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专题 17 反比例函数的应用
考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断 考点二 一次函数与反比例函数的交点问题
考点三 一次函数与反比例函数的实际应用 考点四 实际问题与反比例函数
考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断
例题：（2022·江苏无锡·八年级期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y （kb≠0），下列能同时正
确描述这两种函数大致图像的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·江苏盐城·八年级期末）在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（
）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆黔江·八年级期末）一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图象可
能是（ ）A． B． C． D．
3．（2022·四川宜宾·八年级期中）函数 和函数 在同一坐标系内的图像大致是( )
A． B． C． D．
4．（2021·甘肃·金昌市第五中学九年级阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y＝－ 与y＝ax＋1（a≠0）
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx－k与 (k≠0)的大致
图象可能是（ ）A． B． C． D．
6．（2022·河南驻马店·八年级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与y＝ （k≠0）的图像大
致是（ ）
A．. B．. C． D．.
7．（2022·重庆一中八年级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反
比例函数 的图象大致可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东青岛·九年级期末）反比例函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能
是（ ）
A． B． C． D．
考点二 一次函数与反比例函数的交点问题
例题：（2021·广西·北海市外国语实验学校九年级阶段练习）如图，已知直线y＝x+3与x轴、y轴分别交
1于A，B两点，与反比例函数 （k≠0，x＜0）交于C，D两点，且C点的坐标为（﹣1，2）．
(1)求出反比例函数的表达式；
(2)求出点D的坐标；
(3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y＞y．
1 2
【变式训练】
1．（2022·海南·儋州川绵中学八年级期中）如图，直线一次函数y= x+2与双曲线反比例函数相交于点A
（m,3），与x轴交于点C，求反比例函数解析式．
2．（2022·浙江·宁波外国语学校八年级期中）如图，直线 与双曲线 交于A、
B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标6，点B的坐标为(-3，-2)．(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)结合图像直接写出 时 的取值范围．
3．（2021·贵州·铜仁学院附属中学九年级阶段练习）如图， 的顶点A是一次函数
的图象与反比例函数 的图象在第四象限的交点，AB垂直x轴于B，且 ．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求出它们的交点A、C的坐标和 AOC的面积．
4．（2022·四川·测试·编辑教研五九年级阶段练习）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图
象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知A（3，1），点B的坐标为（m，-2）．(1)直接写出反比例函数的解析式；
(2)求一次函数的解析式；
(3)在y轴上是否存在一点P，使得 PDC与 CDO相似？若存在求P点的坐标，若不存在说明理由．
△ △
5．（2021·吉林·白城市第三中学九年级阶段练习）如图，反比例函数 的图象与一次函数y＝x+b的图
象交于点 ，点 ；
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围．
6．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象
分别交 轴、y轴于A、B两点，与反比例函数 的图象交于C、D两点， 轴于点E，已知C点的坐标是（8，-2）， ．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求∆ABO的面积；
(3)根据图象直接回答：当 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
7．（2021·江苏·宿迁市钟吾国际第一初级中学八年级期中）如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝ （x＜
0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是x轴上的一个动点．
①若点M在线段OC上，且 AMB的面积为8，求点M的坐标；
②点N是平面直角坐标系中△的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的
坐标.
考点三 一次函数与反比例函数的实际应用
例题：（2022·全国·九年级单元测试）当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，
把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分
散．学生注意力指标 随时间 （分钟）变化的函数图象如图所示，当 和 时，图象是
线段，当 时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点 对应的指标值．
(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间
段．
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，如图，药物燃
烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此
时教室内每立方米空气含药量为8毫克，燃尽后y与x成反比例．
(1)求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量；
(2)画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图象；
(3)当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生
不能停留在教室里？2．（2022·江苏·九年级专题练习）为适应日益激烈的市场竞争要求，某工厂从2021年1月且开始限产，并
对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例；到5月底开始恢复全面生产后，
工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图像
如图所示，试解决下列问题：
(1)分别求该工厂对生产线进行升级改造前后，y与x之间的函数关系式；
(2)到第几个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元？
(3)当月利润少于50万元时，为该工厂的资金紧张期，问该工厂资金紧张期共有几个月？
3．（2022·江苏·滨海县教师发展中心二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自
动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加
热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，
饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当 时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？4．（2022·浙江·宁波市曙光中学二模）如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度 （微
克/毫升）与用药的时间 （小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段 和部分双曲线
组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图
象由线段 和部分曲线 组成，其中 与 平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时
有疗效．
(1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度；
(2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗?
(3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时
可进行第三次服药?
5．（2022·河南省直辖县级单位·一模）近两年，人们与新冠病毒进行着长期的抗争．每周末，学校都要对
教室采进行消杀．已知消杀时，教室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （分钟）成正比例；
消杀后， 与 成反比例（如图所示）．现测得消杀8分钟结束时，教室内空气中每立方米的含药量为6
毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题．(1)消杀时 关于 的函数关系式为________，自变量 的取值范围是________；消杀后 与 的函数关系式
为________；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中
的病菌，那么此次消杀是否有效？为什么?
6．（2022·江苏南通·九年级期末）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万
支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列
问题：
(1)该企业4月份的生产数量为多少万支？
(2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？
考点四 实际问题与反比例函数例题：（2022·全国·九年级单元测试）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，
当温度不变时，注射器里的气体的压强 是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个函数的表达式；
(2)当气体体积为 时，求气体压强的值；
(3)若注射器内气体的压强不能超过 ，则其体积V要控制在什么范围?
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·八年级期末）越野滑雪起源于北欧，又称北欧滑雪，是世界运动史上最古老的运动项
目之一．在北京冬奥会男子30km越野滑雪比赛中，某运动员的滑行速度 （单位：km/h）与滑行时间
（单位：h）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏·建新中学九年级阶段练习）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到
乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次
用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系
如图所示（当 时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________
小时4．（2022·江苏南京·八年级期末）在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单
位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于
1cm2时，面条总长度大于______cm．
5．（2022·湖南·九年级单元测试）如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面
积为12m2的矩形园子．
（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 _____（不写自变量取值范围）；
（2）当y≥4m时，x的取值范围为 _____；
（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 _____m．
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图为某人对地面的压强p（单位： ）与这个人和地面接触面积S
（单位： ）的函数关系图像．(1)通过图像确定函数解析式和这个人的体重．
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为 ，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
(3)如果某一沼泽地面能承受的最大压强为 ，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下
陷（木板的质量忽略不计）？
7．（2022·江苏泰州·八年级期末）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强
P（Pa）与气球体积V（ ）之间成反比例关系，其图像如图所示．
(1)求P与V之间的函数关系式；
(2)当 时，求P的值；
(3)当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
8．（2022·甘肃天水·八年级期末）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方
米，某运输公司承担了运送土石方的任务．设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．
(1)求y关于t的函数表达式；
(2)当y=1000时，求t的值；
(3)若工期要求在100天内完成，公司每天至少要运送多少立方米土石方?
9．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记
录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强P（Pa） 400 500 800 1000 1250
受力面积S（ ） 0.5 0.4 a 0.2 0.16
(1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式及a的值．
(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平
玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
10．（2022·河北唐山·九年级期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y
（天）与每天完成工程量x米的函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分．(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项
任务？
(3)工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调
配几台挖掘机？
