文档内容
第二十一章 一元二次方程·拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于x的方程(k+2)x|k)+x+1=0是一元二次方程，则k
的值应为（ ）
A．±2 B．−2 C．2 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不
为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程(k+2)x|k)+x+1=0是一元二次方程，
∴ |k|=2，且k+2≠0，
解得k=2或k=−2；且k≠−2，
∴ k=2，
故选：C．
2．（3分）（24-25九年级上·四川成都·期末）小颖在探索一元二次方程x2+3x−5=0的近似解时做了下
表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ）
x −1 0 1 2
x2+3x−5 −7 −5 −1 5
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取
值范围．
【详解】解：当x=1时，x2+3x−5=−1；
当x=2时，x2+3x−5=5，
∵−1更接近于0，
∴方程的一个解得整数部分是1，故选：C．
1
3．（3分）（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）若分式 总有意义，则m的取值范围是（ ）
x2−6x+m
A．m>9 B．m≥9 C．m<9 D．m≤9
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的
判别式与解的关系成为解题的关键．
分式有意义的条件是分母不为零．即分母x2−6x+m恒不为零，则对应的二次方程无实根，再运用根的判
别式列不等式求得m的取值范围即可．
1
【详解】解：∵分式 总有意义，
x2−6x+m
∴分母为二次函数x2−6x+m恒不为零，，
∴方程x2−6x+m=0无实数根，
∴Δ=(−6) 2−4×1×m=36−4m<0，解得m>9．
故选A．
4．（3分）（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设a，b是关于x的一元二次方程
x2+x+m2+2m−1=0的两个实数根，且a2−b+2m=1，则m的值为（ ）
A．−1或−2 B．−1 C．±1 D．−2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意
可得a2+a+m2+2m−1=0①，a+b=−1②，由①−②可得a2−b+m2+2m−2=0，结合
a2−b+2m=1求出m=1或m=−1，由题意可得
5 1
Δ=12−4×1×(m2+2m−1)=1−4m2−8m+4=−4m2−8m+5>0，求出− 0，
5 1
解得：− 0，符合题意；
当x=21时，16−2x=−26<0，不符合题意，舍去，
答：纸盒的底面积是130cm2时，纸盒的高为3cm．
故选：B．
8．（3分）满足方程x2−4xy+19 y2=151的整数对(x,y)有（ ）
A．0对 B．2对 C．4对 D．6对
【答案】C【分析】利用一元二次方程有解判断出y的范围，根据y是整数求出y的值，进而求出x的值，利用x也是
整数判断即可得出结论．
【详解】解：原方程可化为x2−4 yx+(19 y2−151)=0，
∵方程x2−4xy+19 y2=151有实数根，
∴Δ=16 y2−4(19 y2−151)=−60 y2+4×151≥0，
151 1
∴y2≤ =10 ，
15 15
∵y是整数，
∴y=−3，−2，−1，0，1，2，3，
当y=0时，原方程可化为x2=151，
∴x=±❑√151（由于x为整数，所以舍去），
当y=1时，原方程可化为x2−4x−132=0，
∴x=2±2❑√34（由于x为整数，所以舍去），
当y=−1时，原方程可化为x2+4x−132=0，
∴x=−2±2❑√34（由于x为整数，所以舍去），
当y=2时，原方程可化为x2−8x−75=0，
∴x=4±❑√91（由于x为整数，所以舍去），
当y=−2时，原方程可化为x2+8x−75=0，
∴x=−4±❑√91（由于x为整数，所以舍去），
当y=3时，原方程可化为x2−12x+20=0，
∴x=2或x=10，
当y=−3时，原方程可化为x2+12x+20=0，
∴x=−2或x=−10，
{x=2) {x=10) {x=−2) {x=−10)
∴原方程的整数解为： 或 或 或 ，
y=3 y=3 y=−3 y=−3
即：方程x2−4xy+19 y2=151的整数对(x,y)为(2,3)、(10,3)、(−2,−3)，(−10,−3)共四对，
故选：C．
【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变
形，利用判别式求解．
9．（3分）（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程x2−2|x)−15=0，则此方程的所有实数根的和为
（ ）A．0 B．−2 C．2 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决
问题的关键．
根据已知方程x2−2|x)−15=0，分x>0，x<0，x=0，三种情况讨论求根，取所有根的和即可．
【详解】解：①当x>0时，
方程化为：x2−2x−15=0，
即(x+3)(x−5)=0，
∴x+3=0，x−5=0，
解得x =−3（舍去），x =5；
1 2
②当x<0时，
方程化为：x2+2x−15=0，
即(x−3)(x+5)=0，
∴x−3=0，x+5=0，
解得x =3（舍去），x =−5，
3 4
③当x=0时，方程不成立．
∴此方程的所有实数根的和为：
5+(−5)=0．
故选：A．
10．（3分）（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形
组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为❑√10−2，则这块地砖的面
积为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
【答案】B
【分析】如图，根据题意易知，点O为正方形ABCD，EFGH的中心，利用图中的面积关系最终可推出1
S =5S ，设正方形ABCD的边长为2x,则OF=OE=x−a,以此可得方程
4 正方形ABCD △EOF
1 5
⋅2x⋅2x= (x−a) 2，解此方程，再将a的值代入即可求解．
4 2
【详解】解：如图，
根据题意易知，点O为正方形ABCD，EFGH的中心，
1
∴S = S ，即S =4S ，S =5S ，
△EOF 4 正方形EFGH 正方形EFGH △EOF 正方形ABCD 正方形EFGH
∵S =S ，
五边形AMFEP 正方形EFGH
∴S =4S ，
五边形AMFEP △EOF
1
∵S = S −S ，
五边形AMFEP 4 正方形ABCD △EOF
1
∴ S =5S ，
4 正方形ABCD △EOF
设正方形ABCD的边长为2x,则OF=OE=x−a,
1 5 (5±❑√10)a
∴ ⋅2x⋅2x= (x−a) 2 ，解得：x= ，
4 2 3
∵a=❑√10−2，
7❑√10−20
∴x=❑√10或 ，
3
7❑√10−20
∵ 3，所以一元二次
1 2 −3
方程x2+13x+30=0不是“2−3限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程x2+13x+22=0______“2−3限制方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程x2+(k+9)x+k2+8=0是“2−3限制方程”，且方程的两根x ,x 满足
1 2
(x +11)(x +11)=0，求k的值；
1 2
(3)若关于x的一元二次方程x2+(2−m)x−2m=0是“2−3限制方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)不是
(2)6
2
(3)−13，
−2
∴x2+13x+22=0不是“2−3限制方程”；
（2）解：x ,x 是x2+(k+9)x+k2+8=0的两根，
1 2
则x +x =−k−9，x x =k²+8，
1 2 1 2
∵(x +11)(x +11)=0，
1 2
∴x x +11(x +x )+121=0，
1 2 1 2
k²+8+11(−k−9)+121=0，
解得k=5或6，
当k=5时，x2+14x+33=0，解得x =−11，x =−3，
1 2
−11
∵ >3，
−3
∴不符合题意，舍去，
当k=6时，x2+15x+44=0，解得x =−11，x =−4，满足2<11/4<3，
1 2
∴k=6；
（3）解：方程x2+(2−m)x−2m=0的根为x =−2，x =m，
1 2
∵该方程是“2−3限制方程”，
∴m<0，
−2 2
当−2
