第63讲直线与圆的综合_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第63讲 直线与圆的综合 必考题型全归纳 1 题型一：距离的创新定义 3355 (2024·浙江绍兴·高三统考期末)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小 的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在 的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知A(-1,0),B (1,0),C(0,2)，P为△ABC内一点，记f(P)=|PA|+|PB|+|PC|，则f(P)的最小值为 ，此时sin∠PBC= . 2 15- 5 【答案】 2+ 3 10 【解析】设O(0,0)为坐标原点，由A(-1,0),B(1,0),C(0,2)，知|AC|=|BC|= 5， 且△ABC为锐角三角形，因此，费马点F在线段OC上，设F(0,h)， 3 则△FAB为顶角是120°的等腰三角形，故h=|OB|tan30°= ， 3 所以f(P)≥f(F)=|FA|+|FB|+|FC|=4h+2-h=2+ 3； |FC| |BC| 2-h 5 在△FBC中，由正弦定理，得 = ，即 = ， sin∠FBC sin∠BFC sin∠FBC sin120° 2 15- 5 2 15- 5 解得sin∠FBC= ，即此时sin∠PBC= . 10 10 2 15- 5 故答案为：2+ 3； 10 3356 (2024·全国·高三专题练习)闵氏距离(Minkowskidistance)是衡量数值点之间距离的 一种非常常见的方法，设点A、B坐标分别为x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  ，则闵氏距离D pA,B  = x 1 -x 2  p+y 1 -y 2  p   1p p∈N*  .若点A、B分别在y=ex和y=x-1的图像上，则 D pA,B  的最小值为 ( ) A.21p B.2p C.e1p D.ep 【答案】A 【解析】由题意得，设A(x,ex1),B(x ,x -1)， 1 2 2 因为点A、B分别在函数y=ex和y=x-1的图象上， 所以D p (A,B)= x 1 -x 2  p+ex1-x 2 +1  p   1 p≥(x 1 -x 2 )-(ex1-x 2 +1)  1 p=(x 1 -ex1-1)  1 p， 当且仅当(x -x )(ex1-x +1)≥0时等号成立. 1 2 2 设g(x)=x-ex-1  ，h(x)=x-ex-1，则h(x)=1-ex， 令h(x)>0⇒x<0，h(x)<0⇒x>0， 所以函数h(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减， 所以h(x) max =h(0)=-2，即h(x)≤-2，所以g(x)=h(x)  =-h(x)≥2， 1 1 即D (A,B)≥2p，所以D (A,B)的最小值为2p. p p 故选：A. 3357 (2024·全国·高三专题练习)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关 于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和 第 页 共 页 2108 3427最小．现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB=∠APC =∠BPC=120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．    根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且  b   =2,c    =3，则a-b    +a+b    +a-c  的最小值是 ( ) A.3-2 3 B.3+2 3 C.2 3-2 D.2 3+2 【答案】B  【解析】设a=x,y   ，b=2,0   ，c=0,3  ，   则a-b    +a+b    +a-c  = x-2  2+y2+ x+2  2+y2+ x2+y-3  2， 即为点Px,y  到A2,0  ,B-2,0  和点C0,3  三个点的距离之和， 则△ABC为等腰三角形，如图， 由费马点的性质可得，需满足：点P在y轴上且∠APB=120°，则∠APO=60°， 因为|OA|=|OB|=2，则OP  2 3 2 3 = ，所以点P坐标为0, 3 3  时，距离之和最小， 4 3 4 3 2 3 最小距离之和为 + +3- 3 3 3  =3+2 3. 故选：B. 3358 (2024·全国·高三专题练习)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定 义.设两组数据分别为A=a 1 ,a 2 ,⋅⋅⋅,a n  和B=b 1 ,b 2 ,⋯,b n  ，这两组数据间的闵氏距离 n 定义为d (q)= a -b AB k k k=1     q   1 q，其中q表示阶数.现有下列四个命题： ①若A=(1,2,3,4),B=(0,3,4,5)，则d (1)=4； AB ②若A=(a,a+1),B=(b-1,b)，其中a,b∈R，则d (1)=d (2)； AB AB ③若A=(a,b),B=(c,d)，其中a,b,c,d∈R，则d (1)≥d (2)； AB AB ④若A=a,a2  3 2 ,B=(b,b-1)，其中a,b∈R，则d (2)的最小值为 . AB 8 其中所有真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】对于①：d (1)=|1-0|+|2-3|+|3-4|+|4-5|=4，故①正确. AB 对于②：d (1)=2|a-b+1|,d (2)= 2|a-b+1|，故②错误. AB AB 对于③：d (1)=|a-c|+|b-d|,d (2)= (a-c)2+(b-d)2，不妨设|a-c|=M,|b- AB AB d|=N，M+N  2≥ M2+N2  2，且M,N均为非负数，所以M+N≥ M2+N2故③正确. 对于④：构造函数f(x)=x2,g(x)=x-1，则d AB (2)= x 1 -x 2  2+y 1 -y 2  2，d (2)的最 AB 小值即两曲线动点间的最小距离，设f(x)=x2与直线g(x)=x-1平行的切线方程为y= 第 页 共 页 2109 3427x+b，联立  y=x2 得：x2-x-b=0，令Δ=1+4b=0得，b=- 1 ，所以切线方程为y y=x+b 4 3 1 1 4 3 2 3 2 =x- ：g(x)=x-1与y=x+ 之间的距离d= = ，所以最小值为 ，故 4 4 2 8 8 ④正确. 故选C. 3359 (2024·全国·高三专题练习)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点. 当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周 角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则F(x,y)= (x-2 3)2+y2+ (x+1- 3)2+(y-1+ 3)2+ x2+(y-2)2的最小值为 ( ) A.4 B.2+2 3 C.3+2 3 D.4+2 3 【答案】B 【解析】由题意得：F(x,y)的几何意义为点E到点A2 3,0  ,B 3-1,1- 3  ,C0,2  的距离之和的最小值， 因为AB  =  3+1  2+ 3-1  2=2 2，CB  =  3-1  2+- 3-1  2=2 2， AC  = 4+12=4， 所以AB  2+CB  2=AC  2，故三角形ABC为等腰直角三角形，， 1 取AC的中点D，连接BD，与AO交于点E，连接CE，故BD= AC=2，AE=CE， 2 CO 2 3 因为 = = ，所以∠CAO=30°，故∠AEC=120°，则∠BEC=∠AEB= AO 2 3 3 120°， 故点E到三角形三个顶点距离之和最小，即F(x,y)取得最小值， 1 AD 4 3 4 3 因为AD=CD= AC=2，所以AE= = ，同理得：CE= ，DE= 2 cos30° 3 3 2 3 ， 3 2 3 BE=BD-DE=2- ， 3 4 3 4 3 2 3 故F(x,y)的最小值为AE+CE+BE= + +2- =2+2 3. 