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2.3.3二次根式的混合运算及应用-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2025八上·龙岗期末）下列计算中，正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．3√2−√2=3 C．√12÷√3=4 D．√12×√3=6
2．（2022八上·闵行期中）√m+n的一个有理化因式是（ ）
A．√m+n B．√m+√n C．√m−√n D．√m−n
3．（2024八上·桑植期末）已知a,b均为有理数，且a+b√3=(2−√3) 2，则a,b的值为（ ）
A．a=4,b=3 B．a=7,b=−4 C．a=4,b=4 D．a=7,b=4
4．（2023八上·石家庄期中）陈老师在黑板上写了一个式子：(√3+1)□(1−√3)，“□”中的运算符
号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．+或× B．×或÷ C．+或- D．-或÷
1
5．（2019八上·浦东月考）若 a=1+√2，b= ，则a、b两数的关系是（ ）
1-√2
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
6．（2022八上·龙口开学考）已知m=1+√2，n=1−√2，则代数式√m2+n2−3mn的值为（ ）
A．9 B．±3 C．3 D．5
7．（2024八上·高邑期末）与√32-22-12结果相同的是（ ）
A．3-2+1 B．3+2-1 C．3+2+1 D．3-2-1
8．（2024八上·兰州期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边
a+b+c
求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p= ，
2
那么三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)如图，在ΔABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别
记为a，b，c，若a=5，b=6，c=7，则ΔABC的面积为（ ）
19
A．6√6 B．6√3 C．18 D．
2
1 / 21二、填空题
3
9．（2017八上·三明期末）化简： = ．
√3
10．（2019八上·浦东月考）√5−2 的一个有理化因式是 .
11．（2024八上·上海市月考）√m+√n的倒数是 ．
√a+b
12．（2024八上·怀化期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，
a−b
√5+4
如5※4= =3，那么(2−√3)※(7※5)= ．
5−4
13．（2023八上·福州月考）已知x，y为实数，且y=√x−2024−√2024−x+2000，则√x−y=
.
14．（2024八上·岳阳期末）大家知道√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用√2−1来
表示√2的小数部分（因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．
⑴如果√7的小数部分为a，√11的整数部分为b，求a+b−√7的值 ．
⑵已知：21+√10=x+ y，其中x是整数，且0<y<1，求x−y的相反数 ．
三、计算题
15．（2024八上·四川期中）计算：
√4 2
（1） + ×√8−√27
3 √6
（2）(√5+√2)(√5−√2)−(√2−1) 2
16．（2024八上·南山期末）计算：
（1）(√2+1)(√2−1)；
√12+√27
（2） −√3 8；
√3
√1
（3）√18−√8+ ．
8
17．（2024八上·兰州期中）计算题
（1）|−1|−√4+(π−3) 0+22
2 2
（2）(√3−1) −(2√3)
√1
（3）(√6−2√15)×√3−6
2
2 / 2118．（2024八上·吉安期中）计算：
（1）√16−
(1) −1
×(π−1) 0−(−1) 2013+√3−27
2
√12+√27
2
（2）(√3−1) −
√3
四、解答题
19．（2023八上·祁阳期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为√128米，宽AB为
√50米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花
坛的长为(√13+1)米，宽为(√13−1)米．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，
要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
√4 1
20．（2024八上·深圳期中）下面是小明同学计算 − (√12−√75)的过程，请认真阅读并完成相应
3 2
的任务，
√4 1
解： − (√12−√75)
3 2
2√3 1
= − (2√3−5√3)第一步
3 2
2√3 1 1
= − ×2√3− ×5√3第二步
3 2 2
2√3 5√3
= −√3− 第三步
3 2
4√3 6√3 15√3
= − − 第四步
6 6 6
17√3
=− 第五步
6
任务一：小明同学的解答过程从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ .
任务二：请你写出正确的计算过程.
