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专题 21.3 根的判别式（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 判断不含参方程根的情况】......................................................................................................................1
【题型2 判断含参方程根的情况】..........................................................................................................................2
【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】.....................................................................2
【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】.........................................................................3
【题型5 根的判别式联系代数的应用】..................................................................................................................3
【题型6 根的判别式融汇函数的应用】..................................................................................................................3
【题型7 根的判别式综合几何的应用】..................................................................................................................4
知识点 一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程 ，通过配方可得 b 2 b2−4ac，则方程根的情况由
ax2+bx+c=0(a≠0) (x+ ) =
2a 4a2
b2−4ac 的符号决定．
一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即
∆=b2−4ac．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
【题型1 判断不含参方程根的情况】
【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）一元二次方程x2+3x−11=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根【变式1-1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（ ）
A．x2−2x−1=0 B．x2−2x+1=0
C．x2−2x+2=0 D．x2+2x+1=0
【变式1-2】（2025·云南临沧·三模）一元二次方程(x+3)(x−3)=5(x+3)的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式1-3】（2025·河北唐山·二模）已知整式 ．
P=x2−2(2x−x2)+1
(1)化简P；
(2)若P=0，利用判别式判断此方程实数根的情况．
【题型2 判断含参方程根的情况】
【例2】（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的方程
ax2+bx+c=0的根的情况是 ．
【变式2-1】（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程2x2−mx−2=0（m为常数）的根的情况是
．
【变式2-2】（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程x2+4x−2=0中，则该一元二次方程根的情况为
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
【变式2-3】关于x的方程x2+x−k2−1=0的根的情况是________．
【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】
【例3】等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a,b是关于x的一元二次方程x2−6x+n−1=0的两根，
则n的值为
【变式3-1】（2025·河北唐山·一模）关于x的方程x2−2x+m=p2，无论实数p取何值，该方程总有两个
不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
【变式3-2】（2025·湖南娄底·三模）对于实数a，b定义新运算：a※b=ma2b−2a−1，例如：
1※2=m×12×2−2×1−1=2m−3．若关于x的一元二次方程x※1=0有两个相等的实数根，则m的值
是 ．
【变式3-3】（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程x2−4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则直线
y=(k−2)x+1不经过第 象限．【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】
【例4】（2025·云南·模拟预测）若关于x的一元二次方程mx2−6mx+3=0有两个实数根，则m的取值范
围为（ ）
1 1 1 1
A．m< B．0<m≤ C．0≤m≤ D．m<0或m≥
3 3 3 3
【变式4-1】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个实数
根，则k的取值范围是
1
【变式4-2】（2025·山东济南·二模）若关于x的方程ax2−2x+ =0有解，则a的值不可能是（ ）
4
A．0 B．2 C．4 D．6
【变式4-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程(a−b)x2+(c−a)x+(b−c)=0
有两个相等的实数根，且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（ ）
A．2a=b+c B．2b=a+c C．2c=a+b D．b2−4ac=0
【题型5 根的判别式联系代数的应用】
【例5】（22-23八年级下·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是
．
【变式5-1】如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a
的取值范围是 ．
【变式5-2】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求
|a)+|b)+|c)的最小值
【变式5-3】（2023·福建·模拟预测）已知实数x、y满足4x2+2= y2，则x−y的取值范围是 ．
【题型6 根的判别式融汇函数的应用】
1
【例6】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程 x2−(a+2b)x+2=0有两个相等实数
2
1 (1 )
根．若在直角坐标系中，点P在直线l:y=−x+ 上，点Q a,b 在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
3 2
2 ❑√2 4 ❑√6
A． ❑√2 B． C． D．
3 3 3 3
【变式6-1】（2025·安徽合肥·三模）直线y=2与y=ax(1−x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围
是 ．
【变式6-2】（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，若点P(a,b)满足a+b=ab，
则称点P为“积和点”．例如：(0,0)，(2,2)就是“积和点”．若直线y=−x+m上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则m= ．
【变式6-3】（23-24九年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两条坐标
1
轴的距离之积等于n(n≠0)的点，叫做该函数图象的“n阶积点”．例如：点(3,− )为一次函数
4
3 3
y=− x+2图象的“ 阶积点”．若y关于x的一次函数y=nx+3n−5图象的“n阶积点”恰好有3个，
4 4
则n的值为 ．
【题型7 根的判别式综合几何的应用】
【例7】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝
2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是
等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是 ．
【变式7-1】如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AB=5cm．点P从点A开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，另外一点也随之停止运
动．
(1)几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？
(2)△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
【变式7-2】（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方
程：x2−3ax+3a−1=0的两个实数根．(1)当a为何值的，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若此方程的一个根是2，请求出此平行四边形ABCD的周长是多少？
【变式7-3】（22-23八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，
a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=❑√2c，这时我们把关于x的形如ax2+❑√2cx+b=0的一
元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+❑√2cx+b=0必有实数根；
(3)若x=−1是“勾系一元二次方程”ax2+❑√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6❑√2，求
△ABC的面积．
