第55讲立体几何中的压轴小题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第55讲 立体几何中的压轴小题 必考题型全归纳 1 题型一：球与截面面积问题 2825 (2024·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O     的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为6 2的正三角形，PA=3PE，BA=3BF， ∠CEF=90°，过点E作球O的截面，截面面积最小值为 ( ) A.8π B.16π C.27π D.40π 2826 (2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)四面体ABCD的四个顶点 都在球O的球面上，AB=BC=CD=DA=4，AC=BD=2 2，点E，F，G分别为棱 BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面 16 3 的面积为2；②四面体ABCD的体积为 ；③过E作球O的截面，则截面面积的最大 3 值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2827 (2024·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测)已知球O是正三棱锥A-BCD (底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，BC= 3，AB= 2，点E 是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是 ( ) π π π π A. B. C. D. 2 3 4 6 2828 (2024·宁夏银川·校联考二模)2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一届世 界杯是1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又名蹴 球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因 而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴 鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知半径 为3的某鞠(球)的表面上有四个点A，B，C，P，AC⊥BC，AC=BC=4，PC=6，则该 鞠(球)被平面PAB所截的截面圆面积为 ( ) 23 25 A.7π B. π C.8π D. π 3 3 2829 (2024·全国·高三专题练习)在正方体ABCD-ABCD 中，AB=2,M,N分别为AD, 1 1 1 1 BC的中点，该正方体的外接球为球O，则平面AMN截球O得到的截面圆的面积为 1 ( ) 6π 7π 12π 14π A. B. C. D. 5 5 5 5 2830 (2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测)已知球O内切于正方体ABCD-ABCD ， 1 1 1 1 P，Q，M，N分别是BC,CD,CD,BC的中点，则该正方体及其内切球被平面MNPQ所 1 1 1 1 截得的截面面积之比为 ( ) A.4 2:π B.2 2:π C.3 2:π D.4:π 2831 (2024·河南洛阳·高三校联考阶段练习)已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点 第 页 共 页 539 1043  1 均在球心为O的球面上，点E在AB上，AE= AB，过点E作球O的截面，则截面面积 3 的最小值为 ( ) A.8π B.10π C.16π D.24π 2 题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 2832 (2024·福建三明·高一校考阶段练习)如图，在正方体ABCD-ABCD 中，AB=2， 1 1 1 1 M，N分别为AD ，BC 的中点，E，F分别为棱AB，CD上的动点，则三棱锥M-NEF 1 1 1 1 的体积 ( ) 8 2 A.存在最大值，最大值为 B.存在最小值，最小值为 3 3 4 C.为定值 D.不确定，与E，F的位置有关 3 2833 (2024·四川成都·校考模拟预测)如图，在四棱柱ABCD-ABCD 中，底面ABCD为 1 1 1 1 正方形，AA ⊥底面ABCD，AA =2AB，M、N分别是棱BB 、DD 上的动点，且DN= 1 1 1 1 BM，则下列结论中正确的是 ( ) 1 A.直线AC与直线MN可能异面 1 B.三棱锥A -CMN的体积保持不变 1 1 C.直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置有关 π D.直线AD与直线MN所成角的最大值为 3 2834 (多选题)(2024·福建三明·统考三模)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为2，点E 1 1 1 1 是AA 的中点，点F是侧面ABBA 内一动点，则下列结论正确的为 ( ) 1 1 1 第 页 共 页 540 1043A.