文档内容
第 50 讲 外接球、内切球、棱切球
知识梳理
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，
显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正
四面体外接球半径为 ．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱
相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得
而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则
，所以 ．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面
可以是任意三角形）
C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
O
O
C C
A O1 E A O1 B
BC1
A1 F
O2
B1
O
C
A O1 E
B
图1 图2 图3
第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连
接 ，则 必过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三
角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 )， ；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： ①
；② ．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的
顶点．
P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边
的直角三角形拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点
为公共斜边 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，
，即点 到 ， ， ， 四点的距离相等，故点 就是四面体
外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形
的四个顶点共圆且 为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步
骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形
的四个顶点共圆且 为该圆的直径．
知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用
球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入
使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题
的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾
股定理建立方程来计算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当
时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图 2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足
．
3、球内接圆台
，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
必考题型全归纳
题型一：外接球之正方体、长方体模型
例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积
为例2．（2024·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 ，
则球的表面积为 ．
例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球 表面上，长方体中从一个顶
点出发的三条棱长分别为2，3，4则球 的表面积是
变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体 的外接球的表
面积为 ， ， ，则长方体 的体积为 .
变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体 中， ，
， ，则长方体外接球的表面积为 ．
题型二：外接球之正四面体模型
例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为
，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ．
例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面
上，则该正四面体的棱长是 ．
例6．（2024·全国·高三专题练习）棱长为 的正四面体的外接球体积为 .
变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体 和边长为1的正方体
有公共顶点 ， ，则该正四面体 的外接球的体积为 .变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体 中，其侧面积
与底面积之差为 ，则该正四面体外接球的体积为 .
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
例7．（2024·高一单元测试）在四面体 中，若 ， ，
，则四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中， ，
， ，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥 中， ，
， ，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ，
， ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
题型四：外接球之直棱柱模型
例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成
正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱
的所有顶点都在一个表面积是 的球面上，且 ，
则此直三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， 为等腰直角三角形，
若三棱柱 的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱 的体积为 ，则其外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．6π C．16π D．8π
变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱 中，已知
， 侧面 ，且直线 与底面 所成角的正弦值为
,则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱 所有棱长都为6，则
此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B．60 C． D．
题型五：外接球之直棱锥模型
例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥 中，△ABC是边长为3的等边
三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥 中， 面 ， 为等
边三角形，且 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥 ，其中 平
面 ，则三棱锥 外接球的表面积为 .
变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥 中， 为等边三
角形， 平面 ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积的最小值为
.变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥 中， 平面 ，
，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则三棱锥 的外接
球的表面积为 ．
变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面 为菱形， 底面 ， 为对角线 与 的交点，若 ，
，则三棱锥 的外接球的体积为 .
变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥 中， 平面
BCDE， ， ， ，且 ，则该四棱锥的外接
球的表面积为 .
变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥 中, 平面 , ,
, ,则三棱锥 外接球的体积是 ．题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱
长为6，则该四棱锥的外接球的体积为 ．
例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥 的顶点
都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为 ，且 ，则球O的表面积为
例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥 中，
点D在棱 上，且满足 ， ，若 ，则三棱锥 外接球
的表面积为 .
变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥 的侧棱与底面所成的角
为 ，高为 ，则该三棱锥外接球的表面积为 .
变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥
中， ， ，该三棱锥的外接球体积为 ．
变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台
中， ， ， ，则正三棱台 的外接球表面
积为（ ）A．64 B． C． D．
变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有
顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥 的底面边长为
6，侧棱长为 ，则该四棱锥外接球的表面积为 ．
变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥 中，
，若四棱锥 的体积为 ，则该四棱锥外接球的体积为 ．
变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台 中， ，
．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥 中， ，， ，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥 中，
，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球
的表面积为 ．
例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥 的各侧棱长均为 ，
且 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P-ABC的四个
顶点在球O的球面上， ，△ABC是边长为 的正三角形，E，F分别是
PA，AB的中点， ，则球O的体积为 .
