文档内容
专题 13 全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................13
题型一：正四面体外接球 13
题型二：对棱相等的三棱锥外接球 17
题型三：直棱柱外接球 20
题型四：直棱锥外接球 26
题型五：正棱锥与侧棱相等模型 30
题型六：垂面模型 36
题型七：二面角模型 41
题型八：坐标法解决外接球问题 47
题型九：多面体外接球 53
题型十：锥体内切球 58
重难点突破：棱切球 63近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问题在小题
中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺利解答。从全国高
考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现在大题中。此部分是考试的
重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2022年乙卷第12题，5分
掌握求解方法， 2022年II卷第7题，5分 预 测 2025 年 高 考
外接球
灵活运用。 2022年I卷第8题，5分 中，与球相关的组合体问
题多以小题形式呈现，同
2021年甲卷第11题，5分
时也有可能融入解答题
中，作为相对独立的部
分。具体来说：
理解概念，熟练
内切球 2020年III卷第16题，5分 （1）这类问题可能会以
求解。
选择题或填空题的形式出
现，旨在考查学生的综合
推理能力。
（2）锥体内切球与棱切
理解概念，掌握 球问题将成为考查的热
棱切球 2023年 I卷第1题，5分
应用。 点。1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图41．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3
的等边三角形， 平面 ，则 ．
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥 转化为正三棱柱 ，
设 的外接圆圆心为 ，半径为 ，
则 ，可得 ，
设三棱锥 的外接球球心为 ，连接 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 .
故答案为：2.
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体 中， 为 的中点，若该
正方体的棱与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设球的半径为 .当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包
含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径 为体对角线长 ，即 ，故 ；
分别取侧棱 的中点 ，显然四边形 是边长为 的正方形，且 为正方形
的对角线交点，
连接 ，则 ，当球的一个大圆恰好是四边形 的外接圆，球的半径达到最小，即 的最
小值为 .
综上， .
故答案为：
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为AB， 的中点，
以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
【答案】12
【解析】不妨设正方体棱长为2， 中点为 ，取 ， 中点 ，侧面 的中心为 ，连接
，如图，由题意可知， 为球心，在正方体中， ，
即 ，
则球心 到 的距离为 ，
所以球 与棱 相切，球面与棱 只有1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，
所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.
故答案为：12
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶
点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球
心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或
，即 或 ，解得 符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．5．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均
在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为 ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则，所以该四棱锥的高 ，
(当且仅当 ，即 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 .
故选：C．[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则
，所以该四棱锥的高 ， ，令 ， ，设
，则 ，
， ，单调递增， ， ，单调递减，
所以当 时， 最大，此时 ．
故选：C.
【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
6．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体
积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且仅当 取到 ，当 时，得 ，则
当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，
，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是
7．（2021年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 ，
设圆锥 和圆锥 的高之比为 ，即 ，
设球的半径为 ，则 ，可得 ，所以， ，
所以， ， ，
，则 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，
所以， ， ，因此，这两个圆锥的体积之和为 .
故选：B.
8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， 为等腰直角三角形， ，
则 外接圆的半径为 ，又球的半径为1，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以 .
故选：A.
9．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知△ABC是面积为 的等边三角形，且
其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
设球 的半径为 ，则 ，解得： .设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故选：C.
10．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知 为球 的球面上的三个点，⊙
为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，
，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A题型一：正四面体外接球
【典例1-1】已知正四面体 的棱长为3，点 在棱 上，且 ，若点 都在球 的球
面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，在线段 上取点 ，使得 ，连接 .
在 中， .易知点 为等边 的中心，
所以 .
易知 ，所以 .
所以 ，点 即为球心 ，球 的半径为 ，
表面积为 .
故选：D.【典例1-2】小张同学将一块棱长为 的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损
失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为为底面 的中心，E为 的中点，F在 上，
O为正四面体外接球的球心，则 为四面体的高，O在 上，
则 ，则 ，
即得 ，所以 ，
又设正四面体外接球的半径R，
则 ，即 ，即得 ，
故外接球体积为 .