3 / 2121．（2024八上·上海市月考）求代数式a+√1−2a+a2的值，其中a=1007，如图是小亮和小芳的解
答过程：
（1）__________的解法是错误的；
（2）求代数式a+2√a2−6a+9的值，其中a=−2024．
1
22．（2024八上·靖边期末）我们知道(√3+√2)(√3−√2)=1，因此将 分子、分母同时乘“
√3+√2
1
√3−√2”，分母就变成了1，原式可以化简为 √3−√2，所以有 =√3−√2．
√3+√2
请仿照上面的方法，解决下列各题．
1 1
（1）化简： = ， = ；
√5+2 √6−√5
1 1
（2）若x= ，y= ，求(x−y) 2−xy的值；
3+2√2 3−2√2
1 1 1 1
（3）根据以上规律计算下列式子的值： + + +⋯+ ．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
五、实践探究题
23．（2023八上·期中）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以
看作是一个数的平方，如2＝（√2）2，3＝（√3）2，7＝（√7）2，0＝02，那么，我们可以利用这种
思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3-2√2的算术平方根．
解：3-2√2=2−2√2+1=(√2) 2−2√2+12=(√2−1) 2，∴3-2√2的算术平方根是√2-1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）√3+2√2
（2）√10+8√3+2√2
（3）√3−2√2+√5−2√6+√7−2√12+√9−2√20+√11−2√30
4 / 2124．（2024八上·罗湖期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知
三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料
进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求
a+b+c
其面积的海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c为三角形的三边长，p= ,s为
2
三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
√1 a2+b2−c2 2
S= [a2b2−( ) ]其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S.
4 2
（1）利用材料1解决下面的问题：当a=√5,b=3,c=2√5时，求这个三角形的面积?
（2）利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是
√x+1,√(5−x) 2,4−(√4−x) 2，记△ABC的周长为C .
ABC
①当x=2时，请直接写出△ABC中最长边的长度；
②若x为整数，当C 取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积.
△ABC
六、阅读理解题
25．（2024八上·昌平期中）阅读材料，然后作答：
1 2
在化简二次根式时，有时会碰到形如 ， 这一类式子，通常进行这样的化简：
√3 √3+1
1 1×√3 √3 2 2(√3−1)
= = ； = =√3−1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．
√3 √3×√3 3 √3+1 (√3+1)(√3−1)
2
还有一种方法也可以将 进行分母有理化：
√3+1
2 (√3) 2 −12 (√3+1)(√3−1)
例如： = = =√3−1；
√3+1 √3+1 √3+1
请仿照上述方法解决下面问题：
2
(1)化简 ；
√5+√3
5 / 21a−b
(2)化简 ．
√a+√b
26．（2024八上·平南期末） 阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数
式互为有理化因式，例如：√5×√5=5,(√6−√2)(√6+√2)=6−2=4，我们称√5的一个有理化因式
是√5,√6−√2的一个有理化因式是√6+√2．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、
分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：
1 1×√5 √5 8 8(√6+√2) 8(√6+√2)
= = ， = = =2√6+2√2.
√5 √5×√5 5 √6−√2 (√6−√2)(√6+√2) 4
1
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知a= ，求2a2−8a+1
2+√3
1 2−√3
的值．他是这样分析与解答的：∵a= = =2−√3，
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴a=2−√3,∴(a−2) 2=3,a2−4a+4=3,∴a2−4a=−1，
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）√13的有理化因式是 ，√11−√5的有理化因式是 ；（均写出一个即可）
1 1 1 1
（2）计算： + + +⋯+ ；
1+√2 √2+√3 √3+√4 √2022+√2023
2
（3）若a= ，求3a2−6a+5的值．
√3−1
6 / 21答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：√2+√3不能合并，不符合题意；
B：3√2−√2=2√2，错误，不符合题意；
C：√12÷√3=2，错误，不符合题意；
D：√12×√3=6，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A．∵√m+n·√m+n=m+n，
∴√m+n就是√m+n的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵√m+n(√m+√n)=√m2+mn+√mn+n2，
∴√m+√n不是√m+n的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵√m+n(√m−√n)=√m2+mn−√mn+n2，
∴√m−√n不是√m+n的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵√m+n·√m−n=√m2−n2，
∴√m−n不是√m+n的一个有理化因式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】有理化因式：两个根式相乘的积不含根号，据此进行解答即可.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵(2−√3)
2=4−4√3+3=7−4√3，
∴a+b√3=(2−√3) 2=7−4√3，
∴a=7,b=−4；
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式去括号，再根据等式的性质即可求出答案.
