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2022年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）（2022•台州）计算﹣2×（﹣3）的结果是（ ）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
2．（4分）（2022•台州）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2022•台州）无理数 的大小在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（4分）（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确
的是（ ）
A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°
5．（4分）（2022•台州）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8
C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2
6．（4分）（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、
队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标
为（ ）
第1页（共26页）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）
7．（4分）（2022•台州）从A，B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．
下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（4分）（2022•台州）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的
距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行
6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表
示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）
A． B．
第2页（共26页）C． D．
9．（4分）（2022•台州）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重
合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（ ）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
10．（4分）（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污
水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ）
A．（840+6 ）m2 B．（840+9 ）m2 C．840m2 D．876m2
二、填空题（本π题有6小题，每小题5π分，共30分）
11．（5分）（2022•台州）分解因式：x2﹣1＝ ．
12．（5分）（2022•台州）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）
掷一次，朝上一面点数是1的概率为 ．
13．（5分）（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．
若EF的长为10，则CD的长为 ．
14．（5分）（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且
第3页（共26页）BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．
15．（5分）（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则
图中被污染的x的值是 ．
先化简，再求值：
+1，其中x＝★．
解：原式＝ •（x﹣4）+（x﹣4）…①
＝3﹣x+x﹣4
＝﹣1
16．（5分）（2022•台州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在
边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为
；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第
24题14分，共80分）
17．（8分）（2022•台州）计算： +|﹣5|﹣22．
18．（8分）（2022•台州）解方程组： ．
19．（8分）（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的
角 为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：
α
第4页（共26页）sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
20．（8分）（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高
（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：
cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
21．（10分）（2022•台州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O与BC交于点D，
连接AD． ⊙
（1）求证：BD＝CD．
（2）若 O与AC相切，求∠B的度数．
（3）用⊙无刻度的直尺和圆规作出劣弧 的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）
22．（12分）（2022•台州）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：
小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下
表．
第5页（共26页）学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间x（小时） 0.5≤x＜ 1.5≤x＜ 2.5≤x＜ 3.5≤x＜ 4.5≤x＜
1.5 2.5 3.5 4.5 5.5
组中值 1 2 3 4 5
人数（人） 21 30 19 18 12
（1）画扇形图描述数据时，1.5≤x＜2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量
说明其合理性．
23．（12分）（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图
2，在正方形ABCD各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝ AB，依次
1 1 1 1 1 1 1 1
连接它们，得到四边形A B C D ；再在四边形A B C D 各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
A B ＝B C ＝C D ＝D A ＝ A B ，依次连接它们，得到四边形A B C D ；……如此继续
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2
下去，得到四条螺旋折线．
（1）求证：四边形A B C D 是正方形．
1 1 1 1
（2）求 的值．
（3）请研究螺旋折线BB B B …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
1 2 3
24．（14分）（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带
浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘
第6页（共26页）抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其
水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，
上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离
OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小
值．
第7页（共26页）2022年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）（2022•台州）计算﹣2×（﹣3）的结果是（ ）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘即可得
出答案．
【解答】解：﹣2×（﹣3）
＝+（2×3）
＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
是解题的关键．
2．（4分）（2022•台州）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形做出判断即可．
【解答】解：根据题意知，几何体的主视图为：
故选：A．
第8页（共26页）【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在
三视图中．
3．（4分）（2022•台州）无理数 的大小在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】根据无理数的估算分析解题．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜ ＜3．
故选：B．
【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．
4．（4分）（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确
的是（ ）
A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°
【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；
C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，
∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；
D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
5．（4分）（2022•台州）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8
C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2
【分析】根据同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断．
【解答】解：a2•a3＝a5，故A正确，符合题意；