故选：C．
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ．
【变式1-1】已知正四面体 的外接球的体积为 ， 则该正四面体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四面体 的外接球半径为 ，则 ， 解得 ，
将正四面体 放入正方体中，设正方体的棱长为 ，如下图所示：
则 ，所以， ，故该正四面体的棱长为 .
故选：C.
【变式1-2】已知正四面体的各棱长均为 ，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
如图， 是正四面体 的高， 是外接球球心，设外接球半径为 ，
∵正四面体棱长为 ，∴ ， ， ， ，
由 得 ，
解得 ，∴ ．
故选：D．
1．正四面体 的棱长为 ， 是棱 的中点，以 为球心的球面与平面 的交线和 相切，则
球 的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 在平面 内的射影为点 ，则 为 的中心，
取 的中点 ，连接 ，则 ，取线段 的中点 ，连接 ，因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
因为 平面 ，则 平面 ，因为 平面 ，则 ，
正 的外接圆半径为 ， ，
所以， ，
易知球 被平面 所截的截面圆圆心为点 ，且 ，故 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，则 ，
因为以 为球心的球面与平面 的交线和 相切，则切点为点 ，
则球 的半径为 ，
因此，球 的体积是 .
故选：D.
题型二：对棱相等的三棱锥外接球
【典例2-1】四面体 的一组对棱分别相等，且长度依次为 ， ，5，则该四面体的外接球的
表面积为（ ）A． B． C． D．
【解析】 四面体 的一组对棱分别相等，且长度依次为 ， ，5，
可将其补为一个三个面上对角线分别为 ， ，5的长方体，如图所示：
长方体的三边长分别为2，3，4，
长方体的外接球即是四面体的外接球， 四面体的外接球的半径为 ，
四面体的外接球的表面积为： ，
故选： ．
【典例2-2】在四面体 中，三组对棱棱长分别相等且依次为 ， ，5则此四面体 的外接
球的半径 为（ ）
A． B．5 C． D．4
【解析】 四面体 中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为 ， ，5的长方体，
则其外接球的直径 ，
则故选： ．
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得
而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以
．
【变式 2-1】如图，在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥
外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．【解析】由题意， ， ， ，将三棱锥 放到长方体中，
可得长方体的三条对角线分别为 ，2， ，
即 ， ， ，
解得： ， ， ．
外接球的半径 ．
三棱锥 外接球的体积 ．
故选： ．
【变式2-2】在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 的外接球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 三棱锥 中， ， ， ，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5， ，
则长方体的对角线长等于三棱锥 外接球的直径．
设长方体的棱长分别为 ， ， ，则 ， ， ，
，
三棱锥 外接球的直径为 ，
三棱锥 外接球的表面积为 ．
故选： ．1．在四面体 中，若 ， ， ，则四面体 的外接球的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：如下图所示，
将四面体 放在长方体 内，设该长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为 ，
由勾股定理得 ，
上述三个等式全加得 ，
所以，该四面体的外接球直径为 ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 ，
故选： ．
题型三：直棱柱外接球
【典例3-1】将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
若将这2个直三棱柱合成1个高为4的直三棱柱，
则底面正三角形的外接圆半径 ，
所以其外接球的半径为 ；
若将这2个直三棱柱合成1个高为2的直四棱柱，
则底面为边长为2，锐角为 的菱形，
则底面菱形的外接圆半径 ，
所以其外接球的半径为 ．
故该球体的体积的最小值为 ．
故选：A.
【典例3-2】已知直三棱柱 中， ， ， 点到直线 的距离为 ，
则三棱柱 的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
过点 作 于点 ，连接 ，
因为三棱柱 为直三棱柱，
平面 ，
又 平面 ，
，
， ，平面 ，且 ，
平面 ，
平面 ，，
易知 ， ，
， ，
，
则 ，
设 外接圆圆心为 ， 外接圆圆心为 ，
则 ，即 ，
且三棱柱外接球球心 为 中点，
则外接球半径 ，
表面积为 ，
故选： .
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
A1
O2
F
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O1 B A O1 E
B B
图1 图2 图3第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出
【变式3-1】在直三棱柱 中，底面 满足 ， ，若三棱柱
的体积为 ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
圆柱 的底面圆直径为 ，母线长为 ，则 的中点 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则 为圆
柱 的外接球球心.
