专题 22.2 二次函数的图象和性质（一）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数y=ax2的图象】.........................................................................................................................2
【题型2 二次函数y=ax2的性质】.........................................................................................................................4
【题型3 二次函数y=ax2+k的图象】...................................................................................................................4
【题型4 二次函数y=ax2+k的性质】...................................................................................................................6
【题型5 二次函数 的图象】.............................................................................................................6
y=a(x−ℎ) 2
【题型6 二次函数 的性质】.............................................................................................................7
y=a(x−ℎ) 2
【题型7 二次函数 的图象】.......................................................................................................8
y=a(x−ℎ) 2+k
【题型8 二次函数 的性质】.......................................................................................................9
y=a(x−ℎ) 2+k
知识点 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
a>0，x=0时，
y =0；
y=ax2 （0，0） y轴 最小值
a<0，x=0时， a>0时，抛物线开口向上；
y =0
最大值 在对称轴右侧时,y随x的增大
a>0，x=0时，
而增大；
y =k；
y=ax2+k （0，k） y轴 最小值 在对称轴左侧时，y随x的增
a<0，x=0时，
大而减小；
y =k
最大值 a<0时，抛物线开口向下；
a>0，x= ℎ时，
y=a(x−ℎ) 2
（ℎ
）
，0
x= ℎ
a
y
最
<
小
0，
值
=
x=
0
ℎ
；
时，
在
大
对
而
称
增
轴
大
左
；
侧时，y随x的增
y =0 在对称轴侧右时，y随x的增
最大值
大而减小
a>0，x= ℎ时，
y=a(x−ℎ) 2+k
（ℎ，k
x=
ℎ
y =k；
） 最小值
a<0，x= ℎ时，y =k
最大值
2. 二次函数 的图象的画法
y=ax2 (a≠0)
（1）列表：以x=0为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般
在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将
各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线 的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法
y=ax2 (a≠0)
画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律
例如： 的图象是由 的图象先向上平移3个单位长度得到 的图象，再向右
y=2(x−5) 2+3 y=2x2 y=2x2+3
平移5个单位长度得到的．反之，由 的图象先向下平移3个单位长度得到 的
y=2(x−5) 2+3 y=2(x−5) 2
图象，再向左平移5个单位长度得到y=2x2的图象．
【题型1 二次函数y=ax2的图象】
【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数 ， ， ， 的图
y =a x2 y =a x2 y =a x2 y =a x2
1 1 2 2 3 3 4 4
象如图所示，则a ，a ，a ，a 的大小关系是（ ）
1 2 3 4A．a <a <a <a B．a <a <a <a
3 4 1 2 4 3 1 2
C．a <a <a <a D．a <a <a <a
4 3 2 1 3 4 2 1
【变式1-1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知 是二次函数，且当 时， 随
y=(k+2)xk2+k−4 x<0 y x
的增大而增大．
(1)则k的值为______；对称轴为______；
(2)已知，点A(1,−1)在该二次函数图象上，则点A在该图象上对称点的坐标为______；
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当−2≤x<4时，y的范围为______．
【变式1-2】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别
为A(1,1)，B(1,3)，若抛物线y=ax2与线段AB有交点，则a的取值范围是
1
【变式1-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线y=x2与直线y= x+3围成的封闭图形内部有k
2个整点（不包括边界），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【题型2 二次函数y=ax2的性质】
【例2】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）二次函数 ，若在其图象的对称轴的左侧，y随x
y=mxm2−1
的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（ ）
A．(1,−❑√3) B．(−1,−❑√3) C．(0,0) D．(−1,❑√3)
【变式2-1】（23-24九年级上·河北·阶段练习）当−2≤x≤1时，函数y=−2x2的最大值与最小值的和为
（ ）
A．3 B．−10 C．−8 D．−2
【变式2-2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知 的图象上有三点 ， ，
y=ax2 A(−4,y ) B(1,y )
1 2
，且 则a的取值范围是（ ）
C(3,y ) y <y <y
3 2 3 1
A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0
【变式2-3】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知 ， 为抛物线 上
M(x ,y ) N(x ,y ) y=ax2(a>0)
1 1 2 2
任意两点，其中 ，若对于 ，都有 ，则a的取值范围是 ．
0≤x <x x −x =1 |y −y )≥2
1 2 2 1 2 1
【题型3 二次函数y=ax2+k的图象】
【例3】（2025·上海静安·一模）如果一次函数y =mx−6 (m≠0)、y =nx−2 (n≠0)的图象都经过
1 2
C(1,−3)，那么函数y= y ⋅y 的大致图像是（ ）
1 2A． B．
C． D．
1
【变式3-1】如图，已知P是函数y= x2−1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连
4
接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为
．
【变式3-2】如图，已知抛物线y＝﹣x2+1，直线y＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y，
1 2 1
y．若y≠y，取y，y 中的较小值记为M；若y＝y，记M＝y＝y．例如：当x＝2时，y＝﹣3，y＝﹣
