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期末复习专项训练基础题串知识+压轴题猜押及模拟测试（解析版）
第一部分 基础题串知识
知识组1 三角形
1．（2023秋•崇川区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是高，AE是角平分线，
（1）∠BAC＝ 60 ° ，∠DAC＝ 20 ° ．（填度数）
（2）求∠EAD的度数．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据高的概念求出∠DAC的度数；
（2）根据角平分线的定义求出∠EAC的度数，计算即可．
【解答】解：（1）∠BAC＝60°，∠DAC＝20°，
在△ABC中∠B＝50°，∠C＝70°，
∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：60°；20°；
（2）∵AE是角平分线，
1
∴∠EAC= ∠BAC＝30°
2
又∵AD是高，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∠DAC＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝10°．
【总结提升】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高以及三角形内角和定理，掌握三角形的角平分
线、中线和高的概念和性质是解题的关键，注意三角形内角和等于180°．
2．（2022秋•河东区期中）△ABC中，若AB＝4，AC＝6，BC的长为偶数，则BC的取值为 4 或 6 或 8．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即
可．
【解答】解：因为6﹣4＜BC＜6+4，
所以2＜B＜10，
因为BC长是偶数，
所以BC为4或6或8，
故答案为：4或6或8．
【总结提升】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形
的两边差小于第三边．
3．（1）从四边形的一个顶点出发，可以画 1 条对角线，把四边形分成了 2 个三角形；四边形共
有 2 条对角线．
（2）从五边形的一个顶点出发，可以画 2 条对角线，把五边形分成了 3 个三角形；五边形共
有 5 条对角线．
（3）从六边形的一个顶点出发，可以画 3 条对角线，把六边形分成了 4 个三角形；六边形共
有 9 条对角线．
（4）猜想：①从100边形的一个顶点出发，可以画 9 7 条对角线，把100边形分成了 9 8 个三
角形；100边形共有 485 0 条对角线．②从n边形的一个顶点出发可以画 （ n ﹣ 3 ） 条对角线，
n(n-3)
把n边形分成了 （ n ﹣ 2 ） 个三角形；n边形共有 条对角线．
2
【答案】（1）1，2，2；（2）2，3，5；（3）3，4，9；（4）①97，98，4850；②（n﹣3），（n﹣
n(n-3)
2）， ．
2
【思路引领】从多边形的一个顶点出发作对角线，作出的对角线数比边数少 3．多边形的对角线是连接
多边形两个不相邻顶点的线段．
【解答】解：（1）从四边形的一个顶点出发，可以画 4﹣3＝1条对角线，把四边形分成了4﹣2＝2个
三角形；四边形共有1×4÷2＝2条对角线．
故答案为：1，2，2；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以画 5﹣3＝2条对角线，把五边形分成了5﹣2＝3个三角形；五边形共有2×5÷2＝5条对角线．
故答案为：2，3，5；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以画 6﹣3＝3条对角线，把六边形分成了6﹣2＝4个三角形；六边
形共有3×6÷2＝9条对角线．
故答案为：3，4，9；
（4）猜想：①从100边形的一个顶点出发，可以画100﹣3＝97条对角线，把100边形分成了100﹣2
＝98个三角形；100边形共有100×97÷2＝4850条对角线．
故答案为：97，98，4850；
②从n边形的一个顶点出发可以画 n﹣3条对角线，把 n边形分成了 n﹣2个三角形；n边形共有
n(n-3)
条对角线．
2
n(n-3)
故答案为：（n﹣3），（n﹣2）， ．
2
【总结提升】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式．
知识组2 全等三角形
4．（2022秋•綦江区期末）如图1，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接AF，请直接写出图中所有的全等三角形．
【答案】（1）见解析
（2）△ADC≌△AEB，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF
【思路引领】（ 1）根据垂直得出∠CAD＝∠BEA＝90°，根据全等三角形的判定定理AAS可以证明
△ADC≌△AEB，根据全等三角形的性质定理得出AD＝AE即可；
（2 ）根据垂直得出∠BDF＝∠CEF＝90°，根据全等三角形的判定定理得出△BDF≌△CEF，根据全等
三角形的性质得出 DF＝EF，BF＝CF，再根据全等三角形的判定定理证明△AFB≌△AFC，△ADF≌△AEF即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD＝∠BEA＝90°，
在△ADC和△AEB中，
{∠ADC=∠AEB
∠A=∠A ，
AC=AB
∴△ADC≌AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE；
（2）解：图中全等三角形有△ADC≌△AEM，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，
理由是：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠CEF＝90°，
在△BDF和△CEF中，
{∠DFB=∠EFC
∠BDF=∠CEF，
BD=CE
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF，BF＝CF，
根据SS可以证明△AFB≌△AFC，△ADF≌△AEF．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的
关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
知识组3 轴对称及等腰三角形
5．（2022秋•岳普湖县校级期末）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所
有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）
【答案】（1）证明过程见解答．
（2）△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．
【思路引领】（1）根据△ABC为等边三角形，则∠C＝∠B＝60°，由DE∥BC得到∠ADE＝∠C＝∠B
＝∠AED＝60°，然后根据等边三角形的判定方法得到△ADE是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
（2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形．
由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°，
∵D、E分别为AB、AC中点，
1 1
∴AD= AB，AE= AC，
2 2
∵AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形，
1
∴AD＝DE= AB，
2
∴BD＝DE，
即△BDE为等腰三角形，
同理△DEC为等腰三角形．
∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵∠ADE＝∠ABC＝60°，
∴DE∥BC，
∴∠EBC＝∠DEB＝30°，
同理∠BCD＝∠EDC＝30°，∴FB＝FC，DF＝EF．
即△DEF和△BFC都为等腰三角形．
【总结提升】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握等边
