文档内容
专题 11 一次函数中特殊三角形存在性的四类综合
题型
目录
典例详解
类型一、等腰三角形存在性问题
类型二、直角三角形存在性问题
类型三、等腰直角三角形存在性问题
类型四、特殊角存在性问题
压轴专练
类型一、等腰三角形存在性问题
例1-1．（位置不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交A、B两点，与
直线相交于点 ．
(1)求m和b的值；
(2)若直线 与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，
设点P的运动时间为t秒．
①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；②若点P在线段 上，且 的面积为10时，求t的值；
③直接写出t为何值时， 为等腰三角形．
【答案】(1) ，
(2)① ， ；② ；③ 为等腰三角形时，t的值为4或 或 或6
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题
的关键．
（1）将点 代入 ，求出m的值，再代入 中求出b即可；
（2） 把 代入直线解析式 ，即可求得；
利用面积公式列出方程进行求解即可；
分三种情况： ， 和 分别求t的值即可．
【详解】（1）解：在 中，
当 时， ，
当 时， ，
， ，
点 在直线 上，
，
，
又 点 也在直线 上，
，
解得， ，
， ；
（2）解： 直线 与 轴相交于点 ，由（1）得 ，
，
解得 ，
点 的坐标为 ，
由（1）得点 的坐标为 ；
故答案为： ， ；
过点 作 于点 ，即为 的高，如图所示，
， ，
，
的面积为 ，
， ，
， ，
，
设 ，则 ，
，
解得 ；
为等腰三角形有三种情况：
过 作 于 ，如图1所示，则 ， ，
，
，
第一种情况：当 时， ，
，
此时 ，解得 ；
第二种情况：当 时， 和 分别在 点两侧，如图2所示，
则 ，
，
，
或 ，解得 或 ；
第三种情况：当 时，如图3所示，
设 ，则 ，
，
，解得， ，
与 重合， ，
，
，解得 ；
答： 为等腰三角形时， 的值为 或 或 或 ．
例1-2．（腰确定）如图，直线 ： 交y轴于点 ，直线 ： 交x轴于点
，两直线交于点P，解答下列问题：
(1)求m，n的值和点P的坐标；
(2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标；
(3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条
件的点F的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)点E的坐标为 或
(3)点F的坐标为 或 或 或
【分析】(1)把点 代入 ，即可求得 ，把点 代入 ，即可求得 ，
联立两函数解析式得， ，解此方程组，即可求得点P的坐标；
(2)分两种情况，即当 或 时，根据点P的坐标及勾股定理，即可分别求得；(3)分两种情况，即当 或 时，根据勾股定理及两点间距离公式，即可分别求得．
【详解】（1）解：∵直线 交y轴于点 ，
，则 ，
∴ ，
∵直线 交x轴于点 ，
，则 ，
，
解方程组 ，
得 ，
∴ ；
（2）解：如图，当 时，
，
，
当 时， ，
设点 ，
如图，直线 为 与x轴交于点A，
，则 ，
由（1）知， ，
，
解得 ，
，
综上，以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，点E的坐标为 或 ；
（3）解：如图：
设 ， ， ，∴
，由题意知，当 时，即 ，即
，∴ 或 ，
当 时，即 ，过点P作 轴于H点，则
在 中， ，∴ 或 ，∴ 或
所以综上：当以A、P、F为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形时，点F的坐标为 或 或
或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，求一次函数的解析式，勾股定理及两点间距离公式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
变式1-1．如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，并与直线 相交于点 ．
(1) ______， ______；
(2)点D是线段 上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线 于点E，交直线 于点F．
①若 ，求点D的坐标；
②若点D坐标是 ，M是直线 上一点，当 是等腰三角形，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1) ，
(2)① 或 ；② 或 或 或
【分析】本题考查了一次函数的应用、等腰三角形的定义、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数
的性质是解题关键．
（1）先利用待定系数法求出点 的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）①设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
再根据 建立方程，解方程即可得；
②先设点 的坐标为 ，再分三种情况： ， 和 ，分别建立方程，解方
程即可得．
【详解】（1）解：将点 代入 得： ，
∴ ，将点 ， 代入 得： ，
解得 ，
故答案为： ， ．
（2）解：①由题意，画出图形如下：
由（1）已得：直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 ，均符合题意，
∴点 的坐标为 或 ．
②∵点 坐标是 ， 是直线 上一点， 轴，
∴可设点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，，
，
当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，解得 ，
此时点 的坐标为 ；
当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，解得 或 ，