当F在AB上时，三棱锥F-CDE的体积为定值 1 1 2 B.CE与BF所成角正弦的最小值为 3 C.过D 作垂直于CE的平面α截正方体ABCD-ABCD 所得截面图形的周长为 1 1 1 1 1 6 2 2 5 D.当DF⊥CE时，△BCF面积的最小值为 1 5 2835 (多选题)(2024·广东梅州·统考三模)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为2，O 为 1 1 1 1 1 四边形ABCD 的中心，P为线段AO 上的一个动点，Q为线段CD 上一点，若三棱锥 1 1 1 1 1 1 Q-PBD的体积为定值，则 ( ) A.DQ=2QC B.DQ=QC C.OQ= 2 D.OQ= 3 1 1 1 1 2836 (多选题)(2024·山西大同·高三统考阶段练习)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长 1 1 1 1 为2，线段BD 上有两个动点E,F，且EF= 2，以下结论正确的有 ( ) 1 1   A.EF⋅AB=2 B.AC⊥AE 1 C.正方体ABCD-ABCD 的体积是三棱锥A-BEF的体积的12倍 1 1 1 1 D.异面直线AE,BF所成的角为定值 2837 (多选题)(2024·广东深圳·高三红岭中学校考期末)已知正三棱柱ABC-ABC 的底 1 1 1    面边长为1，AA =1，点P满足BP=λBC+μBB ，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列选项正 1 1 确的是 ( ) 第 页 共 页 541 1043A.当λ=1时，△ABP的周长为定值 1 B.当μ=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值 1 1 C.当λ= 时，有且仅有两个点P，使得AP⊥BP 2 1 1 D.当μ= 时，有且仅有一个点P，使得AB⊥平面ABP 2 1 1 2838 (多选题)(2024·福建厦门·统考模拟预测)如图，在棱长为1的正方体ABCD-    ABCD 中，点P满足BP=λBC+μBB ，其中λ∈ 0,1 ,μ∈ 1 1 1 1 1   0,1  ，则 ( ) A. AP  ≤ 3 1 B.当λ= 时，有且仅有一个点P，使得AP⊥平面ABD 2 1 1 C.当μ= 时，有且仅有一个点P，使得AP∥AB 2 1 1 D.当λ+μ= 时，三棱锥P-ABD的体积为定值 2 1 2839 (多选题)(2024·湖南·校联考模拟预测)如图，ABCD-ABCD为正方体.任作平面α 与对角线AC垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面 积为S，周长为l.则 ( ) A.S为定值 B.S不为定值 C.l为定值 D.l不为定值 2840 (多选题)(2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知三棱锥P-ABC，PA =B C=2,PB=AC=PC=AB=3，D为棱PC上一点，且PD=λDC，过点D作平 行于直线PA和BC的平面α，分别交棱PB,AB,AC于E,F,G．下列说法正确的是 ( ) 第 页 共 页 542 1043A.四边形DEFG为矩形 B.四边形DEFG的周长为定值 C.四边形的DEFG面积为定值 D.当λ=1时，平面α分三棱锥P-ABC所得的两部分体积相等  2841 (多选题)(2024·重庆·统考模拟预测)在正方体ABCD-ABCD 中，点P满足BP= 1 1 1 1   λBC+μBB 1 ，其中λ∈0,1  ，μ∈0,1  ，则下列说法正确的是 ( ) A.当λ=μ时，AP∥平面ACD 1 1 B.当μ=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值 1 C.当λ=1时，△PBD的面积为定值 π π D.当λ+μ=1时，直线AD与DP所成角的取值范围为  , 1 1  3 2  3 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 2842 (2024·福建福州·福州四中校考模拟预测)在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ABCD,ABEF的边长均为2，活动弹子N在线段AB上移动(包含端点)，弹子M,O分别 固定在线段EF,AC的中点处，且MO⊥平面ABCD，则当∠MNO取最大值时，多面体 M-BCON的体积为 ( ) 3 3 3 3 2 3 A. B. C. D. 2 2 3 3 2843 (2024·山东青岛·高三统考期中)已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为 36π，则该正四棱锥的体积最大值为 ( ) 64 81 A.18 B. C. D.27 3 4 2844 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知正方体ABCD-ABCD 的棱 1 1 1 1 2 6 长为2 2,P是正方形BBCC(含边界)内的动点，点P到平面ABD的距离等于 ， 1 1 1 3 第 页 共 页 543 1043则D,P两点间距离的最大值为 ( ) A.2 3 B.3 C.3 2 D.2 6 2845 (2024·河南·校联考模拟预测)点P是圆柱上底面圆周上一动点，△ABC是圆柱下底面 