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专题 14 解析几何中的轨迹问题
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】动点轨迹问题解题策略
（1）、直译法：一般步骤为：
①建系,建立适当的坐标系；
②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式,列出动点P所满足的关系式；
④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；
⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
(2)、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3)、代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x，y)的变化而变化，并且Q(x，y)又在某已知
0 0 0 0
曲线上，则可先用x，y的代数式表示x，y，再将x，y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；
0 0 0 0
(4)、参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用
一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．三、解法解密
方法一 解轨迹问题注意
（1）、求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的
形状、位置、大小等.
（2）、要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足
方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
四、考点解密
题型【一】、定义法求曲线的轨迹方程
定义法：
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则
可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
例1、 已知 ΔABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、 b 、c，若 a,c,b 依次构成等差数列，且
|AB|=2
a>c>b
， ，求顶点
C
的轨迹方程.
y
C
【解析】：如右图，以直线 AB 为x轴，线段 AB 的中点为原点建立直角 A 坐标系 O . 由 B 题意 x ， a,c,b 构成等差
数列，∴
2c=a+b
（两定点的距离等于定长—椭圆），即
|CA|+|CB|=2|AB|=4
，又
|CB|>|CA|
，
∴
C
的轨迹为椭圆的左半部分 .在此椭圆中，
a' =2,c' =1
，
b' =√3
，故
C
的轨迹方程为
x2 y2
+ =1(x<0,x≠−2)
4 3
例2、【2016高考新课标1卷】设圆 的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重
合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明 为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C ,直线l交C 于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形
1 1
MPNQ面积的取值范围.8k2 4k2 −12
x +x = x x =
则
1 2 4k2 +3
,
1 2 4k2 +3
.
12(k2 +1)
|MN|=√1+k2 |x −x |=
所以 1 2 4k2 +3 .
2
1
y=− (x−1)
过点 B(1,0) 且与 l 垂直的直线m： k , A到m的距离为 √k2 +1 ,所以
√ 2 √4k2 +3
|PQ|=2 42 −( ) 2 =4
√k2 +1 k2 +1
.故四边形
MPNQ
的面积
1 √ 1
S= |MN||PQ|=12 1+
2 4k2 +3
.
可得当 l 与x轴不垂直时,四边形
MPNQ
面积的取值范围为
[12,8√3)
.
当 l 与x轴垂直时,其方程为 x=1 ,
|MN|=3
,
|PQ|=8
,四边形
MPNQ
的面积为12.
MPNQ [12,8√3)
综上,四边形 面积的取值范围为 .题型【二】、点差法（设而不求）
例3．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）过点 的直线 与抛物线 交于P、Q两点.
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若 ，求直线l的斜率的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）设 ， ， ，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中
点B的轨迹方程.
（2）设直线 ，与抛物线联立，得出根与系数的关系，再运用向量的夹角运算公式表示又
，根据余弦函数的单调性建立不等式，解之可得直线l的斜率的范围.
【详解】
解：（1）设 ， ， ，代入得 ，
，
又 ，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为 .
（2）设直线 ，与抛物线联立得 ，得 ，
所以 ，
又
，
又 ，又
所以直线l的斜率 .
【点睛】
方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或 )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法
时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线
设成横截式.
例4．（2022·江苏·南京市中华中学高二阶段练习）已知点 为双曲线 上任一点， 为双
曲线的右焦点，过 作直线 的垂线，垂足为A，连接 并延长交y轴于 ．
(1)求线段 的中点 的轨迹 的方程；
(2)已知 ，过点 的直线l与轨迹E交于不同的两点M、N，设直线DM和直线DN的斜率分别
为 和 ，求证： 为定值．
【答案】(1) ．
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求出 ，设 ，利用中点公式得到方程组，最后代入回双曲线方程，最后
化简得到轨迹方程；
（2）设直线方程为 ，与双曲线联立得到方程组，利用韦达定理整体代入即可得到定值.
（1）
由已知得 ， ，
则直线 的方程为： ，
令 得 ，即 ，又 ，且 为线段 中点，
设 ，则
即 代入 得： ，
即P的轨迹E的方程为 ．（2）
由题意可知直线 的斜率一定存在,设直线 的方程为 , ,得 ,
由于直线 与双曲线 交于不同的两点 , ,则 ,解得 ,
设 ,则 ,
,
故
，
即 为定值.