3 3 3 故选：B 3360 (2024·全国·高三专题练习)点M是ΔABC内部或边界上的点，若M到ΔABC三个顶点 距离之和最小，则称点M是ΔABC的费马点(该问题是十七世纪法国数学家费马提出). 若A0,2  ，B-1,0  ，C1,0  时，点M 是ΔABC的费马点，且已知M 在y轴上，则 0 0 AM 0  +BM 0  +CM 0  的大小等于 . 第 页 共 页 2110 3427【答案】2+ 3 【解析】先证明：若P到ΔABC三个顶点距离之和最小，则∠APB=∠APC=∠BPC= 120° 如图将ΔABP绕点B逆时针旋转60°得到ΔBDE，则ΔBDE≌ΔABP， BD=BP,∠PBD=60°，所以ΔBDP是等边三角形，BP=DP， PA+PB+PC=ED+DP+PC，当E,D,P,C四点共线时取得最小值， 此时∠APB=∠EDB=120°， 同理可得∠BPC=∠APC=120° 所以命题得证. 点M 是ΔABC的费马点，且已知M 在y轴上， 0 0 ∠AM B=∠AM C=∠BM C=120°， 0 0 0 ∠AM O=∠OM C=60°， 0 0 所以BM 0  =CM 0  2 3 = 3 ,OM 0  3 =2- ， 3 所以AM 0  +BM 0  +CM 0  =2+ 3. 故答案为：2+ 3 3361 (2024·全国·高三专题练习)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事 休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： (x-a)2+(y-b)2可以 转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)= x2+4x+20 + x2+2x+10的最小值为 ． 【答案】5 2 【解析】∵fx  = x2+4x+20+ x2+2x+10= x+2  2+0-4  2+ x+1  2+0-3  2，∴fx  的几何意义为点M(x，0)到两定点A(-2，4)与B(-1，3)的 距离之和，设点A(-2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(-2,-4)，要求fx  的最小 值，可转化为MA  +MB  的最小值，利用对称思想可知MA  +MB  ≥A′B  = -1+2  2+3+4  2=5 2，即fx  = x2+4x+20+ x2+2x+10的最小值为5 2,故 答案为5 2. 2 题型二：切比雪夫距离 第 页 共 页 2111 34273362 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义dA,B  = max|x -x |,|y -y | 1 2 1 2  为两点A(x,y)，B(x ,y )的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任 1 1 2 2 意一点Q，称d(P，Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P，l)．给出下 列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有dC,A  +dC,B  ≥dA,B  ；②已知点P(3， 1)和直线l:2x-y-1=0，则dP,l  4 = ；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹 3 是正方形．其中正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【解析】其中①③的讨论见后文． ②设点Q是直线y=2x-1上一点，且Qx,2x-1  ，则dP,Q  =max|x-3|,|2-2x|  ． 5 由|x-3|≥|2-2x|，解得-1≤x≤ ，即有dP,Q 3  5 =|x-3|，当x= 时，取得最小值 3 4 5 ；由|x-3|<|2-2x|，解得x> 或x<-1，即有dP,Q 3 3  =|2x-2|，此时dP,Q  的 4 范围是 ,+∞ 3  4 ，无最值．故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ． 3 综上，①②③正确． 3363 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义d(P,P)= 1 2 max x 1 -x 2  ,y 1 -y 2    为两点P(x,y)、P(x ,y )的“切比雪夫距离”．若点P到点 1 1 1 2 2 2 (2014，2015)的切比雪夫距离为2，则点P的轨迹长度之和为 ． 【答案】16 【解析】由前文知点P的轨迹是边长为4的正方形，则轨迹长度之和为16． 3364 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,定义dA,B  = max x 1 -x 2  ，y 1 -y 2    为两点Ax 1 ,y 1  、Bx 2 ,y 2  的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任 意一点Q,称dP,Q  的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作dP,l  ，给出下列 四个命题: ①对任意三点A,B,C，都有dC,A  +dC,B  ≥dA,B  ； ②已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则dP，l  4 = ； 3 ③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】D 【解析】① 对任意三点A、B、C，若它们共线，设A(x ，y)、B(x ，y )，C(x ，y )，如图，结 1 1 2 2 3 3 合三角形的相似可得d(C,A)，d(C,B)，d(A,B)为AN，CM，AK，或CN，BM，BK，则 d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)； 若B，C或A，C对调，可得d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)； 若A，B，C不共线，且三角形中C为锐角或钝角，如图， 第 页 共 页 2112 3427由矩形CMNK或矩形BMNK，d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)； 则对任意的三点A，B，C，都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)，故①正确； ②设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q(x,2x-1)， 可得d(P,Q)=max{|x-3|，|2-2x|}， 5 由|x-3|≥|2-2x|，解得-1≤x≤ ，即有d(P,Q)=|x-3|， 3 5 4 当x= 时，取得最小值 ； 3 3 5 由|x-3|<|2-2x|，解得x> 或x<-1，即有d(P,Q)=|2x-2|， 3 4 d(P,Q)的范围是 ,+∞ 3  ，无最值； 4 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ；故②正确； 3 ③由题，到原点O的“切比雪夫距离”的距离为1的点Px,y  满足dO,P  = max x  ,y    x =1，即  ≥y  , x   x 或  =1,  <y  , y    ，显然点P的轨迹为正方形，故③正确； =1, 故选：D 3365 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{|x -x |,|y - 1 2 1 y |}为两点A(x,y)、B(x ,y )的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点Q，称d(P, 2 1 1 2 2 Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l). (1)求证：对任意三点A、B、C，都有d(A,C)+d(C,B)≥d(A,B)； (2)已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，求d(P,l)； (3)定点C(x ,y )，动点P(x,y)满足d(C,P)=r(r>0)，请求出点P所在的曲线所围成图 0 0 形的面积. 