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专题 14 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入
易错点1 忽略判断框内的条件
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为 .
【错解】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋28＋1＋2＋3＋…＋8=546，故输出S的值为
546.
【错因分析】解题过程错在循环是在k=10终止，而不是在k=9时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S＋29
＋9.
【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋29＋1＋2＋…＋9=1067，故输出S的值为
1067.
【参考答案】1067
【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程序框
图运行的次数.
1. 注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.2. 注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结
构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.
1．执行如图所示的程序框图，输出的结果是
A．56 B．54
C．36 D．64
【答案】B
【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：
a=1，b=1，S=2，c=1+1=2，S=2+2=4；
c≤20，a=1，b=2，c=1+2=3，S=4+3=7；
c≤20，a=2，b=3，c=2+3=5，S=7+5=12；
c≤20，a=3,b=5,c=3+5=8,S=12+8=20;
c≤20，a=5,b=8,c=5+8=13,S=20+13=33;
c≤20，a=8,b=13,c=8+13=21,S=33+21=54.
c＞20,此时结束循环，S=54.
故答案为B.
【名师点睛】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序结束后输出的S值．
(1)本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
(2)求程序框图的输入和输出结果，主要方法是模拟运行，认真计算.易错点2 误将类比所得结论作为推理依据
已知 都是非零实数,不等式 的解集分
别为M,N,则“ ”是“M=N ”成立的 条件(选填“充分不必要”“必要不充
分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种).
【错解】由 知两个不等式同解,即“ ”是“M=N ”成立的充要条件.
【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别.
【试题解析】当 时，可取 ,则 ,
故 ;
当 时，可取 ，则 ，即
.
综上知“ ”是“M=N ”成立的既不充分又不必要条件.
【参考答案】既不充分又不必要条件
类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推
理则容易出现错误.
2． 下面给出了关于向量的三种类比推理：
①由数可以比较大小类比得向量可以比较大小；
②由平面向量 的性质 类比得到空间向量 的性质 ；
③由向量相等的传递性 ， 可类比得到向量平行的传递性： ， .
其中正确的是
A．②③ B．②
C．①②③ D．③
【答案】B
【解析】向量既有大小又有方向，所以向量不能比大小，①错；
当 为零向量， 与 为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，③错误；
只有②正确，
故选B．
【名师点睛】本题主要考查的是向量和类比推理，向量是有方向又有长度的量，长度可以比较大小，向量不
可以比较大小，规定零向量是与任意向量共线（平行）的，所以考虑平行时要特别注意零向量.对三个选项
逐个进行分析即可得到结论.
易错点3 小前提错误
判断函数 的单调性．
【错解】指数函数 是增函数，而 是指数函数，所以函数 是增函数．
【错因分析】错解中的小前提“ 是指数函数”是错误的，函数 不是指数函数，而是一个分段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论．
【试题解析】对于指数函数 ，当 时是增函数，当 时是减函数，故当 时，
是增函数；当 时， 是减函数．
演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提.
3．因为对数函数 是增函数，而 是对数函数，所以 是增函数，
上面的推理错误的是
A．大前提 B．小前提
C．推理形式 D．以上都是
【答案】A
【解析】由于三段论的大前提“对数函数 是增函数”是错误的，只有当a>1时，
对数函数 才是增函数.
故答案为A.
【名师点睛】(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.
易错点4 反证法误区——推理中未用到结论的反设
已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反证法证明:关于x的方程 无实数根.
【错解】假设方程 有实数根，由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得
，而关于x的方程 的根的判别式 .
∵ ,∴ ，∴ ,即关于x的方程 无实数根.
【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法.
【试题解析】假设方程 有实数根，则该方程的根的判别式 ，解得
或 ①,
而由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得 ②.
数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程 无实数根.
利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，
则原命题成立.
4．利用反证法证明：“若 ，则 ”时，假设为
A． ， 都不为0 B． 且 ， 都不为0
C． 且 ， 不都为0 D． ， 不都为0
【答案】D
【解析】原命题的结论是 都为零，反证时，假设为 不都为零.
故选D.易错点5 对复数的相关概念不理解出错
设复数a＋bi（a，b∈R）的模为 ，则（a＋bi）（a－bi）= .