此时点 的坐标为 或 ；
当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，解得 ，
此时点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
变式1-2．如图，直线 与直线 交于点E．
(1)求E点坐标；
(2)若P为直线 上一点，当 面积为6时，求P的坐标；
(3)若点M是x轴上一点，当 为等腰三角形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)P的坐标为 或(3)点M的坐标为 或 或 或 ．
【分析】本题考查两条一次函数图象交点以及围成图形面积问题，等腰三角形的性质．
（1）直接联立两直线的解析式，解方程组即可；
（2）根据P的不同位置情况进行分类讨论即可；
（3）分 或 或 三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：联立 ，解得： ，
∴ ；
（2）解：由两直线解析式可得 ， ，
，
①当P点在x轴下方时， ，
即： ，
则 ，
解得： 或 （舍去），
将 代入 ，解得： ，
∴ ；
②当P点在x轴上方时， ，
即： ，
则 ，
解得： 或 （舍去），
将 代入 ，解得： ，∴ ；
综上，P的坐标为 或 ．
（3）解：当 时， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴ 或 或 ．
当 时，可知点M的坐标为 或 ；
当 时，由等腰三角形三线合一可知 ，即点M的坐标为 ；
当 时，设 ，
则 ，
解得： ，即点M的坐标为 ；
综上所述，点M的坐标为 或 或 或 ．
变式1-3．如图甲所示，已知直线 与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线与y轴相交于点C，两直线交于点P．
(1)求 的面积；
(2)如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线 对称，求点C的坐标；
(3)当 是以BC为腰的等腰三角形，求直线 的函数解析式．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】本题考查了一次函数的综合，明确一次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
（1）分别求出A和B的坐标，根据三角形的面积公式可得答案．
（2）将直线 和 联立，可得P点坐标，进而求出C点坐标．
（3）根据勾股定理，用含k的式子表示出 的长，分情况讨论进行计算即可．
【详解】（1）解：在直线 中，
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，∴ ，
∴ 的面积为： ，
（2）解：直线 中，
当 时， ，
∴ ，
把直线 代入直线 中，得：
，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 为 ，
∵点B、C关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ；
（3）解：由（2）知： ， ，
∴ ，
，当 是以 为腰的等腰三角形时，若 ， ，
解得： 或 ，∴ 或 ；
若 ， ，解得： ，
∴ ，
综上所述，直线 的解析式为： 或 或 .
类型二、直角三角形存在性问题
例2-1．（位置不确定）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 相
交于点 ，与x轴交于点 ，直线 与x轴交于点C．
(1)填空： ， ， ；
(2)如图2，点D为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x轴于点F．
①求线段 的长度；
②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
③若 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
【答案】(1)8， ，(2)① ；②点E的坐标为 ；③点D的坐标为 或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①过点A作 轴于点H，作 轴于点G，根据勾股定理得到 ，
于是得到结论；
②利用勾股定理求出 ，可得 ，即可得答案；
③分两种情况讨论，当 时，求出 ，得 ，得 ，得点D坐
标；当 时，设 ，则 ，由勾股定理得： ，求出
，得点D坐标．
【详解】（1）解：把 代入 ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 ： ，
把 代入 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：8， ， ；
（2）解：①∵直线 ： ，
∴点C的坐标为 ，如下图，过点A作 轴于点H，作 轴于点G，则 ， ，
∵ 翻折得到
∴ ，
∴
②当E点落在y轴上时，
在 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ；
③如下图，
当 时，由翻折得 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ；
如下图，
当 时， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
综上，点D的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的
性质，解题的关键是作辅助线．
例2-2．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋4交y轴于点A，直线l：y＝﹣x与l 交于点B．
1 2 1
（1）求点B的坐标；
（2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l，l 交于点M、N，且点M在点N的上方．
1 2
①当MN＝2时，求△BMN的面积；②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，求出满足条