【点睛】求轨迹类问题主要有代数法和几何法，本题设出点的坐标，找到它与原曲线之间的关系，得到方
程组，解出方程，代回原曲线化简即可得到轨迹方程；对于第二小问的定值问题，采取设线，联立方程，
得到韦达定理式，进行整体代入即可.题型【三】、直接法求曲线的轨迹方程
直接法：
如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P满足的等量关系
易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量
关系式，即可得到轨迹方程。
例5、（2021·宁波市北仑中学）如图，已知 ，直线 ， 是平面上的动点，过点P作l的垂
线，垂足为点Q，且 ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M；
①已知 ，求 的值；
②求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）① ；② .
【分析】
（1）可设出点 的坐标 ，由直线 ，过 作直线 的垂线，垂足为点 ，则 ，则我们
根据 ，构造出一个关于 ， 的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；
（2）①由过点 的直线交轨迹 于 、 两点，交直线 于点 ，我们可以设出直线的点斜式方程，联
立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求 的值．
②根据平面向量数量积的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
（1）设点 ，则 ，由 ，
得 ， 化简得曲线 的方程为 ；
（2）由于直线 不能垂直于 轴，且又过 轴上的定点，设直线 的方程为 ，则 ，
设 ， ，联立方程组
消去 得 ， ，故
由 ， ，得
利用对应的纵坐标相等，得 ， ，整理得 ， ，
所以 .
②因为 ， ，所以有：
由上可知：
，
因此有 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即当 时取等号，
因此 .
【点睛】
关键点睛：结合基本不等式，利用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.
例6、【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C： 上，过M作x轴的垂线，垂足
为N，点P满足 。
(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线 上，且 。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。因此点P的轨迹方程为 。
（2）由题意知 。设 ,则
，
。
由 得 ，又由（1）知 ，故
。
所以 ，即 。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线 过
C的左焦点F。题型【四】、参数法求曲线的轨迹方程
参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参
变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），
y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
例7、过抛物线 y2 =2px （ p>0 ）的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、 OB ，求弦 AB 的中点M 的轨
迹方程.
1
−
M(x,y) OA k(k≠0) OB k
【解析】、设 ，直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .直线 OA 的方程为
{ 2p
{y= kx ¿¿¿¿
x=
2
¿¿¿¿
2p 2p
k A( , )
{y=kx¿¿¿¿ k2 k B(2pk2,−2pk)
，由 解得 ，即 ，同理可得 .
{ p
x= +
pk2
¿¿¿¿
2
k
由中点坐标公式，得 ，消去 k ，得 y2 =p(x−2p) ，此即点M 的轨迹方程.
例8、已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准
线于 两点．
（I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；
（II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.
1 1 1 |a−b|
S = |b−a||FD|= |b−a||x − |,S =
ΔABF 2 2 1 2 ΔPQF 2
则 .1 1 |a−b|
|b−a||x − |=
2 1 2 2 x =0 x =1
由题设可得 ，所以 1 （舍去）， 1 .
AB E(x,y)
设满足条件的 的中点为 .
2 y
= (x≠1)
当 AB 与x轴不垂直时，由 k AB =k DE可得 a+b x−1 .
a+b
=y
2 y2 =x−1(x≠1)
而 ，所以 .学科&网
当 AB 与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为 y2 =x−1 . ....12分题型【五】代入法（相关点法）
代入法（相关点法）：
如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足
某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代
入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
例9、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形
APBQ的顶点Q的轨迹方程
【解析】、设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
√ (x−4) 2 +y2
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动
x+4 y+0
,y =
2 1 2
设Q(x,y)，R(x,y)，因为R是PQ的中点，所以x= ,
1 1 1
x+4 y x+4
( ) 2 +( ) 2 −4⋅
2 2 2
代入方程x2+y2－4x－10=0,得 －10=0
整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
C:x2 −y2 =1 Q l:x+y=2 N QN
例10、如图，从双曲线 上一点 引直线 的垂线，垂足为 ，求线段 的中
点P的轨迹方程.
y
P
Q N
O x
P(x,y)，Q(x ,y ) N(2x−x ,2y−y ) N l
【解析】设 1 1 ，则 1 1 .∵ 在直线 上，
y−y
1 =1,
∴2x−x
1
+2y−y
1
=2.
