文档内容
2022年浙江省金华市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•金华）在﹣2， ， ，2中，是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
2．（3分）（2022•金华）计算a3•a2的结果是（ ）
A．a B．a6 C．6a D．a5
3．（3分）（2022•金华）体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧
化碳排放16320000吨，数16320000用科学记数法表示为（ ）
A．1632×104 B．1.632×107 C．1.632×106 D．16.32×105
4．（3分）（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
5．（3分）（2022•金华）观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的
频数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（3分）（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定
△ABO≌△DCO的依据是（ ）
第1页（共32页）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
7．（3分）（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场
的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（ ）
A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校
8．（3分）（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧
面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，
∠ABC＝ ，则房顶A离地面EF的高度为（ ）
α
第2页（共32页）A．（4+3sin ）m B．（4+3tan ）m C．（4+ ）m D．（4+ ）m
α α
10．（3分）（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸
片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长
线过点C．若 ＝ ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2022•金华）因式分解：x2﹣9＝ ．
12．（4分）（2022•金华）若分式 的值为2，则x的值是 ．
13．（4分）（2022•金华）一个布袋里装有7个红球、3个白球，它们除颜色外都相同．从中任意
摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
14．（4分）（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC
沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm．
15．（4分）（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠 O于点A，长边与 O相切于点B，角
尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙ O的半径为 ⊙ cm．
⊙
16．（4分）（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG
上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的
第3页（共32页）太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8 m，在
点A观测点F的仰角为45°．
（1）点F的高度EF为 m．
（2）设∠DAB＝ ，∠D'A'B'＝ ，则 与 的数量关系是 ．
α β α β
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+ ．
18．（6分）（2022•金华）解不等式：2（3x﹣2）＞x+1．
19．（6分）（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，
拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
20．（8分）（2022•金华）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝ （k≠0，
x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横
坐标x的取值范围．
第4页（共32页）21．（8分）（2022•金华）学校举办演讲比赛，总评成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组
成．九（1）班组织选拔赛，制定的各部分所占比例如图，三位同学的成绩如下表．请解答下
列问题：
三位同学的成绩统计表
内容 表达 风度 印象 总评成绩
小明 8 7 8 8 m
小亮 7 8 8 9 7.85
小田 7 9 7 7 7.8
（1）求图中表示“内容”的扇形的圆心角度数．
（2）求表中m的值，并根据总评成绩确定三人的排名顺序．
（3）学校要求“内容”比“表达”重要，该统计图中各部分所占比例是否合理？如果不合
理，如何调整？
22．（10分）（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于 O，阅读以下作图过程，并回答下
列问题： ⊙
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与 O交于点M，N．
3．连结AM，MN，NA． ⊙
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
第5页（共32页）（3）从点A开始，以DN长为半径，在 O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n
边形，求n的值． ⊙
23．（10分）（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求 （吨）关于售价x
（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求 ＝ax2+c，部分对应值如下表：
售价x … 2.5 3 3.5 4 …
（元/千克）
需求量y需 … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
（吨）
求
②该蔬莱供给量y供给 （吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给 ＝x﹣1，函数图象
见图1．
③1～7月份该蔬莱售价x售价 （元/千克）、成本x成本 （元/千克）关于月份t的函教表达式分
别为x售价 ＝ t+2，x成本 ＝ t2﹣ t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
第6页（共32页）24．（12分）（2022•金华）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，sinB＝ ，点E从点B出发沿折线
B﹣C﹣D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于
点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）如图1，点G在AC上．求证：FA＝FG．
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
（3）已知FG＝8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角
形与△BEF相似（包括全等）？
第7页（共32页）2022年浙江省金华市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•金华）在﹣2， ， ，2中，是无理数的是（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
【考点】无理数．
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【分析】利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论．