变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， ，
，则该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥 中， ，
，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
（ ）A． B． C． D．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体 中， ，
，则四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． s D．
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆
锥的外接球的体积为 .
例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，
侧面积为 ，该圆锥内接于球 ，则球 的表面积为 .
例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的
直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 .
变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面
的半径分别为 和 ，球的体积为 ，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为 ，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底
面的半径分别为3和4，球的表面积为 ，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型九：外接球之垂面模型
例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥 中，平面 平面
BCD， 是边长为2的等边三角形， ， .若A，B，C，D四点在
某个球面上，则该球体的表面积为 .
例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正 边长为1，将 绕 旋转至 ，
使得平面 平面 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥 中，平面 平面
，点 是 的中点， ，则三棱锥 的外接球
的表面积为 .变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱 中， ．
设D为 的中点，三棱锥 的体积为 ，平面 平面 ，则三棱柱
外接球的表面积为 ．
变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥 中,平面
平面ABC, , , , 为等边三角形,则三棱锥 外接球的表面积
为 ．
变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形 中，
，沿对角线 将 折起，使平面 平面 ，
连接 ，得到三棱锥 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为 .变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥 中，平面 平面 ，
，且 ， 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为
．
变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形 中， ，现
沿 折起，使得平面 平面 ，连接 ，得到三棱锥 ，则其外接球的
体积为 ．
变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥 中，平面 平面 ，
底面 是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为 ，则该三棱锥体积的
最大值为 .
变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥 中， ，平
面 平面ABC，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为 ．
变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形 中，
，沿对角线 将 折起，使平面 平面，得到三棱锥 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
题型十：外接球之二面角模型
例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥 中， ，
，二面角 的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小
值为（ ）
A． B．
C． D．
例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC中， ， 是边长为
2的等边三角形，若二面角 的大小为 ，则四面体 的外接球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥 平面
，二面角 的大小为 .若点 均在球
的表面上，则该球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体 中， 与
都是边长为6的等边三角形，且二面角 的大小为 ，则四面体 外接球的
表面积是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直
角三角形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折
起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥 ，如图2．若二面角 的大
小为 ，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在 中， ， ，
， ，沿 将 折起，使得二面角 为60°，得到三棱锥 ，
如图2，若 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
，二面角 的大小为 ，若球 的表面
积等于 ，则三棱锥 的体积等于（ ）A． B．
C． D．
变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥 中，
，二面角 为 ，则三棱锥 外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥 的所有顶点都在
球 的球面上， 是球 的直径.若平面 平面 ， ， ，三棱锥
的体积为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥 的体积为 ， ，
，若 是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 为球的直径, 是边长为 的等边三角形,三棱锥 的体
积为 ,则球的表面积为( )
A． B． C． D．
变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥 各顶点均在球 上， 为球 的
直径，若 ， ，三棱锥 的体积为4，则球 的表面积为
A． B． C． D．
变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥 的四个顶点都在球面上， 是球的
直径， ， ，则该球的表面积为
A． B． C． D．
变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球
面上， 是球 的直径.若平面 平面 ， ， ，三棱锥
的体积为 ，则球 的体积为
A． B． C． D．
变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥 的各顶点均在球 上， 为该
球的直径， ，三棱锥 的体积为 ，则球的表面积为
A． B． C． D．
变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的四个顶点均在某球面上，为该球的直径， 是边长为4的等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则该三棱
锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知 是球 的直径， 是球
球面上的两点，且 ，若三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积
为
A． B． C． D．
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，
底面ABCD， 是对角线 与 的交点，若 ， ，则三棱锥
的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥 中， ， ，
， ， ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥 中，
若该三棱锥的体积为 ，则三棱锥
外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式47．在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个直二面角
，则四面体 的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式 48．三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
，则三棱锥 的外接球的半径为
题型十三：外接球之坐标法模型
例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系 中，
则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱
长为2（单位： ）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该
培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥 中，
为等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则三棱锥
外接球的表面积为 .