本题中，将直三棱柱 放在圆柱 中，如下图所示：设 ，因为 ，则 ，
则 的外接圆直径为 ， ，
设 ，则 ，可得 ，
，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时，函数 单调递减，
当 时， ，此时，函数 单调递增，
所以， ，即 ，
故该三棱柱外接球的表面积 ，
故选：A.
【变式3-2】已知正六棱柱 的每个顶点都在球O的球面上，且 ， ，
则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为 ，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径 ，
所以球O的半径 ，故球O的表面积为 ．
故选：D
1．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设正六棱柱下底面的中心为 ，其外接球的圆心为点 ，
则 ， 为等边三角形，
故 ， 即为其外接球的半径 ，
所以 ，
所以该正六棱柱的外接球的表面积为 .
故选：B.
题型四：直棱锥外接球
【典例4-1】已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中， ， ，
则 的外接圆的半径 ，
因为 平面 ， ，设此三棱锥外接球的半径为 ，
则 ，
则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
故选：B．
【典例4-2】已知三棱锥P-ABC中， 是边长为2的等边三角形， ， ， ，则
三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知 ，所以 ，
取 中点 ，则 是 的外心，
又 ，所以 点在底面 上的射影是 的外心，即为 ，
所以 平面 ，因此外接球球心 在 上， 的外接圆就是球的大圆，
，所以 ，
， ，这就是外接球的半径，
外接球表面积为 ，故选：C．
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必
过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得 )， ；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；
② ．
【变式4-1】已知三棱锥 中， 平面 ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，底面 的外接圆半径 ，
又 平面 ，且 ，则三棱锥的外接球半径 ，
所以外接球表面积为 .
故选：B
【变式4-2】三棱锥 的四个顶点均在同一球面上，其中 平面 ， 是正三角形，
，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取 的外接圆圆心为 ，过点 作 底面 ，
为三棱锥 外接球球心，设该球半径为 ，
由 平面 ，则 ，连接 、 、 ，由 是正三角形， ，故 ，
由 ， ，则 ，
故有 ，
故该球的表面积 .
故选：D.
1．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ， ，若三棱锥
（以 为顶点）的侧面积为6，则球 的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知 平面 ， ，所以三棱锥 的外接球，即为以 为同一顶
点出发的三条棱的长方体的外接球，
所以外接球半径 ，其中 ，
令 ， ，则三棱锥 （以 为顶点）的侧面积为 ，所以 ，
所以
，
又因为 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，当且仅当 时， ，
所以当 ，即 时， ，
此时球 的表面积的取得最小值为 .
故选：B.
题型五：正棱锥与侧棱相等模型
【典例5-1】已知正三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正三棱锥 的底面中心为 ，外接球的球心为 ，显然球心 在直线 上.
设正三棱锥 的高为 ，外接球的半径为 ，
由 ，可得正三角形 的面积为 ，所以 ，解得 .
球心 到底面 的距离为 ，
由 ，得 ，
所以外接球的表面积为 .
故选：D.
【典例5-2】已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ，
，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 的外接圆半径为 ，因为 ， ，
由余弦定理得 ， ，
所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
记 的外心为 ，连接 ， ， ，则 ，取 ， 的中点分别为 ， ，则 ， ，
又因为 ，可得 ， ，
因为 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，可得 ，
由题意可得外接球的球心在 上，或在 的延长线上，设外接球的半径为 ，
则球心到 的距离为 ，
则有 ，解得 ，
所以球 的表面积 ，
故选：A.1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．
P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
【变式5-1】已知三棱锥 ， ， ， ， ，三棱锥
外接球的表面积与三棱锥 的侧面积之比为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，即 ，则 ，
可知 的外接圆圆心为斜边 的中点 ，
又因为 ，可知点 在底面的投影为 的外接圆圆心 ，
可得 ，
则三棱锥 外接球的球心 ，设外接球的半径为 ，
可得 ，解得 ，
所以外接球的表面积为 ，
的面积为 ；
的面积为 ；
的面积为 ；
所以三棱锥 的侧面积为 ，
所以三棱锥 外接球的表面积与三棱锥 的侧面积之比为 .