【解答】解：﹣2， ，2是有理数， 是无理数，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数，无理数的意义，掌握上述概念并熟练应用是解题的关键．
2．（3分）（2022•金华）计算a3•a2的结果是（ ）
A．a B．a6 C．6a D．a5
【考点】同底数幂的乘法．
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【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a3•a2＝a5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）（2022•金华）体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧
化碳排放16320000吨，数16320000用科学记数法表示为（ ）
A．1632×104 B．1.632×107 C．1.632×106 D．16.32×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】利用科学记数法表示数据的方法解答即可．
【解答】解：16320000＝1.632×107，
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题的关键．
4．（3分）（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
第8页（共32页）【考点】三角形三边关系．
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【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，
∴第三边的长度可能是：6cm．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于
已知的两边的差，而小于两边的和．
5．（3分）（2022•金华）观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的
频数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】频数（率）分布直方图；频数与频率．
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【分析】根据直方图中的数据，可以得到组界为99.5～124.5这一组的频数．
【解答】解：由直方图可得，
组界为99.5～124.5这一组的频数是20﹣3﹣5﹣4＝8，
故选：D．
【点评】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
6．（3分）（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定
△ABO≌△DCO的依据是（ ）
第9页（共32页）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【考点】全等三角形的判定．
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【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依
据．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出△AOB和△DOC
全等的证明过程．
7．（3分）（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场
的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（ ）
A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校
【考点】勾股定理；点的坐标．
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【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到
超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．
【解答】解：如右图所示，
第10页（共32页）点O到超市的距离为： ＝ ，
点O到学校的距离为： ＝ ，
点O到体育场的距离为： ＝ ，
点O到医院的距离为： ＝ ，
∵ ＜ ＝ ＜ ，
∴点O到超市的距离最近，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面
直角坐标系．
8．（3分）（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧
面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正
确的是（ ）
A． B．
第11页（共32页）C． D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
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【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行
的最近路线为线段可以得出结论．
【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∵C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解
题的关键．
9．（3分）（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，
∠ABC＝ ，则房顶A离地面EF的高度为（ ）
α
A．（4+3sin ）m B．（4+3tan ）m C．（4+ ）m D．（4+ ）m
α α
【考点】解直角三角形的应用．
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【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得AD，．用AD+BE
即可表示出房顶A离地面EF的高度．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
第12页（共32页）∵它是一个轴对称图形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝ BC＝3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC＝ ，
∴AD＝BD•tan ＝3tan m．
∴房顶A离地面αEF的高α 度＝AD+BE＝（4+3tan ）m，
故选：B． α
【点评】本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利
用直角三角形的边角关系定理求得AD的长是解题的关键．
10．（3分）（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸
片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长
线过点C．若 ＝ ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
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【分析】连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．设BF＝2k，CG＝3k．
第13页（共32页）则AE＝DE＝ y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝ y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，
因为C，A′，B′共线，GA′∥FB′，推出 ＝ ，推出 ＝ ，可得y2﹣
12ky+32k2＝0，推出y＝8k或y＝4k（舍去），推出AE＝DE＝4k，再利用勾股定理求出GT，
可得结论．
【解答】解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．
∵ ＝ ，
∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．
∵AE＝DE＝ y，
由翻折的性质可知EA＝EA′＝ y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，