【错解】复数a＋bi的模为 ，则a2＋b2= .又（a＋bi）（a－bi）=a2－b2i2=a2＋b2= ，故（a＋bi）
（a－bi）= .
【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误，对于复数z=a＋bi的模|z|=
，故应为a2＋b2=3.
【试题分析】复数a＋bi（a，b∈R）的模为 ，则a2＋b2=3，则（a＋bi）（a－bi）=a2－（bi）2=a2－
b2i2=a2＋b2=3.
【参考答案】3
复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结
论.
1. 判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.
2. 对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是
将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.
3. 两个虚数不能比较大小.
4. 利用复数相等a＋bi=c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.5. 注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若z，z∈C， =0，就不能
1 2
推出z=z=0；z2<0在复数范围内有可能成立.
1 2
5．复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的虚部为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
据此可知，复数z的虚部为 .
本题选择D选项.
【名师点睛】首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.复数的代数形式的运算主要有加、减、
乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
易错点6 数学归纳法的应用误区——归纳假设只设不用
用数学归纳法证明： .
【错解】（1）当 时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.
（2）假设当 时等式成立,即 .
那么，当 时,需证 (*).
由于等式左边是一个以1为首项,3为公差的等差数列的前k+1项的和,所以左边==右边,所以(*)式成立.
即 时等式成立,
根据（1）和（2）,可知等式对任何 都成立.
【错因分析】错解在证明当 等式成立时,没有用到归纳假设“当 时等式成立”,故
不符合数学归纳法证题的要求.
【试题解析】（1）当 时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.
（2）假设当 时等式成立,即 .
那么，当 时,
.
即当 时等式成立.
根据（1）和（2）,可知等式对任何 都成立.
判断用数学归纳法证明数学问题是否正确,关键要看两个步骤是否齐全,特别是第二步归纳假设是否被
应用,如果没有用到归纳假设,那就是不正确的.
6．已知正项数列 中， ，且
（1）分别计算出 的值，然后猜想数列 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】（1） ； ；（2）见解析.【解析】（1）令 得 ，化简得 ，解得 或
.
令 得 化简得 ，解得 或
令 得 化简得 ，解得 或
猜想 （*）.
（2）①当 时， ，（*）式成立；
②假设 时（*）式成立，即 ，
那 么 当 时 ， 化 简 得所以当 时，（*）式也成立.
综上：由①②得当 时，
【名师点睛】本题考查归纳-猜想-证明，这一常见思维方式，而与自然数相关的结论证明我们常用数学归纳
法.
（1）逐个计算出 的值，再通过观察可猜 .
（2）先检验n=1满足，再假设 时（*）式成立，即 ，下证 时
即可证明.
一、算法初步
1. 在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.
2. 在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若
所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步
骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构.
3. 循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句
来编写程序.
4. 关于赋值语句，有以下几点需要注意：
（1）赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3=m是错误的.
（2）赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y=x，表示
用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x=Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.
（3）在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.
二、推理与证明
1．常见的类比、归纳推理及求解策略
（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象
的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条
边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
（2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体
数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.2．利用综合法、分析法证明问题的策略
（1）综合法的证明步骤如下：①分析条件,选择方向：确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定
理等；②转化条件,组织过程：将条件合理转化,书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合适的
证法可以简化解题过程.
（2）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到
获得一个显而易见的命题即可.
（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合
法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知
条件和结论的途径.
3．用反证法证明不等式要把握的三点
（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．
（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.
（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的
矛盾必须是明显的.
4．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原
命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤:
（1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真;
（2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾;
（3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.
5．应用数学归纳法的常见策略
（1）应用数学归纳法证明等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，由n=k到n=k＋1时等式
两边变化的项．
（2）应用数学归纳法证明不等式，关键是由n=k成立证n=k＋1时也成立．在归纳假设后应用比较法、综合
法、分析法、放缩法等加以证明，充分应用不等式的性质及放缩技巧．
（3）应用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”，是不完全归纳与数学归纳法的综合应用，关键是先由合
情推理发现结论，然后再证明结论的正确性.
三、数系的扩充与复数的引入
1. 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.
2. 在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.
3. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C和复平面内所有的点所成的集
合及平面向量是一一对应关系，即
4. 复数运算常用的性质：
（1）①（1±i）2=±2i；② i， i.