① 又
PN⊥l
得
x−x
1 即
x−y+y
1
−x
1
=0
.②
{ 3x+y−2
x = ¿¿¿¿
1 2 ∴( 3x+y−2 ) 2 −( 3 y+x−2 ) 2 =1
Q C 2 2
联解①②得 .又点 在双曲线 上， ，化简整理得：
2x2 −2y2 −2x+2y−1=0 ，此即动点P的轨迹方程.
例11、双曲线 有动点 ， 是曲线的两个焦点，求 的重心 的轨迹方程。
【解析】设 点坐标各为 ，∴在已知双曲线方程中 ，∴
∴已知双曲线两焦点为 ，
∵ 存在，∴
由三角形重心坐标公式有 ，即 。 ∵ ，∴ 。
已知点 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有
即所求重心 的轨迹方程为： 。
题型【六】、交轨法
交轨法：
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出
交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接
消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
例12、（2021·全国高二课时练习）求两动直线 与 的交点 的轨迹方程．
【答案】
【分析】
设点 ，利用两直线所过的定点，以及两直线的斜率关系，建立等式，即可求轨迹方程.
【详解】
令 ， ，
则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，所以 ．
易知 过定点 ， 过定点 ．
令 与 的交点为 ，因为 ， 存在，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，整理得 ，
所以交点 的轨迹方程为 ．故答案为：
x2 y2
− =1
例13、如右图，垂直于x轴的直线交双曲线a2 b2 于M 、N 两点， A 1 ,A 2为双曲线的
A M A N
左、右顶点，求直线 1 与 2 的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
y
M
P
A O A x
【解析】设
P(x,y)及 M(x
1
,y
1
),N(x
1
,−y
1
)
，又
A
1
(−a,0),A
2
(1a,0)
，
2
可得 N
y
y= 1 (x+a)
A M x +a
直线 1 的方程为 1 ------①；
−y
y= 1 (x−a)
A N x +a
直线 2 的方程为 1 ------②.
−y2
y2
=
1 (x2 −a2
)
由①x②得
x
1
2 −a2
---------③.
x2 y2 b2 b2 x2 y2
∵ 1 − 1 =1, ∴−y2 = (a2 −x2 ) y2 =− (x2 −a2 ) + =1
又
a2 b2 1 a2 1
，代入③得
a2 ，化简得a2 b2
，
此即点P的轨迹方程.
当a=b时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；
当a≠b时，点P的轨迹是椭圆.五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·北京二中高二阶段练习）设 为坐标原点，动点 在椭圆C： 上，过 作 轴的垂
线，垂足为 ，点 满足 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标表示，建立等量关系，代入椭圆方程，整理可得答案.
【详解】设 ， ， ，则 ， ，
由 ，则 ，解得 ，
由点 在椭圆C： 上，则 ，即 ，
即点 的轨迹方程是 .
故选：C.
2．（2021·上海市控江中学高二期末）在平面直角坐标系内，到点 和直线 的距离相等的点的轨
迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】A
【分析】利用轨迹方程的求解方法直接列方程求解.
【详解】设到点 和直线 的距离相等的点为 ，
依题意得 ，两边平方化简得 ，
即到点 和直线 的距离相等的点的轨迹方程为 ，为一条直线，
故选:A.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知半径为1的动圆与圆 相切,则动圆圆心的轨迹方
程是（ ）
A．
B． 或
C．
D． 或【答案】D
【分析】根据题意设出动圆圆心坐标,分外切和内切两种情况讨论,列出符合题意的方程化简即可.
【详解】解:由题不妨设动圆圆心为 ,
若动圆与已知圆外切,
则 ,
,
若动圆与已知圆内切,
则 ,
.
故选：D
4．（2022·江苏·盐城中学高二期中）已知 是圆 上的一动点，点 ，线段 的
垂直平分线交直线 于点 ，则 点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意有 ，从而有 ，根据双曲线的定义得点 的轨迹为是以
F、F 为焦点的双曲线．再写出其方程即可.