故选：A.
【变式5-2】已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积
的最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h，
由题意得， ，解得 ，
该三棱锥为正三棱锥， ,
， ，
令 ，
由 ，可得 或 （舍去），
当 时， ，当 时， ，
在 单调递增，在 单调递减，
， .
故选：B1．某正六棱锥外接球的表面积为 ，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长
，则其体积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设该正六棱锥的高 ，侧棱长为 ，设该正六棱锥外接球的半径为 ，如图，
因为正六棱锥外接球的表面积为 ，
所以有 ，
因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以 ，
设 ，在正六边形 中，因为正六边形边长为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可知 ，
在直角三角形 中， ，
所以有 ，
由勾股定理可知 ，因为 ，所以 ，
因此有 4，而 ，所以 ，
该正六棱锥的体积 ，
，当 时， 单调递增，
所以 ， ，
因此该正六棱锥的体积的取值范围是 ，
故选：C
题型六：垂面模型
【典例6-1】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角
形， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 中点为 ，连接 ，
因为 是以 为斜边的等腰直角三角形， ，
所以 ， ，过点 作 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面
所以 平面 ， 平面 ，
所以三棱锥的外接球的球心在 上，设外接球的半径为 ，
则由 得 ，由 得 ，
又因为 ，
所以 为等腰直角三角形，
设球心为 ， 中点为 ，连接 ，
则 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 .
故选：C
【典例6-2】在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，
， ，若点 ， ， ， 都在球 的表面上，则球 的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， ，所以 ，
因此点 就是三棱锥 的外接球球心，
在平面 内过点 作 ， 为垂足，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
设球 半径为 ，则 ，
又 ，则 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以三棱锥 的体积 ，
所以 ，所以球 的体积为 ．
故选：C．如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
图1 图2
【变式6-1】在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面 平面 ， ，
，若点 、 、 、 都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点 在平面 内作作 ，垂足点为 ，
取线段CD的中点 ，连接 、 ，如下图所示：因为 ， ，则 ，
所以，三棱锥 的外接球的球心 为 中点，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，则 平面 ，
设球 的半径为 ，则 ，
又 ， ，所以， ， ， ，
所以， ，
所以，三棱锥 的体积为 ，
解得 ，因此，球 的表面积为 .
故选：A.
【变式6-2】在三棱锥P-ABC中， ，平面PAB 平面ABC，若球O是
⊥
三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【解析】在 中， ，则 ， 中点 为 的外心，
于是 平面 ，取 中点 ，连接 ，则 ，而平面PAB 平面ABC，
⊥
平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ， ，
令正 的外心为 ，则 为 的3等分点， ，又 平面 ，则 ，而 ，则四边形 是矩形，
，因此球O的半径 ，
所以球O的表面积为 .
故选：B
1．在体积为12的三棱锥 中， ， ，平面 平面 ， ，
，若点 都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， ，所以 ，因此点 就是球心，
又 ，故 是等腰直角三角形，所以 ．因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ．
设球 半径为 ，则 ， ，
又 ，则 ，
所以三棱锥 的体积 ，
所以 ，所以球O的表面积为 ．
故选：D．
题型七：二面角模型
【典例7-1】已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若 ，二面角
的平面角为 ，则该球的表面积是
【答案】 /
【解析】
如图，取 中点 ，连接 ，
因 ，则 ，且 ，
又二面角 的平面角为 60°，即 ， 故 是等边三角形，分别取 与 的外心 ，过 分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，
则点 为四面体 的外接球的球心，
由已知可得 ，
连接 ，易得 ，故得 ， ，则 ，
在 中， ，
故该球的表面积是 .
故答案为： .
【典例7-2】已知三棱锥 中， ，三角形 为正三角形，若二面角
为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，∵ ，即 ，∴ .
∴球心 在过 的中点 与平面 垂直的直线上，
同时也在过 的中心 与平面 垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心 .
∵二面角 的大小为 ，
易知 ， ，
， ，
，∴三棱锥 的外接球的半径为 .
∴三棱锥 的外接球的体积为 .
故答案为：
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．【变式7-1】如图，在三棱锥 中， ， ， ，二面角 的
大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积为 .
