文档内容
2022年浙江省嘉兴市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．）
1．（3分）（2022•嘉兴）若收入3元记为+3，则支出2元记为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．（3分）（2022•嘉兴）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022•嘉兴）计算a2•a（ ）
A．a B．3a C．2a2 D．a3
4．（3分）（2022•嘉兴）如图，在 O中，∠BOC＝130°，点A在 上，则∠BAC的度数为（
） ⊙
A．55° B．65° C．75° D．130°
5．（3分）（2022•嘉兴）不等式3x+1＜2x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022•嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠
组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm
得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（ ）
第1页（共27页）A．1cm B．2cm C．（ ﹣1）cm D．（2 ﹣1）cm
7．（3分）（2022•嘉兴）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩
的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A． ＞ 且S 2＞S 2 B． ＜ 且S 2＞S 2
A B A B
C． ＞ 且S 2＜S 2 D． ＜ 且S 2＜S 2
A B A B
8．（3分）（2022•嘉兴）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一
场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．
那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为
（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，
EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
10．（3分）（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的
最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
第2页（共27页）二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）（2022•嘉兴）分解因式：m2﹣1＝ ．
12．（4分）（2022•舟山）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜
色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是 ．
13．（4分）（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填
上一个适当的条件 ．
14．（4分）（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，
另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD
的长为 ．
15．（4分）（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够
长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢
梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使
BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k
的代数式表示）．
第3页（共27页）16．（4分）（2022•舟山）如图，在扇形AOB中，点C，D在 上，将 沿弦CD折叠后恰好与
OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则 的度数为 ，折痕CD的
长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10
分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（2022•嘉兴）（1）计算：（1﹣ ）0﹣ ．
（2）解方程： ＝1．
18．（6分）（2022•舟山）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交
流．
小惠： 小洁：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才
能证明．
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，
并证明．
第4页（共27页）19．（6分）（2022•嘉兴）设 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝
4时， 表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
（2）归纳： 与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 与100a的差为2525，求a的值．
20．（8分）（2022•舟山）6月13日，某港口的湖水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数
图象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适
合 货 轮 进 出 此 港 口 ？
第5页（共27页）21．（8分）（2022•舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一
个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，
BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，
cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
22．（10分）（2022•舟山）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机
抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题：
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）．
A．没时间
B．家长不舍得
C．不喜欢
D．其它
第6页（共27页）中小学生每周参加家庭劳动时间x（h） 分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜
1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h．请结合上述统计
图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
23．（10分）（2022•嘉兴）已知抛物线L ：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
1
（1）求抛物线L 的函数表达式．
1
（2）将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ．若抛物线L 的顶点关于坐标原
1 2 2
点O的对称点在抛物线L 上，求m的值．
1
（3）把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ，若点B（1，y ），C（3，y ）在抛物
1 3 1 2
线L 上，且y ＞y ，求n的取值范围．
3 1 2
24．（12分）（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1： 也是一个很有趣的比．已知
线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： ．”小东的作法是：
如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段
AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在
AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
第7页（共27页）②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜
想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
第8页（共27页）2022年浙江省嘉兴市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．）
1．（3分）（2022•嘉兴）若收入3元记为+3，则支出2元记为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据正负数的概念得出结论即可．
【解答】解：由题意知，收入3元记为+3，则支出2元记为﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查正负数的概念，熟练掌握正负数的概念是解题的关键．
2．（3分）（2022•嘉兴）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视方向判断出主视图即可．
【解答】解：由图可知主视图为：
故选：C．
【点评】本题主要考查视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
3．（3分）（2022•嘉兴）计算a2•a（ ）
A．a B．3a C．2a2 D．a3
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解决问题．
【解答】解：原式＝a1+2＝a3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂乘法，解决本题的关键是掌握同底数幂乘法法则．
4．（3分）（2022•嘉兴）如图，在 O中，∠BOC＝130°，点A在 上，则∠BAC的度数为（
⊙
第9页（共27页））
A．55° B．65° C．75° D．130°
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝130°，点A在 上，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝ ＝65°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（3分）（2022•嘉兴）不等式3x+1＜2x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解不等式的方法可以解答本题．
【解答】解：3x+1＜2x，
移项，得：3x﹣2x＜﹣1，
合并同类项，得：x＜﹣1，
其解集在数轴上表示如下：
，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明
确解一元一次不等式的方法．
6．（3分）（2022•嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠
组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm
得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（ ）
第10页（共27页）A．1cm B．2cm C．（ ﹣1）cm D．（2 ﹣1）cm