∵AD∥CB，
∴∠AEF＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG＝y﹣5k，
∴GA′＝ y﹣（y﹣5k）＝5k﹣ y，
∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y2﹣12ky+32k2＝0，
∴y＝8k或y＝4k（舍去），
第14页（共32页）∴AE＝DE＝4k，
∵四边形CDTG是矩形，
∴CG＝DT＝3k，
∴ET＝k，
∵EG＝8k﹣5k＝3k，
∴AB＝CD＝GT＝ ＝2 k，
∴ ＝ ＝2 ．
解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C＝CD＝AB＝
A'B'， ＝ ＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4 则
A'B'＝2 ，
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是
学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2022•金华）因式分解：x2﹣9＝ （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
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【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．（4分）（2022•金华）若分式 的值为2，则x的值是 4 ．
【考点】解分式方程．
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【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．
【解答】解：由题意得： ＝2，
去分母得：2＝2（x﹣3），
去括号得：2x﹣6＝2，
移项，合并同类项得：2x＝8，
第15页（共32页）∴x＝4．
经检验，x＝4是原方程的根，
∴x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．
13．（4分）（2022•金华）一个布袋里装有7个红球、3个白球，它们除颜色外都相同．从中任意
摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
【考点】概率公式．
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【分析】共有10个球，其中红球7个，即可求出任意摸出1球是红球的概率．
【解答】解：袋子中共有10个球，其中红球有7个，
所以从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率公式，理解概率的定义和建设方法是解决问题的关键．
14．（4分）（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC
沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 8+ 2 cm．
【考点】勾股定理；平移的性质；含30度角的直角三角形．
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【分析】利用含30°角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，求得四边形AB'C'C的
四边即可求得结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC＝ ＝2 ．
∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，
∴B′C′＝BC＝2，AA′＝CC′＝1，A′B′＝AB＝4，
∴AB′＝AA′+A′B′＝5．
∴四边形AB'C'C的周长为AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2 ＝（8+2 ）cm．
第16页（共32页）故答案为：8+2 ．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，熟练掌握
平移的性质是解题的关键．
15．（4分）（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠 O于点A，长边与 O相切于点B，角
⊙ ⊙
尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则 O的半径为 cm．
⊙
【考点】切线的性质；勾股定理．
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【分析】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD＝AC＝
6cm，AD＝BC＝8cm，设 O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可
求解． ⊙
【解答】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，
∵长边与 O相切于点B，
∴OB⊥BC⊙，
∵AC⊥BC，AD⊥OB，
∴四边形ACBD为矩形，
∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．
设 O的半径为rcm，
则⊙OA＝OB＝rcm，
∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，
在Rt△OAD中，
∵AD2+OD2＝OA2，
∴82+（r﹣6）2＝r2，
第17页（共32页）解得：r＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，依据题意添
加适当的辅助线是解题的关键．
16．（4分）（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG
上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的
太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8 m，在
点A观测点F的仰角为45°．
（1）点F的高度EF为 9 m．
（2）设∠DAB＝ ，∠D'A'B'＝ ，则 与 的数量关系是 ﹣ ＝ 7.5 ° ．
α β α β α β
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；旋转的性质．
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【分析】（1）连接A′A并延长交EF于点H，易证四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均
为矩形，可得HE＝AB＝1m，HD＝EB＝8m，再根据在点A观测点F的仰角为45°，可得
HF＝HD＝8m，即可求出FE的长；
（2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，根据入射角等于反射角，可得∠FAM＝
2∠FAK，∠AF′N＝2∠FA′R，根据HF＝8m，HA′＝8 m，解直角三角形可得
∠HFA′＝60°，从而可得∠AFA′的度数，根据三角形外角的性质可得∠FA′R＝7.5°
+∠FAK，再根据平行线的性质可表示∠DAB和∠D′A′B′，从而可得 与 的数量关
系． α β
【解答】解：（1）连接A′A并延长交EF于点H，如图，
第18页（共32页）则四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均为矩形，
∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8 m，
∵在点A观测点F的仰角为45°，
∴∠HAF＝45°，
∴∠HFA＝45°，
∴HF＝HD＝8，
∴EF＝8+1＝9（m），
故答案为：9；
（2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，如图所示：
则∠FAM＝2∠FAK，∠AF′N＝2∠FA′R，
∵HF＝8m，HA′＝8 m，
∴tan∠HFA′＝ ，
∴∠HFA′＝60°，
∴∠AFA′＝60°﹣45°＝15°，
∵太阳光线是平行光线，
∴A′N∥AM，
∴∠NA′M＝∠AMA′，
∵∠AMA′＝∠AFM+∠FAM，
∴∠NA′M＝∠AFM+∠FAM，
∴2∠FA′R＝15°+2∠FAK，
∴∠FA′R＝7.5°+∠FAK，
