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2022年浙江省舟山市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、
错选，均不得分）
1．（3分）（2022•舟山）若收入3元记为+3，则支出2元记为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（3分）（2022•舟山）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•舟山）根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游
251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.51×108 B．2.51×107 C．25.1×107 D．0.251×109
4．（3分）（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022•舟山）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
6．（3分）（2022•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，
EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
第1页（共28页）A．32 B．24 C．16 D．8
7．（3分）（2022•舟山）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列关于他们射击成绩
的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A． ＞ 且S 2＞S 2 B． ＞ 且S 2＜S 2
A B A B
C． ＜ 且S 2＞S 2 D． ＜ 且S 2＜S 2
A B A B
8．（3分）（2022•舟山）上学期某班的学生都是双人桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占
全班女生的 ，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生x
人，女生y人，根据题意可得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边
DE的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
10．（3分）（2022•舟山）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的
第2页（共28页）最大值为9，则c的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）（2022•舟山）分解因式：m2+m＝ ．
12．（4分）（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为 ．
13．（4分）（2022•舟山）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜
色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是 ．
14．（4分）（2022•舟山）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比
例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，点B的坐标为（4，3），AB与y轴平行，若AB＝BC，则
k＝ ．
15．（4分）（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够
长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢
梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使
BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k
的代数式表示）．
16．（4分）（2022•舟山）如图，在扇形AOB中，点C，D在 上，将 沿弦CD折叠后恰好与
OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则 的度数为 ，折痕CD的
长为 ．
第3页（共28页）三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10
分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（2022•舟山）（1）计算： ﹣（ ﹣1）0．
（2）解不等式：x+8＜4x﹣1．
18．（6分）（2022•舟山）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交
流．
小惠： 小洁：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才
能证明．
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，
并证明．
19．（6分）（2022•舟山）观察下面的等式： ＝ + ， ＝ + ， ＝ + ，……
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
20．（8分）（2022•舟山）6月13日，某港口的湖水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数
图象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
第4页（共28页）（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适
合 货 轮 进 出 此 港 口 ？
21．（8分）（2022•舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一
个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，
BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，
cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
第5页（共28页）22．（10分）（2022•舟山）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机
抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题：
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）．
A．没时间
B．家长不舍得
C．不喜欢
D．其它
中小学生每周参加家庭劳动时间x（h） 分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜
1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h．请结合上述统计
图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
23．（10分）（2022•舟山）已知抛物线L ：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
1
第6页（共28页）（1）求抛物线L 的函数表达式．
1
（2）将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ．若抛物线L 的顶点关于坐标原
1 2 2
点O的对称点在抛物线L 上，求m的值．
1
（3）把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）
1 3
都在抛物线L 上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
3
24．（12分）（2022•舟山）如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，
FH交于点E，已知CF＝CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证： ＝ ．
（3）如图 3，在（2）的条件下，当点 K 是线段 AC 的中点时，求 的值．
第7页（共28页）2022年浙江省舟山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、
错选，均不得分）
1．（3分）（2022•舟山）若收入3元记为+3，则支出2元记为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】正数和负数．
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【分析】根据正负数的意义可得收入为正，支出为负解答即可．
【解答】解：若收入3元记为+3，则支出2元记为﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查正、负数的意义；在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定
方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．
2．（3分）（2022•舟山）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看底层是三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）（2022•舟山）根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游