三角形的判定与性质是解决问题的关键．
6．（2022秋•兴化市期末）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，
4）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）画出△ABC沿y轴向下平移3个单位得到△A B C ；
2 2 2
（3）在y轴上求作一点P，使△PAC的周长最小，并直接写出点P的坐标．
7
【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．P（0， ）．
4
【思路引领】（1）分别作出AB，C的对应点A ，B ，C 即可．
1 1 1
（2）分别作出AB，C的对应点A ，B ，C 即可．
2 2 2
（3）连接AC 交y轴于P，连接PC，点P即为所求作．
1
【解答】解：（1）如图，△A B C ；即为所求作．
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求作．
2 2 2
7
（3）如图，点P即为所求作，P(0， )．
4【总结提升】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
知识组4 整式的乘法与因式分解
7．计算：
（1）（﹣2a2b）2•（6ab）÷（﹣3b2）
（2）（x+3y）（x﹣3y）
（3）（2x﹣1）（3x+2）﹣6x（x﹣2）
（4）（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y）
【思路引领】（1）原式先利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算，再利用单项式的乘除法则计算即可
得到结果；
（2）原式利用平方差公式化简即可得到结果；
（3）原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合
并即可得到结果；
（4）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝4a4b2•（6ab）÷（﹣3b2）＝﹣8a5b；
（2）原式＝x2﹣9y2；
（3）原式＝6x2+4x﹣3x﹣2﹣6x2+12x＝13x﹣2；
（4）原式＝9x2﹣6xy+y2﹣（9x2﹣4y2）＝9x2﹣6xy+y2﹣9x2+4y2＝5y2﹣6xy．
【总结提升】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，
以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
8．（2022秋•肇源县期中）因式分解：
（1）6a2b﹣18ab+3b；
（2）a3+2a2+a；
（3）9（a﹣b）2﹣16（a+b）2；（4）a4﹣1．
【思路引领】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式分解即可；
（4）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝3b（2a2﹣6a+1）；
（2）原式＝a（a2+2a+1）
＝a（a+1）2；
（3）原式＝[3（a﹣b）+4（a+b）][3（a﹣b）﹣4（a+b）]
＝（7a+b）（﹣a﹣7b）
＝﹣（7a+b）（a+7b）；
（4）原式＝（a2+1）（a2﹣1）
＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）．
【总结提升】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
知识组5 分式
9．（2023春•谯城区期末）如果两个分式P与Q的和为常数m，且m为正整数，则称P与Q互为“完美
x 1 x+1
分式”，常数m称为“完美值”，如分式P= ，Q= ，P+Q= =1，则P与Q互为“完
x+1 x+1 x+1
美分式”，“完美值”m＝1．
x-1 x-7
（1）已知分式A= ，B= ，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，
x-4 x-4
请求出“完美值”m；
3x-4 E
（2）已知分式C= ，D= ，若C与D互为“完美分式”，且“完美值”m＝3，其中x为正
x-2 x2-4
整数，分式D的值为正整数．
①求E所代表的代数式；
②求x的值．
【思路引领】（1）根据完美值的定义，运算验证即可；
（2）根据完美值的定义，C+D＝3，运算出E，再根据x为正整数，分式D的值为正整数的条件进行运
算即可．x-1 x-7 2(x-4)
【解答】解：（1）A+B= + = =2，
x-4 x-4 x-4
根据完美值的定义，A与B是“完美分式”，完美值”m＝2．
（2）∵C与D互为“完美分式”，
3x-4 E
+ =
∴ 3，
x-2 x2-4
E 3x-4 -2 -2(x+2)
① = 3- = = ，
x2-4 x-2 x-2 x2-4
∴E＝﹣2x﹣4，
-2x-4 2
②D = =- ，
x2-4 x-2
∵分式D为正整数，x为正整数，
∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2，
∴x＝1，x＝0（舍去），
∴x＝1．
【总结提升】本题考查了分式的加减法以及分式的值的计算，读懂题意是突破该题的前提．
10．（2022秋•汉阴县期末）某工程队修建一条1800米的道路，由于施工过程中采用了新技术，所以工作
效率提高了20%，结果提前3天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）这项工程，如果要求工程队提前6天完成任务，那么这个工程队实际每天修建道路多少米？
【思路引领】（1）设这个工程队原计划每天修道路x米，由题意：某工程队修建一条长1800米的道路，
采用新的施工方式，工作效率比原计划增加了20%，结果提前3天完成任务．列出分式方程，解方程即
可；
（2）设这个工程队实际每天修道路y米，由题意：要求工程队提前6天完成任务，列出分式方程．
【解答】解：（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，
1800 1800
由题意得： - = 3，
x (1+20%)x
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
答：这个工程队原计划每天修建道路100米．
（2）设这个工程队实际每天修道路y米，
1800 1800
由题意得： - = 6，
100 y解得：y＝150，
经检验，y＝150是所列方程的解，且符合题意，
工程队实际每天修建道路150米．
答：工程队实际每天修建道路150米．
【总结提升】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
第二部分 压轴题猜压
猜压1 全等三角形中的动点问题
1．（2020秋•增城区期末）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y
轴交于D点，∠CAO＝∠DBO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），
当H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG
这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）根据角平分线得出∠ACD＝∠BCD，进而判断出△ACD≌△BCD，即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥AC于M，根据角平分线得出DO＝DM，进而判断出△BOD≌△AMD，得出OB＝
AM，进而判断出Rt△DOC≌Rt△DMC，得出OC＝MC，再判断出OB＝EM，即可得出结论；
（3）在GO的延长线上取一点N，使ON＝FH，再判断出DO＝DF，进而判断出△DON≌△DFH，得
出DN＝DH，∠ODN＝∠FDH，进而判断出∠GDH＝∠GDN，进而判断出△DGN≌△DGH，得出GH
＝GN，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△BCD中，{∠CAO=∠DBO
∠ACD=∠BCD，