圆的内接三角形，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，C= 2 60°，三棱锥P-ABC的体积最大值为 3，则该三棱锥外接球的表面积为 ( ) 3 19 28 53 43 A. π B. π C. π D. π 3 3 9 3 2846 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)如图，AB是半球的直径，O为球心，AB=2,P为此半 球大圆弧上的任意一点(异于A,B),P在水平大圆面AOB内的射影为Q，过Q作QR⊥ π AB于R，连接PR,OP，若二面角P-AB-Q的大小为 ，则三棱锥P-OQR的体积 3 的最大值为 ( ) 1 1 3 3 A. B. C. D. 36 24 42 48 2847 (2024·宁夏石嘴山·统考一模)圆锥OO 的底面半径为1，母线长为2，△OAB是圆锥 1 OO 的轴截面，F是OA的中点，E为底面圆周上的一个动点(异于A、B两点)，则下列 1 说法正确的是 ( ) A.存在点E，使得EF⊥EB B.存在点E，使得EF⎳OB 3 3 C.三棱锥F-ABE体积最大值为 D.三棱锥F-AOE体积最大值为 6 1 6 2848 (2024·全国·高三专题练习)已知圆锥SO(O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点)的母线 长为 5，高为1，P、Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ面积的最大值为2； 2 ②三棱锥O-SPQ体积的最大值为 ； 3 ③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为9π． 以上所有正确结论的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2849 (2024·河北·统考模拟预测)在正四面体P-ABC中，O为PB的中点，点D在以O为球 心的球上运动，PB=2OD，且恒有PD=BD，已知三棱锥D-ABC的体积的最大值为 18 2+36，则正四面体P-ABC外接球的体积为 ( ) A.108 3π B.124 2π C.132 2π D.144 3π 2850 (2024·湖北恩施·校考模拟预测)如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且 BC=2AB=2，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结 论不正确的是 ( ) 第 页 共 页 544 1043A.存在点P，使得PE∥CF B.存在点P，使得PE⊥ED 2 C.三棱锥P-AED的体积最大值为 6 D.当三棱锥P-AED的体积达到最大值时，三棱锥P-AED外接球表面积为4π 2851 (2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)如图，圆台OO 的上、下底面圆 1 2 半径分别为1、2，高OO =2 2，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中 1 2 错误的是 ( ) 14 2π A.该圆台的体积为 3 π B.直线SA与直线OO 所成角最大值为 1 2 3 C.该圆台有内切球，且半径为 2 2 D.直线AO 与平面SOO 所成角正切值的最大值为 1 1 2 2 2852 (2024·山东·山东省实验中学校考二模)正四棱柱ABCD-ABCD 中，AB=2，P为 1 1 1 1 底面A 1 B 1 C 1 D 1 的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高h∈ 2,2 2  ，点M到平面 PCD的距离的最大值为 ( ) 2 6 8 4 2 32 A. B. C. D. 3 3 3 9 20 5 2853 (2024·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测)已知A，B，C，D是体积为 π的球体表 3 面上四点，若AB=4，AC=2，BC=2 3，且三棱锥A-BCD的体积为2 3，则线段 CD长度的最大值为 ( ) A.2 3 B.3 2 C. 13 D.2 5 2854 (2024·全国·高三专题练习)如图，正方形EFGH的中心为正方形ABCD的中心，AB= 2 2，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥P-EFGH(A，B，C，D四点重合 于点P)，则此四棱锥的体积的最大值为 ( ) 第 页 共 页 545 1043128 6 128 5 4 15 A. B. C. D. 375 375 3 3 2855 (2024·安徽黄山·统考二模)如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全 等的等腰三角形△PEE ，△PFF,△PGG,△PHH ，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四 1 1 1 1 棱锥P-EFGH，使E与E 重合，F与F 重合，G与G 重合，H与H 重合，点A,B,C,D 1 1 1 1 重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH体积的最大值为 ( ) 32 10 64 10 128 10 256 10 A. B. C. D. 3 3 3 3 2856 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方 形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△ADH分 别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD， DA为折痕折起，使得E，F，G，H重合于一点，记为O，得到四棱锥O-ABCD．