件所有点Q的坐标．
【答案】（1）（﹣2，2）；（2）①1；②（0， ）或（0， ）
【分析】（1）联立方程组求解；
（2）①设平行于y轴的动直线为x＝m，然后用含m的式子表示出M和N点坐标，然后根据两点间距离公
式列方程求得m的值，最后根据三角形面积公式求解；
②设Q点坐标为（0，a），然后根据△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，
分情况列方程求解．
【详解】解：（1）∵直线l：y＝﹣x与l 交于点B，
2 1
∴联立方程组可得 ，
解得： ，
∴B点坐标为（﹣2，2）；
（2）①如图，设平行于y轴的动直线为：直线x＝m，
过点B作BC⊥y轴，交直线x＝m于点D，∴M点坐标为（m，m＋4），N点坐标为（m，﹣m），
∴MN＝m＋4﹣（﹣m）＝2，
解得：m＝﹣1，
又∵B点坐标为（﹣2，2），
∴BD＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴S BMN＝ MN•BD＝ ＝1；
△
②如图，
i）在Rt△MNQ中，当MN∶QN＝3∶4时，
设MN＝3a，QN＝4a，
∴N点坐标为（﹣4a，4a），M点坐标为（﹣4a，﹣4a＋4），Q点坐标为（0，4a），
∴MN＝﹣4a＋4﹣4a＝3a，
解得：a＝ ，
∴Q点坐标为（0， ），
ii）在Rt△MNQ中，当QN∶MN＝3∶4时，
设MN＝4a，QN＝3a，
∴N点坐标为（﹣3a，3a），M点坐标为（﹣3a，﹣3a＋4），Q点坐标为（0，3a），∴MN＝﹣3a＋4﹣3a＝4a，
解得：a＝ ，
∴Q点坐标为（0， ），
综上，Q点坐标为（0， ）或（0， ）．
【点睛】本题考查一次函数的交点问题，理解一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合和分类讨论思
想解题是关键．
变式2-1．如图，已知直线 经过点 ，交x轴于点 ，直线 交直线 于点B．
(1)求直线 的函数表达式和点B的坐标；
(2)求 的面积；
(3)在x轴上是否存在点C，使得 是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数求出直线 的函数表达式，再联立直线 ， 的函数表达式，可得点B的坐标；
（2）根据 ，即可求解；
（3）根据题意可得当 是直角三角形时，需分 和 两种情况，即可求解．【详解】（1）解：设直线 的函数表达式为 ．
∵图象经过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
联立 ，解得 ，
∴点B的坐标为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ；
（3）解：∵点C在x轴上，
∴ ，
∴当 是直角三角形时，需分 和 两种情况．
①当 时，点C在图中 的位置：
∵点A和点 均在x轴上，
∴ 轴．
∵ ，
∴ ；②当 时，点C在图中 的位置：
设
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
综上可知，在x轴上存在点C，使得 是直角三角形，点C的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解
题的关键．
变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C坐标分别为(2，0)，(1，2)．（1）直接写出点B的坐标，并求出直线AC的解析式；
（2）若D是直线AC上的一个动点（D与A、C不重合），当 DBC的面积是3时，请求出点D的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得 PAC是不以点P为直角顶点的直角三角形．若存在，请求出P的坐
标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B(3，2)，y＝﹣2x+4；（2）D(﹣ ，5)或( ，﹣1)；（3）存在，P(0， )或(0，﹣1)
【分析】（1）利用平行四边形的性质确定 点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）根据三角形面积公式求得 的高，然后利用一次函数图象上点的坐标特征求点 坐标；
（3）设 点坐标为 ，然后结合勾股定理列方程求解．
【详解】解：（1）在平行四边形 中， ， ，
又 顶点 、 坐标分别为 ， ， ，
点坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， ， 代入，
得： ，
解得： ，
直线 的解析式为： ；
（2） ，且 的面积是3，
设 的边 上的高为 ，
则 ，
解得： ，点纵坐标为 或 ，
又 是直线 上的一个动点，
在 中，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
点坐标为 ， 或 ， ；
（3）设 点坐标为 ，
由题意可得： ， ， ，
①当点 为直角顶点时， ，
，
解得： ，
此时， 点坐标为 ；
②当点 为直角顶点时， ，
，
解得： ，
此时， 点坐标为 ；
综上， 点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，理解相关性质定
理，利用分类讨论思想解题是关键．
变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与 轴， 轴分别交于点A，B，与函数
的图象交于点 ．(1)求m和 的值；
(2)函数 的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点
A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当 的面积为6时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使 为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①11；②存在， 或
【分析】（1）把点 代入函数 求出m的值即可得到点 坐标，把点C的坐标代入