（2）设ω= ，则①|ω|=1；②1＋ω＋ω2=0；③ =ω2.
（3）in＋in＋1＋in＋2＋in＋3=0（n∈N*）.
1．（2018全国卷Ⅲ理）
A． B．
C． D．
2．（2018浙江）复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A．1+i B．1−i
C．−1+i D．−1−i
3．在下列命题中,正确命题的个数是
①两个复数不能比较大小;
②复数 对应的点在第四象限;
③若 是纯虚数,则实数 ;
④若 ,则 .
A．0 B．1
C．2 D．34．已知复数 ，若 ，则 =
A．2 B．
C． D．5
5．已知 是虚数单位,则复数 = 的虚部是
A． B．1
C． D．
6．已知 为虚数单位,且 = ,则复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．复数 ，且 ，则 的值是
A． B．
C． D．2
8．下面关于复数 = 的四个命题:
的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为
的虚部为-1;
,
其中的真命题是
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 值的取值范围是A． 或 B．
C． 或 D． 或
10．（2018全国卷II理）为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应
填入
A． B．
C． D．
11．习总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12…
来源于<乾坤谱>中对<易传>“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中
曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前 项和的程序框图.执行该程序框图,输入 ,则输
出的
A．100 B．140
C．190 D．25012．某程序框图如图所示，若输出 ，则判断框中 为
A． B．
C． D．
13．宋元时期数学名著<算学启蒙>中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松
竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 分别为 则输出的A． B．
C． D．
14．用秦九韶方法求多项式 = 在 的值时, 的值为
A．34 B．220
C．-845 D．3392
15．某班有三个小组,甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组
那位不一样,丙比三人中第1小组的那位的成绩低,三人中第3小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人
按数学成绩由高到低排列,正确的是
A．甲、乙、丙 B．甲、丙、乙
C．乙、甲、丙 D．丙、甲、乙
16．中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指<孙子算经>中记载的算筹,古代
是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.
如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵
横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如 用算筹表示就是
,则 用算筹表示为A． B．
C． D．
17．某运动队对A，B，C，D四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位
教练对这四位运动员预测如下：
甲说：“是C或D参加比赛”，
乙说：“是B参加比赛”，
丙说：“是A，D都未参加比赛”，
丁说：“是C参加比赛”.
若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是
A．A B．B
C．C D．D
18．甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试,甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他
三人的成绩.然后,甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰
好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是
A．甲没过关 B．乙没过关
C．丙过关 D．丁过关
19．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内
容是
A． 都不能被7整除 B． 都能被7整除
C． 只有一个能被7整除 D．只有 不能被7整除
20．在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排 人的座位,使他们在如图所示的 个椅子中就坐,且相邻座位(如 与
与 )上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这 人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在 号位置
上,则 号位置上坐的是
A．小方 B．小张
C．小周 D．小马21．下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上
的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，从 1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：
1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为
A． B．
C． D．
22．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上（如图），第一次前后排
动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2018次互换座位后，小兔的
座位对应的编号为______________.
23．“求方程 的解”有如下解题思路:设 ,则 在 上单调递减,且 ,所
以原方程有唯一解 .类比上述解题思路,不等式 的解集
是 ．
24．给出下列等式：
，
，
，
……请从中归纳出第 个等式： =___________．
25．有一个游戏：盒子里有 个球，甲、乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁
拿到最后一个球就算谁赢.若甲先拿，则下列说法正确的有__________．
①若 ，则甲有必赢的策略； ②若 ，则乙有必赢的策略；
③若 ，则乙有必赢的策略； ④若 ，则甲有必赢的策略.
26．已知 ,分别求f(0)+f(1),f(﹣1)+f(2),f(﹣2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.
27．设数列{a}满足a= ， .
n 1
（1）证明：数列 为等比数列，并求数列{a}的通项公式；
n
（2）设c=(3n+1)a，证明：数列{c}中任意三项不可能构成等差数列.
n n n
28．(1)用数学归纳法证明:当 时, + + + ,且 , );
⋯(2)求 + + + 的值.
⋯
29．已知正项数列 满足 ，且 ，设 .
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）设 为数列 的前 项和，求证： .________________________________________________________________________________________
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