当底 面ABCD的边长变化时，四棱锥O-ABCD的体积的最大值为 ( ) 8 5 16 5 A.3 3 B. C.3 5 D. 3 3 第 页 共 页 546 10434 题型四：立体几何中的交线问题 2857 (2024·全国·高三校联考阶段练习)已知正方体ABCD-ABCD 是半径为 3的球O 1 1 1 1 的内接正方体(八个顶点全部在球面上)，则正方体六个面所在的平面与球面的交线总长 度是 ( ) A.6π B.6 2π C.12π D.12 2π 2858 (2024·上海·高三专题练习)直三棱柱ABC-ABC 中，AA =1，AB=4，BC=3， 1 1 1 1 ∠ABC=90°，设平面ABC 与平面ABC的交线为l，则AC 与l的距离为( )． 1 1 1 1 A.1 B. 10 C.17 D.2.6 2859 (2024·浙江·校联考三模)正四面体ABCD，E为棱AD的中点，过点A作平面BCE的 平行平面，该平面与平面ABC、平面ACD的交线分别为l,l ，则l,l 所成角的正弦值为 1 2 1 2 ( ) 6 3 1 2 A. B. C. D. 3 3 3 2 2860 (2024·全国·高三专题练习)如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中，M,P,Q 1 1 1 1 分别是棱AD ，AB,BC的中点若经过点M,P,Q的平面与平面CDDC 的交线为l，则l 1 1 1 1 与直线QB 所成角的余弦值为 ( ) 1 3 10 5 3 A. B. C. D. 3 5 4 2 2861 (2024·全国·高三专题练习)在棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中，P，Q，R分别 1 1 1 1 是AB，AD，BC 的中点，设过P，Q，R的截面与面ADDA ，以及面ABBA 的交线分 1 1 1 1 1 1 别为l，m，则l，m所成的角为 ( ) A.90° B.30° C.45° D.60° 2862 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)在正方体ABCD-ABCD 中，E为 1 1 1 1 BC 中点，过A,D,E的截面α与平面AABB的交线为l，则异面直线l与BC所成角的 1 1 1 1 1 1 余弦值为 ( ) 10 5 10 15 A. B. C. D. 10 5 5 5 2863 (2024·全国·高三专题练习)如图，在圆台OO 中，OO = 3，点C是底面圆周上异于 1 1 A、B的一点，AC=2，点D是BC的中点，l为平面OAC与平面OOD的交线，则交线l 1 1 与平面OBC所成角的大小为 ( ) 1 第 页 共 页 547 1043π π π π A. B. C. D. 2 3 6 4 2864 (2024·河南·高三校联考阶段练习)在正三棱锥P-ABC中，PA=6 3，BC=6，M， N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线 QD与直线l所成角的正弦值为 ( ) 2 5 11 3 A. B. C. D. 2 6 6 2 2865 (2024·四川成都·高三校联考期末)在正方体ABCD-ABCD 中，E为线段AD的中 1 1 1 1 点，设平面ABC 与平面CCE的交线为m，则直线m与AC所成角的余弦值为 ( ) 1 1 1 1 3 10 2 5 A. B. C. D. 2 2 5 5 2866 (2024·全国·高三专题练习)如图，在直四棱柱ABCD-ABCD 中，BC⊥CD， 1 1 1 1 AB⎳CD，BC= 3，AA =AB=AD=2，点P、Q分别为棱BB 、CC 的中点，则平面 1 1 1 APQ与直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为 ( ) 15+ 6 3 15 3 15 3 5+2 3+ 17 A. B. C. D. 2 4 2 2 5 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 2867 (2024·全国·高三专题练习)已知正三棱锥S-ABC的底面边长为 2，外接球表面积为 3π，SA< 2，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面 SCM上的动点，则AP+PQ的最小值为 ( ) 2 6- 2 6+ 2 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 2 2868 (2024·全国·高三专题练习)已知，如图正三棱锥P-ABC中，侧棱长为 2，底面边长为 2，D为AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM+ MN最小值是 ( ) 第 页 共 页 548 10432+ 6 1+ 3 6 3 A. B. C. D. 4 2 4 2 2869 (2024·全国·高三专题练习)如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P是线 段AD上的动点，E是AC上的动点，F是BD上的动点，则PE+PF长度的最小值为 ( ) 6 3 A.1 B. 2 C. D.1+ 2 3 2870 (2024·辽宁·高一辽宁实验中学校联考期末)如图所示，在直三棱柱ABC-ABC 中， 1 1 1 1 棱柱的侧面均为矩形，AA =1，AB=BC= 3，cos∠ABC= ，P是线段AB上的一 1 3 1 动点，则AP+PC 最小值为 ( ) 1 A. 6 B. 7 C.1+ 3 D.2+ 5 2871 (2024·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测)在三棱锥P-ABC中，AB⊥ BC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1.有下列结论： ①三棱锥P-ABC的三条侧棱长均相等； π π ②∠PAB的取值范围是 , 4 2  ； 2π ③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为 ； 3 6+ 2 ④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为 . 2 其中所有正确结论的编号是 ( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.①③④ 第 页 共 页 549 10432872 (2024·全国·高一专题练习)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为 正方形，PA=AB=1．点E,F,G分别为平面PAB，平面PAD和平面ABCD内的动点， 点Q为棱PC上的动点，则QE2+QF2+QG2的最小值为 ( ) 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4 π 2873 (2024·全国·高三专题练习)在直三棱柱ABC-ABC 中，∠BAC= ,AB=AC= 1 1 1 2 2,CC =2，且E,M分别为CC 和BC的中点，P为线段AM(包括端点)上一动点，F为 1 1 1 侧面AA 1 B 1 B上一动点，则PE  +PF  的最小值为 ( ) 6 2+3 3 3 2+6 3 6 2+3 3 3 2+6 3 A. B. C. D. 10 10 5 5 6 题型六：空间角问题 2874 (2024·全国·高三专题练习)如图，斜三棱柱ABC-ABC 中，底面△ABC是正三角 1 1 1 形，E,F,G分别是侧棱AA,BB,CC 上的点，且AE>CG>BF，设直线CA,CB与平面 1 1 1 EFG所成的角分别为α,β，平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为θ，则 ( ) A.sinθcosα+cosβ D.sinθ≥sinα+sinβ,cosθ≥cosα+cosβ 2875 (2024·浙江·高考真题)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱 VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角 为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则 A. β<γ,α<γ B. β<α,β<γ C. β<α,γ<α D.α<β,γ<β 2876 (2024·浙江·统考高考真题)如图，已知正三棱柱ABC-ABC,AC=AA ，E，F分别 1 1 1 1 是棱BC,AC 上的点．记EF与AA 所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面 1 1 1 角F-BC-A的平面角为γ，则 ( ) 第 页 共 页 550 1043A.α≤β≤γ B. β≤α≤γ C. β≤γ≤α D.α≤γ≤β 2877 (2024·浙江温州·高二温州中学校考期末)斜三棱柱ABC-ABC 中，底面ABC是正 1 1 1 三角形，侧面ABBA 是矩形，M是线段AB上的动点，记直线AM与直线AC所成的角 1 1 1 为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角A -AC-B的平面角为γ，则 ( ) 1 1 A.α≤β，β≤γ B. β≤α，β≤γ C.α≤β，β≥γ D. β≤α，β≥γ 2878 (2024·浙江绍兴·高三统考期末)斜三棱柱ABC-ABC 中，底面ABC是正三角形，侧 1 1 1 面ABBA 是矩形，且2AA = 3AB，M是AB的中点，记直线AM与直线BC所成的 1 1 1 1 角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角A -AC-B的平面角为γ，则 1 1 ( ) A. β<γ，α<γ B. β<α，β<γ C. β<α，γ<α D.α<β，γ<β 2879 (2024·全国·高三专题练习)已知等边△ABC，点E,F分别是边AB,AC上的动点，且满 足EF∥BC，将△AEF沿着EF翻折至P点处，如图所示，记二面角P-EF-B的平面 角为α，二面角P-FC-B的平面角为β，直线PF与平面EFCB所成角为γ，则 ( ) A.