1 2
【详解】如图所示：
∵ 是圆 上一动点，点 的坐标为 ，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，
∴ ， ，
∵ 是圆 上一动点，∴ ，∴ ，
∴ ， ， ，∴点 的轨迹为以F、F 为焦点的双曲线，且 ， ，得 ，
1 2
∴点 的轨迹方程为 .
故选：C.
5．（2022·湖北·华中师大一附中高二期中）已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆
E上一动点，G点是三角形 的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，利用三角形的重心坐标公式可得 ，将其代入 可得结果.
【详解】 分别为椭圆 的左、右焦点，
设 ，G点是三角形 的重心
则 ，得 ，
又 是椭圆E上一动点， ，即 ，
又G点是三角形 的重心，
所以点G的轨迹方程为
故选：B
6．（2022·四川·树德中学高二期中（理））已知圆 ，圆 ，动圆M与
圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画图，分析出 ，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出 ，得到轨
迹方程.【详解】如图，由题意得： ， ，其中 ，
所以 ，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以 为焦点的椭圆，设 ，
则 ，解得： ，
故动圆圆心M的轨迹方程为 .
故选：D
7．（2022·四川·树德中学高二期中（文））已知 的周长为20，且顶点 ，则顶点 的
轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.
【详解】错解：
∵△ABC的周长为20，顶点 ，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：D.
错因：
忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.正解：
∵△ABC的周长为20，顶点 ，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆 ，动圆 与圆 外切，且
和圆 内切，则动圆 的圆心 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过动圆 与圆 外切，且和圆 内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程.
【详解】如图，
设动圆 的半径为 ，则 ， ，
则 ，
所以动圆圆心 的轨迹是以 ， 为焦点，以 为实轴长的双曲线的右支.
因为 ，
所以 .故动圆圆心 的轨迹方程为 .
故选：D.
9．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）在椭圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，垂
足为 ，点 在 的延长线上，满足 ，当点 在椭圆上运动时，点 的轨迹方程为______.
【答案】
【分析】设 ，根据题意将点 的坐标用点 表示，再利用相关点法即可得解.
【详解】解：设 ，
因为 轴， ，
所以 ，所以 ，即 ，
又点 在椭圆 上，
所以 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
10．（2022·湖北·荆门市东宝中学高二期中）已知矩形 中， ，点 ， 分别为线段
的中点，现将 沿 翻转，直到与 首次重合，则此过程中，线段 的中点的运动
轨迹长度为____________．
【答案】 ##
【分析】先分析出点 的轨迹是一个半圆，再结合三角形中位线定理可得 中
点的轨迹也是一个半圆，即可得出结果
【详解】由已知得:
四边形 是正方形， 沿DM翻转的过程中，点 的轨迹为
以 为圆心， 为半径的半圆，其半径为 ，这个半圆与DM垂直
设线段 的中点 ，线段 的中点 ，线段EF的中点为 ，在以
为半径的半圆上取一点 ，连接 ，并取 的中点 ，连接 ， ，由三角形中位线定理可得： ， ， ，
，则点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，其半径为 ，
线段AC的中点的运动轨迹长度为 ．
故答案为：
11．（2022·辽宁·育明高中高二期中）与点 和点 连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程
是______.
【答案】 ( )
【分析】利用斜率的公式进行求解即可.
【详解】设 ，则 ， ，
∵动点 与定点 、 的连线的斜率之和为 ，
∴ ，∴ ，即 ，且 ，
综上点 的轨迹方程是 ( ).
故答案为： ( )
12．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ，直线PM，PN的斜率乘积为 ，P点的
轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______.【答案】
【分析】有已知条件结合斜率公式求解即可
【详解】错解：
设P点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴曲线C的方程为 .
错因：
忽略了直线PM，PN的斜率都存在这一隐含条件.
正解：
设P点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴曲线C的方程为 .
故答案为： .
13．（2022·广东·鹤山市第一中学高二阶段练习）已知 乃是椭圆 的两焦点， 为
椭圆上任一点，从 引 外角平分线的垂线，垂足为 ，则点 的轨迹方程为___________.
【答案】【分析】根据题意，寻找点 使得 的中垂线为 ，进而得到 ，利用三角形中位线定理，
结合椭圆定义可得 ，进而得到点 的轨迹方程.
