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2022年浙江省杭州市中考数学试卷
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（3分）（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最
低气温为﹣6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为
（ ）
A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃
2．（3分）（2022•杭州）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据
1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109
C．1.4126×108 D．0.14126×1010
3．（3分）（2022•杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接
CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．（3分）（2022•杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（ ）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
5．（3分）（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
第1页（共27页）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
6．（3分）（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式 ＝ + （v≠f）表示，其中f
表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知
f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．
已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A．| |＝320 B．| |＝320
C．|10x﹣19y|＝320 D．|19x﹣10y|＝320
8．（3分）（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2）．以点P为旋
转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M（﹣ ，0），M（﹣ ，﹣1），M
1 2 3
（1，4），M （2， ）四个点中，直线PB经过的点是（ ）
4
第2页（共27页）A．M B．M C．M D．M
1 2 3 4
9．（3分）（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过
点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位
于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个
命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
10．（3分）（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的 O，∠BAC＝（ 是锐角），则
△ABC的面积的最大值为（ ） ⊙ θ θ
A．cos （1+cos ） B．cos （1+sin ）
C．sinθ（1+sin θ） D．sinθ（1+cosθ）
二．填空题θ ：本大θ题有6个小题，每小题4分，共24分θ． θ
11．（4分）（2022•杭州）计算： ＝ ；（﹣2）2＝ ．
12．（4分）（2022•杭州）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取
一张，编号是偶数的概率等于 ．
13．（4分）（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标
是（1，2），则方程组 的解是 ．
14．（4分）（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标
杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别
是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝
2.47m，则AB＝ m．
第3页（共27页）15．（4分）（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册
用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ （用百分数
表示）．
16．（4分）（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在 O上，将该圆
形纸片沿直线CO对折，点B落在 O上的点D处（不与点A重合），连接C⊙B，CD，AD．设
⊙
CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 度； 的值等于 ．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）（2022•杭州）计算：（﹣6）×（ ﹣■）﹣23．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是 ，请计算（﹣6）×（ ﹣ ）﹣23．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
18．（8分）（2022•杭州）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他
们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成
绩（单项满分100分）如下表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
第4页（共27页）（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩
分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？
19．（8分）（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，
EF．已知四边形BFED是平行四边形， ＝ ．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
20．（10分）（2022•杭州）设函数y ＝ ，函数y ＝k x+b（k ，k ，b是常数，k ≠0，k ≠0）．
1 2 2 1 2 1 2
（1）若函数y 和函数y 的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
1 2
①求函数y ，y 的表达式；
1 2
②当2＜x＜3时，比较y 与y 的大小（直接写出结果）．
1 2
（2）若点C（2，n）在函数y 的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得
1
点D，点D恰好落在函数y 的图象上，求n的值．
1
21．（10分）（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线
段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
22．（12分）（2022•杭州）设二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y 的表达式及其图象的对称轴．
1
第5页（共27页）（2）若函数y 的表达式可以写成y ＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
1 1
（3）设一次函数y ＝x﹣m（m是常数），若函数y 的表达式还可以写成y ＝2（x﹣m）（x﹣m
2 1 1
﹣2）的形式，当函数y＝y ﹣y 的图象经过点（x ，0）时，求x ﹣m的值．
1 2 0 0
23．（12分）（2022•杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与
点A重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方
形EFGH．
（1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．
（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
①求证：EK＝2EH；
②设∠AEK＝ ，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S ，S ．求证： ＝4sin2 ﹣1．
1 2
α α
第6页（共27页）2022年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（3分）（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最
低气温为﹣6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为
