0 形的面积. 3366 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=|x -x |+|y -y |为 1 2 1 2 两点A(x,y)、B(x ,y )的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d(P,Q) 1 1 2 2 的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l)，给出下列三个命题： ①对任意三点A、B、C，都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)； 第 页 共 页 633 10434 ②已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则d(P,l)= ； 3 ③定义O(0,0)，动点P(x,y)满足d(P,O)=1，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是4； 其中真命题的个数 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3367 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义dA，B  = max x 1 -x 2  ，y 1 -y 2    为两点Ax 1 ，y 1  、Bx 2 ，y 2  的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任 意一点Q,称dP，Q  的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作dP，l  ,给出下 列三个命题： ①对任意三点A、B、C，都有dC，A  +dC，B  ≥dA，B  ； ②已知点P(2,1)和直线l:x-2y-2=0,则dP，l  8 = ； 3 ③定点F 1-c，0  、F 2c，0  ，动点Px，y  满足 dP，F 1  -dP，F 2    =2a2c>2a>0  ，则 点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点. 其中真命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3368 (2024·全国·高三专题练习)在平面直线坐标系中,定义dA，B  = max x 1 -x 2  ，y 1 -y 2    为两点Ax 1 ，y 1  、Bx 2 ，y 2  的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任 意一点Q,称aP，Q  的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作dP，l  ，给出下列 四个命题: ( ) ①对任意三点A、B、C，都有dC，A  +dC，B  ≥dA，B  ； ②已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则dP，l  4 = ； 3 ③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形； ④定点F 1-c，0  、F 2c，0  ，动点Px，y  满足 dP，F 1  -dP，F 2    =2a2c>2a>0  ，则 点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3 题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题 3369 (2024·福建泉州·统考模拟预测)人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一 种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距 离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，则曼哈顿距离dA,B  = x 1 -x 2  +y 1 -y 1  ，余弦距离eA,B  =1-cosA,B  ，其中cosA,B    =cosOA,OB  (O 为坐标原点)．已知M2,1  ，dM,N  =1，则eM,N  的最大值近似等于 ( ) (参考数据： 2≈1.41， 5≈2.24．) A.0.052 B.0.104 C.0.896 D.0.948 3370 (2024·安徽·校联考二模)在平面直角坐标系xOy中，定义Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  两点间的 折线距离d(A,B)=x 1 -x 2  +y 1 -y 2  ，该距离也称曼哈顿距离．已知点M(2,0),N(a,b)， 若d(M,N)=2，则a2+b2-4a的最小值与最大值之和为 ( ) A.0 B.-2 C.-4 D.-6 第 页 共 页 634 10433371 (2024·全国·高三专题练习)十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了 两点Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  的曼哈顿距离为DP,Q  =x 1 -x 2  +y 1 -y 2  .我们把到三角形 三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形△ABC的三个顶点坐标为 A2,4  ，B8,2  ，C12,10  ，则△ABC的“好点”的坐标为 ( ) A. 2,4  B. 6,8  C. 0,0  D. 5,1  3372 (2024·全国·高三专题练习)“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学 家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总 和，即在直角坐标平面内，若Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，则A，B两点的“曼哈顿距离”为x 2 -x 1  +y 2 -y 1  ，下列直角梯形中的虚线可以作为A，B两点的“曼哈顿距离”是 ( ) A. B. C. D. 3373 (2024·全国·高三专题练习)“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之间，定 义如下：在直角坐标平面上任意两点Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  的曼哈顿距离为：dA,B  = x 1 -x 2  +y 1 -y 2  .