【答案】 /
【解析】取 和 的中点分别为 ， ，过点 作 面 于点 ，
连结 ， ， , 平面 ,故 ，
又 ，则 又 平面 ,
故 平面 ， 平面 ，故
则 为二面角 的补角， ，
因为 ， ，则 ，且 ，
易知 ，
因为 为等腰直角三角形，所以 是 的外心.
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则 面 ，易知 ，作 ，易知 为矩形， ，
设 ， ，则在 中， ，
且 中， ，解得 ，
所以外接球表面积为 .
故答案为： .
【变式7-2】已知菱形 中，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角 为 ，
，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】将 沿 折起后，取 中点为 ，连接 ， ，
则 ， ，
可知 即为二面角 的平面角，即 ；
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
即 解得 ，
即 ，可得 ，所以 与 是边长为 的等边三角形，
分别记三角形 与 的重心为 、 ，
则 ， ； ；
因为 与 都是边长为2的等边三角形，
所以点 是 的外心，点 是 的外心；
记该几何体 的外接球球心为 ，连接 ， ，
根据球的性质，可得 平面 ， 平面 ，
所以 与 都是直角三角形，且 为公共边，
所以 与 全等，因此 ，
所以 ；
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ，
连接 ，则外接球半径为 ，
所以外接球表面积为 .
故答案为： .
1．在三棱锥 中，已知 是边长为2的正三角形，且 .若 和 的面积之积为，且二面角 的余弦值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】 /
【解析】设 中点为 ， 外接圆圆心为 ，球心为 ，因为 ，所以 ，
又 是边长为2的正三角形，所以 ，结合题设有 ，
所以 ，得到 ，所以 是等腰直角三角形，其外接圆圆心为 ，
又因为 ，所以 为二面角 的平面角，结合已知该角为锐角，
由题意可知， ，过 ， 分别作平面 ，平面 的垂线，相交于一点，
由截面圆的性质可知，两垂线的交点为球心 ，如图所示，
所以 ， ，得到 ，
又易知 ， ，所以 ，
所以外接球半径 ，
所以外接球表面积 ，
故答案为： .题型八：坐标法解决外接球问题
【典例8-1】已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上， ，
， ，若球O的表面积等于 ，则三棱锥 的体积等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ， 可知 为球的直径，
设球的半径为 ，则 ， ，
以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由 可得 ，
则
设 ，则 到平面 的距离为 ，
由 ，
可得： ，则三棱锥的体积 ．
故选：D．
【典例8-2】已知正三棱锥 中， ， ，该三棱锥的外接球球心 到侧面距离为 ，到
底面距离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正三棱锥 中 为等边三角形，顶点 在底面的射影为底面的重心，所以
，
又 ， ，所以 ，所以 ，同理可得 、
即 ， ， 两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径 ，又 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，所以 ，
则点 到平面 的距离 ，所以 .故选：B
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
【变式8-1】在棱长为4的正方体 中， 是 的中点， 是 上的动点，则三棱锥
外接球半径的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，取 的中点 ，可知 为 的外心，
过 作平面 的垂线，可知三棱锥 外接球的球心 在该垂线上，
设 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，
因为 ，即 ，
整理得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以三棱锥 外接球半径的最小值为 .
故选：C.
【变式8-2】正方体 的棱长为2，若点M在线段 上运动，当 的周长最小时，三
棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 的周长为 ，由于 为定值，即 最小时， 的周长最小，
如图，将平面 展成与平面 同一平面，则当点 共线时，此时 最小，在展开图
中作 ，垂足为 ， ，解得： ，
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，， ，
连结 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
同理 ，且 ，
所以 平面 ，且三棱锥 是正三棱锥，所以 经过△ 的中心．
所以三棱锥 外接球的球心在 上，设球心 ， ， ，则 ，
即 ，
解得： ， ，所以外接球的表面积 .
故选：C.
1．如图，在三棱锥 中， 平面 分别为 的中点，
则平面 截三棱锥 的外接球所得截面的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为， 平面
将三棱锥 补成正方体 ，
所以三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心 是 的中点.