（ ）
A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃
【分析】由最高温差减去最低温度求出该地这天的温差即可．
【解答】解：根据题意得：2﹣（﹣6）＝2+6＝8（℃），
则该地这天的温差为8℃．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．
2．（3分）（2022•杭州）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据
1412600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.126×108 B．1.4126×109
C．1.4126×108 D．0.14126×1010
【分析】根据科学记数法的规则，进行书写即可．
【解答】解：1412600000＝1.4126×109，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法—表示较大的数，掌握科学记数法的规则是解决问题的关
键．
3．（3分）（2022•杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接
CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
第7页（共27页）A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内
错角相等即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C＝20°，∠AEC＝50°，
∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，
∴∠D＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝30°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关
键．
4．（3分）（2022•杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（ ）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
【分析】根据不等式的性质判断A选项；根据特殊值法判断B，C，D选项．
【解答】解：A选项，∵a＞b，c＝d，
∴a+c＞b+d，故该选项符合题意；
B选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝3时，a+b＜c+d，故该选项不符合题意；
C选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝﹣3时，a+b＜c+d，故该选项不符合题意；
D选项，当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝d＝3时，a+b＜c+d，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了实数大小比较，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个整式（或相
等的整式），不等号的方向不变是解题的关键．
5．（3分）（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
第8页（共27页）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶
点之间的线段叫做三角形的高．
6．（3分）（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式 ＝ + （v≠f）表示，其中f
表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知
f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用分式的基本性质，把等式 ＝ + （v≠f）恒等变形，用含f、v的代数式表示
u．
【解答】解： ＝ + （v≠f），
＝ + ，
，
第9页（共27页），
u＝ ．
故选：C．
【点评】考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
7．（3分）（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．
已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A．| |＝320 B．| |＝320
C．|10x﹣19y|＝320 D．|19x﹣10y|＝320
【分析】直接利用10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得：|10x﹣19y|＝320．
故选：C．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出两种门票的费用是解题关键．
8．（3分）（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），点A（4，2）．以点P为旋
转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M（﹣ ，0），M（﹣ ，﹣1），M
1 2 3
（1，4），M （2， ）四个点中，直线PB经过的点是（ ）
4
A．M B．M C．M D．M
1 2 3 4
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2 ），利用待定系数法可得直线
PB的解析式，依次将M ，M ，M ，M 四个点的一个坐标代入y＝ x+2中可解答．
1 2 3 4
【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
第10页（共27页）∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2 ，
∴B（2，2+2 ），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
∴ ，
∴直线PB的解析式为：y＝ x+2，
当y＝0时， x+2＝0，x＝﹣ ，
∴点M （﹣ ，0）不在直线PB上，
1
当x＝﹣ 时，y＝﹣3+2＝1，
∴M （﹣ ，﹣1）在直线PB上，
2
当x＝1时，y＝ +2，
∴M （1，4）不在直线PB上，
3
当x＝2时，y＝2 +2，
∴M （2， ）不在直线PB上．
4
故选：B．
【点评】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标
是解本题的关键．
9．（3分）（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过
第11页（共27页）点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位
于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个
命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【分析】假设命题①②成立，则可知③也成立，则命题④不成立，命题④就是假命题．
【解答】对于y＝x2+ax+b，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
假设命题①②成立，则命题③该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧成立，则命题
④该函数的图象的对称轴为直线x＝1不成立，对称轴应该为x＝2．
故这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是④．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法．
10．（3分）（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的 O，∠BAC＝（ 是锐角），则
△ABC的面积的最大值为（ ） ⊙ θ θ
A．cos （1+cos ） B．cos （1+sin ）
C．sinθ（1+sin θ） D．sinθ（1+cosθ）
θ θ θ θ
【分析】要使△ABC的面积S＝ BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【解答】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
第12页（共27页）如图所示，
∵AD⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BAC＝ ，
在Rt△BOD中， θ
sin ＝ ，cos ＝
θ θ
∴BD＝sin ，OD＝cos ，
∴BC＝2BDθ＝2sin ， θ
AD＝AO+OD＝1+cθos ，
θ
∴ AD•BC＝ •2sin （1+cos ）＝2sin （1+cos ）．
θ θ θ θ
故选：D．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）（2022•杭州）计算： ＝ 2 ；（﹣2）2＝ 4 ．
【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解： ＝2，（﹣2）2＝4，