【解析】(1)证明：设A(x,y),B(x ,y ),C(x ,y )，则 1 1 2 2 3 3 d(A,C)+d(C,B)=max x 1 -x 3  ,y 1 -y 3    +max x 3 -x 2  ,y 3 -y 2    ≥x 1 -x 3  + x 3 -x 2  ≥x 1 -x 2  ，同理可得d(A,C)+d(C,B)≥y 1 -y 2  ， 所以d(A,C)+d(C,B)≥max x 1 -x 2  ,y 1 -y 2    =d(A,B)， (2)设Q(x,2x-1)为直线l:2x-y-1=0上一点，则d(P,Q)=max x-3  ,2-2x    ， 由x-3  ≥2-2x  5 ，解得-1≤x≤ ，即有d(P,Q)=x-3 3  5 ，当x= 时，取得最小值 3 4 ； 3 由x-3  <2-2x  5 ，解得x> 或x<-1，即有d(P,Q)=2x-2 3  ， 4 d(P,Q)的范围是(3,+∞)∪ ,+∞ 3  4 = ,+∞ 3  ，无最大值， 4 综上可得，P,Q两点的最小值为 ， 3 4 所以d(P,l)= ； 3 (3)设轨迹上动点为P(x,y)，则d(C,P)=max x-x 0  ,y-y 0    =r， 等价于 x-x 0  =r y-y 0  ≤x-x 0   或 x-x 0   ≤y-y 0  y-y 0   ，  =r 所以点P(x,y)的轨迹是以C(x ,y )为中心，边长为2r的正方形， 0 0 所以点P所在的曲线所围成图形的面积为4r2 3366 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=|x -x |+|y -y |为 1 2 1 2 第 页 共 页 2113 3427两点A(x,y)、B(x ,y )的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d(P,Q) 1 1 2 2 的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l)，给出下列三个命题： ①对任意三点A、B、C，都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)； 4 ②已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则d(P,l)= ； 3 ③定义O(0,0)，动点P(x,y)满足d(P,O)=1，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是4； 其中真命题的个数 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】由新定义表示出三点A,B,C两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性 质判断①， 由新定义计算出d(P,l)，判断②， 根据新定义求出P的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③．①设A (x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),C(x 3 ,y 3 )，则d(A,B)=x 1 -x 2  +y 1 -y 2  ， d(A,C)+d(B,C)=x 1 -x 3  +y 1 -y 3  +x 2 -x 3  +y 2 -y 3  ， 显然x 1 -x 3  +x 2 -x 3  ≥(x 1 -x 3 )-(x 2 -x 3 )  =x 1 -x 2  ，同理y 1 -y 3  +y 2 -y 3  ≥ y 1 -y 2  ， ∴d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)，①正确； ②设P(x,y)是直线l上任一点，则y=2x-1， d(P,l)=x-3  +y-1  =x-3  +2x-2  3x-5, x≥3  = x+1, 1≤x<3，易知d(P,l)在[1,+∞)   5-3x, x<1 上是增函数，在(-∞,1)上是减函数，∴x=1时，d(P,l) min =1-3  +2-2  =2，②错； ③由d(P,O)=1得x  +y  =1，易知此曲线关于x轴，y轴，原点都对称，它是以(1,0), 1 (0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形，其转成图形面积为S= ×2×2=2，③错． 2 故选：B． 3367 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义dA，B  = max x 1 -x 2  ，y 1 -y 2    为两点Ax 1 ，y 1  、Bx 2 ，y 2  的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任 意一点Q,称dP，Q  的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作dP，l  ,给出下 列三个命题： ①对任意三点A、B、C，都有dC，A  +dC，B  ≥dA，B  ； ②已知点P(2,1)和直线l:x-2y-2=0,则dP，l  8 = ； 3 ③定点F 1-c，0  、F 2c，0  ，动点Px，y  满足 dP，F 1  -dP，F 2    =2a2c>2a>0  ，则 点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点. 其中真命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】①对任意三点A、B、C， 若它们共线，设A(x ，y)、B(x ，y )、C(x ，y )，如图， 1 1 2 2 3 3 第 页 共 页 2114 3427结合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),d(A,B)分别为AN,CM,AK或CN,BM,BK， 则d(C,A)+d(C,B)=d(A,B)； 若B,C或A,C对调，可得d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)； 若它们不共线，且三角形中C为锐角或钝角，如图， 由矩形CMNK或矩形BMNK， d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)； 则对任意的三点A，B，C，都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)； 故①正确； x ②设点Q直线l:x-2y-2=0一点，且Qx, -1 2  ，可得dP,Q  = max x-2  x , -2 2     ， 由x-2  x ≤ -2 2  8 ，解得0≤x≤ ，即有dP,Q 3  x = -2 2  ， 8 2 当x= 时，取得最小值 ； 3 3 由x-2  x > -2 2  8 ，解得x<0或x> ，即有dP,Q 3  =x-2  ， d(P,Q)的范围是2,+∞  2 ∪ ,+∞ 3  2 = ,+∞ 3  ，无最值， 2 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ， 3 故②错误； ③定点F 1 (-c,0)、F 2 (c,0)，动点P(x,y)满足 dP，F 1  -dP，F 2    =2a2c>2a>0  ， 可得P不y轴上，P在线段FF 间成立， 1 2 可得x+c-(c-x)=2a，解得x=a， 由对称性可得x=-a也成立，即有两点P满足条件； 第 页 共 页 2115 3427若P在第一象限内，满足 dP，F 1  -dP，F 2    =2a即为x+c-y=2a，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点， 故③正确； ∴真命题的个数是2， 故选：C． 