即可求出b的值；
（2）①求出A的坐标为 ，点D的坐标为 ，得到 ，由题意得： ，
则 ，过点C作 轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案；
②先写出使得 为直角三角形时 的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当 和
对应的 的值即可；
本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关
键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答．
【详解】（1）解：把点 代入函数 ，
得：
所以点 坐标为
把点 代入函数 ，得： ，所以 ；
（2）①当 时， ，所以
所以函数 的图象与 轴的交点A的坐标为 ，
由（1）得：
∴函数 的表达式为
当 时， ，
∴ ，
∴函数 的图象与 轴的交点D的坐标为 ，
∴
由题意得： ，则 ，
过点C作 轴，垂足为点F，
∵ ，
∴
当 的面积为6时，即 ，
∴ ，
解之得： ，
所以当t的值为11时， 的面积为6
存在， 或 ．
理由：当 时， ，所以函数 的图象与y轴的交点B的坐标为 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
当 时，则 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴
∴ ，解得 ；
当 ，则 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，解得 ；
综上，当 或 时， 为直角三角形．
类型三、等腰直角三角形存在性问题
例3-1．（位置不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
点 在 轴的正半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上的点 处．
(1)如图1，求点 、 两点的坐标；
(2)如图2，求直线 的表达式；
(3)点 是 轴上一动点，若 ，求点 的坐标；
(4)连接 ，在第一象限内是否存在点 ，使 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
(4)存在， 或 .
【分析】（1）先求出 ， ，即可得到点A，B的坐标；
（2）根据勾股定理求出 ，根据折叠得出 ， ，则可求出 ，即可求出点
B的坐标，在 中，根据勾股定理得出 ，解方程求出点 的坐标，然后根据待
定系数法求解即可；
（3）计算 ，可得 ，点 是 轴上一动点，设 ，可得
，再进一步求解即可；
（3）分两种情况讨论：① ， ；② ， ；然后根据全等三角形的判
定与性质求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ；
当 时， ，解得 ，
∴ ， ，
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 轴上一动点，设 ，
∴ ，
∴ 或 ；
∴ 或 ；
（4）解：如图，过 作 ，使 ，则 为等腰直角三角形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
取 的中点 ，连接 ，
∴ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
综上： 的坐标为： 或 .
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性
质，等腰直角三角形的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想解决问
题是解题的关键．
例3-2．（位置确定）如图1，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线 与 和x轴相交
于点A，与y轴相交于点 ．(1)求直线 的解析式；
(2)如图2，若直线 与y轴交于点C，判断 的形状，并说明理由；
(3)如图3，D是 的中点，坐标为 ，将直线 向上平移，使其经过点B，记为直线 ．若点M为y
轴正半轴上一点，点N为直线 上一点，使 是以 为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N
的坐标．
【答案】(1) 的解析式为
(2) 为等腰三角形，理由见解析
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了待定系数法、一次函数的平移、一次函数与等腰直
角三角形、等腰三角形的判定等知识点，掌握函数的相关性质是解题关键．
（1）令 可得 ；设直线 的解析式为： ，将 代入即可求解；
（2）求出 ，分别计算 即可判断；
（3）由题意得直线 的解析式为： 、 ；可推出点 与点 重合，设 ，根
据 即可求解；
【详解】（1）解：令 ，解得： ；
∴
∵直线 与y轴相交于点
设直线 的解析式为： ；
将 代入 得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为：
（2）解： 为等腰三角形，理由如下：
令 ，可得： ；
∴
则 ， ，
∴
故 为等腰三角形
（3）解：如图所示：
∵ ，D是 的中点，
∴
∵ 向上平移得到直线 ．
∴
∴点 与点 重合
通过平移可知：直线 的解析式为： ；
设 ，
∵
∴ ，
解得： 或 ；∴ 或
故点N的坐标为 或
变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且与直线
交于点 ，点 的横坐标为2．
(1)求直线 的解析式；
(2)在 轴上取点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交直线 于点 ．若 ，求点 的坐标；
(3)在第二象限内，是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)M的坐标为 或
(3) 的坐标为 或 或 ，
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的