设外接球的半径为 ，则 ，即 ，
以 分别为 轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，令 则 ，
所以平面 的一个法向量 .所以球心 到平面 的距离为 ，
设平面 截三棱锥 的外接球所得的截面半径 ，则 ，
故该截面的面积为 ，
故选：C
题型九：多面体外接球
【典例9-1】正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古
希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二
十面体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球 的球面上，则球 与正八面体
的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正八面体的棱长为2，正八面体的外接球 的球心 是正方形 的中心，
球 的半径 ，点 到平面 的距离为 ，
因此球 的体积 ，正八面体的体积 ，
所以球 与正八面体的体积之比是 .
故选：A【典例9-2】“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现
了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个
面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为 ，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：
不妨取两棱中点为 ，由题知 ，
易知 ，可得 ，
所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体 的棱切球，
所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为 ，
因此该多面体的外接球的半径为 ，所以其表面积为 .
故选：A
首先，确定球心是关键，可通过作垂线找交点、建立空间直角坐标系计算或利用特殊多面体的性质来
确定。其次，理解并应用外接球的性质，即外接球球心到多面体各顶点的距离相等，这有助于建立数学模型。最后，结合多面体的几何元素，运用空间向量、几何性质或公式法等方法求解外接球的半径。
【变式9-1】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包
装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体
A B C D
的上底面 1 1 1 1绕着其中心旋转 得到如图2所示的十面体 .已知
，则十面体 外接球的球心到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题中数据可知 ，则 .
A B C D
因为十面体 是由长方体 的上底面 1 1 1 1绕着其中心旋转 得到的，
所以长方体 的外接球就是十面体 的外接球.
设十面体 外接球的半径为R，则 ，即 ，
因为 ，所以 .
设 外接圆的半径为r，则由正弦定理得 即 ，
则该十面体 外接球的球心到平面 的距离是：
.故选：B
【变式9-2】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有
四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四
个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球 的表面上，且点 到正六边形面的距离为 ，则球
的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将题图中的阿基米德多面体补全，得对应的正四面体 ，如图所示，
设正四面体 的棱长为 ，易知点 为正四面体 的中心，
且点 到正六边形面的距离是正四面体 的内切球的半径，
易知正四面体 的体积 ，
正四面体 的表面积 ，
所以正四面体 的内切球半径为 ，所以 ，解得 ，则正六边形的边长为 ，
则该正六边形的外接圆半径为2，所以球 的半径 ，
故球 的体积为 ，
故选：D．
1．在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有 个面， 个
顶点以及 条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为 的截角立方体，则该
截角立方体的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图，将该截角立方体补全为正方体，
由对称性知，该截角立方体的外接球的球心即为正方体的中心，
因为该截角立方体的棱长为 ，
所以正方体的棱长为 ，
则 ， ，
设该截角立方体的外接球的半径为 ，
则 ，
所以外接球的表面积 .故答案为：
题型十：锥体内切球
【典例10-1】棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则
这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，由题意知球和正四面体 的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为 ，半
径为 ，空隙处的最大球球心为 ，半径为 ， 为 的中心，易知 面 ， 为 中点，
球 和球 分别与面 相切于 和 .
易得 ， ， ，
由 ，可得 ，
又 ， ，
故 ， ， ，
又由 和 相似，可得 ，即 ，解得 ，
即小球的最大半径为 .
所以小球的表面积最大值为 .
故选：A
【典例10-2】点M、N为正四面体 的内切球球面上的两个动点，T为棱AB上的一动点，则当
取最大值时， （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四面体 的棱长为 ，正四面体的内切球的球心为 ，顶点 在底面的射影为 ，
显然 在线段 上，该正四面体内切球的半径为 ，
如图， 为正三角形 的中心，则 ，，
由三棱锥的等体积得 ，即 ，
解得 ，
，
由球的性质可知：当 ， 与圆相切时， 最大，
如图所示： ，
由圆的切线长定理可知： ，
在 中， ，
最大时， 最小，因为 ，
所以此时 为 的中点，即有 ，
正四面体的内切球的球心为 ，显然 也是该正四面体的外接球的球心，
所以 ，
因此， ，
，
所以 .故选：C.