7 / 214．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：观察两个括号，可以发现：√3+1和1-√3相乘，能够利用平方差公式，结果
是有理数，排除C和D，由于√3与-√3互为相反数，相加，和为0，是有理数，排除B和D。
故答案为：A。
【分析】根据二次根式运算法则，结合平方差公式和相反数的性质求解。
5．【答案】A
【知识点】分母有理化；实数的相反数
1 1+√2
【解析】【解答】 a=1+√2，b= = =-(1+√2) ，
1-√2 (1-√2)(1+√2)
∴a与b互为相反数.
故答案为：A.
1
【分析】把 b= 的分子分母同乘（1+ √2 ），进一步化简与a比较得出结论即可．
1-√2
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m=1+√2，n=1-√2，∴m+n=2，mn=(1+√2)(1-√2)=-1，
∴√m2+n2-3mn=√(m+n) 2-5mn=√22+5=3，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得√(1+√2) 2+(1-√2) 2-3(1+√2)(1-√2)=√3+2√2+3-2√2+3=√9=3，故
C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方
与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
7．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：√32-22-12=√9-4-1=√4=2
8 / 21A：3-2+1=2，符合题意；
B：3+2-1=4，不符合题意；
C：3+2+1=6，不符合题意；
D：3-2-1=0，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的性质及有理数的加减逐项计算即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵a=7，b=5，c=6．
5+6+7
∴p= =9，
2
∴ΔABC的面积S=√9(9−5)×(9−6)×(9−7)=6√6；
故选：A．
【分析】考查二次根式的应用.根据a=5，b=6，c=7， 利用公式可求出p的值，根据海伦公式可得
ΔABC的面积为：S=√9(9−5)×(9−6)×(9−7)，再进行计算可求出答案；
9．【答案】√3
【知识点】分母有理化
3 3√3
【解析】【解答】解： = =√3 ．
√3 √3⋅√3
故答案为 √3 ．
【分析】分子、分母同乘 √3 ，计算即可求出结果．
10．【答案】√5+2
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵（ √5−2 ）（ √5+2 ）=5-4=1，
∴√5−2 的一个有理化因式是 √5+2 ，
故答案为： √5+2 ．
【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此即可求解．
√m−√n
11．【答案】
m−n
【知识点】有理数的倒数；分母有理化
1 √m−√n √m−√n
【解析】【解答】解：√m+√n的倒数是 = = ，
√m+√n (√m−√n)(√m+√n) m−n
9 / 21√m−√n
故答案为： ．
m−n
1
【分析】利用倒数定义求出√m+√n的倒数是 ，再利用分母有理化化简即可．
√m+√n
√2+√6
12．【答案】−
4
【知识点】二次根式的混合运算
√7+5 2√3
【解析】【解答】解：∵7※5= = =√3，
7−5 2
√2−√3+√3 √2 √2(1+√3) √2+√6
∴(2−√3)※(7※5)=(2−√3)※√3= = = =− ，
2−√3−√3 2−2√3 2(1−√3)(1+√3) 4
√2+√6
故答案为：− ．
4
【分析】根据新定义的运算法则将原式转化为二次根式的混合运算，分母有理化解题即可．
13．【答案】2√6
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
{x−2024≥0
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
2024−x≥0
∴x=2024，
∴y=2000，
∴√x−y=√2024−2000=√24=2√6．
故答案为：2√6．
【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入
求解即可．
14．【答案】1；√10−27
【知识点】无理数的估值；二次根式的应用
【解析】【解答】解：⑴∵4<7<9，9<11<16，
∴2<√7<3，3<√11<4，
∵√7的小数部分为a，
∴a=√7−2，
∵√11的整数部分为b，
∴b=3，
∴a+b−√7=√7−2+3−√7=1.
⑵∵21+√10=x+ y，其中x是整数，且0<y<1，
10 / 21∴x=24，y=√10−3，
∴x−y=27−√10
x−y的相反数为√10−27.
【分析】（1）估算√7的范围，求出a，b值，再代入代数式即可求出答案.
（2）根据题意求出等式左边的整数部分求出x，y值，再代入代数式即可求出答案.