关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）求出 ，再用待定系数法可得直线 的解析式为 ；
（2）设 ，则 ， ，由 ，得 ，解得 或 ，从而 的坐标为 ， 或 ， ；
（3）求出 ，①当 为直角顶点时，过 作 轴于 ，证明 ，可得
， ，故 的坐标为 ；②当 为直角顶点时，过 作 轴于 ，同理可
得 的坐标为 ；③当 为直角顶点时，过 作 轴于 ，过 作 于 ，同理可得
， ， ，设 ，有 ，可解得 的坐标为 ， ．
【详解】（1）在 中，令 得 ，
；
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）如图：
设 ，则 ， ，
，，
或 ，
解得 或 ，
的坐标为 ， 或 ， ；
（3）在 中，令 得 ，
，
①当 为直角顶点时，过 作 轴于 ，如图：
为等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
，
的坐标为 ；
②当 为直角顶点时，过 作 轴于 ，如图：
同理可得 ，
， ，，
的坐标为 ；
③当 为直角顶点时，过 作 轴于 ，过 作 于 ，如图：
同理可得 ，
， ，
设 ，
，
解得 ，
的坐标为 ， ；
综上所述， 的坐标为 或 或
变式3-2．【模型构建】
如图，将含有 的三角板的直角顶点放在直线 上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个
全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型
在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，
①则点 坐标为______；点 坐标为______；
② ， 是正比例函数 图象上的两个动点，连接 ， ，若 ， ，则 的最小
值是______；（2）如图2，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点．将直线 绕点 逆时针旋转
得到直线 ，求直线 对应的函数表达式；
【模型拓展】
（3）如图3，直线 的图象与 轴， 轴分别交于 、 两点，直线 与 轴交于点 ．
点 、 分别是直线 和直线 上的动点，点 的坐标为 ，当 是以 为斜边的等腰直
角三角形时，直接写出点 的坐标．
【答案】（1）① ； ；② ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）①分别令 和 求解即可；
②过A作 于 ，证明 得到 ，利用勾股定理求得
，根据垂线段最短得 的最小值是 的长，进而可求解；
（2）在图2中，过B作 交直线l于C，过C作 轴于D，证明 是等腰直角三角形，则
，证明 得到 ， ，进而求得 ，然后利用待定系
数法求解即可；
（3）过点过点P作 轴于S，过点Q作 于T，证明 ．分两种情况，由全
等三角形的性质得 ， ，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入 求得n的值，即可求解．
【详解】解：（1）①当 时，得： ；
当 时，得： ，
解得 ，
∴点A坐标为 ，点B坐标为 ，
故答案为： ； ；
②在图1中，过A作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A坐标为 ，点B坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
∵D是正比例函数 图象上的动点，
∴根据垂线段最短，得 的最小值是 的长，故 的最小值是 ，
故答案为： ；
（2）在图2中，过B作 交直线l于C，过C作 轴于D，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 绕点A逆时针旋转 得到直线l，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ，
当 时，由 得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线l对应的函数表达式为 ，
将 、 代入，得 ，
解得 ，
∴直线l对应的函数表达式为 ；
（3）直线 的图象与x轴，y轴分别交于 、 ，
分以下两种情况：
当 时，如图3，过点P作 轴于S，过点Q作 ，交 延长线于T，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴点Q的坐标为 ，
将点Q的坐标代入 得， ，
解得 ，
∴ ， ，
∴点Q的坐标为 ；
当 时，过点P作 轴于S，过点Q作 ，交 延长线于T，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ，
将点Q的坐标代入 得， ，
解得： ，
∴点Q的坐标为 ．
综上，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全
等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义
方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键．
变式3-3．【模型呈现】
（1）如图1，在 中， ， ，直线 经过点 ，过点 作 于点 ，过点
作 于点 ，求证： ．
【模型应用】
（2）如图2，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作线段 且
，直线 交 轴于点 ．求点 的坐标．
【模型迁移】
（3）如图3，在（2）的条件下，点 的坐标为 ， 是 轴上一个动点， 是直线 上一个动点，
若 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析，（2） 的坐标为 ，（3）点 的坐标为 或【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，待定系数法；
（1）由 可判定 ，即可得证；
（2）过点 作 轴于点 ，同理可证 ，由全等三角形的性质得 ，
，可求出 ，由待定系数法可求直线 的函数解析式为 ，令 ，即
可求解；
