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专题 21.3 根的判别式【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】.........................................................................................1
【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】.............................................................................................2
【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】.........................................................................................2
【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】.....................................................................................................3
【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】.................................................................................................3
【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】.............................................................................3
【题型7 根的判别式与三角形的综合】..................................................................................................................4
【题型8 根的判别式与四边形的综合】..................................................................................................................5
【题型9 关于根的判别式的多结论问题】..............................................................................................................5
【题型10 关于根的判别式的新定义问题】..............................................................................................................6
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2-4ac．
①当∆=b2-4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2-4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】
【例1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． x2-2x+1=0 B． x2+1=0 C． x2-2x-3=0 D． x2-2x=0
【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）一元二次方程 x2-2√2x+2=0 的实数根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法判断1
【变式1-2】（2023春·江西·九年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2=4 D．x2+x-2=0
【变式1-3】（2023春·上海长宁·九年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（
）
A．x2+2x+3=0 B．√4x+1+1=0x 1
C． = D．x3+8=0
x-1 x-1
【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】
【例2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）已知关于x的方程 ，下列说法正确的
ax2-(1-a)x-1=0
是（ ）
A．当a=0时，方程无实数解 B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解
C．当a=-1时，方程有两个不相等的实数解 D．当a=-1时，方程有两个相等的实数解
【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根
的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为5
【变式2-2】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x
的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
【变式2-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2-5x+c=0，
当c=t 时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t 的基础上增大，则此时方程根的情况是（ ）
0 0
A．没有实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．一个实数根
【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（2023春·浙江舟山·九年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式
x2-3x+c与代数式x+2值相等，则c的取值范围是 ．
【变式3-1】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2-3x+1=0
无实数解，则m取到的最小正整数值是 ．
【变式3-2】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0．
(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．
【变式3-3】（2023春·北京平谷·九年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2-2ax+b+1=0（ab≠0）有
两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（ ）
k k k k
A．若﹣1＜a＜0，则 > B．若 > ，则0＜a＜1
a b a b
k k k k
C．若0＜a＜1，则 < D．若 < ，则-1＜a＜0
a b a b【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】
【例4】（2023春·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m-1=0，求证：不论m
为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．
【变式4-2】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程 ．
x2-3x+2=m(x-1)
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2-2x+3m=0有实数根，设此
方程的一个实数根为t，令y=t2-2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）关于x的一元二次方程 有两个相
ax2+bx+c=0(a≠0)
等的实数根x，则下列关于2ax +b的值判断正确的是（ ）
0 0
A．2ax +b>0 B．2ax +b=0 C．2ax +b<0 D．2ax +b≤0
0 0 0 0
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知实数m,n满足m2-mn+n2=3，设P=m2+mn-n2，
则P的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相
等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2-8b+3m+2，则（ ）
A．y>1 B．y≥1 C．y≤1 D．y<1
【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例6】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x≤4，
关于x的一元二次方程 有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
(a-1)x2+3x+1=0
【变式6-1】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个实数根，且使
x a+2
关于x的分式方程 + =2的解为非负数的所有整数a的个数为（ ）
x-4 4-x
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
a+b 4
【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足 = ，则a+b的
a2+ab+b2 49
值为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
【题型7 根的判别式与三角形的综合】
【例7】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-2bx+(a-c)=0，其
中分别a、b、c是△ABC的边长．
(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；
(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．
【变式7-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；
②若△ABC是等腰三角形，求k的值．
【变式7-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0．
(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．
【变式7-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程
x2-(m+5)x+5m=0．
(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【题型8 根的判别式与四边形的综合】
【例8】（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程
m 1
x2-mx+ - =0的两个实数根．
2 4
(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；
(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？
【变式8-1】（2023春·湖南益阳·九年级统考期末）已知 ▱ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两
个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．
（2）若AB的长为2，那么 ▱ABCD的周长是多少？
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程
x2+(m-5)x-5m=0．
(1)判别方程根的情况，并说明理由．
(2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．
1
【变式8-3】（2023春·广东佛山·九年级校考期中）关于x的一元二次方程 x2-mx+2m-1=0的两个根
4
是平行四边形ABCD的两邻边长．
(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．
(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．
【题型9 关于根的判别式的多结论问题】
【例9】（2023春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程
kx2-(2k-3)x+k-2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②k=0时，方程只有一个实数根；③
9
k≤ 且k≠0时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是
4
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2-bx+b-a=0的实数根．
下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t-1；③b是此方程的根；④此
方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若
b2-4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得
am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程(x+2)(x-3)=0的解相同，则
4a-2b+c=-2，以上说法正确的是 ．
【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是
一元二次方程，
①若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解；
②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；
③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；
④若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1．
以上说法中正确的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④
【题型10 关于根的判别式的新定义问题】
【例10】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”； a*b=¿，关于x的方
程(2x)*(x-1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【变式10-1】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2-ab，
1
例如3☆2=3×22-3×2=6，则方程2☆x=- 的根的情况为（ ）
2
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·九年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程
满足 ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知
ax2+bx+c=0(a≠0) a+b+c=0
是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
ax2+bx+c=0(a≠0)
A．a=b-c B．a=b C．b=c D．a=c【变式10-3】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中
等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是 ．