变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在 中， ， ，
D，E分别为 ， 的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如
图②.若F是 的中点，则四面体 的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已
知四棱锥 ，底面 是边长为3的正方形， 面 ， ，
， ，若 ，则四棱锥 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中 中， ，AD
＝2，M是棱 的中点，过点B，M， 的平面 交棱AD于点N，点P为线段 上一
动点，则三棱锥 外接球表面积的最小值为 ．
变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体 中，
E，F分别为棱 ､ 的中点，G为面对角线 上一个动点，则三棱锥 的外
接球表面积的最小值为 .变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体 的
棱长为2，点 是线段 上的动点，则三棱锥 的外接球半径的取值范围为
．
题型十四：外接球之空间多面体
例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建
贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．
截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它
可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为
，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 ．
例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种
半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图
所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的
截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方
形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分
点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几
何体的外接球的表面积等于 ．
变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平
行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均
为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为
2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
题型十五：与球有关的最值问题
例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱 中，
，棱柱的侧棱足够长，点P在棱 上，点 在 上，且
，则当△ 的面积取最小值时，三棱锥 的外接球的体积为
.例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱 中，
，点 在棱 上，且 ，当 的面积取最小值
时，三棱锥 的外接球的表面积为 .
例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体 的棱长为
2，点 平面 ，点 是线段 的中点，若 ，则当 的面积取得最
小值时，三棱锥 外接球的体积为 .
变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱 中，
⊥ ， ， ，点P在棱 上，且 ，当 的面积取最小值
时，三棱锥 的外接球的表面积为 ．变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥 的四个顶点均在
同一个球面上，底面 为等腰直角三角形且 ，若该三棱锥体积的最大值为
，则其外接球的表面积为 .
变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S－ABCD
中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大
值时，其外接球的表面积为 ．
变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥 中， 底面
， ， ， 为 的中点，若三棱锥 的顶点均在球
的球面上， 是球 上一点，且三棱锥 体积的最大值是 ，则球 的体积为
.
变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点 ， ， ， 在同一个球的球面
上， ，若四面体 体积的最大值为 ，则这个球的表面积为
.
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体 的内切球
的球心为 ，则球 的体积为（ ）A． B． C． D．
例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱
存在内切球，若 ，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都
相切)的体积是 ，则该正方体的体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接
球与内切球体积之比为（ ）
A． B． C． D．
变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱 中，D是
侧棱 上一点，E是侧棱 上一点，若线段 的最小值是 ﹐且其内部
存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六
棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O到直三棱柱 各面的距离都相等，球O是直三棱柱 的内切球，若球O的表面积为 ， 的周长为4，
则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型十七：内切球之正四面体模型
例49．（2024·高一课时练习）边长为 的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例50．（2024·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为 ，则其内切球的表面积为（
）
A． B．
C． D．
例51．（2024·江苏·高一专题练习）正四面体 的棱长为 ，则它的内切球与外
接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
题型十八：内切球之棱锥模型
例52．（2024·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知矩形 中， ，
沿着对角线 将 折起，使得点 不在平面 内，当 时，求该四面体
的内切球和外接球的表面积比值为（ ）
A． B． C． D．例53．（2024·广西·高二校联考期中）已知四棱锥 的各棱长均为2，则其内切球
表面积为（ ）
A． B．
C． D．
例54．（2024·湖北武汉·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥 中，
， ，若三棱锥 的内切球 的表面积为 ，
则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式64．（2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在三棱锥 中， 平面
，且 ，若球 在三棱锥 的内部且与四个面
都相切（称球 为三棱锥 的内切球），则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．变式65．（2024·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的
中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式66．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是
直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 中， 平面 ， ，且
，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
例55．（2024·全国·高三专题练习）在Rt 中， .以斜边 为旋转轴旋
转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例56．（2024·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为 ，底面直径为 ，其内有一球与该圆
锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例57．（2024·全国·高一专题练习）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，