【详解】如图所示，
延长 与 的延长线交于点 ，连接 ，
因为 是 外角平分线，且 ，
所以 中， 且 为 中点，
因为 为椭圆上一点，则 ，
在 中 为 的中点
所以 ，
所以 点的轨迹方程为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题为椭圆定义的综合应用问题，关键点在于寻找中垂线 ，转化 ，
进而利用中位线定理使得 点的轨迹能和椭圆的定义联系起来，对学生的综合素养，创新能力要求较高，
属于难题.
14．（2022·四川省遂宁高级实验学校高二期中（理））已知正方体 的棱长为2，点M、N
在正方体的表面上运动，分别满足： ， 平面 ，设点M、N的运动轨迹的长度分别为
m、n，则 _______________.
【答案】 ##
【分析】 的轨迹为半径为2的球 与正方体表面的交线，即3个半径为2的 圆弧，要满足 平面
，则N在平行于平面 的平面与正方体表面的交线上，可证得为 ，最后求值即可得【详解】点M、N在正方体的表面上运动，由 ，则 的轨迹为半径为2的球 与正方体表面的交
线，即3个半径为2的 圆弧，故 .
正方体中， 平面 ， 平面
，故平面 平面 ，
当 在 上时，即满足 平面 且N在正方体的表面上，故 ，故
.
故答案为：B组 能力提升
15．（2021·陕西渭南·高三竞赛）已知动点P到直线l： 的距离比到定点 的距离多1.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于
另外一点B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1) ；
(2)证明过程见解析，定点坐标为 .
【分析】（1）根据两点间距离公式，结合题意进行求解即可；
（2）根据解方程组求出B点坐标，结合直线点斜式方程进行求解即可.
【详解】（1）设 ，
因为P到直线l： 的距离比到定点 的距离多1，
所以有 ，
当 时，化简为 ，显然满足 ；
当 时，化简为 ，显然不满
足 ，
综上所述：动点P的轨迹E的方程 ；
（2）设 ，由题意可知 ，
因此 ，所以直线OC的方程为 ，
当 时，直线OC与曲线E只有一个交点，不符合题意，
于是直线OC的方程与曲线E方程联立，得
，或 ，即 ，
当 时，即 时，直线AB的方程为 ；
当 时，即 且 时，
，直线AB的方程为： ，
因为 ，所以有 ，因此直线AB过定点 ，
显然直线 也过 点，
综上所述直线AB过定点 .
【点睛】关键点睛：利用方程有任意实数解的性质是解题的关键.
16．（2022·广东·恩平黄冈实验中学高二阶段练习）抛物线 与x轴交于A，B两点．
(1)当n为常数时，动点P满足 、 的斜率之积为 ，求动点P的轨迹方程；
(2)当n变化时，y轴上是否存在点C（异于原点），使得过A、B、C三点的圆H被y轴截得的弦长为 ？
若存在，求出此点；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）设 ， ， ，根据条件列出方程化简即可得出轨迹方程；
（2）假设y轴上存在点 ，由条件求出圆心坐标，利用半弦长、半径、弦心距之间的关系求
出弦长，判断弦长范围得解.
【详解】（1）因为 ，所以抛物线 与x轴有两个交点．
设 ， ， ，则 ， ，
动点P满足 、 的斜率之积为 ，
即 ，
即 为动点P的轨迹方程．
（2）假设y轴上存在点 ，满足题设条件，
圆心H为线段 、 中垂线的交点，
由（1）可得 ，
所以 的中垂线方程为 ．①
的中点坐标为 ，可得 的中垂线方程为 ，②又 ，③
由①②③解得 ， ，
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 ，
半径 ．
故圆在y轴上截得的弦长为
，
故y轴上不存在点C满足题设条件.
17．（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知动圆 与直线 相切，且与圆 外切.
(1)求动圆 的圆心轨迹 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与轨迹 交于A， 两点，点 ，延长 ， 分别与轨迹 交于
， 两点，设 的斜率为 ，证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出圆 的圆心坐标为 ，根据几何关系列出方程，求出轨迹方程；
（2）设出设 ， ， ， ，直线 的方程为 ， ，联立抛
物线，得到两根之和，两根之积，接下来可用两种方法得到 ， ，进而
，得到答案.