在此定义下，已知点O0,0  ，满足dO,M  =1的点M轨迹围成的图形 面积为 ( ) A.2 B.1 C.4 D. 2 4 题型四：圆的包络线问题 3374 (2024·全国·高三专题练习)设直线系M：xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，则下列 命题中是真命题的个数是 ( ) ①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数 n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角 形面积都相等. A.0 B.1 C.2 D.3 3375 (2024·全国·高三专题练习)设直线系M:xcosθ+y-2  sinθ=1(0≤θ≤2π)，则下列命 题中是真命题的个数是 ( ) ①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④M中所有直线均经过一个定点； ⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上； 第 页 共 页 635 1043⑥对于任意整数nn≥3  ，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； ⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A.3 B.4 C.5 D.6 3376 (2024·全国·高三专题练习)设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，对于下列 四个结论： (1)当直线垂直于x轴时，θ=0或π； π (2)当θ= 时，直线倾斜角为120°； 6 (3)M中所有直线均经过一个定点； (4)存在定点P不在M中任意一条直线上． 其中正确的是 ( ) A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 3377 (多选题)(2024·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试)设有一组圆C ：x-k+1 k  2+y-3k  2 =2k4(k∈N*).下列四个命题中真命题的是 A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 3378 (多选题)(2024·全国·高二专题练习)已知圆M:(x-1-cosθ)2+(y-2-sinθ)2=1，直 线l:kx-y-k+2=0，下面五个命题，其中正确的是 ( ) A.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点 B.对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离 C.存在实数k与θ，直线l和圆M相离 D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切 a=0.001 3379 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l:xcosα+ysinα-1=0(a∈R)与圆  b=0.0035 相切，则满足条件的直线l有( )条 A.1 B.2 C.3 D.4 5 题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题 3380 (2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习)公元前3世纪，古希腊数学家阿波 罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨 迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的 动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B (2,1)，且该平面内的点P满足PA  = 2PB  ，若点P的轨迹关于直线mx+ny-2= 0m,n>0  2 5 对称，则 + 的最小值是 ( ) m n A.10 B.20 C.30 D.40 3381 (2024·高二单元测试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚 历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ 第 页 共 页 636 1043>0，且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到A(-1,0)，B (1,0)的距离之比为 3，则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为 ( ) A.2 5- 3 B. 5- 3 C.2 5 D. 3 PB 3382 (2024·福建泉州·高二统考期末)已知平面内两个定点A，B及动点P，若  PA  =λ(λ> 0且λ≠1)，则点P的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知O0,0  ， 2 Q0, 2  ，直线l:kx-y+2k+3=0，直线l :x+ky+3k+2=0，若P为l ，l 的交点， 1 2 1 2 则3PO  +2PQ  的最小值为 ( ) A.3 3 B.6-3 2 C.9-3 2 D.3+ 6 3383 (2024·全国·高二专题练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被 称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在 他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动 9 点M与两定点A ,0 5  ，B5,0  3 的距离之比为 时的阿波罗尼斯圆为x2+y2=9．下 5 面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O:x2+y2=4上的动点M和定点A-1,0  ， B1,1  ，则2MA  +MB  的最小值为 ( ) A.2+ 10 B. 21 C. 26 D. 29 3384 (2024·高二单元测试)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著 作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距 离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知 O(0,0)，A(3,0)，圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|PO|， 则r的取值可以为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3385 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A、B是直线l上的两点， C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，AD=3，AB=6，CB=6．