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专题 21.3 根的判别式（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 判断不含参方程根的情况】......................................................................................................................1
【题型2 判断含参方程根的情况】..........................................................................................................................2
【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】.....................................................................2
【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】.........................................................................3
【题型5 根的判别式联系代数的应用】..................................................................................................................3
【题型6 根的判别式融汇函数的应用】..................................................................................................................3
【题型7 根的判别式综合几何的应用】..................................................................................................................4
知识点 一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程 ，通过配方可得 b 2 b2−4ac，则方程根的情况由
ax2+bx+c=0(a≠0) (x+ ) =
2a 4a2
b2−4ac 的符号决定．
一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即
∆=b2−4ac．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
【题型1 判断不含参方程根的情况】
【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）一元二次方程x2+3x−11=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根【变式1-1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（ ）
A．x2−2x−1=0 B．x2−2x+1=0
C．x2−2x+2=0 D．x2+2x+1=0
【变式1-2】（2025·云南临沧·三模）一元二次方程(x+3)(x−3)=5(x+3)的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式1-3】（2025·河北唐山·二模）已知整式 ．
P=x2−2(2x−x2)+1
(1)化简P；
(2)若P=0，利用判别式判断此方程实数根的情况．
【题型2 判断含参方程根的情况】
【例2】（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的方程
ax2+bx+c=0的根的情况是 ．
【变式2-1】（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程2x2−mx−2=0（m为常数）的根的情况是
．
【变式2-2】（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程x2+4x−2=0中，则该一元二次方程根的情况为
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
【变式2-3】关于x的方程x2+x−k2−1=0的根的情况是________．
【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】
【例3】等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a,b是关于x的一元二次方程x2−6x+n−1=0的两根，
则n的值为
【变式3-1】（2025·河北唐山·一模）关于x的方程x2−2x+m=p2，无论实数p取何值，该方程总有两个
不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
【变式3-2】（2025·湖南娄底·三模）对于实数a，b定义新运算：a※b=ma2b−2a−1，例如：
1※2=m×12×2−2×1−1=2m−3．若关于x的一元二次方程x※1=0有两个相等的实数根，则m的值
是 ．
【变式3-3】（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程x2−4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则直线
y=(k−2)x+1不经过第 象限．【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】
【例4】（2025·云南·模拟预测）若关于x的一元二次方程mx2−6mx+3=0有两个实数根，则m的取值范
围为（ ）
1 1 1 1
A．m< B．0