【详解】（1）圆 的标准方程为圆 ，
设动圆 的圆心坐标为 ，
由动圆与直线 相切，且与圆 外切，
故有 ，
两边平方化简得 ，所以动圆 的圆心轨迹方程为 ；
（2）设点 ，点 ，点 ，点 ，
由题意可知直线 的方程为 ，其中 ，
代入抛物线 中，消去 得 ，则 ， .
处理方式1（抛物线的直线弦方程），
，故直线 的方程为 ，
整理得 ，即 ，
又因为直线 过点 ，故有 ，可得 ，
∴ .
同理，由直线 过点 ，可得 .
处理方式2（三点共线），
由题意可知 ， ， 三点共线，
故 ，即 ，
整理得 ，
又 ， 在抛物线 上，故 ， ，
代入 得 ， ，即 ，
∴ .
同理，由 ， ， 三点共线，可得 .
于是 ，
即证 为定值2，命题得证.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行
求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.
18．（2022·广东·高二阶段练习）已知 ， ，P为平面上的一个动点．设直线AP，BP的斜率
分别为 ， ，且满足 ．记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点 的动直线l与曲线C交于E，F两点．曲线C上是否存在定点N，使得 恒成立
（直线 不经过点 ）？若存在，求出点N的坐标，并求 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) （ ）；
(2)存在， ，最小值为 .
【分析】（1）设点 ，然后根据 列方程，整理即可得到曲线 的方程；
（2）当直线 的斜率不存在时，根据 列方程得到 或 ，然后分别验证 或
时 是否成立，即可得到 ，然后在三角形 中利用等面积和勾股定理得到
， ，即可得到 ，然后求最小值即可.
【详解】（1）设点 ，则 ，因为 ，所以 ，整理得 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时方程为 ，代入曲线 的方程中得 ，解得 ，所以此
时 ， ，
设 ，则 ①， ， ，因为 ，所以
②，联立①②解得 或 （舍去）， ，所以 或 ，
当 时，且当直线l的斜率存在时，设直线 方程为 ， ， ，因为直线 经过时，所以 ，
联立 得 ， ， ，
， ，
，
所以 ，即 ，
当 时，同理可得 ，所以此时 不恒成立，
所以存在定点 使 ， ，
设点 到直线 的距离为 ，因为三角形 为直角三角形，所以 ，
，
，
当直线 斜率不存在时， ， ，
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，则 ，
，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
综上所述，存在定点 使 ， 的最小值为 .
【点睛】方法点睛：（1）求动点轨迹方法：
①直译法：建系，设动点坐标，根据条件列方程，整理，检验；
②代入法：有两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，且两动点之间存在关系，可以根据两动点的关系
代入到已知的轨迹方程中，即可得到轨迹方程；
③参数法：动点的横纵坐标不存在直接关系，但是都跟某个参数存在关系，可以通过消参的方法得到轨迹
方程；
④定义法：动点的轨迹符合已知的曲线的定义，即可根据已知曲线的定义来求轨迹方程；
（2）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助
根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
19．（2020·上海·格致中学高二阶段练习）已知 .动点 满足: .
(1)求动点 的轨迹；
(2)当 时，求 的最大值和最小值.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）设 ，得 ，根据 解决即可；
（2）当 时确定方程，然后求出向量 的表达式，然后根据圆的参数方程解决即可.
【详解】（1）由题知， .动点 满足: ，
设动点的坐标为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
若 ，则方程为 ，表示过点 ，平行于 轴的直线，若 ，则方程化为 ，
表示以 为圆心，以 为半径的圆.
（2）若 ，则方程化为 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，设 ，
所以 ，其中
，
所以 ，
所以 的最大值和最小值分别为 .
20．（2022·广西柳州·高二期中）已知动点 到点 的距离是到点 的距离的两倍．求：
(1)动点 的轨迹方程；
(2)若 为线段 的中点，试求点 的轨迹．
【答案】(1)
(2)点 的轨迹是以 为圆心，半径为2的圆
【分析】（1）用点到直线的距离公式展开化简 关系式即可；
（2）用点 坐标表示点M坐标，再代入M的轨迹方程即可得到N的轨迹方程，由此得到点 的轨迹.