等体积法，即
【变式10-1】如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都
是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如
图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个
面相切．设 ，则该模型中5个球的表面积之和为
【答案】
【解析】如图所示，
设 为大球的球心，大球的半径为 ，大正四面体的底面中心为 ，棱长为3，高为 ， 的中点为 ，
连接 ， ， ， ， ， ，
由
则 ，正四面体 的高 .
因为 ，所以 ，
所以 ；
设小球的半径为 ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高 ，同理
；
故该模型中5个球的表面积之和为 .
故答案为： .
【变式10-2】作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，
如此下去，则前 个内切球的半径和为 ．
【答案】
【解析】对于边长为 的正四面体 ，
设正四面体的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ，高为 ，
令 为正三角形 的中心， 为正四面体 的中心，
则 ，且 平面 ，
可知 ，
因为 ， ，且 ，即 ，解得 ，
可知 ，
设第 个内切球的半径为 ，第 个外接球的半径为 ，
则 ， ，可得 ，
可知 是以首项 ，公比 的等比数列，
所以前 个内切球的半径和为 .
故答案为： .
1．已知三棱锥 的棱长均为4，先在三棱锥 内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，
使得球 与球 及三棱锥 的三个侧面都相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取三棱锥 过内切球球心 的截面，如图所示：依题意得 ，
底面 的外接圆半径为 ，解得 ；
点 到平面 的距离为 ，
所以 ，
所以 ，
设球 的半径为 ，
所以 ，
则 ，得 ，
设球 的半径为 ，则 ，又 ，得 ，
所以球 的表面积为 ．
故选：A．重难点突破：棱切球
【典例11-1】已知四面体 中， ， ， ， ，球心在该四
面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图， 是 的中心，
根据对称性，球心 在 上，球 与 、 的切点分别为 ， ，
且 ， ， 为球的半径．
由勾股定理易得 ，由正弦定理可求得 ，
由勾股定理可求得 ．
∵ ， 均为球 的切线，∴ ，
∵ 与 相似，∴ ，
即 ，∴ ，
∴球的体积为 ．故选：B．
A B C D
【典例11-2】在正四棱台 中， ，若球 与上底面 1 1 1 1以及棱
均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设棱台上下底面的中心为 ,连接 ，
则 ，
所以棱台的高 ,
A B C D
设球半径为 ,根据正四棱台的结构特征可知：球 与上底面 1 1 1 1相切于 ,与棱 均相切于
各边中点处，
设 中点为 ，连接 ,
所以 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ，
故选：C
（1）若正方体的棱长为 ，则棱切球的半径 ．（2）若正四面体棱长为 ，则内切球半径 ，外接球半径 ，棱切球半径
．
（3）对于棱长为 的正 棱柱，棱切球半径为 ．
【变式11-1】已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，
则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面 垂直的直线上，
又因为底面边长为 ，
所以底面正三角形的内切圆的半径为 ，
又因为球的半径 ，即 ，
所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，
如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，
所以 ，
又因为 ，所以 ,因为 ，所以 ，
又由题意可知， 平面 ，所以 ，
所以
所以 ，
所以 .
故选：A.
【变式11-2】已知正三棱柱 的侧面积为36，则与三棱柱 各棱均相切的球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设上下底面的中心分别为 ，由对称性可知，
球 的球心为 的中点，取 的中点 ，连接 ，
连接 并延长，交 于 ，连接 ，则 ，
设 ，则 ，
，
而 ，联立两式，解得 ，则球 的半径为 ，则其表面积为 ，故B正确.
故选：B.
1．已知三棱锥 的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截
面面积为 ，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D． 或
【答案】B
【解析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为 ，连接 ，则球心O在线段 或其延长线上，
为正 的中心，则 ， ．
设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为 ，
所以截面圆的半径为 ，所以 ， ．
过O作PA的垂线，垂足为D，则 ，
∽ ，所以 ．
①当点O在线段 上时， ，即 ，
则 ，且 ，解得 ；②当点O在线段 的延长线上时， ，即 ，
则 ，且 ，解得 或 ，
当 时，点O， 重合，此时点O不在线段 的延长线上，故舍去；当 时，切点D不在棱
PA上，不符合题意．
综合①②可知， ，
故选：B．