【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的概念求出BB′，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形，
∴BD＝ ＝2 （cm），
由平移的性质可知，BB′＝1cm，
∴B′D＝（2 ﹣1）cm，
故选：D．
【点评】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出BB′是解题的关
键．
7．（3分）（2022•嘉兴）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩
的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A． ＞ 且S 2＞S 2 B． ＜ 且S 2＞S 2
A B A B
C． ＞ 且S 2＜S 2 D． ＜ 且S 2＜S 2
A B A B
【分析】根据平均数及方差的意义直接求解即可．
【解答】解：A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，当A的平均数大于B，且方差比
B小时，能说明A成绩较好且更稳定．
故选：C．
【点评】本题主要考查平均数及方差的意义，熟练掌握平均数及方差的意义是解答此题的
关键．
8．（3分）（2022•嘉兴）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一
场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．
那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为
（ ）
第11页（共27页）A． B．
C． D．
【分析】由题意：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中
赛了9场，只负了2场，共得17分．列出二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意得： ，
即 ，
故选：A．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
9．（3分）（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，
EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【分析】由EF∥AC，GF∥AB，得四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝
∠EFB，再由AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．
【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，FG＝GC，
∵四边形AEFG的周长＝AE+EF+FG+AG，
∴四边形AEFG的周长＝AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
第12页（共27页）∴四边形AEFG的周长＝AB+AC＝8+8＝16，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的在等知识，熟练
掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．（3分）（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的
最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，可得 ，即得ab＝a（ak+3）＝
ka2+3a＝k（a+ ）2﹣ ，根据ab的最大值为9，得k＝﹣ ，即可求出c＝2．
【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，
∴ ，
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+ ）2﹣ ，
∵ab的最大值为9，
∴k＜0，﹣ ＝9，
解得k＝﹣ ，
把k＝﹣ 代入②得：4×（﹣ ）+3＝c，
∴c＝2，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配
方法求函数的最值．
第13页（共27页）二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）（2022•嘉兴）分解因式：m2﹣1＝ （ m + 1 ）（ m ﹣ 1 ） ．
【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：
两项平方项；符号相反．
12．（4分）（2022•舟山）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜
色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是 ．
【分析】直接根据概率公式可求解．
【解答】解：∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是 ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以
所有可能出现的结果数．
13．（4分）（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填
上一个适当的条件 ∠ B ＝ 60 ° ．
【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可．
【解答】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：∠B＝60°．
【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形
第14页（共27页）与等腰三角形的关系．
14．（4分）（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，
另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD
的长为 ．
【分析】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例
式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：由题意得，DE＝1，BC＝3，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
则AB＝ ＝ ＝ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：BD＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定
定理是解题的关键．
15．（4分）（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够
长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢
梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使
BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的
代数式表示）．
第15页（共27页）【分析】根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”分别列式，从而代入计算．
【解答】解：如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的
度数为k′，
由题意可得BP•k＝PA•a，B′P•k′＝PA•a，
∴BP•k＝B′P•k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查列代数式，属于跨学科综合题目，理解题意，掌握杠杆原理（动力×动力臂
＝阻力×阻力臂）是解题关键．
16．（4分）（2022•舟山）如图，在扇形AOB中，点C，D在 上，将 沿弦CD折叠后恰好与
OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则 的度数为 60 ° ，折痕CD的
长为 4 ．
第16页（共27页）【分析】设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点
H，可得OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，根据切线的性质开证明∠EOF＝60°，则可
得 的度数；然后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．
【解答】 解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′
交CD于点H，
∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，
∵将 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．
∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EO′F＝60°，
则 的度数为60°；
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OF＝60°，
∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，
∴OO′＝ ＝ ＝4 ，
∴O′H＝2 ，
∴CH＝ ＝ ＝2 ，
∴CD＝2CH＝4 ．
故答案为：60°，4 ．
【点评】本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
第17页（共27页）三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10
分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（2022•嘉兴）（1）计算：（1﹣ ）0﹣ ．
（2）解方程： ＝1．
【分析】（1）分别利用0指数幂、算术平方根的定义化简，然后加减求解；
（2）首先去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2＝﹣1；
（2）去分母得x﹣3＝2x﹣1，
∴﹣x＝3﹣1，
∴x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
∴原方程的解为：x＝﹣2．
【点评】本题分别考查了实数的运算和解分式方程，实数的运算主要利用0指数幂及算术
平方根的定义，解分式方程的基本方法时去分母．
18．（6分）（2022•舟山）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交
流．
小惠： 小洁：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才
能证明．
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，
并证明．
【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：
第18页（共27页）∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定和菱形的判定方法（对角线互相垂
直平分的四边形是菱形）是解题关键．
19．（6分）（2022•嘉兴）设 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝
4时， 表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 3×4×100+2 5 ；
……
（2）归纳： 与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 与100a的差为2525，求a的值．
【分析】（1）根据规律直接得出结论即可；
（2）根据 ＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出结论；
