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专题 24.2 垂直于弦的直径（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 利用垂径定理判断正误】..........................................................................................................................2
【题型2 利用垂径定理求角度】..............................................................................................................................3
【题型3 利用垂径定理求线段长度】......................................................................................................................4
【题型4 利用垂径定理求面积】..............................................................................................................................5
【题型5 利用垂径定理求坐标】..............................................................................................................................6
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】..................................................................................................................7
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】..................................................................................................................8
【题型8 利用垂径定理求整点个数】......................................................................................................................9
【题型9 垂径定理的实际应用】............................................................................................................................10
【题型10 利用垂径定求最值】................................................................................................................................11
知识点 垂直于弦的直径
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
③ =
① 是直径
如 图 ，
② ⊥ ⇒ ④ A M B M
C D A´C=B´ C
CD AB
⑤A´D=B´D
3. 垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．③ ⊥
① 是直径
如上图，② =
（CD 不是直径） ⇒ ④CDA´CA=BB´ C
AM BM
AB
⑤A´D=B´D
由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
【题型1 利用垂径定理判断正误】
【例1】如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
1
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝ CE D．∠AOC＝60°
2
【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
【变式1-2】（2025·河南新乡·三模）如图，A、B在⊙O上，连接OA，OB，AB．∠AOB的平分线交
AB于点C，交⊙O于点D，连接AD，BD．下列结论错误的是（ ）
A．AC=BC B．OD⊥AB C．OC=CD D．AD=BD
【变式1-3】如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（
）A．AB+AD＝2AC B．AB+AD＜2AC
C．AC＝AB•AD D．AC＜AB•AD
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】已知⊙O的半径为2，弦AB、AC长分别为2❑√2和2❑√3，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．15°或75° D．30°或45°
【变式2-1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE=DE，∠COB=52°，则∠DCO的度数
为（ ）
A．52° B．50° C．48° D．38°
【变式2-2】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，AC∥OB，则
∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【变式2-3】如图，已知⊙O的两弦AB、CD相交于E，且点A为C´D的中点，若∠OBA=32°，则
∠CEA的度数为 ．【题型3 利用垂径定理求线段长度】
【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，⊙P经过点O(0,0)，交y轴于点A，若P(−10,−8)
，弦OA长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB=4，OC=1，则
⊙O最长的弦长是（ ）
A．2❑√3 B．❑√10 C．❑√17 D．2❑√5
【变式3-2】（2025·湖南长沙·三模）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，
BC∥OA，若BC=6，则OD的长为（ ）
A．3❑√3 B．3 C．2❑√3 D．4
【变式3-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点A，C，D在⊙O上，点B在⊙O内，
∠B和∠C均为直角，AB=2，BC=6，CD=4，则⊙O的半径为（ ）A．5 B．3❑√2 C．2❑√5 D．❑√21
【题型4 利用垂径定理求面积】
【例4】如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三
条弦长为边长的三角形的面积是 ．
【变式4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接
BC，OB，若BD=8cm，AE=2cm，则△OBC的面积是（ ）
A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．5cm2
【变式4-2】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D
在直径EF上．若ED=2，则矩形ABCD的面积等于（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【变式4-3】已知△ABC的三个顶点都在圆O上，点O到AB的距离为3，AB=8且CA=CB，则△ABC的面积= ．
【题型5 利用垂径定理求坐标】
【例5】（2025·江西南昌·一模）如图，点M(0,−2)，N(0,−8)，半径为5的⊙A经过点M，N，则点A
的坐标为（ ）
A．(−5,−4) B．(−4,−6) C．(−6,−4) D．(−4,−5)
【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙A经过点B(0,−1)
，C(0,−7)，则点A的坐标为 ．
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)
，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2❑√3，则a的值是 ．
【变式5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A，C分
别在y轴，x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为(0,8)，则圆心M的坐标为（ ）A．(−4,5) B．(−5,4) C．(−4,4) D．(−4,3)
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
【例6】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果
再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【变式 6-1】如图，矩形 ABCD与圆心在 AB 上的☉O交于点 G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么 AD
=_____．
【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知⊙O的半径为13，弦AB平行于弦
CD，CD=10，AB=24，AB和CD之间的距离是 ．
【变式6-3】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，⊙O的半径为3，弦MN=2❑√3,Rt△ABC的直
角顶点B在弦MN上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在⊙O上，且AB=3．关于嘉嘉和淇淇的
说法判断正确的是（ ）嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，∠C的度数是30°．”
淇淇说：“连接OA，当OA与弦MN平行时，点B到OA的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
【例7】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台
阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为
cm
【变式7-1】如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：AC=BD．
【变式7-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦，则矩形
ABCD面积的最大值是 ．
【变式7-3】高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增
病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只
鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千
米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现
有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路
在该免疫区内有多少千米
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
【例8】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们
把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【变式8-1】如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB=16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则
线段OP的长度为整数的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式8-2】如图，直径为10的⊙O内有一点P，且OP=3，则经过P点的所有弦中长度为整数的有
条．
【变式8-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线
y=kx−3k+4(k≠0)与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为整数的有 条．
【题型9 垂径定理的实际应用】
【例9】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内
液体已经过半，最大深度CD=7cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）
A．4cm B．4❑√6cm C．2❑√21cm D．2❑√29cm
【变式9-1】我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲
同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道
长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=2
寸，AB=8寸（注：1尺=10寸），则可得直径CD的长为 尺．”【变式9-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面
图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A，B，AB=32cm ，锅盖直径为40cm，则锅盖最低点
C到AB的距离是 cm．
【变式9-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆
术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，A´B是以O为圆心、OA为半径的圆弧，C是弦AB
CD2
的中点，D是A´B的中点，则A´B长度的近似值l=AB+ ．若CD=2，AB=8，则l=（ ）
OA
A．8.8 B．8.7 C．8.6 D．8.5
【题型10 利用垂径定理求最值】
【例10】如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以
PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是
．【变式10-1】如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，
动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为
．
【变式10-2】如图，在⊙O中，直径AB=8，弦CD=3，点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于点F，
若点C、D在⊙O上运动（点C、D与点A、B不重合），则EF的最大值是（ ）
9 8
A． B．4 C． D．6
2 3
【变式10-3】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点G(0,1)为圆心，半
径为2的圆与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E
在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（ ）A．❑√5−2 B．❑√3−1 C．❑√5+2 D．❑√3+1
