文档内容
2022年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方
框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（3分）（2022•湖州）实数﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．（3分）（2022•湖州）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第2课在中国空间站开讲，神舟
十三号乘组三位航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课，某平台进行全程直播．某一时
刻观看人数达到3790000人．用科学记数法表示3790000，正确的是（ ）
A．0.379×107 B．3.79×106 C．3.79×105 D．37.9×105
3．（3分）（2022•湖州）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022•湖州）统计一名射击运动员在某次训练中10次射击的中靶环数，获得如下
数据：7，8，10，9，9，8，10，9，9，10．这组数据的众数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（3分）（2022•湖州）下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3﹣a2＝a D．（2a）2＝4a2
6．（3分）（2022•湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'．若B'C＝
2cm，则BC′的长是（ ）
第1页（共26页）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．（3分）（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
8．（3分）（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是
AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
9．（3分）（2022•湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在
边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，
C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC
10．（3分）（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称
为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝
4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的
△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
第2页（共26页）A．4 B．6 C．2 D．3
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2022•湖州）当a＝1时，分式 的值是 ．
12．（4分）（2022•湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是 ．
13．（4分）（2022•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC， ＝
．若DE＝2，则BC的长是 ．
14．（4分）（2022•湖州）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它
们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的
概率是 ．
15．（4分）（2022•湖州）如图，已知AB是 O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的
延长线交 O于点D．若∠APD是 ⊙所对的圆周角，则∠APD的度数是 ．
⊙
第3页（共26页）16．（4分）（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B
在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反
比例函数的解析式是y＝ ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）（2022•湖州）计算：（ ）2+2×（﹣3）．
18．（6分）（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和
sinA的值．
19．（6分）（2022•湖州）解一元一次不等式组 ．
20．（8分）（2022•湖州）为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，
某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、
“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一
个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制
成如下统计图（不完整）．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
第4页（共26页）（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生
人数．
21．（8分）（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直
径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：OF＝EC；
（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长．
22．（10分）（2022•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴
出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是 40千
米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t
（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
第5页（共26页）23．（10分）（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的
正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过
A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所
示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表
示n，并求出n的最大值．
24．（12分）（2022•湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a
＞b．记△ABC的面积为S．
（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE
的面积为S ，正方形BGFC的面积为S ．
1 2
①若S ＝9，S ＝16，求S的值；
1 2
②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如
图2所示），求证：S ﹣S ＝2S．
2 1
（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三
角形ACD的面积为S ，等边三角形CBE的面积为S ．以AB为边向上作等边三角形ABF
1 2
第6页（共26页）（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S ﹣S 与S之间的等量关系，并说
2 1
明理由．
第7页（共26页）2022年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方
框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（3分）（2022•湖州）实数﹣5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：实数﹣5的相反数是5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）（2022•湖州）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第2课在中国空间站开讲，神舟
十三号乘组三位航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课，某平台进行全程直播．某一时
刻观看人数达到3790000人．用科学记数法表示3790000，正确的是（ ）
A．0.379×107 B．3.79×106 C．3.79×105 D．37.9×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3790000＝3.79×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2022•湖州）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
第8页（共26页）A． B． C． D．
【分析】主视图就是从主视方向看到的正面的图形，也可以理解为该物体的正投影，据此
求解即可．
【解答】解：观察该几何体发现：从正面看到的应该是三个正方形，上面1个左齐，下面2
个，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是了解主视图的定义，属于基础题，
难度不大．
4．（3分）（2022•湖州）统计一名射击运动员在某次训练中10次射击的中靶环数，获得如下
数据：7，8，10，9，9，8，10，9，9，10．这组数据的众数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据众数的定义求解．
【解答】解：在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是9．
故选：C．
【点评】本题考查了众数的意义，正确掌握众数的定义是解题关键．
5．（3分）（2022•湖州）下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3﹣a2＝a D．（2a）2＝4a2
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则，分
别计算得出答案．
【解答】解：A．a2+a3，无法合并，故此选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
C．a3﹣a2，无法合并，故此选项不合题意；
D．（2a）2＝4a2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算，正确掌握