3368 (2024·全国·高三专题练习)在平面直线坐标系中,定义dA，B  = max x 1 -x 2  ，y 1 -y 2    为两点Ax 1 ，y 1  、Bx 2 ，y 2  的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任 意一点Q,称aP，Q  的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作dP，l  ，给出下列 四个命题: ( ) ①对任意三点A、B、C，都有dC，A  +dC，B  ≥dA，B  ； ②已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则dP，l  4 = ； 3 ③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形； ④定点F 1-c，0  、F 2c，0  ，动点Px，y  满足 dP，F 1  -dP，F 2    =2a2c>2a>0  ，则 点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】①对任意三点A、B、C，若它们共线，设A(x ，y)、B(x ，y )， 1 1 2 2 C(x ，y )，如右图，结合三角形的相似可得d(C,A)，d(C,B)，d(A,B) 3 3 为AN，CM，AK，或CN，BM，BK，则d(C，A)+d(C，B)=d(A，B)； 若B，C或A，C对调，可得d(C，A)+d(C，B)>d(A，B)； 若A，B，C不共线，且三角形中C为锐角或钝角，由矩形CMNK或矩形BMNK， d(C，A)+d(C，B)≥d(A，B)； 则对任意的三点A，B，C，都有d(C，A)+d(C，B)≥d(A，B)；故①正确； 设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q(x,2x-1)， 可得d(P,Q)=max{|x-3|，|2-2x|}， 5 由|x-3|≥|2-2x|，解得-1≤x≤ ，即有d(P,Q)=|x-3|， 3 第 页 共 页 2116 34275 4 当x= 时，取得最小值 ； 3 3 5 由|x-3|<|2-2x|，解得x> 或x<-1，即有d(P,Q)=|2x-2|， 3 4 d(P,Q)的范围是(3，+∞)∪ ，+∞ 3  4 = ，+∞ 3  ．无最值， 4 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为 ． 3 故②正确； ③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点设为x,y  ，则max x  ,y    =1， 若y  ≥x  ，则|y|=1；若|y|<|x|，则|x|=1，故所求轨迹是正方形，则③正确； ④定点F(-c,0)、F(c,0)，动点P(x,y) 1 2 满足|d(P，F)-d(P，F)|=2a(2c>2a>0)， 1 2 可得P不y轴上，P在线段FF 间成立， 1 2 可得x+c-(c-x)=2a，解得x=a， 由对称性可得x=-a也成立，即有两点P满足条件； 若P在第一象限内，满足|d(P，F)-d(P，F)|=2a， 1 2 即为x+c-y=2a，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点． 故④正确； 综上可得，真命题的个数为4个， 故选:A. 3 题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题 3369 (2024·福建泉州·统考模拟预测)人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一 种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距 离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，则曼哈顿距离dA,B  = x 1 -x 2  +y 1 -y 1  ，余弦距离eA,B  =1-cosA,B  ，其中cosA,B    =cosOA,OB  (O 为坐标原点)．已知M2,1  ，dM,N  =1，则eM,N  的最大值近似等于 ( ) (参考数据： 2≈1.41， 5≈2.24．) A.0.052 B.0.104 C.0.896 D.0.948 【答案】B 【解析】设Nx,y  ， 由题意可得：dM,N  =2-x  +1-y  =1，即x-2  +y-1  =1， 可知x-2  +y-1  =1表示正方形ABCD，其中A2,0  ,B3,1  ,C2,2  ,D1,1  ， 即点N在正方形ABCD的边上运动， 第 页 共 页 2117 3427 因为OM=2,1   ,ON=x,y  ，由图可知： 当cosM，N    =cosOM，ON    取到最小值，即OM，ON  最大，点N有如下两种可能：  ①点N为点A，则ON=2,0  ，可得cosM,N    =cosOM,ON  4 2 5 = = ； 5×2 5    ②点N在线段CD上运动时，此时ON与DC同向，不妨取ON=1,1  ， 则cosM,N    =cosOM,ON  3 3 10 = = ； 5× 2 10 3 10 2 5 因为 > ， 10 5 所以eM,N  2 5 的最大值为1- ≈0.104. 5 故选：B. 3370 (2024·安徽·校联考二模)在平面直角坐标系xOy中，定义Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  两点间的 折线距离d(A,B)=x 1 -x 2  +y 1 -y 2  ，该距离也称曼哈顿距离．已知点M(2,0),N(a,b)， 若d(M,N)=2，则a2+b2-4a的最小值与最大值之和为 ( ) A.0 B.-2 C.-4 D.-6 【答案】B 【解析】由题意得，|a-2|+|b|=2．令a-2=p,|p|+|b|=2， 作出(p,b)所表示的平面区域如图中实线所示， 则a2+b2-4a=(a-2)2+b2-4=p2+b2-4，而p2+b2表示点(p,b)到原点(0,0)的距 离的平方， 结合图形可知p2+b2的最小值为2，最大值为4，故a2+b2-4a的最小值与最大值之和 为(2-4)+(4-4)=-2， 故选：B． 3371 (2024·全国·高三专题练习)十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了 两点Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  的曼哈顿距离为DP,Q  =x 1 -x 2  +y 1 -y 2  .我们把到三角形 三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形△ABC的三个顶点坐标为 A2,4  ，B8,2  ，C12,10  ，则△ABC的“好点”的坐标为 ( ) 第 页 共 页 2118 3427A. 2,4  B. 6,8  C. 0,0  D. 5,1  【答案】B 【解析】对于A，设P2,4  ， 则DP,A  =2-2  +4-4  =0,DP,B  =2-8  +4-2  =8≠0， 所以点2,4  不是△ABC的“好点”； 对于B，设P6,8  ， 则DP,A  =6-2  +8-4  =8,DP,B  =6-8  +8-2  =8， DP,C  =6-12  +8-10  =8， 所以DP,A  =DP,B  =DP,C  ， 所以点6,8  是△ABC的“好点”； 对于C，设P0,0  ， 则DP,A  =0-2  +0-4  =6,DP,B  =0-8  +0-2  =10≠6， 所以点0,0  不是△ABC的“好点”； 对于D，设P5,1  ， 则DP,A  =5-2  +1-4  =6,DP,B  =5-8  +1-2  =4≠6， 所以点5,1  不是△ABC的“好点”. 故选：B. 3372 (2024·全国·高三专题练习)“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学 家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总 和，即在直角坐标平面内，若Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，则A，B两点的“曼哈顿距离”为x 2 -x 1  +y 2 -y 1  ，下列直角梯形中的虚线可以作为A，B两点的“曼哈顿距离”是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意：A，B两点的“曼哈顿距离”为x 2 -x 1  +y 2 -y 1  ，再结合四个选项可以 判断只有C选项符合题意. 