CD=CD
∴△ACD≌△BCD（AAS），
∴AC＝BC；
（2）如图2，
过点D作DM⊥AC于M，
∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，
∴DO＝DM，
在△BOD和△AMD中，
{
∠DBO=∠DAM
∠BOD=∠AMD=90°，
DO=DM
∴△BOD≌△AMD（AAS），
∴OB＝AM，
在Rt△DOC和Rt△DMC中，
{DO=DM
，
DC=DC
∴Rt△DOC≌Rt△DMC（HL），
∴OC＝MC，
∵∠CAO＝∠DBO，∠DEA＝∠DBO，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵DM⊥AC，
∴AM＝EM，
∴OB＝EM，
∵C（4，0），
∴OC＝4，
∴BC+CE＝OB+OC+MC﹣EM＝2OC＝8；
（3）GH＝OG+FH；
证明：如图3，
在GO的延长线上取一点N，使ON＝FH，∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC，
∴DO＝DF，
在△DON和△DFH中，
{
DO=DF
∠DON=∠DFH=90°，
ON=FH
∴△DON≌△DFH（SAS），
∴DN＝DH，∠ODN＝∠FDH，
∵∠GDH＝∠GDO+∠FDH，
∴∠GDH＝∠GDO+∠ODN＝∠GDN，
在△DGN和△DGH中，
{
DN=DH
∠GDN=∠GDH，
DG=DG
∴△DGN≌△DGH（SAS），
∴GH＝GN，
∵ON＝FH，
∴GH＝GN＝OG+ON＝OG+FH．
【总结提升】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形
的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
猜压2 与等边三角形有关的类比探究2．（2021秋•合阳县期末）数学理解
（1）如图1，在等边△ABC内，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，BE
＝BD，求∠BCE的度数；
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）如图2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，∠BCE＝
30°，连接DE，求∠CDE的度数．
【答案】（1）30°；
（2）10°．
【思路引领】（1）连接AD，依据直线AD是线段BC的垂直平分线，即可得到AD平分∠BAC，进而得
出∠BAD的度数；再判定△ABD≌△CBE（SAS），即可得到∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）作等边三角形 ABC，连接AD，判定△ABD≌△CBE（SAS），即可得到 BD＝BE，进而得出
∠BDE＝70°，再根据∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE进行计算即可．
【解答】解：（1）如图1，连接AD，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BDC＝80°，
∴∠DBC＝50°，
∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，
又∵AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）如图2，作等边三角形ABC，连接AD，
由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴BD＝BE，
∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，
∴∠BDE＝70°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．
【总结提升】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边三角形的三个
内角都相等，且都等于60°．
猜压3 分式方程的应用
3．（2023春•青羊区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌 A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断
下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销
售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，
B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的
数量不少于6辆，有几种进货方案？【思路引领】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今
年销售额90万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解；
（2）设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进（15﹣y）辆，根据购车资金不多于105万元，列不等
式求解．
【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆售价（x+1）万元，
100 90
由题意得： = ，
x+1 x
解得：x＝9，
经检验：x＝9是原分式方程的解，且符合题意，
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元．
（2）设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进（15﹣y）辆，
由题意得：7.5y+6（15﹣y）≤105，
解得：y≤10．
故y可以取值：6、7、8、9、10．共有5种进货方案．
答：共有5种进货方案．
【总结提升】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量
关系，列方程和不等式求解．
猜压4 因式分解的应用
4．（2022秋•上林县期中）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如x2+2xa+a2，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二
次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一
项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2
＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适
当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配
方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣8a+15；
1
（2）若a2+b2﹣12a﹣6b+45+| m﹣c|＝0；
2
①当a，b，m满足条件：2a×4b＝8m时，求m的值；
②若△ABC的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求△ABC的周长．
【思路引领】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子分解因式；（2）①根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，从而可以求得m的值；
②根据①中a、b的值和题意可以求得△ABC的周长．
【解答】解：（1）a2﹣8a+15＝（a2﹣8a+16）﹣1＝（a﹣4）2﹣12＝（a﹣3）（a﹣5）；
1
（2）①∵a2+b2﹣12a﹣6b+45+| m﹣c|＝0，
2
1
∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣6b+9）+| m﹣c|＝0，
2
1
∴（a﹣6）2+（b﹣3）2+| m﹣c|＝0，
2