故答案为：2，4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关
键．
12．（4分）（2022•杭州）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取
第13页（共27页）一张，编号是偶数的概率等于 ．
【分析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率．
【解答】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是
偶数的可能性有2种可能性，
∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
13．（4分）（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标
是（1，2），则方程组 的解是 ．
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组
的解．
【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y＝3x﹣1与y＝kx的方程组的解为： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一
次方程组的解的关系是解题的关键．
14．（4分）（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标
杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别
是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝
2.47m，则AB＝ 9.8 8 m．
【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB＝∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然
第14页（共27页）后利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 BC＝8.72m，EF＝
2.18m．
∴AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，
∴ ，即 ，
解得AB＝9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行
投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF
是解题的关键．
15．（4分）（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册
用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ 30% （用百分数
表示）．
【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100
万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方
程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x ＝0.3＝30%，x ＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
1 2
∴新注册用户数的年平均增长率为30%．
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
16．（4分）（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在 O上，将该圆
形纸片沿直线CO对折，点B落在 O上的点D处（不与点A重合），连接C⊙B，CD，AD．设
⊙第15页（共27页）CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 3 6 度； 的值等于 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，证出∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质得
出∠ECO＝∠BCO，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，证出∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，
∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性
质得出 ，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，得出a2＝x（x+a），求出OE＝ a，证
明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出 ，则可得出答案．
【解答】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，
∴∠ECO＝∠BCO，
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，
∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，
∴∠CEB＝2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°；
∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，
第16页（共27页）∴△CEO∽△BEC，
∴ ，
∴CE2＝EO•BE，
设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，
∴a2＝x（x+a），
解得，x＝ a（负值舍去），
∴OE＝ a，
∴AE＝OA﹣OE＝a﹣ a＝ a，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴△BCE∽△DAE，
∴ ，
∴ ＝ ．
故答案为：36， ．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，
三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题
的关键．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）（2022•杭州）计算：（﹣6）×（ ﹣■）﹣23．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
第17页（共27页）（1）如果被污染的数字是 ，请计算（﹣6）×（ ﹣ ）﹣23．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【分析】（1）将被污染的数字 代入原式，根据有理数的混合运算即可得出答案；
（2）设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）（﹣6）×（ ﹣ ）﹣23
＝（﹣6）× ﹣8
＝﹣1﹣8
＝﹣9；
（2）设被污染的数字为x，
根据题意得：（﹣6）×（ ﹣x）﹣23＝6，
解得：x＝3，
答：被污染的数字是3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，体现了方程思想，设被污染
的数字为x，根据计算结果等于6列出方程是解题的关键．
18．（8分）（2022•杭州）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他
们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成
绩（单项满分100分）如下表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩
分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？
【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；
（2）根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：（1）甲的平均成绩为 ＝83（分）；
第18页（共27页）乙的平均成绩为 ＝84（分），
因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，
所以乙被录用；
（2）根据题意，甲的平均成绩为80×20%+87×20%+82×60%＝82.6（分），
乙的平均成绩为80×20%+896×20%+76×60%＝80.8（分），
因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
所以甲被录用．
【点评】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公
式．
19．（8分）（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，
EF．已知四边形BFED是平行四边形， ＝ ．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可解答；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得
△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案．