故选：C． 3373 (2024·全国·高三专题练习)“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之间，定 义如下：在直角坐标平面上任意两点Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  的曼哈顿距离为：dA,B  = x 1 -x 2  +y 1 -y 2  .在此定义下，已知点O0,0  ，满足dO,M  =1的点M轨迹围成的图形 面积为 ( ) A.2 B.1 C.4 D. 2 第 页 共 页 2119 3427【答案】A 【解析】设M(x,y)， 因为dO,M  =1，所以x  +y  =1， 当xy≠0时，则 当x>0,y>0时，x+y=1，当x>0,y<0时，x-y=1， 当x<0,y>0时，-x+y=1，当x<0,y<0时，-x-y=1， 当x=0时，y=±1，当y=0，x=±1， 所以点M的轨迹如图所示，是一个边长为 2的正方形， 所以点M轨迹围成的图形面积为 2  2=2， 故选：A 4 题型四：圆的包络线问题 3374 (2024·全国·高三专题练习)设直线系M：xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，则下列 命题中是真命题的个数是 ( ) ①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数 n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角 形面积都相等. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】根据直线系M：xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)， -1 可得(0,2)到直线M的距离d=  =1， cos2θ+sin2θ 所以所有直线都为圆心为(0,2)，半径为1的圆的切线， 对于①：因为直线系为圆的任意切线，所以不存在一个直线与所有直线相交，故①错误； 对于②：因为直线系为圆的任意切线，所以该直线系不过定点，故②错误； 对于③：对于任意实数n(n≥3)，作圆x2+(y-2)2=1的外切正n边形，其所有边都为圆 的切线，即为直线系中的直线，故③正确； 对于④：如图所示： 第 页 共 页 2120 3427正△ABC和正△ADE面积不相等，故④错误； 故选：B 3375 (2024·全国·高三专题练习)设直线系M:xcosθ+y-2  sinθ=1(0≤θ≤2π)，则下列命 题中是真命题的个数是 ( ) ①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④M中所有直线均经过一个定点； ⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上； ⑥对于任意整数nn≥3  ，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； ⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】根据直线系M:xcosθ+y-2  sinθ=1(0≤θ≤2π)得到， 所有直线都为圆心为0,2  ，半径为1的圆的切线． 对于①，可取圆心为0,2  ，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确； 对于②，可取圆心为0,2  1 ，半径为 的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确； 2 对于③，可取圆心为0,2  ，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确； 对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误； 对于⑤，存在0,2  不在M中的任一条直线上，所以⑤错误； 对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在M中的直线上，所以⑥正确； 对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中 点时，也为正三角形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误； 故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个． 故选：B． 3376 (2024·全国·高三专题练习)设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，对于下列 四个结论： (1)当直线垂直于x轴时，θ=0或π； π (2)当θ= 时，直线倾斜角为120°； 6 第 页 共 页 2121 3427(3)M中所有直线均经过一个定点； (4)存在定点P不在M中任意一条直线上． 其中正确的是 ( ) A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 【答案】D 【解析】M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)， (1)当直线垂直于x轴时，则sinθ=0，解得θ=0或π或2π，故(1)错误； π (2)当θ= 时，直线方程为： 3x+y-4=0， 6 斜率k=- 3，即tanα=- 3，倾斜角α=120°，故(2)正确； (3)由直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π) x=cosθ 可令  ，消去θ可得x2+(y-2)2=1， y=2+sinθ 故直线系M表示圆x2+(y-2)2=1的切线的集合，故(3)不正确． (4)因为对任意θ，存在定点(0,2)不在直线系M中的任意一条上，故(4)正确； 故选：D． 3377 (多选题)(2024·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试)设有一组圆C ：x-k+1 k  2+y-3k  2 =2k4(k∈N*).下列四个命题中真命题的是 A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 【答案】BD 【解析】圆心为C (k-1,3k)，半径为r = 2k2， k k C 1 (0,3)，r 1 = 2，C 2 (1,6)，r 2 =4 2，C 1 C 2  = 12+32= 10<4 2- 2=3 2，圆C 1 与圆C 是内含关系，因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A错误； 2 易知圆心在直线y=3(x+1)上，此直线与所有圆都相交，B正确； 若k取无穷大，则所有直线都与圆相交，C错； 将(0,0)代入圆方程得(k-1)2+9k2=2k4，即10k2-2k+1=2k4，等式左边是奇数，右边 是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，D正确． 故选：BD． 3378 (多选题)(2024·全国·高二专题练习)已知圆M:(x-1-cosθ)2+(y-2-sinθ)2=1，直 线l:kx-y-k+2=0，下面五个命题，其中正确的是 ( ) A.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点 B.对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离 C.