∴a﹣6＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝6，b＝3，
∵2a×4b＝8m，
∴26×43＝8m，
∴26×26＝23m，
∴212＝23m，
∴12＝3m，
解得，m＝4；
②由①知，a＝6，b＝3，
∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴3＜c＜9，
又∵c边的长为奇数，
∴c＝5，7，
当a＝6，b＝3，c＝5时，△ABC的周长是：6+3+5＝14，
当a＝6，b＝3，c＝7时，△ABC的周长是：6+3+7＝16，
【总结提升】本题考查因式分解的应用、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、三角形三边关系，解
答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
猜压5 等腰三角形的性质
5．（2021秋•裕华区期末）【问题】
已知：如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，BD＝BA．EF垂直平分AC，交AC于点E，交BC于
点F，连接AF．当∠B＝30°，∠BAF＝90°时，求∠DAC的度数．
【探究】
若把“问题”中的条件“∠B＝30°”去掉，其它条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？请说明理由．【拓展】
若把“问题”中的条件“∠B＝30°”去掉，再将“∠BAF＝90°”改为“∠BAF＝ ”，其余条件不变，
α
1
则∠DAC＝ α ．
2
【思路引领】【问题】
连接AD，AF，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠BAD的度数，利用线段垂直平分
线的性质可得∠CAF＝∠C，结合三角形的内角和定理可求得∠AFB及∠C的度数，进而可求解；
【探究】
类比【问题】的解法可求解；
【拓展】
类比【问题】的解法可求解．
【解答】解：【问题】
连接AD，AF，
∵AB＝BD，∠B＝30°，
180°-30°
∴∠BAD＝∠BDA= =75°，
2
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF＝180°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AFB＝∠C+∠CAF＝2∠C，
∴∠C＝∠CAF＝30°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝75°﹣30°＝45°；
【探究】
连接AD，AF，∵AB＝BD，
180°-∠B 1
∴∠BAD＝∠BDA= =90°- ∠B，
2 2
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF＝180°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠B，
∵∠AFB＝∠C+∠CAF＝2∠C，
1
∴∠C＝∠CAF＝45°- ∠B，
2
1 1
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C=90°- ∠B-（45°- ∠B）＝45°；
2 2
【拓展】
连接AD，AF，
∵AB＝BD，
180°-∠B 1
∴∠BAD＝∠BDA= =90°- ∠B，
2 2
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF＝180°，∠BAF＝ ，
∴∠AFB＝180°﹣ ﹣∠B， α
∵∠AFB＝∠C+∠αCAF＝2∠C，
1 1
∴∠C＝∠CAF＝90°- α- ∠B，
2 2
1 1 1 1
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C=90°- ∠B-（90°- α- ∠B）= α．
2 2 2 21
故答案为： α．
2
【总结提升】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，利用类
比推理求解是解题的关键．
第三部分 期末模拟测试
一、选择题
1．（在下列四个标志图案中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路引领】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（2022秋•增城区期中）在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【思路引领】由∠A﹣∠B＝∠C，∠A＝∠B+∠C，结合三角形内角和定理，可求出∠A＝90°，进而可
得出此三角形一定是直角三角形．
【解答】解：∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，又∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴此三角形一定是直角三角形．
故选：B．
【总结提升】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
3．（2022秋•海口期中）如图，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE，再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△AED
的是（ ）
A．AB＝AE B．∠C＝∠D C．DE＝CB D．∠E＝∠B
【答案】C
【思路引领】根据∠CAD＝∠BAE求出∠BAC＝∠DAE，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAD+∠BAD＝∠BAE+∠BAD，
即∠BAC＝∠DAE，
A．AB＝AE，AC＝AD，∠BAC＝∠DAE，符合全等三角形的判定定理SAS，能证明△ABC≌△AED，
故本选项不符合题意；
B．∠C＝∠D，AC＝AD，∠BAC＝∠DAE，符合全等三角形的判定定理 ASA，能证明
△ABC≌△AED，故本选项不符合题意；
C．DE＝CB，AC＝AD，∠BAC＝∠DAE，不符合全等三角形的判定定理 SAS，不能证明
△ABC≌△AED，故本选项符合题意；
D．∠B＝∠E，∠BAC＝∠DAE，AC＝AD，符合全等三角形的判定定理 AAS，能证明
△ABC≌△AED，故本选项不符合题意；
故选：C．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
4．（2022秋•琼山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝3，则BC的长（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．10.5
【答案】C
【思路引领】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝30°，再根据垂直定义可得
∠DAB＝90°，从而在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质BD＝2AD＝6，然后利用角的和
差关系求出∠CAD＝30°，从而可得∠C＝∠CAD＝30°，再利用等角对等边可得CD＝AD＝3，最后进行
计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
1
∴∠B＝∠C= （180°﹣∠BAC）＝30°，
2
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴BD＝2AD＝6，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴CD＝AD＝3，
∴BC＝BD+CD＝6+3＝9，
故选：C．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的
判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
5．（2022秋•天宁区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中