251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.51×108 B．2.51×107 C．25.1×107 D．0.251×109
第8页（共28页）【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：251000000＝2.51×108．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】作图—基本作图．
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【分析】根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；
选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是明确角平分线的做法，利用数形结
合的思想解答．
5．（3分）（2022•舟山）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【考点】估算无理数的大小．
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【分析】根据无理数的估算分析解题．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴ ＜ ＜ ，
∴2＜ ＜3，
第9页（共28页）故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．
6．（3分）（2022•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，
EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．
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【分析】根据EF∥AC，GF∥AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C
＝∠EFB，再根据AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．
【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，FG＝GC，
∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG，
∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四边形AEFG的周长是AG+AC＝8+8＝16，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确
题意，将平行四边形的周长转化为AB和AC的关系．
第10页（共28页）7．（3分）（2022•舟山）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列关于他们射击成绩
的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A． ＞ 且S 2＞S 2 B． ＞ 且S 2＜S 2
A B A B
C． ＜ 且S 2＞S 2 D． ＜ 且S 2＜S 2
A B A B
【考点】方差；算术平均数．
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【分析】根据平均数及方差的意义直接求解即可．
【解答】解：A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，当A的平均数大于B，且方差比
B小时，能说明A成绩较好且更稳定．
故选：B．
【点评】本题主要考查平均数及方差的意义，熟练掌握平均数及方差的意义是解答此题的
关键．
8．（3分）（2022•舟山）上学期某班的学生都是双人桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占
全班女生的 ，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生x
人，女生y人，根据题意可得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【分析】根据 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 ，可以得到 x＝ y，根据本学
期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，可得x+4＝y，从而可以列出相应的方程组，
本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
第11页（共28页）【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的方程组．
9．（3分）（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边
DE的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【考点】勾股定理；等腰直角三角形．
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【分析】根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据
等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．
【解答】解：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，
∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，
∴BE＝ ＝ ＝2 ，DA＝EA＝1，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴BC＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
解得EG＝ ，
∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EG＝BF＝ ，
∵BE＝2 ，BF＝ ，
第12页（共28页）∴EF＝ ＝ ＝ ，CF＝BF+BC＝ + ＝
，
∵∠EFC＝90°，
∴EC＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出EF和CF
的长．
10．（3分）（2022•舟山）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的
最大值为9，则c的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【考点】二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】由点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，可得 ，即得ab＝a（ak+3）＝
ka2+3a＝k（a+ ）2﹣ ，根据ab的最大值为9，得k＝﹣ ，即可求出c＝2．
【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，
∴ ，
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+ ）2﹣ ，
∵ab的最大值为9，
∴k＜0，﹣ ＝9，
第13页（共28页）解得k＝﹣ ，
把k＝﹣ 代入②得：4×（﹣ ）+3＝c，
∴c＝2，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配
方法求函数的最值．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）（2022•舟山）分解因式：m2+m＝ m （ m + 1 ） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．
【解答】解：m2+m＝m（m+1）．
故答案为：m（m+1）．
【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分
解的关键是确定公因式．
12．（4分）（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为 135 ° ．
【考点】多边形内角与外角．
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【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为正整数）求出内角和，然
后再计算一个内角的度数．
【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
每一个内角的度数为 ×1080°＝135°．
故答案为：135°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180°
（n≥3，且n为整数）．
13．（4分）（2022•舟山）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜
色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是 ．
【考点】概率公式．
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【分析】直接根据概率公式可求解．
【解答】解：∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，