√4 2
15．【答案】（1）解： + ×√8−√27
3 √6
2 2√6
= √3+ ×2√2−3√3
3 6
2 4
= √3+ √3−3√3
3 3
=−√3；
（2）解：(√5+√2)(√5−√2)−(√2−1) 2
=5−2−(2−2√2+1)
=5−2−(2−2√2+1)
=5−2−2+2√2−1
=2√2．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简，再运算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式展开运算，然后合并解题．
√4 2
（1）解： + ×√8−√27
3 √6
2 2√6
= √3+ ×2√2−3√3
3 6
2 4
= √3+ √3−3√3
3 3
=−√3；
（2）解：(√5+√2)(√5−√2)−(√2−1) 2
=5−2−(2−2√2+1)
11 / 21=5−2−(2−2√2+1)
=5−2−2+2√2−1
=2√2．
16．【答案】（1）解：(√2+1)(√2−1)
=(√2) 2 −1
=2−1
=1；
√12+√27
（2）解： −√3 8
√3
=√4+√9−2
=2+3−2
=3；
√1
（3）解：√18−√8+
8
√2
=3√2−2√2+
4
5√2
=
4
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式结合题意即可求解；
（2）先根据题意分母有理化，进而根据立方根结合题意即可求解；
（3）先化简二次根式，进而根据二次根式的加减运算即可求解。
（1）解：(√2+1)(√2−1)
=(√2) 2 −1
=2−1
=1；
√12+√27
（2）解： −√3 8
√3
=√4+√9−2
=2+3−2
12 / 21=3；
√1
（3）解：√18−√8+
8
√2
=3√2−2√2+
4
5√2
= ．
4
17．【答案】（1）解：|−1|−√4+(π−3) 0+22
=1−2+1+4
=4
2 2
（2）解：(√3−1) −(2√3)
=4−2√3−12
=−2√3−8．
√1
（3）解：(√6−2√15)×√3−6
2
√1
=(√18−2√45)− ×36
2
=√18−6√5−√18
=−6√5．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂.（1）利用绝对值可计算|−1|，利用乘
方可计算22，利用算术平方根可计算√4，利用零指数幂的性质可计算(π−3) 0，据此可得：原式
=1−2+1+4，利用有理数的混合运算可求出答案；
（2）利用完全平方公式，二次根式的运算性质：(√a) 2=a可得：原式=4−2√3−12，利用有理数的
混合运算可求出答案；
√1
（3）先利用二次根式的运算性质：√a×√b=√ab进行计算可得：原式=(√18−2√45)− ×36，再
2
进行化简可得：原式=√18−6√5−√18，再利用有理数的混合运算可求出答案；
（1）解：|−1|−√4+(π−3) 0+22
13 / 21=1−2+1+4
=4．
（2）解：(√3−1) 2 −(2√3) 2
=4−2√3−12
=−2√3−8．
√1
（3）解：(√6−2√15)×√3−6
2
√1
=(√18−2√45)− ×36
2
=√18−6√5−√18
=−6√5．
18．【答案】（1）√16−
(1) −1
×(π−1) 0−(−1) 2013+√3−27=4−2×1−(−1)+(−3)
2
=4−2−(−1)+(−3)
=0
2
√12+√27 √12×√3+√27×√3
（2）(√3−1) − =3−2√3+1−
√3 3
6+9
=4−2√3−
3
=4−2√3−5
=−2√3−1
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】本题考查实数的运算．
(1) −1
（1）利用平方根的定义可求出√16，利用立方根的定义可求出√3−27，利用负指数幂可计算 ，
2
利用零指数幂可计算(π−1) 0，利用乘方可计算(−1) 2013，据此可得：原式=4−2×1−(−1)+(−3)，
再利用有理数的加减运算进行计算可求出答案；
√12+√27
（2）先利用完全平方公式，二次根式的运算性质：√ab=√a×√b,可化简： ，化简可得：
√3
14 / 216+9
原式=4−2√3− ，再利用有理数的加减运算进行计算可求出答案.