点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接
BE、EC．下列判断正确的有（ ）
①△ABE≌△DCE；②BE＝EC；③BE⊥EC；④S△AEC ＝S△AEB ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引领】由 ADE 是锐角为 45°的直角三角板，得到相等的相等和 45°的角，从而得到
△ABE≌△DCE，由确定的性质判断其它三个选项是否正确．
【解答】解：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，
∴AB＝DC．
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，∠EAD＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC+∠EAD
＝90°+45°
＝135°，
∠EDC＝180°﹣∠ADE
＝180°﹣45°
＝135°．
在△ABE和△DCE中，
AB＝DC，∠BAE＝∠EDC，AE＝ED，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
故①正确；
∴BE＝EC（全等三角形的对应边相等），
故②正确；
∴∠AEB＝∠DEC（全等三角形的对应角相等），
∴∠BEC＝∠BED+∠DEC
＝∠BED+∠AEB
＝∠AED＝90°，
∴BE⊥CE．
故③正确；
∵△ABE≌△DCE，
∴S△ABE ＝S△DCE ，
∵S△AEC ＝S△DCE +S△AED ，
∴S△AEC ＞S△AEB ，
故④错．故选：C．
【总结提升】本题考查的是全等三角形的性质和判断，熟练运用全等三角形的性质和判断是解题的关键．
6．（2023春•石狮市期末）在平面直角坐标系xOy中，与点（2，5）关于y轴对称的点是（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（5，2）
【答案】A
【思路引领】根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可．
【解答】解：∵点（2，5），
∴与点（2，5）关于y轴对称的点（﹣2，5）．
故选：A．
【总结提升】本题考查的是坐标与图形变化﹣对称，熟知关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为
相反数是解题的关键．
7．（2022春•鄄城县期末）下列各式中，属于分式的为（ ）
x 1 3 2x- y
A． B． xy+x2y C． D．
2 3 x+ y 4
【答案】C
A
【思路引领】根据一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式判断即
B
可．
【解答】解：A，B，D选项的分母中不含字母，不是分式，故A，B，D选项不符合题意；
C选项的分母中含有未知数，属于分式，故C选项符合题意；
故选：C．
【总结提升】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那
A
么式子 叫做分式是解题的关键．
B
8．（2022•南充模拟）直线a∥b，将正△ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠1＝130°，则∠2的
度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C【思路引领】根据对顶角求出∠3，根据平行线的性质得出∠4，根据等边三角形的性质得出∠5，进而
利用三角形外角性质得出∠2即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝130°，a∥b，
∴∠3＝∠1＝130°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣130°＝50°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠5＝60°﹣∠4＝60°﹣50°＝10°，
∴∠2＝∠5+∠C＝10°+60°＝70°，
故选：C．
【总结提升】本题主要考查等边三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质和平行线的
性质是解题的关键．
9．（2022•洪泽区一模）已知直线a∥b，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝
132°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．12° C．18° D．30°
【答案】B
【思路引领】根据对顶角求出∠3，根据平行线的性质得出∠4，根据等边三角形的性质得出∠1即可．
【解答】解：如图，∵∠2＝132°，a∥b，
∴∠3＝∠2＝132°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣132°＝48°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠1＝60°﹣∠4＝60°﹣48°＝12°，
故选：B．
【总结提升】本题主要考查等边三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质和平行线的
性质是解题的关键．
10．（2022秋•西峡县期中）能用如图来解释其几何意义的等式是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab＝a（a+2b）
【答案】C
【思路引领】用代数式表示各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系得出答案即可．
【解答】解：如图，图中阴影部分可以看作长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣
b），
阴影部分的面积也可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
所以（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
即：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．【总结提升】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数
式表示各个部分的面积是正确解答的关键．
11．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则点C的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（2，3） C．（1，4） D．（3，1）
【答案】A
【思路引领】已知△AOE和△OCD的两角及其一角的对边对应相等，利用AAS得到两个三角形全等．
要得到C点的坐标，需知道OD和和CD的长．
【解答】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，
则∠AEO＝∠ODC＝∠BFA＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°．
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝CO＝BA，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COD＝90°，∴∠OAE＝∠COD．
在△AOE和△OCD中，∠AEO＝∠ODC，∠OAE＝∠COD，OA＝CO，
∴△AOE≌△OCD（AAS），
∴AE＝OD，OE＝CD．
∵点A的坐标是（−3，1），
∴OE＝3，AE＝1，
∴OD＝1，CD＝3，
∴C（1，3）．
故选：A．
【总结提升】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，掌握正方形的四个角都是直
角，四条边相等、全等三角形的判定（AAS）是解答此题关键．
m 4
12．（2022秋•渝中区校级期中）已知关于x的分式方程 - =1的解为整数，且关于y的不等
2-2x 2x-2
{ m+4 y＜3