第19页（共32页）∵AB∥EF，A′B′∥EF，
∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DAB＝∠BAF+∠FAK﹣∠DAK＝135°+∠FAK﹣90°＝45°+∠FAK，
同理，∠D′A′B′＝120°+∠FA′R﹣90°＝30°+∠FA′R＝30°+7.5°+∠FAK＝
37.5+FAK，
∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，
故答案为： ﹣ ＝7.5°．
【点评】本题α考查β了解直角三角形，涉及平行线的性质，三角形外角的性质，入射角与反射
角的关系等，找出两反射角之间的关系是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+ ．
【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；算术平方根；实数的运算；零指数幂．
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【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根
分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3
＝1﹣2+2+3
＝4．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术
平方根，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）（2022•金华）解不等式：2（3x﹣2）＞x+1．
【考点】解一元一次不等式．
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【分析】利用解不等式的方法解答即可．
【解答】解：去括号得：
6x﹣4＞x+1，
移项得：
6x﹣x＞4+1，
合并同类项得：
5x＞5，
∴x＞1．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的
关键．
第20页（共32页）19．（6分）（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，
拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
【考点】勾股定理；列代数式；代数式求值．
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【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．
【解答】解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝ ×2a＝a，
较长的直角边＝2a+3，
∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；
（2）小正方形的面积＝（a+3）2，
当a＝3时，面积＝（3+3）2＝36．
【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较
短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键．
20．（8分）（2022•金华）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝ （k≠0，
x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横
坐标x的取值范围．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性
第21页（共32页）质．
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【分析】（1）根据点C（2，2）在反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象上，可以求得k的值，
再把y＝1代入函数解析式，即可得到点D的坐标；
（2）根据题意和点C、D的坐标，可以直接写出点P的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）∵点C（2，2）在反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象上，
∴2＝ ，
解得k＝4，
∵BD＝1．
∴点D的纵坐标为1，
∵点D在反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象上，
∴1＝ ，
解得x＝4，
即点D的坐标为（4，1）；
（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边
界），
∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键
是明确题意，求出k的值．
21．（8分）（2022•金华）学校举办演讲比赛，总评成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组
成．九（1）班组织选拔赛，制定的各部分所占比例如图，三位同学的成绩如下表．请解答下
列问题：
三位同学的成绩统计表
内容 表达 风度 印象 总评成绩
小明 8 7 8 8 m
小亮 7 8 8 9 7.85
小田 7 9 7 7 7.8
（1）求图中表示“内容”的扇形的圆心角度数．
第22页（共32页）（2）求表中m的值，并根据总评成绩确定三人的排名顺序．
（3）学校要求“内容”比“表达”重要，该统计图中各部分所占比例是否合理？如果不合
理，如何调整？
【考点】扇形统计图；加权平均数；统计表．
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【分析】（1）设“内容”所占比例为x，“风度”所占比例为y，列方程组求出x，y，即可求
得图中表示“内容”的扇形的圆心角度数；
（2）根据（1）求得的x，y，可得表中m的值，并确定三人的排名顺序；
（3）根据“内容”与“表达”所占比例可得结论，根据“内容”比“表达”重要调整即可．
【解答】解：（1）设“内容”所占比例为x，“风度”所占比例为y，由题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
∴“内容”所占比例为30%，“风度”所占比例为15%，
∴表示“内容”的扇形的圆心角度数为360°×30%＝108°；
（2）m＝8×30%+7×40%+8×15%+8×15%＝7.6．
∵7.85＞7.8＞7.6，
三人成绩从高到低的排名顺序为：小亮，小田，小明；
（3）班级制定的各部分所占比例不合理．
可调整为：“内容”所占百分比为40%，“表达”所占百分比为30%，其它不变（答案不
唯一）．
【点评】此题考查了扇形统计图，以及统计表，加权平均数，二元一次方程组的应用，弄清
第23页（共32页）题意是解本题的关键．
22．（10分）（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于 O，阅读以下作图过程，并回答下
列问题： ⊙
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与 O交于点M，N．
3．连结AM，MN，NA． ⊙
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为半径，在 O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n
边形，求n的值． ⊙
【考点】正多边形和圆；作图—基本作图；等边三角形的判定．
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【分析】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；
（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；
（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝ ＝108°，
即∠ABC＝108°；
（2）△AMN是正三角形，
理由：连接ON，NF，
由题意可得：FN＝ON＝OF，
∴△FON是等边三角形，
∴∠NFA＝60°，
∴NMA＝60°，
第24页（共32页）同理可得：∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝60°，
∴△MAN是正三角形；
（3）∵∠AMN＝60°，
∴∠AON＝120°，
∵∠AOD＝ ＝144°，
∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，
∵360°÷24°＝15，
∴n的值是15．
【点评】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数
形结合的思想解答．
23．（10分）（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求 （吨）关于售价x
（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求 ＝ax2+c，部分对应值如下表：
售价x … 2.5 3 3.5 4 …
（元/千克）
需求量y需 … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
（吨）
求
②该蔬莱供给量y供给 （吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给 ＝x﹣1，函数图象
见图1．
③1～7月份该蔬莱售价x售价 （元/千克）、成本x成本 （元/千克）关于月份t的函教表达式分
别为x售价 ＝ t+2，x成本 ＝ t2﹣ t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
第25页（共32页）（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【考点】二次函数的应用．
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【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w＝x售价 ﹣x成本 列出函数关系式，由二次函数的性
质可得结论；
（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．
【解答】解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求 ＝ax2+c，
，
②﹣①，得7a＝﹣1.4，
解得：a＝﹣ ，
把a＝﹣ 代入①，得c＝9，
∴a的值为﹣ ，c的值为9；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
w＝x售价 ﹣x成本 ＝ t+2﹣（ t2﹣ t+3）＝﹣ （t﹣4）2+3，
∵﹣ ＜0，且1≤t≤7，
∴当t＝4时，w有最大值，
第26页（共32页）答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
（3）当y供给 ＝y需求 时，x﹣1＝﹣ x2+9，
解得：x ＝5，x ＝﹣10（舍去），
1 2
∴此时售价为5元/千克，
则y供给 ＝x﹣1＝5﹣1＝4（吨）＝4000（千克），
令 t+2＝5，解得t＝6，
∴w＝﹣ （t﹣4）2+3＝﹣ （6﹣4）2+3＝2，
∴总利润为w•y＝2×4000＝8000（元），
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为
8000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式，掌握二
次函数的性质，并结合数形结合思想解释是关键．
24．（12分）（2022•金华）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，sinB＝ ，点E从点B出发沿折线
B﹣C﹣D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于
点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
（1）如图1，点G在AC上．求证：FA＝FG．
（2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
（3）已知FG＝8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角
形与△BEF相似（包括全等）？
【考点】四边形综合题．
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【分析】（1）欲证明FA＝FG，只要证明∠FAG＝∠FGA即可；
（2）设AO的中点为O．分两种情形：如图2中，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于
第27页（共32页）点M．如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N．分别求解即可；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N．分四种情形：①当点E在线段BM上时，
0＜s≤8，设EF＝3x，则BE＝4x，GH＝EF＝3x．a、若点H值点C的左侧，x+B≤10，即0＜
x≤2，如图4，b、若点H在点C的右侧，s+8＞10，即2＜s≤8，如图5；②当点E在线段MC
上时，8＜s≤10，如图6；③当点E在线段CN上时，10≤x≤12，如图7，过点C作CJ⊥AB
于点J；④当点E值线段DN上时，12＜s＜20，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵FG∥BC．
∴∠AGF＝∠ACB，
∴∠AGF＝∠FAG，
∴FA＝FG；
（2）设AO的中点为O．
①如图2中，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M．
在Rt△ABM中，AM＝AB•sinB＝10× ＝6，
第28页（共32页）∴BM＝ ＝ ＝8，
∴FG＝EF＝AM＝6，CM＝BC﹣BM＝2，
∵OA＝OC，OE∥AM，
∴CE＝EM＝ CM＝1，
∴AF＝EM＝1，
∴AG＝AF+FG＝7．
②如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N．
同法FG＝EF＝AN＝6，CN＝2，AF＝EN＝ CN，
∴AG＝FG﹣AF＝6﹣1＝5，
综上所述，满足条件的AG的长为5或7；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N．
①当点E在线段BM上时，0＜s≤8，设EF＝3x，则BE＝4x，GH＝EF＝3x．
a、若点H值点C的左侧，x+8≤10，即0＜x≤2，如图4，
CH＝BC﹣BH＝10﹣（4x+8）＝2﹣4x，
第29页（共32页）由△GHC∽△FEB，可得 ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，解得x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解，
∴s＝4x＝1．
由△GHC∽△BEF，可得 ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，解得x＝ ，
∴s＝4x＝ ．
b、若点H在点C的右侧，s+8＞10，即2＜s≤8，如图5，
CH＝BH﹣BC＝（4x+8）﹣10＝4x﹣2，
由△GHC∽△FEB，可得 ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，方程无解，
由△GHC∽△BEF，可得 ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，解得x＝ ，
∴s＝4x＝ ．
②当点E在线段MC上时，8＜s≤10，如图6，
第30页（共32页）EF＝6，EH＝8，BE＝s，
∴BH＝BE+EH＝s＝8，CH＝BH﹣BC＝s﹣2，
由△GHC∽△FEB，可得 ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，方程无解，
由△GHC∽△FEB，可得 ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，解得s＝1± （舍弃）
③当点E在线段CN上时，10≤x≤12，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，
在Rt△BJC中，BC＝10，CJ＝6，BJ＝8，
∵EH＝BJ＝8，JF＝CE，
∴BJ+JF＝EH+CE，即CH＝BF，
∴△GHC≌△EFB，符合题意，此时10≤s≤12．
④当点E值线段DN上时，12＜s＜20，
∵∠EFB＞90°，
∴△GHC与△BEF不相似．
第31页（共32页）综上所述．满足条件的s的值为1或 或 或10≤s≤12．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和
性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问
题，属于中考压轴题．
第32页（共32页）
