文档内容
2022年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）（2022•宁波）﹣2022的相反数是（ ）
A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．
2．（4分）（2022•宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a3•a＝a4
3．（4分）（2022•宁波）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全
国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，为1360000000参保人提供医保服务，医保信
息化标准化取得里程碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.36×107 B．13.6×108 C．1.36×109 D．0.136×1010
4．（4分）（2022•宁波）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（
）
A． B．
C． D．
5．（4分）（2022•宁波）开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结
果统计如下表：
体温（℃） 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8
天数（天） 3 3 4 2 2
第1页（共28页）这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（ ）
A．36.5℃，36.4℃ B．36.5℃，36.5℃
C．36.8℃，36.4℃ D．36.8℃，36.5℃
6．（4分）（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为
（ ）
A．36 cm2 B．24 cm2 C．16 cm2 D．12 cm2
7．（4分）（π 2022•宁波）如图，在πRt△ABC中，D为斜边πAC的中点，E为BD上π一点，F为CE
中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
8．（4分）（2022•宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三
十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：
50斗谷子能出30斗米，即出米率为 ．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多
少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，
向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）（2022•宁波）点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y
1 2 1
＜y ，则m的取值范围为（ ）
2
A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D． ＜m＜2
10．（4分）（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重
第2页（共28页）叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分
的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积
C．△BEF的面积 D．△AEH的面积
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）（2022•宁波）请写出一个大于2的无理数： ．
12．（5分）（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝ ．
13．（5分）（2022•宁波）一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球，它们除颜色外其余都
相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
14．（5分）（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b＝ + ．若（x+1）
⊗
x＝ ，则x的值为 ．
⊗
15．（5分）（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆
与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 ．
16．（5分）（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称
点为点D，点B，D都在函数y＝ （x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线
交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9 时， 的值为 ，点F的坐标为
第3页（共28页）．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（2022•宁波）（1）计算：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）．
（2）解不等式组： ．
18．（8分）（2022•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边
三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．
19．（8分）（2022•宁波）如图，正比例函数y＝﹣ x的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图
象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n
的取值范围．
第4页（共28页）20．（10分）（2022•宁波）小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．
根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）这5期的集训共有多少天？
（2）哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？
（3）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你
的想法．
21．（10分）（2022•宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升
全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩
（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在
建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的
前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
第5页（共28页）22．（10分）（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的
种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）
构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每
平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
23．（12分）（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE
于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求 的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在 ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交
AD于点G，EF▱⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．
24．（14分）（2022•宁波）如图1， O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在 上，AD交BC
⊙
第6页（共28页）于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连
结BD，DG．设∠ACB＝ ．
（1）用含 的代数式表示α∠BFD．
（2）求证：α△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为 O的直径．
①当 的长为2时，⊙求 的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cos 的值．
α
第7页（共28页）2022年浙江省宁波市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）（2022•宁波）﹣2022的相反数是（ ）
A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【解答】解：﹣2022的相反数是2022．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
2．（4分）（2022•宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a3•a＝a4
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判
断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
【解答】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝a4，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握am•an＝
am+n是解题的关键．
3．（4分）（2022•宁波）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全
国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，为1360000000参保人提供医保服务，医保信
息化标准化取得里程碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.36×107 B．13.6×108 C．1.36×109 D．0.136×1010
【分析】将较大的数写成a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可．
【解答】解：1360000000＝1.36×109，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是
第8页（共28页）解题的关键．
4．（4分）（2022•宁波）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（
）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，球体的俯视图是一个圆，圆柱的俯视图也是一个圆，圆柱的底
面圆的半径大于球体的半径，如图，
故C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图的判定方法
进行求解是解决本题的关键．
5．（4分）（2022•宁波）开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结
果统计如下表：
第9页（共28页）体温（℃） 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8
天数（天） 3 3 4 2 2
这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（ ）
A．36.5℃，36.4℃ B．36.5℃，36.5℃
C．36.8℃，36.4℃ D．36.8℃，36.5℃
【分析】应用众数和中位数的定义进行就算即可得出答案．