第14页（共28页）∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是 ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以
所有可能出现的结果数．
14．（4分）（2022•舟山）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比
例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，点B的坐标为（4，3），AB与y轴平行，若AB＝BC，则
k＝ 3 2 ．
【考点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】由点B的坐标为（4，3）求出BC＝5，又AB＝BC，AB与y轴平行，可得A（4，8），用
待定系数法即得答案．
【解答】解：∵点B的坐标为（4，3），C（0，0），
∴BC＝ ＝5，
∴AB＝BC＝5，
∵AB与y轴平行，
∴A（4，8），
把A（4，8）代入y＝ 得：
8＝ ，
解得k＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法，能根
据已知求出点A的坐标．
15．（4分）（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够
第15页（共28页）长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢
梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使
BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的
代数式表示）．
【考点】列代数式．
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【分析】根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”分别列式，从而代入计算．
【解答】解：如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的
度数为k′，
由题意可得BP•k＝PA•a，B′P•k′＝PA•a，
∴BP•k＝B′P•k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查列代数式，属于跨学科综合题目，理解题意，掌握杠杆原理（动力×动力臂
＝阻力×阻力臂）是解题关键．
第16页（共28页）16．（4分）（2022•舟山）如图，在扇形AOB中，点C，D在 上，将 沿弦CD折叠后恰好与
OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则 的度数为 60 ° ，折痕CD的
长为 4 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；切线的性质．
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【分析】设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点
H，可得OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，根据切线的性质开证明∠EOF＝60°，则可
得 的度数；然后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．
【解答】 解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′
交CD于点H，
∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，
∵将 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．
∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EO′F＝60°，
则 的度数为60°；
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OF＝60°，
∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，
∴OO′＝ ＝ ＝4 ，
∴O′H＝2 ，
第17页（共28页）∴CH＝ ＝ ＝2 ，
∴CD＝2CH＝4 ．
故答案为：60°，4 ．
【点评】本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10
分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（2022•舟山）（1）计算： ﹣（ ﹣1）0．
（2）解不等式：x+8＜4x﹣1．
【考点】解一元一次不等式；立方根；零指数幂．
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【分析】（1）根据立方根和零指数幂可以解答本题；
（2）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．
【解答】解：（1） ﹣（ ﹣1）0
＝2﹣1
＝1；
（2）x+8＜4x﹣1
移项及合并同类项，得：﹣3x＜﹣9，
系数化为1，得：x＞3．
【点评】本题考查解一元一次不等式、实数的运算，熟练掌握运算法则和解一元一次不等
式的方法是解答本题的关键．
18．（6分）（2022•舟山）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交
流．
小惠： 小洁：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才
能证明．
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，
并证明．
第18页（共28页）【考点】菱形的判定．
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【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定和菱形的判定方法（对角线互相垂
直平分的四边形是菱形）是解题关键．
19．（6分）（2022•舟山）观察下面的等式： ＝ + ， ＝ + ， ＝ + ，……
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【考点】分式的加减法；规律型：数字的变化类．
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【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含n的等式表达即可；
（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．
【解答】解：（1）观察规律可得： ＝ + ；
（2）∵ +
＝ +
＝
＝ ，
∴ ＝ + ．
【点评】本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．
第19页（共28页）20．（8分）（2022•舟山）6月13日，某港口的湖水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数
图象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适
合 货 轮 进 出 此 港 口 ？
【考点】函数的图象．
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【分析】（1）①先描点，然后画出函数图象；
②利用数形结合思想分析求解；
（2）结合函数图象增减性及最值进行分析说明；
（3）结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围．
第20页（共28页）【解答】解：（1）①如图：
②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；
（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：
①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；
②当x＝14时，y有最小值为80；
（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，
∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，
即当5＜x＜10或18＜x＜23时，货轮进出此港口．
【点评】本题考查函数的图象，理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题
关键．
21．（8分）（2022•舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一
个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，
BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，
cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
第21页（共28页）【考点】解直角三角形的应用．
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【分析】（1）过点C作CF⊥DE于点F，根据等腰三角形的性质可得∠DCF＝20°，利用锐
角三角函数即可解决问题；
（2）根据横截面是一个轴对称图形，延长CF交AD、BE延长线于点G，连接AB，所以
DE∥AB，根据直角三角形两个锐角互余可得∠A＝∠GDE＝20°，然后利用锐角三角函数