相关运算法则是解题关键．
6．（3分）（2022•湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'．若B'C＝
2cm，则BC′的长是（ ）
第9页（共26页）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据平移的性质得到BB′＝CC′＝1cm，即可得到BC′＝BB′+B′C+CC′的
长．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'，
∴BB′＝CC′＝1（cm），
∵B'C＝2（cm），
∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝1+2+1＝4（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到BB′＝CC′＝1cm是解题的关键．
7．（3分）（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关
键．
8．（3分）（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是
AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
第10页（共26页）【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，AD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质
求出ED，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD＝ BC＝3，AD⊥BC，
在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，
∴ED＝BD＝3，
∴S△EBC ＝ BC•ED＝ ×6×3＝9，
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合
一是解题的关键．
9．（3分）（2022•湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在
边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，
C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC
【分析】由矩形的性质及勾股定理可求出BD＝10；由折叠的性质可得出AB＝BG＝6，CD
＝DH＝6，则可求出GH＝2；证出∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，由平行线的判定可
得出结论；由勾股定理求出CF＝3，根据平行线分线段成比例定理可判断结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝ ＝ ＝10，
故A选项不符合题意；
第11页（共26页）∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，
∴GH＝BG+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，
故B选项不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，
∴EG∥FH．
故C选项不符合题意；
∵GH＝2，
∴BH＝DG＝BG﹣GH＝6﹣2＝4，
设FC＝HF＝x，则BF＝8﹣x，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴CF＝3，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
若GF⊥BC，则GF∥CD，
∴ ，
故D选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的
性质是解题的关键．
10．（3分）（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称
为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝
4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的
第12页（共26页）△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．2 D．3
【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理
求出即可．
【解答】解：如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，
根据勾股定理得：PM＝ ＝ ＝2 ．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关
键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2022•湖州）当a＝1时，分式 的值是 2 ．
【分析】把a＝1代入分式计算即可求出值．
【解答】解：当a＝1时，
原式＝ ＝2．
故答案为：2．
第13页（共26页）【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（4分）（2022•湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是 如果 a ＝ b ，那么 | a |
＝ | b | ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|，
故答案为：如果a＝b，那么|a|＝|b|．
【点评】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题
的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其
中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．（4分）（2022•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC， ＝
．若DE＝2，则BC的长是 6 ．
【分析】由平行线的旋转得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得出△ADE∽△ABC，由相似三
角形的旋转得出 ，代入计算即可求出BC的长度．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ ＝ ，DE＝2，
∴ ，
∴BC＝6，
故答案为：6．
第14页（共26页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，相似三角形的判
定方法是解决问题的关键．
14．（4分）（2022•湖州）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它
们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的
概率是 ．
【分析】根据题目中的数据，可以计算出从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标
数字大于4的概率．
【解答】解：∵一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，
∴从这个箱子里随机摸出一个球，一共有6种可能性，其中出的球上所标数字大于4的有
2种可能性，
∴出的球上所标数字大于4的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
15．（4分）（2022•湖州）如图，已知AB是 O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的
延长线交 O于点D．若∠APD是 ⊙所对的圆周角，则∠APD的度数是 30 ° ．
⊙
【分析】由垂径定理得出 ，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而
得出∠AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD＝ ∠AOD＝30°，得出答案．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴ ，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOB＝120°，
第15页（共26页）∴∠AOD＝∠BOD＝ ∠AOB＝60°，
∴∠APD＝ ∠AOD＝ ×60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，
垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．
16．（4分）（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B
在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反
比例函数的解析式是y＝ ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 y ＝﹣ ．
【分析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．由
tan∠ABO＝ ＝3，可以假设OB＝a，OA＝3a，利用全等三角形的性质分别求出C（a，
2a），D（﹣2a，3a），可得结论．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．
∵tan∠ABO＝ ＝3，
第16页（共26页）∴可以假设OB＝a，OA＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，
∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ABO＝∠BCT，
∴△AOB≌△BTC（AAS），
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，
∴OT＝BT﹣OB＝2a，
∴C（a，2a），
∵点C在y＝ 上，
∴2a2＝1，
同法可证△CHD≌△BTC，
∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，
∴D（﹣2a，3a），
设经过点D的反比例函数的解析式为y＝ ，则有﹣2a×3a＝k，
∴k＝﹣6a2＝﹣3，
∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣ ．
故答案为：y＝﹣ ．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）（2022•湖州）计算：（ ）2+2×（﹣3）．
【分析】根据（ ）2＝a（a≥0），有理数的乘法和加法即可得出答案．
【解答】解：原式＝6+（﹣6）
＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握（ ）2＝a（a≥0）是解题的关键．
18．（6分）（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和
sinA的值．