α≥β≥γ B.α≥γ≥β C. β≥α≥γ D. β≥γ≥α 2880 (2024·江苏·高一专题练习)正四面体S-ABC中，M是侧棱SA上(端点除外)的一点， 若异面直线MB与直线AC所成的角为α，直线MB与平面ABC所成的角为β，二面角 M-BC-A的平面角为γ，则 ( ) A.α<β<γ B. β<α<γ C. β<γ<α D.γ<α<β 2881 (2024·全国·高三专题练习)在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面的射影为△ABC的垂 心O(O在△ABC内部)，且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面α，过BM作平行 于AC的截面β，记α，β与底面ABC所成的锐二面角分别为θ ，θ ，若∠PAM=∠PBM 1 2 =θ，则下列说法错误的是 ( ) 第 页 共 页 551 10431 A.若θ =θ ，则AC=BC B.若θ ≠θ ，则tanθ ⋅tanθ = 1 2 1 2 1 2 2 π C.θ可能值为 D.当θ取值最大时，θ =θ 6 1 2 2882 (2024·全国·高三专题练习)已知点P是正方体ABCD-ABCD上底面ABCD上的 一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为α，面ABP与面CDP所成的锐二面角 为β，若α>β，则下列叙述正确的是 ( ) A.∠APC>∠BPD B.∠APC<∠BPD C.max∠APD,∠BPC  >max∠APB,∠CPD  D.min∠APD,∠BPC  >min∠APB,∠CPD  2883 (2024·浙江金华·统考模拟预测)已知四面体ABCD中，棱AD，BC所在直线所成角为 60°，且AD=1，BC=2，∠ACD=60°，面BAD和面ACD所成的锐二面角为α，面BAC 和面ACD所成的锐二面角为β，当四面体ABCD的体积取得最大值时( ). A.α=β B.α<β C.α>β D.不能确定 2884 (2024·浙江·校联考二模)已知三棱柱ABC-ABC 的所有棱长均相等，侧棱AA ⊥平 1 1 1 1 面ABC，过AB 作平面α与BC 平行，设平面α与平面ACCA 的交线为l，记直线l与直 1 1 1 1 线AB,BC,CA所成锐角分别为α，β，γ，则这三个角的大小关系为 A.α>γ>β B.α=β>γ C.γ>β>α D.α>β=γ 7 题型七：立体几何装液体问题 2885 (2024·全国·高三专题练习)已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱ABC- ABC 容器，如图1，ΔABC为正三角形，AB=2，AA =3，里面装有体积为2 3的液 1 1 1 1 体，现将该棱柱绕BC旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是 ( ) ①液面刚好同时经过A，B ，C 三点； 1 1 ②当平面ABC与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为 3-1； 第 页 共 页 552 10433 3 ③当液面与水平桌面的距离为 时，AB与液面所成角的正弦值为 . 2 4 A.0 B.1 C.2 D.3 2886 (2024·全国·高三专题练习)一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方 体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的 取值范围为 ( ) 1 5 A.   ,  6 6  1 5 B.  , 6 6  1 2 C.   ,  6 3  1 2 D.  , 6 3  2887 (2024·全国·高三专题练习)一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方 体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积 的取值范围为 ( ) 20 A. 2, 3  4 17 B.  , 3 3  17 C. 2, 3  4 20 D.  , 3 3  2888 (2024·全国·高三专题练习)已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装 满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余 液体的最小容量为 ( ) π 2π 4π A. B. C.π D. 3 3 3 2889 (多选题)(2024·辽宁丹东·统考二模)如图，玻璃制成的长方体容器ABCD-ABCD 1 1 1 1 内部灌进一多半水后封闭，仅让底面棱BC位于水平地面上，将容器以BC为轴进行旋 转，水面形成四边形EFGH，忽略容器壁厚，则 ( ) A.AD 始终与水面EFGH平行 1 1 B.四边形EFGH面积不变 C.有水部分组成的几何体不可能是三棱柱 D.AE+BF为定值 2890 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)透明塑料制成的正方体密闭容器ABCD- ABCD 的体积为64，注入体积为x(0