式组 有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m有（ ）
3 y+2＞- y+3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【思路引领】先解方程方程，再由x≠1，确定m+2是2的倍数且m≠﹣4，再解一元一次不等式组得到
1 3-m
＜ ≤3，求出m的范围，最后求出同时符合分式方程和一元一次不等式的m的值即为所求．
4 4
m 4
【解答】解： - =1，
2-2x 2x-2
m+4＝2﹣2x，
m+2
x=- ，
2
∵方程的解为整数，
∴m+2是2的倍数，
∵x≠1，
∴m≠﹣4，
{ m+4 y＜3①
，
3 y+2＞- y+3②3-m
由①得y＜ ，
4
1
由②得y＞ ，
4
∵不等式组有解且至多有2个整数解，
1 3-m
∴ ＜ ≤3，
4 4
解得﹣9≤m＜2，
∴符合m的值有﹣8，﹣6，﹣4，﹣2，0，
又∵m≠﹣4，
故选：C．
【总结提升】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分
式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键．
二、填空题
13．（2022秋•越秀区校级期中）如图，将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过
点D，则∠FDB＝ 15 ° ．
【答案】15°．
【思路引领】根据三角形外角的性质解决此题．
【解答】解：由题意得，∠ABC＝60°，∠F＝45°．
∴∠FDB＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°．
故答案为：15°．
【总结提升】本题主要考查三角形的外角，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
14．（2022秋•五峰县期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D和点E，
AB＝12，△ACD的周长为21，则AC＝ 9 ．【答案】9．
【思路引领】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ACD的周长为21，
∴AC+AD+CD＝AC+AD+DB＝AC+AB＝21，
∵AB＝12，
∴AC＝9，
故答案为：9．
【总结提升】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点
的距离相等是解题的关键．
2
15．（2019•天山区校级二模）一个多边形的外角和是内角和的 ，这个多边形的边数为 7 ．
5
【答案】见试题解答内容
【思路引领】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的外
2
角和是内角和的 ，列方程求解．
5
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）•180°，
2
依题意得（n﹣2）•180°× =360°，
5
解得n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7
【总结提升】本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，注意：多边形内角和为（n﹣2）•180
（n≥3且n为整数），多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是多
少，其外角和永远为360°．
16．（2022秋•永春县期末）如图，△ABC中，AB＝12，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E、D，若△ACE的周长是21，则AC＝ 9 ．
【答案】9．
【思路引领】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∵△AEC的周长为21，
∴AC+AE+EC＝21，
∴AC+AE+EB＝AC+AB＝21，
又∵AB＝12，
∴AC＝21﹣12＝9，
故答案为：9．
【总结提升】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的
距离相等是解题的关键．
17．（2022秋•孝义市期中）如图，小张同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，
∠ACB＝90°，AC＝BC，若每个小长方体教具高度均为4cm，则两摞长方体教具之间的距离DE的长为
28 cm．
【答案】28．
【思路引领】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝
90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，根据全等三角形的性
质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
{∠ADC=∠CEB
∠DAC=∠BCE，
AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵DE＝CD+CE，
∴DE＝BE+AD，
∵一块长方体教具的厚度为4cm，
∴AD＝16cm，BE＝12cm，
∴两摞长方体教具之间的距离DE的长＝16+12＝28（cm）．
故答案为：28．
【总结提升】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全
等的条件．
18．（2022秋•越秀区校级月考）1纳米＝0.000000001米，8.5纳米用科学记数法表示为 8.5×1 0 ﹣ 9 米 ．
【答案】8.5×10﹣9米．
【思路引领】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，
n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：8.5纳米＝8.5×0.000000001米＝8.5×10﹣9米．
故答案为：8.5×10﹣9米．
【总结提升】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
19．（2022秋•河口区期末）如图，点I为△ABC的三个内角的角平分线的交点，AC＝4，BC＝6，AB＝
5，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为 5 ．【答案】5．
【思路引领】因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角
对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【解答】解：如图，
∵点I为△ABC的三个内角的角平分线的交点，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∵AB＝5，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝5，
即图中阴影部分的周长为5，
故答案为：5．
【总结提升】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的
内心是角平分线的交点是关键．
20．（2022春•枣庄期末）枣庄市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有 48
件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为 80%．
【答案】80%．
【思路引领】设甲厂产品的合格率为x%，则乙厂产品的合格率为（x﹣5）%，由题意：枣庄市质检部
门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，列出
分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲厂产品的合格率为x%，则乙厂产品的合格率为（x﹣5）%，
48 45
=
根据题意得： ，
x% (x-5)%
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
即甲厂产品的合格率为80%，