则下列关于该圆锥的说法中错误的是（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为C．圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形 D．圆锥的内切球表面积为
变式67．（2024·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相
切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式68．（2024·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的
内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式69．（2024·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台 的上､
下底面边长分别为 分别为 ， 的中点，8个顶点
构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式70．（2024·湖北咸宁·高二统考期末）已知球 内切于圆台（即球与该圆台的上、下
底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径 ，则圆台的体积与球的体积
之比为（ ）A． B． C．2 D．
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
例58．（2024·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知球 与一正方体
的各条棱相切，同时该正方体内接于球 ，则球 与球 的表面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
例59．（2024·全国·高三专题练习）已知正三棱柱 的体积为18，若存在球O
与三棱柱 的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例60．（2024·全国·高三专题练习）已知球与棱长为 的正方体的各条棱都相切，则球内
接圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式71．（吉林省吉林市2024届高三第四次数学（理）调研试题）已知正三棱柱
(底面为正三角形且侧棱与底面垂直)，它的底面边长为2，若存在一个球与此
正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱柱的侧棱长为 .变式72．（福建省三明市2024届高三上学期期末质量检测数学试题）已知直三棱柱
的侧棱长为 ，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则
球O的体积为 .
变式73．已知正三棱柱 ，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，
则正三棱柱的侧棱长为 .
变式74．（广东省茂名市五校联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题）已知正三棱
柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十一：棱切球之正四面体模型
例61．（2024·全国·高一期中）已知某棱长为 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，
则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
例62．（2024·陕西西安·高一校联考期中）所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，
则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
例63．（2024·江西南昌·高二进贤县第一中学校考期中）球与棱长为 的正四面体各条
棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．变式75．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知球 的表面积为 ，若球 与正四面体
的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
变式76．（2024·全国·高三专题练习）正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的
每一条棱都相切，则球O的表面积为（ ）
A．2π B．8π C． D．12π
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
例64．（河南省名校2022-2024学年高二下学期5月联考数学试题）已知棱长均为 的
多面体 由上､下全等的正四棱锥 和 拼接而成，其中四边
形 为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为 ，该多面体的棱切球（与该
多面体的所有棱均相切的球）的半径为 ，则 ．
例65．（河南省多所名校2022-2024学年高三下学期3月月考文科数学试题）在正三棱锥
中， ， ，若球O与三棱锥 的六条棱均相切，则球O的表
面积为 ．例66．（安徽省马鞍山市2024届高三下学期第二次教学质量监测理科数学试题）球被平
面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做
球缺的高，球缺的体积公式 ，其中 为球的半径， 为球缺的高.若一球与
一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为
.
变式77．（2024·全国·高三专题练习）正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为
，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式78．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，
，若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式79．（2024·湖北武汉·高一武汉市第一中学校考阶段练习）与正三棱锥6条棱都相切
的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为3，则此正三棱锥的
棱切球半径为（ ）
A． B． C． D．
变式80．（2024·江苏·高一专题练习）在正三棱锥 中， ，若球
与三棱锥 的六条棱均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B．C． D．
题型二十三：多球相切问题
例67．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢
山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大
型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最
大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中
等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面
积和为（ ）
A． B． C． D．
例68．（2024·江西赣州·高一江西省龙南中学校考期末）已知正四面体的棱长为12，先在
正四面体内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与球 及正四面体的三
个侧面都相切，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
例69．（2024·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大
球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若 ，则该模型中一
个小球的体积为（ ）A． B． C． D．
变式81．（2024·全国·高三专题练习）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为 的正四
棱锥 中，大球 内切于该四棱锥，小球 与大球 及四棱锥的四个侧面相切，
则小球 的表面积为 ．
变式82．（2024·全国·高一专题练习）棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体
和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
变式83．（2024·全国·高三专题练习）已知球 是棱长为24的正四面体 的内切球，球 与球 外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式84．（2024·全国·高一专题练习）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，
此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