第17页（共26页）【分析】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sinA的值．
【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝4，
sinA＝ ＝ ．
答：AC的长为4，sinA的值为 ．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方是解题的关键．
19．（6分）（2022•湖州）解一元一次不等式组 ．
【分析】分别解这两个一元一次不等式，然后根据求不等式组解集的规律即可得出答案．
【解答】解：解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜1，
∴原不等式组的解集为x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到是解题的关键．
20．（8分）（2022•湖州）为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，
某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、
“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一
个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制
成如下统计图（不完整）．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
第18页（共26页）（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生
人数．
【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“体育运动”的人数为60人，占调查
人数的30%，可求出调查人数；用360°乘“美工制作”所占比例即可得出扇形统计图中
表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
（2）用抽查学生的总人数分别减去其它小组人数，即可得出“音乐舞蹈”的人数，即可将
条形统计图补充完整；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）本次被抽查学生的总人数是60÷30%＝200（人），
扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数是 ＝36°；
（2）“音乐舞蹈”的人数为200﹣50﹣60﹣20﹣40＝30（人），
补全条形统计图如下：
第19页（共26页）（3）估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为 ＝400（人）．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数
量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
21．（8分）（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直
径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：OF＝EC；
（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长．
【分析】（1）连接OE，由切线的性质可证明OE⊥AC，根据有三个角是直角的四边形
OECF是矩形，可得结论；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得AO的长，由线段的差可得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AC是 O的切线，
∴OE⊥A⊙C，
∴∠OEC＝90°，
∵OF⊥BC，
∴∠OFC＝90°，
∴∠OFC＝∠C＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OF＝EC；
（2）解：∵BD＝2，
∴OE＝1，
∵∠A＝30°，OE⊥AC，
∴AO＝2OE＝2，
∴AD＝AO﹣OD＝2﹣1＝1．
第20页（共26页）【点评】本题主要考查切线的性质，矩形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质等知识，
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．（10分）（2022•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴
出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是 40千
米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t
（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
【分析】（1）设轿车出发后x小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；
（2）由图象及（1）的结果可得A（1，0），B（3，120），利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意列出方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，
依题意得：40（x+1）＝60x，
解得x＝2．
∴轿车出发后2小时追上大巴，
此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），
答，轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；
（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，
∴大巴行驶了13小时，
∴B（3，120），
由图象得A（1，0），
设AB所在直线的解析式为y＝kt+b，
第21页（共26页）∴ ，
解得 ，
∴AB所在直线的解析式为y＝60t﹣60；
（3）依题意得：40（a+1.5）＝60×1.5，
解得a＝ ．
∴a的值为 ．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解决本题的关键根据函数图
象解决问题，充分利用数形结合思想．
23．（10分）（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的
正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过
A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所
示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表
示n，并求出n的最大值．
【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；
②利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．
【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
第22页（共26页）∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得： ，
解得： ；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣ m2+m＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当m＝ 时，n的值最大，最大值是 ．
【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形
的性质和判定，根据正方形的性质求出点A、B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破
口．
24．（12分）（2022•湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a
＞b．记△ABC的面积为S．
（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE
的面积为S ，正方形BGFC的面积为S ．
1 2
①若S ＝9，S ＝16，求S的值；
1 2
②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如
图2所示），求证：S ﹣S ＝2S．
2 1
（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三
第23页（共26页）角形ACD的面积为S ，等边三角形CBE的面积为S ．以AB为边向上作等边三角形ABF
1 2
（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S ﹣S 与S之间的等量关系，并说
2 1
明理由．
【分析】（1）①由S ＝9，S ＝16，求得b＝3，a＝4，进而求出S＝ ab＝6；
1 2
②先证明△AFN∽△NAB，得出 ，进而得出ab+b2＝a2，即可证明S ﹣S ＝2S；
2 1
（2）先证明△ABC≌△FBE（SAS），得出AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，求出∠FEC＝
30°，利用三角函数得出b＝ a，进而得出S＝ ab＝ a2，利由等边三角形的性质求
出 ， ，通过计算得出S ﹣S ＝ × ，即可证明S ﹣S ＝ S．
2 1 2 1
【解答】（1）①解：∵S ＝9，S ＝16，
1 2
∴b＝3，a＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴S＝ ab＝ ＝6；
②证明：由题意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，
∴∠FAH+∠NAB＝90°，
∵FH⊥AB，
∴∠FAH+∠AFN＝90°，
∴∠AFN＝∠NAB，
∴△AFN∽△NAB，
第24页（共26页）∴ ，即 ，
∴ab+b2＝a2，
∴2S+S ＝S ，
1 2
∴S ﹣S ＝2S；
2 1
（2）解：S ﹣S ＝ S，
2 1
理由：∵△ABF和△CBE都是等边三角形，
∴AB＝FB，CB＝EB，∠ABF＝∠CBE＝60°，
∴∠ABF﹣∠CBF＝∠CBE﹣∠CBF，
∴∠ABC＝∠FBE，
在△ABC和△FBE中，
，
∴△ABC≌△FBE（SAS），
∴AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，
∴∠FEC＝90°﹣60°＝30°，
∵EF⊥CF，CE＝BC＝a，
∴sin∠FEC＝ ，即sin30°＝ ，
∴b＝asin30°＝ a，
∴S＝ ab＝ a2，
∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴ ， ，
∴S ﹣S ＝ ＝ ﹣ ＝ ＝ × ，
2 1
∴S ﹣S ＝ S．
2 1
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握正
方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形
第25页（共26页）的判定与性质是解决问题的关键．
第26页（共26页）