即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．
∴∠DCF＝20°，
∴DF＝CD•sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），
∴DE＝2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm；
（2）∵横截面是一个轴对称图形，
∴延长CF交AD、BE延长线于点G，
连接AB，
∴DE∥AB，
∴∠A＝∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC＝90°，
∵∠DCF+∠FDC＝90°，
∴∠GDF＝∠DCF＝20°，
∴∠A＝20°，
第22页（共28页）∴DG＝ ≈ ≈1.8（cm），
∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），
∴AB＝2AG•cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．
∴点A，B之间的距离22.2cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
22．（10分）（2022•舟山）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机
抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题：
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）．
A．没时间
B．家长不舍得
C．不喜欢
D．其它
中小学生每周参加家庭劳动时间x（h） 分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜
1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h．请结合上述统计
图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
第23页（共28页）【考点】条形统计图；中位数；扇形统计图．
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【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论；
（2）用1200乘“不喜欢”所占百分比即可；
（3）根据中位数解答即可．
【解答】解：（1）由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为
第600个和第601个数据的平均数，
故中位数落在第三组；
（2）（1200﹣200）×（1﹣8.7%﹣43.2%﹣30.6%）＝175（人），
答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；
（3）由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2h，建议学校多
开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用
统计图获取信息是解题的关键．
23．（10分）（2022•舟山）已知抛物线L ：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
1
（1）求抛物线L 的函数表达式．
1
（2）将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ．若抛物线L 的顶点关于坐标原
1 2 2
点O的对称点在抛物线L 上，求m的值．
1
（3）把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）
1 3
都在抛物线L 上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
3
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4即可解得抛物线L 的函数表达式为y＝x2+2x
1
﹣3；
（2）将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ，顶点为（﹣1，﹣4+m），关于原
1 2
点的对称点为（1，4﹣m），代入y＝x2+2x﹣3可解得m的值为4；
（3）把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得抛物线L 为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根据点P（8﹣
1 3
t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L 上，当t＞6时，s＞r，可得（[ 9﹣t﹣n）2﹣4]﹣（[ t﹣n﹣3）2﹣
3
4]＞0，即可解得n的取值范围是n＞3．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4得：
a（1+1）2﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；
第24页（共28页）答：抛物线L 的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
1
（2）抛物线L ：y＝（x+1）2﹣4的顶点为（﹣1，﹣4），
1
将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L ，则抛物线L 的顶点为（﹣1，﹣
1 2 2
4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得：
12+2×1﹣3＝4﹣m，
解得m＝4，
答：m的值为4；
（3）把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L ，抛物线L 解析式为y＝（x﹣
1 3 3
n+1）2﹣4，
∵点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L 上，
3
∴s＝（8﹣t﹣n+1）2﹣4＝（9﹣t﹣n）2﹣4，
r＝（t﹣4﹣n+1）2﹣4＝（t﹣n﹣3）2﹣4，
∵当t＞6时，s＞r，
∴s﹣r＞0，
∴[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，
整理变形得：（9﹣t﹣n）2﹣（t﹣n﹣3）2＞0，
（9﹣t﹣n+t﹣n﹣3）（9﹣t﹣n﹣t+n+3）＞0，
（6﹣2n）（12﹣2t）＞0，
∵t＞6，
∴12﹣2t＜0，
∴6﹣2n＜0，
解得n＞3，
∴n的取值范围是n＞3．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关
键是能含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
24．（12分）（2022•舟山）如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，
FH交于点E，已知CF＝CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
第25页（共28页）（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证： ＝ ．
（3）如图 3，在（2）的条件下，当点 K 是线段 AC 的中点时，求 的值．
【考点】圆的综合题．
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【分析】（1）通过证明Rt△DCF≌Rt△BCH，结合正方形和等腰三角形的性质进行推理证
明；
（2）过点K作KM⊥AH，交AH于点M，通过证明△KMH∽△CBH，KM∥BC，从而利用相
似三角形的性质分析推理；
（3）设圆的半径为r，∠FHP＝ ，在（2）的条件下，根据线段中点的概念结合解直角三角形
求得CP＝CK•cos ，PF＝2r•αsin ，从而进行分析计算．
【解答】（1）解：α线段AC与FHα垂直，理由如下：
在正方形ABCD中，CD＝CB，∠D＝∠B＝90°，∠DCA＝∠BCA＝45°，
在Rt△DCF和Rt△BCH中
，
∴Rt△DCF≌Rt△BCH（HL），
∴∠DCF＝∠BCH，
∴∠FCA＝∠HCA，
又∵CF＝CH，
∴AC⊥FH；
（2）证明：∵∠DAB＝90°，
第26页（共28页）∴FH为圆的直径，
∴∠FPH＝90°，
又∵CF＝CH，AC⊥FH，
∴点E为FH的中点，
∴∠CFD＝∠KHA，
又∵Rt△DCF≌Rt△BCH，
∴∠CFD＝∠CHB，
∴∠KHA＝∠CHB，
过点K作KM⊥AH，交AH于点M，
∴∠KMH＝∠B＝90°，
∴△KMH∽△CBH，KM∥BC，
∴ ， ，
∴ ．
（3）解：设∠FHP＝ ，则∠FCA＝∠HCA＝∠FHP＝ ，
设 E的半径为r，则αEF＝AE＝EH＝r， α
⊙
在Rt△EHK中， ＝cos ，即KH＝ ＝ ，
α
在Rt△ECH中， ＝sin ，即CH＝ ，
α
又∵点K是AC的中点，
∴ ＝tan ＝ ，
α
∴cos ＝ ，sin ＝ ，
α α 第27页（共28页）在Rt△CPK中， ＝cos ，即CP＝CK•cos ，
α α
在Rt△FPH中， ＝sin ，即PF＝2r•sin ，
α α
∵点K是线段AC的中点，
∴CK＝AK＝ ＝ （AE+CE），
∴r+r•tan ＝ （r+ ），
α
解得：tana＝ ，
在Rt△EHK中， ＝tan ，即EK＝r•tan ，
α α
CK＝AK＝AE+EK＝r+r•tan ＝ r，
α
∴CP＝CK•cos ＝ r ＝ r，PF＝2r•sin ＝2r ＝ r，
α α
∴ ＝ ．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，解直角三角形，
题目综合性较强，难度较大，灵活应用解直角三角形是解题关键．
第28页（共28页）