【解答】解：由统计表可知，
众数为36.5，
中位数为 ＝36.5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的计算方法进行求解是解
决本题的关键．
6．（4分）（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为
（ ）
A．36 cm2 B．24 cm2 C．16 cm2 D．12 cm2
【分析π】根据圆锥的侧面展开π图为一扇形，这个扇形π的弧长等于圆锥底面的π周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝ ×2 ×4×6＝24 （cm2）．
π π
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．（4分）（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE
中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（ ）
第10页（共28页）A．2 B．3 C．2 D．4
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根
据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【解答】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝ AC＝AD＝4，
故选：D．
【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的
关键是求出AD的长．
8．（4分）（2022•宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三
十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：
50斗谷子能出30斗米，即出米率为 ．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多
少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，
向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7即可得出
答案．
【解答】解：根据题意得： ，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米+向桶中
加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7是解题的关键．
第11页（共28页）9．（4分）（2022•宁波）点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y
1 2 1
＜y ，则m的取值范围为（ ）
2
A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D． ＜m＜2
【分析】根据y ＜y 列出关于m的不等式即可解得答案．
1 2
【解答】解：∵点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，
1 2
∴y ＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，
1
y ＝（m﹣1）2+n，
2
∵y ＜y ，
1 2
∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，
∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，
即﹣2m+3＜0，
∴m＞ ，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的
不等式．本题属于基础题，难度不大．
10．（4分）（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重
叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分
的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积
C．△BEF的面积 D．△AEH的面积
【分析】根据题意设设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相
等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图
形四个选项的面积，可得出正确的选项．
第12页（共28页）【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，
∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
∴2AP+2（x﹣y）＝4x，
∴AP＝x+y，
∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD ﹣2△ADH ﹣2S△AEB
＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2× •（x﹣y）（2x+y）﹣2× •（2x﹣y）•x
＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）
＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy
＝2xy，
A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；
B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；
C、△BEF的面积＝ •EF•BQ＝ xy，故C符合题意；
D、△AEH的面积＝ •EH•AM＝ y（x﹣y）＝ xy﹣ y2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质，四边形的面积和正方形的性质，解题
的关键是根据用字母表示各图形的线段长和面积．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）（2022•宁波）请写出一个大于2的无理数： 如 （答案不唯一） ．
【分析】首先2可以写成 ，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．
【解答】解：大于2的无理数有：
须使被开方数大于4即可，如 （答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和 有关的数，
有规律的无限不循环小数． π
第13页（共28页）12．（5分）（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝ （ x ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题
的关键．
13．（5分）（2022•宁波）一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球，它们除颜色外其余都
相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．
【解答】解：摸出红球的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．
14．（5分）（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b＝ + ．若（x+1）
⊗
x＝ ，则x的值为 ﹣ ．
⊗
【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：根据题意得： + ＝ ，
化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），
解得：x＝﹣ ，
检验：当x＝﹣ 时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键．
15．（5分）（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆
第14页（共28页）与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 或
．
【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A．
∴OA⊥AC，
由题意可知：D点位置分为两种情况，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径＝r，
∴OA＝r，OC＝4﹣r，
∵AC＝4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，
解得：r＝ ，
即AD＝AO＝ ；
②当∠ADC＝90°时，AD＝ ，
∵AO＝ ，AC＝2，OC＝4﹣r＝ ，
∴AD＝ ，
综上所述，AD的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
第15页（共28页）【点评】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关
键．
16．（5分）（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称
点为点D，点B，D都在函数y＝ （x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线
交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9 时， 的值为 ，点F的坐标为 （
， 0 ） ．
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b， ），D（a， ），根据矩形的面积得出三
角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，
将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，
进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
【解答】解：如图，
第16页（共28页）作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B（b， ），D（a， ），
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，
∴OI＝BI，
∴DI＝CI，
∴ ＝ ，
∵∠CID＝∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI＝∠BOI，
∴CD∥OB，
∴S△BOD ＝S△AOB ＝ S矩形AOCB ＝ ，
∵S△BOE ＝S△DOG ＝ ＝3 ，S四边形BOGD ＝S△BOD +S△DOG ＝S梯形BEGD +S△BOE ，
∴S梯形BEGD ＝S△BOD ＝ ，
∴ •（a﹣b）＝ ，
∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，
∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，
∴a＝2b，a＝﹣ （舍去），
第17页（共28页）∴D（2b， ），
即：（2b， ），
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2＝OB2，
∴[（2b）2+（ ）2]+[（2b﹣b）2+（ ﹣ ）2]＝b2+（ ）2，
∴b＝ ，
∴B（ ，2 ），D（2 ， ），
∵直线OB的解析式为：y＝2 x，
∴直线DF的解析式为：y＝2 x﹣3 ，
当y＝0时，2 ﹣3 ＝0，
∴x＝ ，
∴F（ ，0），
∵OE＝ ，OF＝ ，
∴EF＝OF﹣OE＝ ，
∴ ＝ ，
故答案为： ，（ ，0）．
【点评】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一
次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（2022•宁波）（1）计算：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）．
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案；
（2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣1+2x﹣x2