（a2）3＝a6，故B错误，不符合题意；
第9页（共26页）（a2b）3＝a6b3，故C错误，不符合题意；
a6÷a3＝a3，故D错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握相关运算
的法则．
6．（4分）（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、
队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标
为（ ）
A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，
∴飞机D的坐标为（﹣40，a），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
7．（4分）（2022•台州）从A，B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．
下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ）
第10页（共26页）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
＝ ≈5，
＝ ≈5，
故反映出这两组数据之间差异不能反映出这两组数据之间差异，故选项A不符合题意；
A和B的中位数和众数都相等，故不能反映出这两组数据之间差异，故选项B和C不符合
题意；
由图象可得，A种数据波动小，比较稳定，B种数据波动大，不稳定，能反映出这两组数据
之间差异，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
8．（4分）（2022•台州）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的
距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行
6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表
示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在不同时间段中，找出y的值，即可求解．
【解答】解：吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，
第11页（共26页）吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，
吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
9．（4分）（2022•台州）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重
合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（ ）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
【分析】根据等腰三角形性质逐项判断即可．
【解答】解：若AB＝AC，AD⊥BC，则D是BC中点，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴故选项A是真命题，不符合题意；
AD⊥BC，即PD⊥BC，
又PB＝PC，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴故选项B是真命题，不符合题意；
若AB＝AC，∠1＝∠2，则AD⊥BC，D是BC中点，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴故选项C是真命题，不符合题意；
若PB＝PC，∠1＝∠2，不能得到AB＝AC，故选项D是假命题，符合题意；
第12页（共26页）故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握等腰三角形的“三线合一”定理．
10．（4分）（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污
水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ）
A．（840+6 ）m2 B．（840+9 ）m2 C．840m2 D．876m2
【分析】直接π根据图形中外围面积π和可得结论．
【解答】解：如图，
该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2+60×3×2+32
＝（840+9 ）m2． π
故选：B．π
【点评】本题考查了矩形和扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解本题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）（2022•台州）分解因式：x2﹣1＝ （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
12．（5分）（2022•台州）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）
掷一次，朝上一面点数是1的概率为 ．
【分析】根据题意可知存在6种可能性，其中点数为1的可能性有1种，从而可以写出相应
的概率．
【解答】解：由题意可得，
掷一次有6种可能性，其中点数为1的可能性有1种，
第13页（共26页）∴掷一次，朝上一面点数是1的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
13．（5分）（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．
若EF的长为10，则CD的长为 1 0 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出
CD．
【解答】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ AB，
∴AB＝2EF＝20，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，
∴CD＝ AB＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得AB
的长是解本题的关键．
14．（5分）（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且
BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 8 cm2．
第14页（共26页）【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于四边形BB'CC'的面积解答即可．
【解答】解：由平移可知，阴影部分的面积等于四边形BB'CC'的面积＝BC×BB'＝4×2＝8
（cm 2），
故答案为：8．
【点评】本题考查了四边形的面积公式和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；
②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
15．（5分）（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则
图中被污染的x的值是 5 ．
先化简，再求值：
+1，其中x＝★．
解：原式＝ •（x﹣4）+（x﹣4）…①
＝3﹣x+x﹣4
＝﹣1
【分析】先将题目中的分式化简，然后令化简后式子的值为﹣1，求出相应的x的值即可．
【解答】解： +1
＝
＝ ，
当 ＝﹣1时，可得x＝5，
∴图中被污染的x的值是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运
算顺序．
16．（5分）（2022•台州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在
边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为
3 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 6 ﹣ 3 ．
第15页（共26页）【分析】如图1中，求出等边△ADB的高DE即可．如图2中，连接AM交EF于点O，过点
O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的
中点R，连接OR．证明OK＝ ，求出AF的最小值，可得结论．
【解答】解：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ADB，△BDC都是等边三角形，
当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝6× ＝3 ．
如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作
AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR．
第16页（共26页）∵AD∥CG，OK⊥AD，
∴OK⊥CG，
∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，
∴四边形AGTK是矩形，
∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3 ，
∵OA＝OM，∥AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，
∴△AOK≌△MOT（AAS），
∴OK＝OT＝ ，
∵OK⊥AD，
∴OR≥OK＝ ，
∵∠AOF＝90°，AR＝RF，
∴AF＝2OR≥3 ，
∴AF的最小值为3 ，
∴DF的最大值为6﹣3 ．
故答案为：3 ，6﹣3 ．
【点评】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会
填空常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第
24题14分，共80分）
17．（8分）（2022•台州）计算： +|﹣5|﹣22．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解： +|﹣5|﹣22
第17页（共26页）＝3+5﹣4
＝8﹣4
＝4．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（8分）（2022•台州）解方程组： ．
【分析】通过加减消元法消去x求出y的值，代入第一个方程求出x的值即可得出答案．
【解答】解： ，
②﹣①得：y＝1，
把y＝1代入①得：x＝2，
∴原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方
程转化为一元方程是解题的关键．
19．（8分）（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的
角 为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：
sin7α5°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【分析】在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°＝ ≈0.97，解方程即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，