（3）过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，设 ， ，①当 在点
左侧时，同理可证 ，由全等三角形的性质得 ， ，即可求解；②当 在
点 右侧时，同理可求；
掌握全等三角形的判定及性质，能熟练利用待定系数法求解，同时能根据点的不同位置进行分类讨论是解
题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ）．
（2）解：过点 作 轴于点 ，如图1
在 中，
令 得 ，令 得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由（1）同理可证： ，
∴ ，
，
∴
，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，则有
，
解得 ，
直线 的函数解析式为 ，
令 ，
解得 ，
点 的坐标为 ．
（3）解：过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，设点 ， ，
①当 在点 左侧时，如图2
是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
由（1）同理可证： ，
，
．
∴ ，
解得 ，
；
②当 在点 右侧时，如图3
同理可得点 ．
综上所述，点 的坐标为 或 ．
类型四、特殊角存在性问题
例4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点A．
(1)求A、 两点的坐标；(2)若在直线 上有一点 ，使得 的面积为9，求点 的坐标；
(3)如图2，点 为线段 中点，过点 作 轴，垂足为 ，若点 为 轴负半轴上一点，连接
交 轴于点 ，且 ，在直线 上有一点 ，使得 最小，求 点坐标；
(4)如图3，直线 上存在点 使得 ，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1) 、
(2) 或
(3)
(4) 或
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质
等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）对于 ，令 ，解得： ，令 ，则 ，即可求解；
（2）设点M的纵坐标为 ，根据 列出方程求解可得 或 ，然后代入求出点
M的坐标即可；
（3）如图：作点A关于直线 的对称点 ，连接 交 于点P，则点P为所求点，然后求得其
坐标即可解答；
（4）当点Q在 上方时，证明 得到M的坐标为 ，进而求解即可；当点 在
下方时，同理可解．
【详解】（1）解：对于 ，令 ，解得： ；令 ，则 ．
∴点A、 的坐标分别为 、 ．
（2）解：设点M的纵坐标为 ，根据题意得：，即∶ ，解得： 或 ，
把 代入 得： ，解得： ；
∴此时点M的坐标为 ；
把 代入 得： ，解得： ，
∴此时点M的坐标为 ．
综上，点M的坐标为 或 ．
（3）解：∵点 为线段 中点，
∴点 ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图：作点A关于直线 的对称点 ，连接 交 于点P，连接 ，
根据轴对称可知： ，
∴ ，∴ 最小时， 最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P为所求点，
设直线 的表达式为： ，则∶
，解得 ，
∴直线 的表达式为： ，
当 时， ，
∴点P的坐标为 ．
（4）解：存在，理由如下：
如图2，当点Q在 上方时，过点A作 交 于点M，过点M作 轴于点H，则
，
，
∴ 为等腰直角三角形，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
∴点M的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
当 时， ．
∴点Q的坐标为 ；
当点 在 下方时，过点A作 交 于点N，则 ，
∴ ，
∴N、A、M三点共线，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴A为 的中点，
由中点坐标公式得，点 ，即 ，
由点B、N的坐标同理运用待定系数法可得直线 的表达式为： ，
当 时， ．
∴点 的坐标为 ．
综上，点Q的坐标为 或 ．
变式4-1．在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．
(1)如图1，连接 ，求 的面积．
(2)如图2，在直线 上存在点 ，使得 ，求点 的坐标．
【答案】(1)11
(2)
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质
等知识点．
（1）对于直线 ，令x=0，则 ，故点 ，同理可得点 、 ， 的
面积 ，即可求解；
（2）证明 ，则 ，即可求解．
【详解】（1）解：对于直线 ，令 ，则 ，
故点 ；
对于 ，令 ，则 ，令 ，即 ，
解得： ，
故点 、 ，
则 ， ，所以， 的面积 ；
（2）解：由题意， ，观察图象可知，点E只能在直线 的右侧，过点E作 的垂线交
于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图
2，
设点 ，点 ，
∵ ，故 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ，
解得， ，
故点 ．
变式4-2．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点 、 ，且与直线 相交于点 ，已知直
线 经过点 ，且与 轴交于点 ．(1)求点 、 的坐标以及直线 的解析式；
(2)若 为直线 上一动点， ，求点 的坐标；
(3)点 在直线 上，当 时，求所有符合条件的点 的坐标．
【答案】(1)点 、 ，直线 的解析式为
(2)点 的坐标为 或
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定
与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用．
（1）由直线 ： 得，当 时， ，当 时， ，则有点 、 ，设直线