P是平面α上 的一动点，且直线PD，PC与平面α所成角相等，则二面角P-BC-D的余弦值的最小 值是 ( ) 第 页 共 页 637 10435 3 1 A. B. C. D.1 5 2 2 3386 (2024·全国·高三专题练习)已知三棱锥A-BCD中，底面BCD为等边三角形，AB= AC=AD=3，BC=2 3，点E为CD的中点，点F为BE的中点.若点M、N是空间中   MB NB 的两动点，且 = =2，MN=2，则AM⋅AN= ( ) MF NF A.3 B.4 C.6 D.8 3387 (2024·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题： 平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏 圆，已知P、Q分别是圆C:(x-4)2+y2=8，圆D:x2+(y-4)2=1上的动点，O是坐标原 2 点，则|PQ|+ |PO|的最小值是 ． 2 3388 (2024·全国·高三专题练习)点P为圆A：x-4  2+y2=4上一动点，Q为圆B：x-6  2 +y-4  2=1上一动点，O为坐标原点，则PO  +PQ  +PB  的最小值为 . 3389 (2024·全国·高三专题练习)如图，在正方体ABCD-ABCD 中，AB=3 3，点E,F 1 1 1 1 在线段DB 上，且DE=EF=FB ，点M是正方体表面上的一动点，点P,Q是空间两动 1 1 PE 点，若  PF  QE =  QF  =2且PQ    =4，则MP·MQ的最小值为 . 6 题型六：圆中的垂直问题 3390 (2024·海南·统考模拟预测)已知直线l 1 :x-3y+1=0，直线l 2 过点1,0  且与直线l 相 1 互垂直，圆C:x2+y2-4x-2y-3=0，若直线l 2 与圆C交于M，N两点，则MN  = ． 3391 (2024·江苏南通·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x+2y =0．若直线y=3x+b上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b的 取值范围是 ． 3392 (2024·全国·模拟预测)已知AC，BD为圆O:x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为 M2,2  ，则AC  ⋅BD  的最大值为 ． 3393 (2024·全国·高三专题练习)过定点M(1,2)作两条相互垂直的直线l 、l ，设原点到直线 1 2 l 、l 的距离分别为d 、d ，则d +d 的最大值是 ． 1 2 1 2 1 2 3394 (2024·全国·高三专题练习)过点P(0,3)作两条相互垂直的直线分别交圆x2+y2=16于 A、C和B、D两点，则四边形ABCD面积的最大值为 ． 3395 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，圆C:x-m  2+y2=r2 m>0  . 第 页 共 页 638 1043已知过原点O且相互垂直的两条直线l 和l ，其中l 与圆C相交于A，B两点，l 与圆C 1 2 1 2 相切于点D.若AB=OD，则直线l 的斜率为 . 1 7 题型七：圆的存在性问题 3396 (2024·河南·河南省实验中学校考模拟预测)已知圆C:x-6  2+y-8  2=1和两点 A0,-m  ，B0,m  m>0  .若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为 ． 3397 (2024·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知动圆 M的方程为x+a+1  2+y-2a+1  2=1a∈R  ，则圆心M的轨迹方程为 ．若对 于圆M上的任意点P，在圆O：x2+y2=4上均存在点Q，使得∠OPQ=30°，则满足条件 的圆心M的轨迹长度为 ． 3398 (2024·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习)设点P的坐标为(1,a)，若在 圆O:x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则实数a的取值范围为 ． 3399 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,0  、B4,0  ，若直线 x-y+m=0上存在点P使得PB  =2PA  ，则实数m的取值范围为 . 3400 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c．若a=b= 3，在△ABC所在的平面内存在点M，使得MA2+MB2=3MC2=3，则△ABC的面积的 最大值为 ． 3401 (2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)已知点A(-1,0),B(1,0)，若圆(x-2a+1)   2+(y+2a+2)2=1上存在点M满足MA⋅MB=3，则实数a的取值范围是 ． 3402 (2024·陕西西安·高三西安铁一中滨河高级中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，圆C的方程为x2+y2+8x+15=0，若直线y=kx上至少存在一点，使得以该点为圆 心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是 ． 3403 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C:(x-2)2+y2=1，点P在直线l:x+y+1=0上，若   过点P存在直线m与圆C交于A、B两点，且满足PB=2PA，则点P横坐标x 的取值范 0 围是 ． 3404 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:y=kx+4  和点 A-2,0  ,B2,0  ，动点P满足PA  = 2PB  ，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l 的距离等于 2，则实数的k取值范围是 . 3405 (2024·江西萍乡·统考二模)已知圆O:x2+y2=2，对直线x+3y-4=0上一点Pt,k  ， 在圆O上总存在点A，使得∠OPA=30°，则实数k的取值范围为 ． 3406 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(3，0)，C(0， a)，D(0，a+2).若存在点P，使得|PA|= 2|PB|，|PC|=|PD|，则实数a的取值范围是 . 第 页 共 页 639 1043