【详解】（1）设动点 ，
由题意有 ，
则 ，
整理得 ，
经检验动点 的轨迹方程为 ；
（2）设点 ，由题意得 ，即 ，
因为 在 上，
所以： ，整理得 ，
经检验动点 的轨迹方程为 ，
点 的轨迹是以 为圆心，半径为2的圆．
C组 真题实战练
21．（2008·重庆·高考真题（理））如图， 和 是平面上的两点，动点P满足：
．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) ， ， ，
【分析】由已知，可根据椭圆的定义，判断点P的轨迹为椭圆，设出椭圆方程，利用待定系数法，分别求
解出 即可；
由已知，由 可得： ，将这个式子代入到
中，利用余弦定理得到 中，可得：
，从而判断点P的轨迹满足双曲线，求解出双曲线的方程，令椭圆和双曲线方程联立，
即可求解坐标.
【详解】（1）由已知， 和 是平面上的两点，动点P满足： ，
所以由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以 和 为焦点，长轴为 的椭圆，
设椭圆方程为： ，
由已知可得：半焦距 ，长半轴 ，所以 ，
所以点P的轨迹方程为： .
（2）由 ，得 ，①
又因为 ，所以点P不为椭圆长轴的顶点，
故点P、点M、点N三点组成三角形，
在 中， ， ，
由余弦定理可知： ，②
将①代入②得： ，
所以 ，即 ，
故点P的轨迹是以 和 为焦点，实轴为 的双曲线，
设双曲线方程为： ，
由已知可得： ， ，
所以点P的轨迹方程为： .
又因为点P又满足椭圆方程： ，
所以由方程组： 解得： ，
所以点P的坐标为： ， ， ， .
22．（2007·江西·高考真题（文））如图，椭圆 的右焦点为 ，过点F的一动直
线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段 的中点．(1)求点P的轨迹H的方程；
(2)在Q的方程中，令 ， ，设轨迹H的最高点和最低点分别为M和
N．当 为何值时， 为一个正三角形？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点 、 ， ，把A，B的坐标代入椭圆的方程联立，当AB不垂直x
轴时方程相减，结合 求得x和y的关系式，当AB垂直于x轴时，点P也满足，综合可得答案；
（2）把（1）中的轨迹方程整理成 ，求得M，N，F的坐标，由△MNF为一个正三角
形时，可求得a和b的关系，进而根据题设条件求得θ．
【详解】（1）设点 、 ， ，
P为线段 的中点，则 ，
点 、 在椭圆Q： 上，则
当 不垂直 轴时， ，
由①－②得 ，
，
，
,又 ,
③
当 垂直于 轴时，点 即为点 ，满足方程③,
故所求点 的轨迹H的方程为： ．（2）因为轨迹H的方程可化为：
， ， ，使△MNF为一个正三角形时，
则 ，即 ．
由于 ， ，
则 ，即
又 ，得 ，解得 ，
所以 ．
23．（2017·全国·高考真题（理））设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，
垂足为N，点P满足 .
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F.
【答案】（1） ；（2）见解析.
【详解】（1）设P（x，y），M（ ）,则N（ ），
由 得 .
因为M（ ）在C上，所以 .
因此点P的轨迹为 .
由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则
，
.
由 得-3m- +tn- =1，又由（1）知 ，故3+3m-tn=0.
所以 ，即 .又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的
左焦点F.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问
题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显
现.
24．（2012·四川·高考真题（理））如图，动点 到两定点 、 构成 ，且
，设动点 的轨迹为 ．
（1）求轨迹 的方程；
（2）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹 相交于点 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）3x2-y2-3=0（x>1）；（2）
【详解】（1）设 的坐标为 ，显然有 ，且 ，
当 时，点 的坐标为 ，
当 时， ，由 ，
有 ，即 ，化简可得， ，而点 也在曲线
，
综上可知，轨迹 的方程为 ；
（2）由 ，消去 并整理，得 ，
由题意，方程 有两根且均在 内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，
∴ ，解得 ，且 ，
设 ， 的坐标分别为 ， ，由 及方程 有
， ，∴ ，
由 ，且 ，得 且 ，
故 的取值范围是 ．
考点：1．圆锥曲线轨迹；2．直线与双曲线相交综合题．
25．（2009·山东·高考真题（文））设 ,在平面直角坐标系中,已知向量 ,向量 ,
,动点 的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且
（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知 ,设直线 与圆C: （1