的解析式为 ，然后把 ， 代入即可求解；
（2）由直线 的解析式为 得，当 时， ，当 时， ，则点 ， ，则
，求出 ，设 ， ，求出 的值即可；
（3）根据 ，分两种情况讨论，当 在 的左侧时，以 为直角边作等腰直角三角形 ，
过点 分别作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线，交于点 ，证明 得出
，求得直线 的解析式为 ，联立 求得点 ，当 在 轴的右侧时，同理可得．【详解】（1）解：由直线 ： 得，当 时， ，当 时， ，
∴点 、 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得，
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：由直线 的解析式为 得，当 时， ，当 时， ，
∴点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直线 上一动点，∴设 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴点 的坐标为 或 ；
（3）如图，当 在 的左侧时，以 为直角边作等腰直角三角形 ，过点 分别作 轴的平行线，
过点 作 轴的平行线，交于点 ，∴ ，
∴
又∵ ，
∴
又∵ 、
∴ ，
∴ ，∴ 为 与 的交点，
设直线 的解析式为 ，代入 、 ，∴ ，解得：
∴直线 的解析式为 ，联立 ，解得： ，∴
当 在 轴的右侧时，如图，在 的右侧以 为直角边作等腰直角三角形 ，过点 作 轴，同理可得 ，直线 的解析式为：
联立 解得： ，∴
综上所述， 或
1．如图所示，在平面直角坐标系中，点 ，连接 ，将线段 绕点O顺时针旋转 到 ，将
点B向左平移5个单位长度至点C，连接 ．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)将直线 绕点C顺时针旋转 ，交x轴于点D，求直线 的函数表达式；
(3)现有一动点P从C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线 运动，运动时间为t秒．请探究：当t等
于多少时， 为等腰三角形．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 秒或 秒或 秒
【分析】（1）过 、 分别做 、 垂直于 轴于 ， ，根据将线段 绕点 顺时针旋转 到，可证 ，有 ， ，即知 ，而将点 向左平移5个单位
长度至点 ，故 ；
（2）设 交 轴于 ， 交 轴于 ，由 ， ，得 ，根据将直线
绕点 顺时针旋转 ，交 轴于点 ， 轴，知 是等腰直角三角形，故 ， ，
再用待定系数法可得直线 的解析式为 ；
（3）分三种情况：①当 时， ，得 ；②当 时， ，知
，故 ，可得 ；③当 时， 在 的垂直平分线上，有
，在 中，令 ，故 ，得 ．
【详解】（1）解：过 、 分别做 、 垂直于 轴于 ， ，如图：
将线段 绕点 顺时针旋转 到 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
将点 向左平移5个单位长度至点 ，
，
；（2）解：设 交 轴于 ， 交 轴于 ，如图：
， ，
，
将直线 绕点 顺时针旋转 ，交 轴于点 ， 轴，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得：
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（3）解∶ ①当 时，如图：
，
解得 ；
②当 时，如图：，
，
，
，
解得 ；
③当 时，如图：
在 的垂直平分线上，
， ，
，
在 中，令 得 ，
， ，
，
，
解得 ；
综上所述，当 等于 秒或 秒或 秒时， 为等腰三角形．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰三角形判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
2．如图，直线 与x轴交于点 ，直线 与x轴、y轴分别交
于B、C两点，直线 与直线 相交于点D，且 ．
（1）分别求出直线 和直线 解析式．
（2）求四边形 的面积．
（3）若E为y轴上一点，且 为等腰三角形，请求出点E的坐标．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） 或 或 或
．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=2x＋m得到m=5，则y=-2x＋5，再利用AB=5可得到B点坐标为（ ，
0）则把B点坐标代入y=-x＋n可得到n= ，则y=-x＋ ；
（2）联立方程组 得到D点坐标，然后确定C点坐标为（0，2），最后利用四边形AOCD的面
积= 进行计算即可；
（3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC= ，然后分类讨论：当AE=AC时，以A点为圆心，以 画弧交x轴于 点和 点，再写出它们的坐标；当CE=CA时， 点与点A关
于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA=EC时， 点为坐标原点．
【详解】解：（1）把 代入 中，
，
，
∴直线 解析式 ，
∵ ， ，
∴ ，
把 代入 中，
得 ，
，
∴直线 解析式 ；
（2）联立 ，
得 ，
∴ ，
把 代入 中得 ．∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
① 时，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
② 时（图1），∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
③ 时（图2），
∵ ，
∴E与O重合，
∴ ；
综上 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的
关键．
3．已知：直线 与 轴、 轴分别相交于点 和点 ，点 在线段 上．将 沿 折叠后，