3
（1）√16−
(1) −1
×(π−1) 0−(−1) 2013+√3−27=4−2×1−(−1)+(−3)
2
=4−2−(−1)+(−3)
=0
2
√12+√27 √12×√3+√27×√3
（2）(√3−1) − =3−2√3+1−
√3 3
6+9
=4−2√3−
3
=4−2√3−5
=−2√3−1
19．【答案】（1）解：∵矩形ABCD的长BC为√128米，宽AB为√50米，∴周长为
2×(√128+√50)=2×(8√2+5√2)=26√2（米）．
故矩形ABCD的周长为26√2米．
（2）由题意得：通道的面积为：
√128×√50−2×(√13+1)(√13−1)=8√2×5√2−2×(13−1)=80−2×12=56（m2），∴购买地砖
需要花费56×6=336（元）．
答：购买地砖需要花费336元．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长列出算式，再化简并合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先用长方形ABCD的面积减去2个花坛的面积，求出通道的面积，再计算花费即可．
（1）解：矩形ABCD的长BC为√128米，宽AB为√50米，
∴矩形ABCD的周长为2×(√128+√50)=2×(8√2+5√2)=26√2（米）．
答：矩形ABCD的周长为26√2米．
（2）解：通道的面积为
√128×√50−2×(√13+1)(√13−1)=8√2×5√2−2×(13−1)=80−2×12=56（平方米），
则购买地砖需要花费56×6=336（元）．
答：购买地砖需要花费336元．
15 / 2120．【答案】解：任务一：从第二步开始出现错误，
错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号
任务二：请你写出正确的计算过程.
√4 1
− (√12−√75)
3 2
2√3 1
= − (2√3−5√3)
3 2
2√3 1 1
= − ×2√3+ ×5√3
3 2 2
2√3 5√3
= −√3+
3 2
4√3 6√3 15√3 13√3
= − + =
6 6 6 6
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次
根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
21．【答案】（1）小亮
（2）解：a+2√a2−6a+9=a+2√(a−3) 2
=a+2|a−3|，
当a=−2024时，a−3<0，
∴原式=a+2(3−a)=6−a=6+2024=2030．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）∵当a=1007时，1−a<0，
∴a+√1−2a+a2=a+√(1−a) 2=a+|1−a|=a−(1−a)=a−1+a=2a−1，
∴小亮的计算错误，小芳的计算正确；
故答案为：小亮.
【分析】（1）由a值，可得1−a<0，然后根据二次根式的性质化简求值，再判断即可；
（2）根据二次根式的性质化简可得a+2|a−3|，再由a−3<0进行去绝对值化简即可．
（1）解：∵当a=1007时，1−a<0，
∴a+√1−2a+a2=a+√(1−a) 2=a+|1−a|=a−(1−a)=a−1+a=2a−1，
∴小亮的计算错误，小芳的计算正确；
16 / 21（2）解：a+2√a2−6a+9
=a+2√(a−3) 2
=a+2|a−3|，
当a=−2024时，a−3<0，
∴原式=a+2(3−a)=6−a=6+2024=2030．
1 √5-2 1 √6+√5
22．【答案】（1）解： = =√5-2；解： = =√6+√5
√5+2 (√5+2)(√5-2) √6-√5 (√6-√5)(√6+√5)
1 3−2√2
（2）解：∵x= = =3−2√2，
3+2√2 (3+2√2)(3−2√2)
1 3+2√2
y= = =3+2√2，
3−2√2 (3−2√2)(3+2√2)
∴x−y=3−2√2−(3+2√2)=−4√2，xy=(3+2√2)(3−2√2)=1，
∴(x−y) 2−xy
=(−4√2) 2 −1
=32−1
=31；
1 √n+1−√n
（3）解：∵ = =√n+1−√n
√n+1+√n (√n+1+√n)(√n+1−√n)
1 1 1 1
∴ + + +⋯+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2022−√2021
=√2022−1．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据分母有理化的方法，计算求解即可.
(2)根据分母有理化，先化简求出x，y的值，再代入式子求解.
(3)根据分母有理化化简各式，加减相消，得出结果.