存在实数k与θ，直线l和圆M相离 D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切 【答案】AD 【解析】AB选项，由题意知圆M的圆心为M(1+cosθ,2+sinθ)，半径为r=1，直线l的 方程可以写作y=k(x-1)+2，过定点A(1,2)，因为点A在圆上，所以直线l与圆相切或 相交， 任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，A正确，B错误； 第 页 共 页 2122 3427C选项，由以上分析知不存在实数k与θ，直线l和圆M相离，C错误； D选项，当直线l与圆M相切时，点A恰好为直线l与圆M的切点，故直线AM与直线l π 垂直，①当k=0时，直线AM与x轴垂直，则1+cosθ=1，即cosθ=0，解得θ=kπ+ 2 (k∈Z)，存在θ，使得直线l与圆M相切； ②当k≠0时，若直线AM与直线l垂直，则cosθ≠0， 2+sinθ-2 sinθ 直线AM的斜率为K = = =tanθ， AM 1+cosθ-1 cosθ 1 所以k ⋅k=-1，即tanθ=- ， AM k 1 此时对任意的k≠0，均存在实数θ，使得tanθ=- ，则直线AM与直线l垂直， k 综上所述，对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切，D正确． 故选：AD． a=0.001 3379 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l:xcosα+ysinα-1=0(a∈R)与圆  b=0.0035 相切，则满足条件的直线l有( )条 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即2cosα+ 5sinα-1  =2， 3sinα+φ   -1  2 5 =2(其中sinφ= ,cosφ= )，故sinα+φ 3 3  =1，或 sinα+φ  1 =- ， 3 1 正弦值为1的只有在y轴正半轴，正弦值为- 可以在第三或者第四象限，故有3种可 3 能，所以选C. 5 题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题 3380 (2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习)公元前3世纪，古希腊数学家阿波 罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨 迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的 动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B (2,1)，且该平面内的点P满足PA  = 2PB  ，若点P的轨迹关于直线mx+ny-2= 0m,n>0  2 5 对称，则 + 的最小值是 ( ) m n A.10 B.20 C.30 D.40 【答案】B 【解析】设点P的坐标为x,y  ，因为PA  = 2PB  ，则PA  2=2PB  2， 即x+1  2+y2=2 x-2  2+y-1  2   ， 所以点P的轨迹方程为(x-5)2+(y-2)2=20， 因为P点的轨迹关于直线mx+ny-2=0m>0,n>0  对称， 所以圆心5,2  在此直线上，即5m+2n=2， 2 5 1 所以 + = 5m+2n m n 2  2 5  + m n  1 4n 25m = 20+ + 2 m n  1 4n 25m ≥10+ ×2 ⋅ 2 m n =20， 4n 25m 1 1 当且仅当 = ，即m= ,n= 时，等号成立， m n 5 2 第 页 共 页 2123 34272 5 所以 + 的最小值是20. m n 故选：B. 3381 (2024·高二单元测试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚 历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ >0，且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到A(-1,0)，B (1,0)的距离之比为 3，则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为 ( ) A.2 5- 3 B. 5- 3 C.2 5 D. 3 【答案】A 【解析】设Cx,y  x+1 ，则  2+y2 x-1  = 3，化简得x-2 2+y2  2+y2=3， 即点C的轨迹方程为以2,0  为圆心， 3为半径的圆， 则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为圆心2,0  到直线x-2y+8=0的距离 减去半径， 2-0+8 即  - 3=2 5- 3，点C到直线x-2y+8=0的距离最小值为2 5- 3. 1+4 故选：A PB 3382 (2024·福建泉州·高二统考期末)已知平面内两个定点A，B及动点P，若  PA  =λ(λ> 0且λ≠1)，则点P的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知O0,0  ， 2 Q0, 2  ，直线l:kx-y+2k+3=0，直线l :x+ky+3k+2=0，若P为l ，l 的交点， 1 2 1 2 则3PO  +2PQ  的最小值为 ( ) A.3 3 B.6-3 2 C.9-3 2 D.3+ 6 【答案】A 【解析】由已知l 1 :kx-y+2k+3=0过定点C-2,3  ， l 2 :x+ky+3k+2=0过定点D-2,-3  ， 1 因为k =k，k =- ，所以k ⋅k =-1，即l ⊥l ， l1 l2 k l1 l2 1 2 所以点P的轨迹是以CD为直径的圆，除去D点，故圆心为-2,0  ，半径为3， 则P的轨迹方程为x+2  2+y2=9y≠-3  ，即x2+y2+4x=5y≠-3  ，易知O、Q在该 圆内， 3 又 PO 2  9 = x2+y2 4  9 = x2+y2 4  5 45 - ×9+ = 4 4 9 x2+y2 4  5 - x+2 4   2+y2  45 + ， 4 3 即 PO 2  25 5 = x2-5x+y2+ = x- 4 2  2 +y2 y≠-3  ， 5 取A ,0 2  3 ，则 PO 2  =PA  ，又AQ  5 =  -0 2  2 2 +0- 2  2 3 3 = ， 2 所以3PO  +2PQ  3 =2 PO 2  +PQ    =2 PA  +PQ    ≥2AQ  =3 3， 所以3PO  +2PQ  的最小值为3 3. 故选：A. 第 页 共 页 2124 34273383 (2024·全国·高二专题练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被 称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在 他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动 9 点M与两定点A ,0 5  ，B5,0  3 的距离之比为 时的阿波罗尼斯圆为x2+y2=9．下 5 面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O:x2+y2=4上的动点M和定点A-1,0  ， B1,1  ，则2MA  +MB  的最小值为 ( ) A.2+ 10 B. 21 C. 26 D. 29 【答案】C 【解析】如图，点M在圆O:x2+y2=4上，取点N(-4,0)，连接MO,MN，有|ON|=2|OM| =4， |OM| |ON| 当点O,M,N不共线时， = =2，又∠AOM=∠MON，因此△AOM∽ |OA| |OM| △MON， |MN| |OM| |MN| 则有 = =2，当点O,M,N共线时，有 =2，则|MN|=2|MA|， |MA| |OA| |MA| 因此2MA  +MB  =|MN|+|MB|≥|BN|= (-4-1)2+12= 26，当且仅当点M是线 段BN与圆O的交点时取等号， 所以2MA  +MB  的最小值为 26. 故选：C 3384 (2024·高二单元测试)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著 作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距 离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知 O(0,0)，A(3,0)，圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|PO|， 则r的取值可以为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】设动点Px,y  ，由PA  =2PO  ，得x-3  2+y2=4x2+4y2，整理得x+1  2+y2 =4， 又点P是圆C：x-2  2+y2=r2 r>0  上有且仅有的一点，所以两圆相切. 