sin∠BAC＝sin75°＝ ≈0.97，
解得BC≈2.9．
答：求梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是
第18页（共26页）解答本题的关键．
20．（8分）（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高
（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：
cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；
（2）根据解析式代入数值解答即可．
【解答】解：（1）由题意设：y＝ ，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数解析式为：y＝ ；
（2）把y＝3代入y＝ ，得，x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
【点评】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定法得出反比例函数的解析式解答．
21．（10分）（2022•台州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O与BC交于点D，
连接AD． ⊙
（1）求证：BD＝CD．
（2）若 O与AC相切，求∠B的度数．
（3）用⊙无刻度的直尺和圆规作出劣弧 的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）
第19页（共26页）【分析】（1）由圆周角定理得出AD⊥BC，再由等腰三角形的性质即可证明BD＝CD；
（2）由切线的性质得出BA⊥AC，由AB＝AC，得出△BAC是等腰直角三角形，即可求出
∠B＝45°；
（3）利用尺规作图，作∠ABC的平分线交 于点E，则点E即是劣弧 的中点．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：∵ O与AC相切，AB为直径，
∴BA⊥AC，⊙
∵AB＝AC，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°；
（3）解：如图，
作∠ABC的角平分线交 于点E，则点E即是劣弧 的中点．
【点评】本题考查了圆的综合应用，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，圆的切线的性质，
等腰直角三角形的性质，尺规作图等知识是解决问题的关键．
22．（12分）（2022•台州）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：
第20页（共26页）小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下
表．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间x（小时） 0.5≤x＜ 1.5≤x＜ 2.5≤x＜ 3.5≤x＜ 4.5≤x＜
1.5 2.5 3.5 4.5 5.5
组中值 1 2 3 4 5
人数（人） 21 30 19 18 12
（1）画扇形图描述数据时，1.5≤x＜2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量
说明其合理性．
【分析】（1）根据数据所占比例得出结论即可；
（2）按平均数的概念求出平均数即可；
（3）根据平均数或中位数得出标准，并给出相应的理由即可．
【解答】解：（1） ×100%＝30%，
360°×30%＝108°；
（2） ＝ ＝2.7（小时），
答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）（以下两种方案选一即可）
①从平均数看，标准可以定为3小时，
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定
为3小时，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，
这样使多数学生有更高的努力目标．
②从中位数的范围或频数看，标准可以定位2小时，
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数在1.5≤x＜2.5范围内，把标准定为2小时，至
少有49%的学生目前能达标，同时至少有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标的
信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练掌握平均数，中位数等统计的基础知识是解题的
关键．
23．（12分）（2022•台州）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图
第21页（共26页）2，在正方形ABCD各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝ AB，依次
1 1 1 1 1 1 1 1
连接它们，得到四边形A B C D ；再在四边形A B C D 各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
A B ＝B C ＝C D ＝D A ＝ A B ，依次连接它们，得到四边形A B C D ；……如此继续
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2
下去，得到四条螺旋折线．
（1）求证：四边形A B C D 是正方形．
1 1 1 1
（2）求 的值．
（3）请研究螺旋折线BB B B …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
1 2 3
【分析】（1）根据正方形的性质得到 AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，证明
△A AB ≌△B BC ，根据全等三角形的性质得到A B ＝B C ，∠AB A ＝∠BC B ，根据正
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
方形的判定定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出A B ，计算即可；
1 1
（3）先求出 ，再求出 ，根据规律证明结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝ AB，
1 1 1 1
∴AA ＝BB ＝ AB，
1 1
第22页（共26页）在△A AB 和△B BC 中，
1 1 1 1
，
∴△A AB ≌△B BC （SAS），
1 1 1 1
∴A B ＝B C ，∠AB A ＝∠BC B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∵∠BB C +∠BC B ＝90°，
1 1 1 1
∴∠AB A +∠BB C ＝90°，
1 1 1 1
∴∠A B C ＝90°，
1 1 1
同理可证：B C ＝C D ＝D A ，
1 1 1 1 1 1
∴四边形A B C D 是正方形．
1 1 1 1
（2）解：设AB＝a，
则AB ＝4a，AA ＝a，
1 1
由勾股定理得：A B ＝ a，
1 1
∴ ＝ ＝ ；
（3）相邻线段的比为 或 ．
证明如下：∵BB ＝ AB，B B ＝ A B ，
1 1 2 1 1
∴ ＝ ＝ ，
同理可得： ＝ ，
∴相邻线段的比为 或 （答案不唯一）．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定
定理是解题的关键．
24．（14分）（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带
浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘
抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其
第23页（共26页）水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，
上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离
OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小
值．
【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a
的值，从而解决问题；
②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平
移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
故设点D（m，﹣ （m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣ （m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣ （[ m+3﹣2）
2+h+0.5]﹣[﹣ （m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．
【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣ ，
第24页（共26页）∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣ （x﹣2）2+2，
解得x ＝6，x ＝﹣2（舍去），
1 2
∴喷出水的最大射程OC为6cm；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣ （x﹣2）2+2，
解得x＝2±2 ，
∵x＞0，
∴x＝2+2 ，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2 ，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2 ，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2 ﹣3＝2 ﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2 ﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
故设点D（m，﹣ （m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣ [（m+3﹣2）2+h+0.5]），
则有﹣ （m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣ （m+2）2+h+0.5]＝1，
第25页（共26页）解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣ ，
∴h﹣ ＝0，
∴h的最小值为 ．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函
数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
第26页（共26页）