（3）根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝
2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案为：3×4×100+25；
（2） ＝100a（a+1）+25，理由如下：
＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由题知， ﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
第19页（共27页）∴a的值为5．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出 ＝100a（a+1）+25的
结论是解题的关键．
20．（8分）（2022•舟山）6月13日，某港口的湖水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数
图象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适
合 货 轮 进 出 此 港 口 ？
【分析】（1）①先描点，然后画出函数图象；
第20页（共27页）②利用数形结合思想分析求解；
（2）结合函数图象增减性及最值进行分析说明；
（3）结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围．
【解答】解：（1）①如图：
②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；
（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：
①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；
②当x＝14时，y有最小值为80；
（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，
∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，
即当5＜x＜10或18＜x＜23时，货轮进出此港口．
【点评】本题考查函数的图象，理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题
关键．
21．（8分）（2022•舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一
个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，
BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，
第21页（共27页）cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【分析】（1）过点C作CF⊥DE于点F，根据等腰三角形的性质可得∠DCF＝20°，利用锐
角三角函数即可解决问题；
（2）根据横截面是一个轴对称图形，延长CF交AD、BE延长线于点G，连接AB，所以
DE∥AB，根据直角三角形两个锐角互余可得∠A＝∠GDE＝20°，然后利用锐角三角函数
即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．
∴∠DCF＝20°，
∴DF＝CD•sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），
∴DE＝2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm；
（2）∵横截面是一个轴对称图形，
∴延长CF交AD、BE延长线于点G，
连接AB，
∴DE∥AB，
∴∠A＝∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC＝90°，
∵∠DCF+∠FDC＝90°，
∴∠GDF＝∠DCF＝20°，
∴∠A＝20°，
第22页（共27页）∴DG＝ ≈ ≈1.8（cm），
∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），
∴AB＝2AG•cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．
∴点A，B之间的距离22.2cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
22．（10分）（2022•舟山）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机
抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题：
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）．
A．没时间
B．家长不舍得
C．不喜欢
D．其它
中小学生每周参加家庭劳动时间x（h） 分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜
1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h．请结合上述统计
图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
第23页（共27页）【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论；
（2）用1200乘“不喜欢”所占百分比即可；
（3）根据中位数解答即可．
【解答】解：（1）由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为
第600个和第601个数据的平均数，
故中位数落在第三组；
（2）（1200﹣200）×（1﹣8.7%﹣43.2%﹣30.6%）＝175（人），
答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；
（3）由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2h，建议学校多
开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用
统计图获取信息是解题的关键．
23．（10分）（2022•嘉兴）已知抛物线L ：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
1
（1）求抛物线L 的函数表达式．
1
（2）将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ．若抛物线L 的顶点关于坐标原
1 2 2
点O的对称点在抛物线L 上，求m的值．
1
（3）把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ，若点B（1，y ），C（3，y ）在抛物
1 3 1 2
线L 上，且y ＞y ，求n的取值范围．
3 1 2
【分析】（1）把（1，0）代入抛物线的解析式求出a即可；
（2）求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根
1 3
据y ＞y ，构建不等式求解即可．
1 2
【解答】解：（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线L 的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
1
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ．若抛物线L 的顶点（﹣1，﹣4+m），
1 2 2
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
第24页（共27页）把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，
∴m＝4；
（3）抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
1 3
∵点B（1，y ），C（3，y ）在抛物线L 上，
1 2 3
∴y ＝（2﹣n）2﹣4，y ＝（4﹣n）2﹣4，
1 2
∵y ＞y ，
1 2
∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，
解得n＞3，
∴n的取值范围为n＞3．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，
解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1： 也是一个很有趣的比．已知
线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： ．”小东的作法是：
如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段
AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在
AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜
想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明 ，再利用AC＝AP，即可得出结论；
第25页（共27页）（2）①由题意可得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，再求解∠ACP＝
∠APC＝67.5°，∠CPB＝112.5°，证明∠DPE＝∠CPB＝112.5°，从而可得答案；
②先证明△ADP∽△ACB，可得∠APD＝45°，DP∥CB，再证明MP＝MD＝MC＝MN，
∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，从而可得出结论．
【解答】解：（1）赞同，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
∴cos45°＝ ，
∵AC＝AP，
∴ ，
∴点P为线段AB的“趣点”．
（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，
∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，
∴ ＝67.5°，
∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
∵△DPE∽△CPB，D，A重合，
∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，
∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；
②点N是线段ME的趣点，理由如下：
当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD），
∴ ，
∵AC＝AP，
∴ ，
∵ ，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ACB，
∴∠ADP＝∠ACB＝90°，
第26页（共27页）∴∠APD＝45°，DP∥CB，
∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，
∴DM＝PM，
∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴MD＝MC，
同理可得MC＝MN，
∴MP＝MD＝MC＝MN，
∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，
∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，
∴ ＝ ，
∴点N是线段ME的“趣点”．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角形函数的应用，相似三角形的判定
与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，理解新定义的含义，掌握特殊
几何图形的性质是解题的关键．
第27页（共27页）