23．【答案】（1）解：√3+2√2=√2+2√2+1=√(√2) 2+2√2+12=√(√2+1) 2=√2+1
17 / 21（2）解：√10+8√(3+2√2)=√10+8(√2+1)=√18+8√2=√16+8√2+2=
√42+2×4×√2+(√2) 2=√(4+√2) 2=4+√2
（3）解：原式＝√2−2√2+1+√3−2√6+2+√3−2√12+4+√4−2√20+5+√5−2√30+6
= √(√2) 2−2√2+12+√(√3) 2−2×√2×√3+(√2) 2+√(√3) 2−2×2×√3+22+
√22−2×2×√5+(√5) 2+√(√5) 2−2×√5×√6+(√6) 2
= √(√2−1) 2+√(√3−√2) 2+√(√3−2) 2+√(2−√5) 2+√(√5−√6) 2
= √2−1+√3−√2+2−√3+√5−2+√6−√5
=√6-1
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则和完全平方公式求解。将3−2√2变形为完全平
2
方式的形式(√2−1) ，然后开平方即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则和完全平方公式求解。先化简√3+2√2，再化简原式即可得出答
案；
（3）根据二次根式的混合运算法则和完全平方公式求解。分别化简，合并同类二次根式即可得出答
案．
24．【答案】（1）解：∵a=√5，b=3，c=2√5，
√5+3+2√5 3√5+3
∴p= = ，
2 2
√3√5+3 3√5+3 3√5+3 3√5+3
∴S= ×( −√5)×( −3)×( −2√5)，
2 2 2 2
√3√5+3 √5+3 3√5−3 3−√5
= × × × ，
2 2 2 2
√3√5+3 3√5−3 √5+3 3−√5
= × × × ，
2 2 2 2
√ (3√5) 2 −32 32−(√5) 2
= × ，
4 4
18 / 21√36 4
= × ，
4 4
=√9，
=3；
（2）解：①当x=2时，
√x+1=√3，√(5−x) 2=√32=3，4−(√4−x) 2=4−(√2) 2=2，
∴∆ABC中最长边的长度为3；
②∵x+1≥0，4−x≥0，
∴−1≤x≤4，
∵4−(√4−x)
2=4−(4−x)=x，三角形的边为正数，
∴x>0，
∴0<x≤4，
∴√(5−x) 2=5−x，4−(√4−x) 2=4−(4−x)=x，
∴C =√x+1+√(5−x) 2+4−(√4−x) 2 ，
△ABC
=√x+1+5−x+x，
=√x+1+5，
∵C =√x+1+5，0<x≤4，x为整数，
△ABC
∴当x=4时，三边为√5，1，4，
∵√5+1<4，
∴x=4不合题意，舍去，
当x=3时，三边为2，2，3，符合题意，此时，C 取最大值，
△ABC
∴a=2，b=2，c=3，
√1 22+22−32 2
∴S= [22×22−( ) ]
4 2
√1 1 2
= [16−(− ) ]，
4 2
√1 1
= ×(16− )，
4 4
19 / 21√63
= ，
16
3
= √7
4
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将a、b、c的值求出p的值，再将a、b、c、p的值代入
√1 a2+b2−c2 2
S= [a2b2−( ) ]计算即可；
4 2
（2）①将x的值分别代入√x+1,√(5−x) 2,4−(√4−x) 2计算并比较大小即可；
√1 a2+b2−c2 2
②先求出x的值，再求出a、b、c的值，再将其代入S= [a2b2−( ) ]计算即可.
4 2
2 2
(√5) −(√3)
25．【答案】解：（1）原式＝
√5+√3
(√5+√3)(√5−√3)
=
√5+√3
=√5−√3
(√a+√b)(√a−√b)
（2）原式＝
√a+√b
=√a−√b
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】本题考查分母有理化.
(√5+√3)(√5−√3)
(1)根据2=(√5) 2 −(√3) 2 ，据此可得：原式= ，再进行约分可求出答案；
√5+√3
(√a+√b)(√a−√b)
(2)根据a-b=(√a+√b)(√a−√b)，据此可得：原式= ，再进行约分可求出答案；
√a+√b
26．【答案】（1）√13；√11+√5
20 / 21√2−1 √3−√2 √2023−√2022
（2）解：原式= + +⋯+
(1+√2)(√2−1) (√2+√3)(√3−√2) (√2022+√2023)(√2023−√2022)
=√2−1+√3−√2+⋯+√2023−√2022
=√2023−1
2 2(√3+1)
（3）解：∵a= = =√3+1．
√3−1 (√3−1)(√3+1)
∴a=√3+1,(a−1) 2=3 ，
∴a2−2a+1=3
∴a2−2a=2，
∴3a2−6a+5=3(a2−2a)+5=3×2+5=11.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）根据题意可得：√13×√13=13；(√11-√5)(√11+√5)=11-5=6，
故答案为：√13；√11+√5.
【分析】（1）利用二次根式有理化的计算方法分析求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可；
（3）先利用分母有理化化简，再求出a2−2a=2，最后将其代入3a2−6a+5=3(a2−2a)+5计算即
可.
21 / 21