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1，y＜y，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使
1 2 1
1 ❑√2 1
得M大于1的x值不存在；④使得M＝ 的值是﹣ 或 ，其中正确的个数有（ ）
2 2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数y=mx，y随x的增大而增大，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 二次函数y=ax2+k的性质】
【例4】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点
M(x ,y )，N(x ,y )(x ≠x )
1 1 2 2 1 2
，将y −y 的值称为该函数图象在 段的“攀登值”，记作 ．已知二次函数 的图
1 2 MN k y=ax2+1(a>0)
x −x MN
1 2
象上有两点 ，若对于任意的 均满足当 时，该函数图象在 段的
M(x ,y )，N(x ,y ) x ，x x >x ≥1 MN
1 1 2 2 1 2 2 1
“攀登值”始终有k >2，则a的取值范围是 ．
MN
【变式4-1】（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=x2−4x，当−1<x<a时，y随x的增大
而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>2 B．−1<a≤2 C．a>0 D．−1<a≤1
【变式4-2】已知二次函数 ，如果当 时， ，则下列说法正确的是
y=ax2+c(a>0) 0≤m≤x≤m+1 p≤ y≤q
（ ）
A．q−p有最大值，也有最小值 B．q−p有最大值，没有最小值
C．q−p没有最大值，有最小值 D．q−p没有最大值，也没有最小值
【变式4-3】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数y=ax+b以及二次函数y=ax2+c（其中a、b、c均为
常数，且a>0），当t≤x≤t+1时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则t的值为 ．【题型5 二次函数 的图象】
y=a(x−h) 2
【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数 ， ，直线 与函数
y =−(x−m) 2 y =−(x−n) 2 x=1 y
1 2 1
， 的图象分别交于点 ， ，得（ ）
y A(1,a ) B(1,a )
2 1 2
A．若1<m<n，则a <a B．若m<1<n，则a <a
1 2 1 2
C．若m<n<1，则a <a D．若m<1<n，则a >a
1 2 1 2
【变式5-1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线 和
y =a(x−ℎ) 2
1
（ ）相交于点A，B，C，D．若 ， ， ，则h的值为 ．
y =b(x−13) 2 a<b AB=8 BC=3 CD=6
2
【变式5-2】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数y=2(x−1)2+1，当0≤x≤3时，y的取值范围
为（ ）
A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1
【变式5-3】如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两
点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（ ）
7 9 11 13
A． B． C． D．
3 4 5 6【题型6 二次函数 的性质】
y=a(x−h) 2
【例6】（2025·浙江宁波·模拟预测）点 在二次函数 （m为常数）的图象上，
A(s,t) y=2(x−m) 2
s−m=t≠0．当s−1≤x≤s+2时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
9 9 25
A． B． C．12 D．
4 2 2
【变式6-1】已知抛物线y＝（x﹣1）2经过点A（n，y），B（n＋2，y），若y＜y，则n的值可以为（
1 2 1 2
）
A．﹣1 B．﹣0.5 C．0 D．0.5
【变式6-2】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数 （ 为常数），当
y=−(x+ ℎ) 2 ℎ 2≤x≤5
时，函数的最大值为−1，则
ℎ
的值为 ．
【变式6-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线 交抛物线 于点
x=c y =−(x−a) 2 A(c,m)
1
，交抛物线 于点 ，下列结论：①若 ，则 ，②若 ，则 ，③若
y =−(x−b) 2 B(c,n) a>b>c m<n b>a>c m<n
2
c>b>a，则m<n，④若a>c>b，则m<n；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型7 二次函数 的图象】
y=a(x−h) 2+k
【例7】（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线 与y轴的交点， 轴交抛物线
y=a(x−3) 2+k AB∥x
另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（ ）
❑√3 1
A． B．❑√2 C． D．1
3 2
【变式7-1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0,2)3 1
，(4,2)．若抛物线y=− (x−ℎ) 2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD= AB，则k的
2 2
值为 ．
【变式7-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知二次函数 （ 为常数）．当 取不
y=(x−3a) 2+(a−1) a a
同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当a=−1，a=0，a=1，a=2时，二次函数
的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ．
【变式7-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线 与 轴交于点 ，其顶点为点
y=(x−2) 2−1 y D(0, 3) A
，与x轴交于B, C两点（B在C的左侧），连接DB, DC，若在抛物线上存在一点P，使得S =S
△POC △DBC
，则P的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
(2, −1) (0.5, 1.25) (3+❑√3, 3+2❑√3) (2−❑√3, 2)【题型8 二次函数 的性质】
y=a(x−h) 2+k
【例8】（2025·内蒙古赤峰·一模）已知二次函数 （ 为常数），当自变量 的值满足
y=−(x−ℎ) 2+2 ℎ x
2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为−2，则
ℎ
的值为（ ）
A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4
【变式8-1】（24-25八年级下·北京·期中）已知 ，点 、 、 都在函
a<−1 A(a−1,y ) B(a,y ) C(1−a,y )
1 2 3
数 的图象上，那么（ ）
y=(x−1) 2+6
A．y <y <y B．y <y <y
1 2 3 1 3 2
C．y <y <y D．y <y <y
3 2 1 2 1 3
【变式8-2】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数 ，当 时，函数值y的最
y=a(x−2) 2−2a 1≤x≤4
大值为4，则a的值为 ．
【变式8-3】（2025·山东临沂·一模）对于一个二次函数 中存在一点 ，使得
y=a(x−m) 2+k(a≠0) P(x′,y′)
，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”
x′−m= y′−k≠0 2|x′−m) y=2x2+3x+3
为 ．