故答案为：80%．
【总结提升】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（2023春•定陶区期末）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A ，得
1
∠A ，∠A BC和∠A CD的平分线交于点 A ，得∠A ，…，∠A BC和∠A CD的平分线交于点
1 1 1 2 2 2022 2022
m
A ，则∠A ＝ °．
2023 2023 22023
m
【答案】 ．
22023
【思路引领】利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用 m°表示出∠A 、∠A 并找出规律，
1 2
再利用规律得到结论．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A ，
1
1 1
∴∠A BC= ∠ABC，∠A CD= ∠ACD．
1 2 1 2
∵∠A CD＝∠A +∠A BC，
1 1 1
∴∠A ＝∠A CD﹣∠A BC
1 1 1
1 1
= ∠ACD- ∠ABC
2 21
= （∠ACD﹣∠ABC）．
2
∵∠ACD＝∠ABC+∠A，
1
∴∠A = （∠ABC+∠A﹣∠ABC）
1 2
1
= ∠A
2
1
= m°．
2
1 1
同理可得：∠A = ∠A = m°，
2 2 1 22
1 1
∠A = ∠A = m°..．
3 2 2 23
1 m
∴∠A = m°＝（ ）°．
2023 22023 22023
m
故答案为： ．
22023
【总结提升】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解
决本题的关键．
三、解答题
22．（2022春•南安市期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．
（1）求∠CBD的度数；
（2）斜边AB在直线EF上，求∠CAE的度数．
【答案】（1）55°；
（2）145°．
【思路引领】（1）结合直角三角形的性质，利用三角形的内角和定理可求解；
（2）利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∠BCD＝35°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAE是△ABC的一个外角，
∴∠CAE＝∠ACB+∠CBD＝90°+55°＝145°．
【总结提升】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，掌握三角形的内
角和定理是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当∠A＝44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）根据AB＝AC可得∠B＝∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质，得出∠BED＝∠CFE，再根据三角形内角和定理以及平角的定义，即可
求得∠DEF的度数；
（3）根据△DEF为等边三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度数，最后根据等腰三角形ABC，
求得其顶角的度数．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵在△BDE和△CEF中，
{
BD=CE
∠B=∠C，
BE=CF
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF；1
（2）当∠A＝44°时，∠B＝∠C= （180°﹣44°）＝68°，
2
∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED＝∠CFE，
∵△CEF中，∠CEF+∠CFE＝180°﹣68°＝112°，
∴∠BED+∠CEF＝112°，
∴∠DEF＝180°﹣112°＝68°；
（3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形．
证明：若△DEF为等边三角形，则∠DEF＝60°，
∴∠BED+∠CEF＝120°，
又∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED＝∠CFE，
∴△CEF中，∠CEF+∠CFE＝120°，
∴∠C＝180°﹣120°＝60°＝∠B，
∴△ABC中，∠A＝180°﹣60°×2＝60°．
【总结提升】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全
等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行
计算推导，解题时注意三角形的内角和等于180°．
24．（2022秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB
于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）EF＝4，F为AB中点，求DF的长．【答案】（1）见解答；（2）8．
【思路引领】（1）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用等角的余角相等证明∠D＝∠AFD即
可解答；
（2）由（1）得△ADF是等腰三角形，想到等腰三角形的三线合一性质，所以过点A作AG⊥DE，垂足
为G，先在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，然后证明△AGF≌△BEF即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，∵AB＝AC，EF＝4，
∴BF2＝BE2+EF2，
∵F为AB中点，
1
∴AF＝BF= AB，
2
在Rt△BFE和△AFG中，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
25．（2023春•古田县期中）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，
CD．
（1）若∠B＝50°，求∠ACD的度数；
（2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）40°；
（2））∠B+∠ACD＝90°，理由见解答．
【思路引领】（1）连接BD并延长，交AC于H，根据线段垂直平分线的性质得到 DA＝DB，DC＝
DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC，根据三角形的外角性质求出
∠ADC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）根据（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）连接BD并延长，交AC于H，
∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，DC＝DB，∴∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC，
∴∠ADH＝∠DAB+∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB+∠DBC＝2∠DBC，
∴∠ADC＝2∠ABC＝100°，
∵DA＝DB，DC＝DB，
∴DA＝DC，
1
∴∠ACD＝∠CAD= （180°﹣100°）＝40°；
2
（2）∠B+∠ACD＝90°，
理由如下：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴2∠ACD+2∠ABC＝180°，
∴∠ACD+∠ABC＝90°．
【总结提升】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的
点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
26．（2023春•六安月考）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边
BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
（1）求证：①∠DAC＝∠FAB；
②DF＝CE+EF；
（2）若AB＝BC，∠CDE＝20°，求∠CAF的度数．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）①由“HL”可证Rt△ADF≌Rt△CAB，可得∠DAF＝∠CAB，即可求解．
②由“HL”可证Rt△AEF≌Rt△AEB，可得BE＝EF，即可求解；（2）由全等三角形的性质可求∠ADF＝∠ACB＝45°，AD＝AC，∠DAF＝∠CAB＝45°，由等腰三角形
的性质可求∠DAC＝50°，即可求解．
【解答】（1）①证明：∵AF⊥DE，
∴∠DFA＝90°＝∠B，
在Rt△ADF和Rt△CAB中，
{AD=AC
，
AF=AB
∴Rt△ADF≌Rt△CAB（HL），
∴∠DAF＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠FAB；
②证明：如图，连接AE，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
{AE=AE
，
AF=AB
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴EF＝BE，
∵Rt△ADF≌Rt△CAB，
∴DF＝BC，
∴DF＝BC＝BE+CE＝EF+CE；
（2）解：∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵Rt△AEF≌Rt△AEB，
∴∠ADF＝∠ACB＝45°，AD＝AC，∠DAF＝∠CAB＝45°，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADC＝∠ADF+∠CDE＝65°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝65°，
∴∠CAD＝50°，
∴∠CAF＝5°．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方
法是解题的关键．
27．（2023春•柯桥区月考）（1）先化简，再求值，（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x
＝﹣3；
（2）已知x+y＝3，xy＝1，求x2+y2与（x﹣y）2的值．
【答案】（1）x2﹣5，4；
（2）7，5．
【思路引领】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把 x的
值代入计算即可；
（2）根据完全平方公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣9﹣（4x2﹣4x）+（x2﹣4x+4）
＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
＝x2﹣5，
当x＝﹣3时，原式＝（﹣3）2﹣5＝4；
（2）∵x+y＝3，
∴（x+y）2＝32，即x2+2xy+y2＝9，
∵xy＝1，
∴x2+y2＝7，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝7﹣2×1＝5．
【总结提升】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
28．（2022秋•洪山区期中）如图所示，在△ABC和△DEC中，AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．点E在边
AB上，若∠ACE＝2∠ECB＝52°，
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）求∠AED的度数．【答案】（1）见解析；
（2）26°．
【思路引领】（1）根据SSS证明△ABC≌△DEC即可得出结论；
（2）根据∠ACE＝2∠ECB＝52°结合△ABC≌△DEC，推出∠CED＝∠B＝∠CEB＝77°，即可求解．
【解答】（1）证明：在△ABC与△DEC中，
{AB=DE
AC=DC，
CB=CE
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵∠ACE＝2∠ECB＝52°，
∴∠ECB＝26°，
∵CE＝CB，
1
∴∠CEB＝∠B= (180°-∠ECB)
2
1
= (180°-26°)
2
＝77°，
由（1）知，△ABC≌△DEC，
∴∠CED＝∠B＝77°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED﹣∠CEB
＝180°﹣77°﹣77°
＝26°．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
29．（2023•东明县三模）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器
人每小时多搬运30kg材料，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于1700kg，则至少购进A型号机器人多少台？
【答案】（1）A型机器人每小时搬运90kg，B型机器人每小时搬运60kg；
（2）至少购进17台A型机器人．
【思路引领】（1）设B型机器人每小时搬运xkg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg，根据题
意列分式方程，即可求解；
（2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可．
【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运xkg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg，
900 600
依题意得： = ，
x+30 x
解得x＝60（kg），
经检验，x＝60是原方程的解，
即A型机器人每小时搬运60+30＝90（kg）．
答：A型机器人每小时搬运90kg，B型机器人每小时搬运60kg．
（2）设购进A型a台，B型（20﹣a）台，
由题意得，90a+60×（20﹣a）≥1700，90a+1200﹣60a≥1700，
50
解得，a≥ ，
3
故满足要求的最小整数解为：a＝17．
答：至少购进17台A型机器人．
【总结提升】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程
和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验．
30．（2020秋•永城市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC
于点E，连接AE，且BA＝AE．
（1）若∠BAE＝30°，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为18cm，AC＝7cm，求DC的长．
【答案】（1）37.5°；（2）5.5cm．
【思路引领】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝
∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC＝11cm，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，BA＝AE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝30°，
1
∴∠AED= （180°﹣30°）＝75°，
2
1
∴∠C= ∠AED＝37.5°；
2
（2）∵△ABC周长18cm，AC＝7cm，
∴AB+BC＝11cm，
∴AB+BE+EC＝11cm，
即2DE+2EC＝11cm，
∴DE+EC＝5.5cm，
∴DC＝DE+EC＝5.5cm．
【总结提升】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段
垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