点 恰好落在 边上点 处．(1)求出 、 两点的坐标；
(2)求出 的长；
(3)点 是坐标轴上一点，若 是直角三角形，求点 坐标．
【答案】(1)点 坐标为 ，点 坐标为
(2)3
(3) 或 或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题
的关键．
（1）令 和令 ，可求 、 两点的坐标；
（2）由勾股定理求出 的长，再由轴对称的性质，用含 的式子分别表示 、 的长，在
中根据勾股定理列方程求出 的长；
（3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解： 直线 与 轴、 轴分别相交于点 和点
时 ； 时
点 坐标为 ，点 坐标为 ．
（2）解：由折叠得， ， ， ，
， ，
，
，
，
，解得： ；
故 长为 ．
（3）解：当 时，则点 ；
当 时， ，
如图，设 ，
∴
解得：
∴点 ；
当 时，
如图，设 ，
∴
解得：
∴点 ，综上所述：点E的坐标为 或 或 ．
4．【模型建立】
如图1，等腰直角三角形 中， ，直线 经过点C，过A作 于点D，过
B作 于点E，易证明 （无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就
利用这个模型来解决一些问题：
【模型运用】
(1)如图1，若 ，则 的面积为 ；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰 ，点C的坐标为 ，A点的坐
标为 ，求 与y轴交点D的坐标；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线 函数关系式为： ，点 ，在直线 上是否存在点B，
使直线 与直线 的夹角为 ？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)存在，
【分析】（1）证明 可得 ，在 中，利用勾股定理解得
的长，最后根据三角形面积公式即可求解；
（2）作 轴于点 ，根据题意，可证 ，再由全等三角形对应边相等的性质得到 ，结合点 的坐标分别解得 的长，继而得到 的坐标，再由待定系数法
解得直线 的解析式，令 即可求解；
（3）画出符合题意的示意图，设点B，点 是符合要求的两个点，即 ，设
，过点 作直线平行 轴，过点 作直线平行 轴，两直线相交于点 ，由点 坐标表示线
段 和 ，根据 可证 ，再由全等三角形对应边相等的性质解得 的长，
继而得到点 的坐标，最后将点 代入直线 上即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
，
∴在 与 中，
，
，
∵ 中， ，
∴ ，
．
故答案为： ．
（2）解：过点B作 轴于点 ，
则 ，
∴ ，，
，
，
．
在 与 中，
，
，
，
，
∴ ， ，
， ，
，
．
设直线 的解析式为： ，
∵直线 过点 ，
∴
解得：
直线 的解析式为：
令 得， ，
；
（3）解：存在，有两个点符合题意， 或 ，理由如下：
如图，设点B，点 是符合要求的两个点，即 ，
设 ，
过点 作直线平行 轴，过点 作直线平行 轴，两直线相交于点 ，则
，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ ，
，
，即 ，
∵点 在直线 上，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模
型的思路方法是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点 ， ，点C在y轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1) 的长为______，点D的坐标是______．
(2)求点C的坐标；
(3)点M是y轴上一动点，若 ，求出点M的坐标；
(4)在第一象限内是否存在点P，使 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)5，
(2)
(3)为 或
(4)第一象限内存在点P，使 为等腰直角三角形，点P的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）根据勾股定理可得 ，根据轴对称的性质可得 ，则可得 ，进而可得
；
（2）设 ，则 ，在 中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标．
（3）设 ，则 ，根据 列方程求出m的值，即可得到点M的坐标；
（4）分三种情况讨论：①当 ， ；②当 ， ；③当 ，
，根据全等三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，， ，
，
∵将 沿直线 折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
，
．
故答案为：5， ．
（2）解： ，则 ，
在 中, ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，解得 ， ．
∴M点的坐标为 或 ．
（4）解：存在，理由如下：
①当 ， ，则 为等腰直角三角形，
如图，过点P作 轴于G点,
则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵
，
在 和 中，
，
，
， ，
．
∴P点的坐标为 ．
②当 ， ，则 为等腰直角三角形，
如图，过点P作 轴于H点，同理得 ，
， ，
∴P点的坐标为 ．
③当 ， ，则 为等腰直角三角形，
如图，过点P作 轴于点M， 轴于点N，
则 ，
∴ ，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
， ，
设点P的坐标为， ，
则 ， ， ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ．
综上可知，第一象限内存在点P，使 为等腰直角三角形，点P的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅
助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