第18页（共28页）＝2x﹣1；
（2） ，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴原不等式组的解集为：x＞3．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大
小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
18．（8分）（2022•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边
三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．
【分析】（1）结合等腰三角形的性质，找出点C的位置，再连线即可．
（2）结合菱形的性质，找出点D，E的位置，再连线即可．
【解答】解：（1）答案不唯一．
第19页（共28页）（2）
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，熟练掌握等腰三角形和菱形的性质是解题的关键．
19．（8分）（2022•宁波）如图，正比例函数y＝﹣ x的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图
象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n
的取值范围．
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式
确定k的值，进而得出答案；
（2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
【解答】解：（1）把A（a，2）的坐标代入y＝ x，即2＝﹣ a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣ ；
第20页（共28页）（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，
当m＝﹣3时，n＝ ＝2，当m＝3时，n＝ ＝2，
由图象可知，
若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n
＜﹣2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐
标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
20．（10分）（2022•宁波）小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．
根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）这5期的集训共有多少天？
（2）哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？
（3）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你
的想法．
【分析】（1）根据条形统计图进行计算即可得出答案；
（2）根据折线统计图进行求解即可得出答案；
（3）对比折线统计图分析即可得出答案．
【解答】解：（1）4+7十10+14十20＝55（天）．
答：这5期的集训共有55天．
（2）11.72﹣11.52＝0.2（秒）．
答：第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒．
（3）个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造
第21页（共28页）成劳累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时成绩最好．
【点评】本题主要考查了折线统计图和条形统计图，熟练掌握折线统计图和扇形统计图的
应用进行求解是解决本题的关键．
21．（10分）（2022•宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升
全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩
（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在
建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的
前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE＝BC＝2m，从而求出AD＝17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角
函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝ ≈ ＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
第22页（共28页）∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝ ＝ ＝ （m），
∵ m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（10分）（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的
种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）
构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每
平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得y＝4﹣
0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数
关系式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．（12分）（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE
于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
第23页（共28页）（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求 的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在 ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交
AD于点G，EF▱⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．
【分析】（1）证明△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，根据相似三角形的性质得到 ＝ ，
进而证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出CE，根据相似三角形的性质计算，得到答案；
（3）延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，根据直角三角形的性质求出
∠EFG，求出∠MFN＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG；
（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，
∴CE＝CD＝6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，
第24页（共28页）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵MG∥BD，
∴ME＝GE，
∵EF⊥EG，
∴FM＝FG＝10，
在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，
∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，
∵FG平分∠EFC，
∴∠GFC＝∠EFG＝50°，
∵FM＝FG，EF⊥GM，
∴∠MFE＝∠EFG＝50°，
∴∠MFN＝30°，
∴MN＝ MF＝5，
∴NF＝ ＝5 ，
∵∠ABC＝45°，
∴BN＝MN＝5，
∴BF＝BN+NF＝5+5 ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，
掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（14分）（2022•宁波）如图1， O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在 上，AD交BC
于点E，点F在AE上，满足∠A⊙FB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连
结BD，DG．设∠ACB＝ ．
（1）用含 的代数式表示α∠BFD．
（2）求证：α△BDE≌△FDG．
第25页（共28页）（3）如图2，AD为 O的直径．
①当 的长为2时，⊙求 的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cos 的值．
α
【分析】（1）联立∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝ ，∠AFB+∠BFD＝180°，即可得出∠BFD的
度数； α
（2）根据角的关系得出DB＝DF，推出∠DFG＝∠DBE，又BE＝FG，即可根据SAS证两三
角形全等；
（3）①用 表示出∠ABC的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可；
②证△BDGα∽△BOF，设相似比为k，OF＝4x，则可得出OE，DE，GE的长度，根据比例关
系得出方程求出k的值，在用x的代数式分别表示出BD和AD，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝ ，①
又∵∠AFB+∠BFD＝180°，② α
②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣ ，
α
∴∠BFD＝90°﹣ ；
（2）由（1）得∠BFD＝90°﹣ ，
∵∠ADB＝∠ACB＝ ，
α
∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°﹣ ，
∴DB＝DF，
∵FG∥AC，
第26页（共28页）∴∠CAD＝∠DFG，
∵∠CAD＝∠DBE，
∴∠DFG＝∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
，
∴△BDE≌△FDG（SAS）；
（3）①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG＝∠BDE＝ ，
∴∠BDG＝∠BDF+∠αEDG＝2 ，
∵DE＝DG， α
∴∠DGE＝ （180°﹣∠FDG）＝90°﹣ ，
∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°﹣ ，
∵AD是 O的直径，
∴∠ABD⊙＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG＝ ，
∴ 与 所对的圆心角度数之比为3：2，
∴ 与 的长度之比为3：2，
∵ ＝2，
∴ ＝3；
②如图，连接BO，
第27页（共28页）∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝ ，
∴∠BOF＝∠OBD+∠αODB＝2 ，
∵∠BDG＝2 ， α
∴∠BOF＝∠αBDG，
∵∠BGD＝∠BFO＝90°﹣ ，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴ ，
∵ ，
∴设OF＝4x，则OE＝11x，DE＝DG＝4kx，
∴OB＝OD＝OE+DE＝11x+4kx，BD＝DF＝OF+OD＝15x+4kx，
∴ ＝ ＝ ，
由 ＝k，得4k2+7k﹣15＝0，
解得k＝ 或﹣3（舍去），
∴OD＝11x+4kx＝16x，BD＝15x+4kx＝20x，
∴AD＝2OD＝32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB＝ ＝ ，
∴cos ＝ ．
α
【点评】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和
性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
第28页（共28页）