圆x+1  2+y2=4的圆心坐标为-1, 0  ，半径为2， 圆C：x-2  2+y2=r2 r>0  的圆心坐标为2,0  ，半径为r，两圆的圆心距为3， 第 页 共 页 2125 3427当两圆外切时，r+2=3，得r=1， 当两圆内切时，r-2  =3，r>0，得r=5． 故选：A. 3385 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知平面α⊥β，α∩β=l，A、B是直线l上的两点， C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，AD=3，AB=6，CB=6．P是平面α上 的一动点，且直线PD，PC与平面α所成角相等，则二面角P-BC-D的余弦值的最小 值是 ( ) 5 3 1 A. B. C. D.1 5 2 2 【答案】B 【解析】由题意易得PD与平面α所成角为∠DPA，PC与平面α所成角为∠CPB， ∵∠DPA=∠CPB， ∴tan∠DPA=tan∠CPB， AD BC ∴ = ， PA PB ∴PB=2PA， ∴P点轨迹为阿氏圆． 在平面α内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则A-3,0  ,B3,0  ，设Px,y  ,y>0， 所以 x-3  2+y2=2 x+3  2+y2， 整理得：x+5  2+y2=16， 所以点P在α内的轨迹为以M-5,0  为圆心，以4为半径的上半圆， 因为平面α⊥β，α∩β=l，CB⊥l，CB⊂β， 第 页 共 页 2126 3427所以CB⊥α， 因为PB⊂α， 所以CB⊥PB， 因为平面PBC∩平面β=BC，CB⊥l， 所以二面角P-BC-D的平面角为∠PBA， 由图可知，当PB与圆相切时，∠PBA最大，余弦值最小， MP 4 1 1 3 此时sin∠PBA= = = ，故cos∠PBA= 1- = . MB 8 2 4 2 故选：B． 3386 (2024·全国·高三专题练习)已知三棱锥A-BCD中，底面BCD为等边三角形，AB= AC=AD=3，BC=2 3，点E为CD的中点，点F为BE的中点.若点M、N是空间中   MB NB 的两动点，且 = =2，MN=2，则AM⋅AN= ( ) MF NF A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】建立直角坐标系如图所示， AB=AC=AD=3，底面BCD为等边三角形，且BC=2 3.所以OD=2,AO= 5.B( 3 1 - 3，-1，0)，D(0,2,0),C( 3，-1，0),点E为CD的中点，所以E ， ，0 2 2  点F为 3 1 BE的中点，F- ，- ，0 4 4  MB NB ，设M(x,y,z), = =2，所以x2+y2+z2=1 ，所 MF NF 以点M在以(0,0,0)为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且MN=2，所以     MN为球的直径，AM⋅AN=AO+OM    •AO+ON    =AO+OM    •AO-OM  =   AO2-OM2=5-1=4. 故选B. 3387 (2024·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题： 平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏 圆，已知P、Q分别是圆C:(x-4)2+y2=8，圆D:x2+(y-4)2=1上的动点，O是坐标原 2 点，则|PQ|+ |PO|的最小值是 ． 2 【答案】2 5-1 【解析】如图所示： 第 页 共 页 2127 34272 取点M(2,0)，设z=|PQ|+ |PO|， 2 2 则z =|PD|-1+ |PO|， min 2 MC PC 2 在△PMC和△OPC中， = = ， PC OC 2 2 所以△PMC和△OPC相似，且相似比为 ， 2 所以OP= 2PM，则z =|PD|+|PM|-1， min 而|PD|+|PM|≥DM  = 42+22=2 5， 即|PD|+|PM|的最小值为2 5， 所以z =2 5-1. min 故答案为：2 5-1. 3388 (2024·全国·高三专题练习)点P为圆A：x-4  2+y2=4上一动点，Q为圆B：x-6  2 +y-4  2=1上一动点，O为坐标原点，则PO  +PQ  +PB  的最小值为 . 【答案】9 【解析】P为圆A：(x-4)2+y2=4上一动点，Q为圆B：(x-6)2+(y-4)2=1上一动 点， O为坐标原点， 第 页 共 页 2128 3427AC AP 1 取C(3,0)，则 = = ， AP AO 2 ∴△ACP∼△APO ∴PO  =2PC  ∴PO  +PQ  +PB  =PO  +2PB  -1 =2PC  +2PB  -1≥2BC  -1=9 故答案为：9 3389 (2024·全国·高三专题练习)如图，在正方体ABCD-ABCD 中，AB=3 3，点E,F 1 1 1 1 在线段DB 上，且DE=EF=FB ，点M是正方体表面上的一动点，点P,Q是空间两动 1 1 PE 点，若  PF  QE =  QF  =2且PQ    =4，则MP·MQ的最小值为 . 8 【答案】- 3 【解析】如图,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz 1 1 1 则D(0,0,0),E a, a, a 3 3 3  2 2 2 ,F a, a, a 3 3 3  ,B 1a,a,a  ，设P(x,y,z) 1 由题设x- a 3  2 1 +y- a 3  2 1 +z- a 3  2 2 =4 x- a 3  2 2 +y- a 3  2 2 +z- a 3   2    14 14 14 15 即x2+y2+z2- xa- ya- za+ a2=0 9 9 9 9 7 也即x- a 9  2 7 +y- a 9  2 7 +z- a 9  2 = 4 a2 27 7 3 7 3 7 3 由此可知点P,Q都是在球心为C , , 3 3 3  ,半径为2的球面上 第 页 共 页 2129 3427又PQ=4,故点P,Q是球的直径的两个端点       所以MP=MC+CP，MQ=MC+CQ           所以MP⋅MQ=(MC+CP)(MC+CQ)=MC2+CP⋅CQ=MC2-4 4 而M在正方体的表面上,故当点M在正方体的顶点B 上时,|MC| = 1 min 3   4 8 此时MP·MQ的值最小为 -4=- 3 3 8 故答案为 ：- . 3 6 题型六：圆中的垂直问题 3390 (2024·海南·统考模拟预测)已知直线l 1 :x-3y+1=0，直线l 2 过点1,0  且与直线l 相 1 互垂直，圆C:x2+y2-4x-2y-3=0，若直线l 2 与圆C交于M，N两点，则MN  = ． 8 10 【答案】 5 1 【解析】由直线l:x-3y+1=0，可得斜率k = ， 1 1 3 因为l 1 ⊥l 2 且直线l 2 过点1,0  ，所以直线l 的斜率为k =-3， 2 2 所以l 的方程为3x+y-3=0， 2 又由圆C:x2+y2-4x-2y-3=0，即C:(x-2)2+(y-1)2=8， 可得圆C的圆心坐标为C(2,1)，半径为r=2 2， 2×3+1-3 则圆心C到直线l 的距离为d= 2  4 = ， 32+12 10 所以弦长MN  4 =2 r2-d2=2 (2 2)2- 10  2 8 10 = . 5 8 10 故答案为： . 5 3391 (2024·江苏南通·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x+2y =0．若直线y=3x+b上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b的 取值范围是 ． 【答案】-17≤b≤3 【解析】记两个切点为A,B，则由于PA⊥PB，因此四边形CAPB是正方形，CP= 2r， 圆C标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5，C(2,-1)，r= 5，于是圆心C直线y=3x+b的 距离不大于 2r= 10， 3×2-(-1)+b  ≤ 10，解得-17≤b≤3. 10 第 页 共 页 2130 3427考点：直线和圆的位置关系. 