【解答】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∵AB＝8，
∴AD＝2；
第19页（共27页）（2）∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴△EFC的面积＝9，
∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．
【点评】本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的
比等于相似比的平方是解题关键．
20．（10分）（2022•杭州）设函数y ＝ ，函数y ＝k x+b（k ，k ，b是常数，k ≠0，k ≠0）．
1 2 2 1 2 1 2
（1）若函数y 和函数y 的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
1 2
①求函数y ，y 的表达式；
1 2
②当2＜x＜3时，比较y 与y 的大小（直接写出结果）．
1 2
（2）若点C（2，n）在函数y 的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得
1
点D，点D恰好落在函数y 的图象上，求n的值．
1
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图像分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图像上点的坐标特征代入求解．
【解答】解：（1）把点B（3，1）代入y ＝ ，
1
3＝ ，
解得：k ＝3，
1
∴函数y 的表达式为y ＝ ，
1 1
第20页（共27页）把点A（1，m）代入y ＝ ，解得m＝3，
1
把点A（1，3），点B（3，1）代入y ＝k x+b，
2 2
，
解得 ，
∴函数y 的表达式为y ＝﹣x+4；
2 2
（2）如图，
当2＜x＜3时，y ＜y ；
1 2
（3）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2），
∴﹣2（n﹣2）＝2n，
解得：n＝1，
∴n的值为1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图像性质，掌握
待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
21．（10分）（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线
段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
第21页（共27页）【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC＝MA＝MB，根据外角的性质可得∠MEC＝
∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE＝CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，
∵∠A＝50°，
∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝50°，
∴∠MEC＝∠EMC，
∴CE＝CM；
（2）解：∵AB＝4，
∴CE＝CM＝ AB＝2，
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE•cos30°＝ ．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌
握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
22．（12分）（2022•杭州）设二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y 的表达式及其图象的对称轴．
1
（2）若函数y 的表达式可以写成y ＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
1 1
（3）设一次函数y ＝x﹣m（m是常数），若函数y 的表达式还可以写成y ＝2（x﹣m）（x﹣m
2 1 1
﹣2）的形式，当函数y＝y ﹣y 的图象经过点（x ，0）时，求x ﹣m的值．
1 2 0 0
【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y 的表达式为y ＝2（x﹣x ）（x﹣x ），其
1 1 1 2
第22页（共27页）中x ，x 是抛物线与x轴交点的横坐标；
1 2
（2）把函数y ＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点
1
求出其最小值；
（3）把y ，y 代入y＝y ﹣y 求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x ，0），把（x ，
1 2 1 2 0 0
0）代入其表达式，形成关于x 的一元二次方程，解方程即可．
0
【解答】解：（1）∵二次函数y ＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
1
∴y ＝2（x﹣1）（x﹣2），即y ＝2x2﹣6x+4．
1 1
∴抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝ ．
（2）把y ＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
1
y ＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
1
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y ﹣y
1 2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x ，0），
0
∴（x ﹣m）[2（x ﹣m）﹣5]＝0．
0 0
∴x ﹣m＝0，或2（x ﹣m）﹣5＝0．
0 0
即x ﹣m＝0或x ﹣m＝ ．
0 0
【点评】本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x
﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）．
1 2
23．（12分）（2022•杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与
点A重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方
形EFGH．
（1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．
（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
第23页（共27页）①求证：EK＝2EH；
②设∠AEK＝ ，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S ，S ．求证： ＝4sin2 ﹣1．
1 2
α α
【分析】（1）由点M是边AB的中点，若AB＝4，当点E与点M重合，得出AE＝BE＝2，由
AE＝2BF，得出BF＝1，由勾股定理得出EF2＝5，即可求出正方形EFGH的面积；
（2）①由“一线三直角”证明△AKE∽△BEF，得出 ，由AE＝2BF，得出
，进而证明EK＝2EH；
②先证明△KHI≌△FGJ，得出 S△KHI ＝S△FGJ ＝S
1
，再证明△KAE∽△KHI，得出
＝ ＝ ，由正弦的定义得出sin ＝ ，进而得出
α
sin2 ＝ ，得出 ＝4sin2 ，即可证明 ＝4sin2 ﹣1．
α α α
【解答】（1）解：如图1，
第24页（共27页）∵点M是边AB的中点，若AB＝4，当点E与点M重合，
∴AE＝BE＝2，
∵AE＝2BF，
∴BF＝1，
在Rt△EBF中，EF2＝EB2+BF2＝22+12＝5，
∴正方形EFGH的面积＝EF2＝5；
（2）如图2，
①证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠K+∠AEK＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠KEF＝90°，EH＝EF，
∴∠AEK+∠BEF＝90°，
∴∠AFE＝∠BEF，
∴△AKE∽△BEF，
∴ ，
第25页（共27页）∵AE＝2BF，
∴ ，
∴EK＝2EF，
∴EK＝2EH；
②证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠KIH＝∠GJF，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠IHK＝∠EHG＝∠HGF＝∠FGJ＝90°，EH＝FG，
∵KE＝2EH，
∴EH＝KH，
∴KH＝FG，
在△KHI和△FGJ中，
，
∴△KHI≌△FGJ（AAS），
∴S△KHI ＝S△FGJ ＝S
1
，
∵∠K＝∠K，∠A＝∠IHK＝90°，
∴△KAE∽△KHI，
∴ ＝ ＝ ，
∵sin ＝ ，
α
∴sin2 ＝ ，
α
∴ ＝4sin2 ，
α
∴ ＝4sin2 ﹣1．
α
第26页（共27页）【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握正方形的性
质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定
义是解决问题的关键．
第27页（共27页）