3392 (2024·全国·模拟预测)已知AC，BD为圆O:x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为 M2,2  ，则AC  ⋅BD  的最大值为 ． 【答案】20 【解析】设圆心O0,0  到AC，BD的距离分别为m，n． 因为AC，BD相互垂直，所以m2+n2=OM  2=8， 由垂径定理得AC  =2 9-m2,BD  =2 9-n2， 则AC  ⋅BD  =4 9-m2  9-n2  =4 81-9m2+n2  +m2n2=4 9+m2n2， 由m2+n2=8≥2mn，得mn≤4，当且仅当m=n=2时等号成立， 故 AC  ⋅BD    =20． max 故答案为：20 3393 (2024·全国·高三专题练习)过定点M(1,2)作两条相互垂直的直线l 、l ，设原点到直线 1 2 l 、l 的距离分别为d 、d ，则d +d 的最大值是 ． 1 2 1 2 1 2 【答案】 10 【解析】如图所示： 作OP⊥l 交l 于点P，作OQ⊥l 交l 于点Q， 1 1 2 2 可得四边形OPMQ为矩形， ∴d2+d2=OM2=12+22=5， 1 2 故可设d = 5cosθ,d = 5sinθ， 1 2 ∴d +d = 5cosθ+ 5sinθ= 10sin(θ+φ)，其中tanφ=1， 1 2 ∴当sin(θ+φ)取最大值1时，d +d = 10sin(θ+φ)取最大值 10. 1 2 故答案为： 10 3394 (2024·全国·高三专题练习)过点P(0,3)作两条相互垂直的直线分别交圆x2+y2=16于 A、C和B、D两点，则四边形ABCD面积的最大值为 ． 【答案】23 【解析】∵圆O:x2+y2=16，∴圆心O坐标(0,0)，半径r=4， 设圆心O到AC、BD的距离分别为d 、d ， 1 2 ∵P(0,3)，则d2+d2=OP2=02+32=9, 1 2 ∴AC  =2 r2-d2 1 =2 16-d2 1 ,BD  =2 r2-d2=2 16-d2, 2 2 ∴四边形ABCD的面积为S=2AC  ⋅BD  第 页 共 页 2131 3427=2 16-d2⋅ 16-d2≤(16-d2)+(16-d2)=32-9=23, 1 2 1 2 9 当且仅当d2=d2= 时取等号， 1 2 2 ∴四边形ABCD面积的最大值为23． 故答案为：23． 3395 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，圆C:x-m  2+y2=r2 m>0  . 已知过原点O且相互垂直的两条直线l 和l ，其中l 与圆C相交于A，B两点，l 与圆C 1 2 1 2 相切于点D.若AB=OD，则直线l 的斜率为 . 1 2 5 【答案】± 5 【解析】设l ：kx-y=0，l ：x+ky=0，利用点到直线的距离，列出式子 1 2 m   =r  k2+1  m2k2 ，求出k的值即可.由圆C:x-m  2 r2- = m2-r2  k2+1  2+y2=r2 m>0  ，可知圆心 Cm,0  ，半径为r. 设直线l ：kx-y=0，则l ：x+ky=0， 1 2 圆心Cm,0  m2k2 到直线l 的距离为 ， 1 k2+1 OD= m2-r2，∵AB=OD ∴AB= m2-r2. 圆心Cm,0  m 到直线l 的距离为半径，即 =r， 2 k2+1 m   =r  k2+1 并根据垂径定理的应用，可列式得到 ，  m2k2  2 r2- = m2-r2  k2+1 2 5 解得k=± . 5 2 5 故答案为：± . 5 7 题型七：圆的存在性问题 3396 (2024·河南·河南省实验中学校考模拟预测)已知圆C:x-6  2+y-8  2=1和两点 A0,-m  ，B0,m  m>0  .若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为 ． 【答案】11 【解析】由题意可得：圆C:x-6  2+y-8  2=1的圆心C6,8  ，半径r =1， 1 ∵∠APB=90°，则点P在以AB为直径的圆上(不能是A,B两点)， 以AB为直径的圆的圆心为O0,0  ，半径r 2 =mm>0  ， 注意到圆心C6,8  到y轴的距离为6>r ，即y轴与圆C相离， 1 由题意可得：圆C与圆O有公共点(由于y轴与圆C相离，公共点不可能为A,B)，且 OC  = 62+82=10, 则r 1 -r 2  ≤OC  ≤r 1 +r 2 ，即1-m  ≤10≤1+m,m>0，解得9≤m≤11， 故m的最大值为11. 第 页 共 页 2132 3427故答案为：11. 3397 (2024·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知动圆 M的方程为x+a+1  2+y-2a+1  2=1a∈R  ，则圆心M的轨迹方程为 ．若对 于圆M上的任意点P，在圆O：x2+y2=4上均存在点Q，使得∠OPQ=30°，则满足条件 的圆心M的轨迹长度为 ． 12 5 【答案】 2x+y+3=0 5 【解析】设圆心M的坐标为x,y  ，故x=-a-1①，y=2a-1②，①×2+②得： 2x+y+3=0，故圆心M的轨迹方程为2x+y+3=0； 如图所示，取圆M上一点P，要使∠OPQ最大，则过点P作圆O的切线， 连接OM并延长交圆M于点P，则点P离圆O的距离最大， 故要使得对于圆M上的任意点P，在圆O：x2+y2=4上均存在点Q，使得∠OPQ=30°， 则只需要过点P作圆的切线，切点为Q，若此时∠OPQ≥30°即可， 当∠OPQ≥30°时，OP  ≤2OQ  =4，此时OM  ≤3， 圆心O0,0  3 到直线2x+y+3=0的距离为d=  3 5 = ， 4+1 5 9 12 5 由勾股定理得：圆心M的轨迹长度为2 32-d2=2× 9- = . 5 5 12 5 故答案为：2x+y+3=0， 5 3398 (2024·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习)设点P的坐标为(1,a)，若在 圆O:x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 - 3 , 3  3 3  【解析】当a=0时，点P,Q都在圆上，易知在圆O:x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ =60°. 当a≠0时，要使圆O:x2+y2=1上存在点Q使得∠OPQ=60°，则∠OPQ的最大值大 于或等于60°时一定存在，而当PQ与圆相切时，∠OPQ取得最大值，此时OQ  =1, QP  =a  OQ ，则  PQ  ≥tan60°，即a  ≤ 3 ，所以实数a的取值范围为 - 3 , 3 3  3 3  ． 第 页 共 页 2133 3427故答案为： - 3 , 3  3 3  3399 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,0  、B4,0  ，若直线 x-y+m=0上存在点P使得PB  =2PA  ，则实数m的取值范围为 . 【答案】-2 2,2 2  【解析】设Px,y  ，因为PB  =2PA  ， 所以 x-4  2+y2=2 x-1  2+y2，整理得：x2+y2=4， 直线x-y+m=0上存在点P使得PB  =2PA  等价于直线x-y+m=0与圆x2+y2 =4有交点， m 所以  ≤2，解得：-2 2≤m≤2 2. 2 故答案为：-2 2,2 2  . 3400 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c．若a=b= 3，在△ABC所在的平面内存在点M，使得MA2+MB2=3MC2=3，则△ABC的面积的 最大值为 ． 5 23 【答案】 16 【解析】以AB所在直线为x轴，AB边的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角 坐标系，设A(-m,0)，B(m,0)，C(0,n)，M(x,y)，m>0，n>0. 3 由MA2+MB2=3，得(x+m)2+y2+(x-m)2+y2=3，即x2+y2= -m2①，又MC2 2 =1， 3 故x2+(y-n)2=1②，其中①式可以看作以(0，0)为圆心，半径为 -m2的圆的轨迹 2 方程，②式可以看作以(0,n)为圆心，半径为1的圆的轨迹方程， 3 由题意知两圆有公共点，即点M，则 -m2-1 2  3 ≤n≤ -m2+1③， 2 23 又a=b= 3，得m2+n2=3④，由③，④得0