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专题 17 反比例函数的应用
考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断 考点二 一次函数与反比例函数的交点问题
考点三 一次函数与反比例函数的实际应用 考点四 实际问题与反比例函数
考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断
例题：（2022·江苏无锡·八年级期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y （kb≠0），下列能同时正
确描述这两种函数大致图像的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象确定k和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可．
【详解】解：A选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＜0，
∴kb＜0，
∴反比例函数经过二、四象限，
故A选项不符合题意；
B选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＞0，
∴kb＞0，
∴反比例函数经过一、三象限，
故B选项不符合题意；
C选项中，一次函数b=0，
∵kb≠0，
故C选项不符合题意；
D选项中根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，
∴反比例函数经过二、四象限，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏盐城·八年级期末）在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据k的取值范围，分别讨论 和 时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点
进行选择正确答案．
【详解】解：①当 时，一次函数 经过一、三、四象限，反比例函数的 （k≠0）的图象经
过一、三象限，故B选项的图象符合要求，
②当 时，一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数的 （k≠0）的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．
一次函数 ：
①当 ， 时，一次函数 经过一、二、三象限；
②当 ， 时，一次函数 经过一、三、四象限；
③当 ， 时，一次函数 经过一、二、四象限；
④当 ， 时，一次函数 经过二、三、四象限；反比例函数的 （k≠0），
①当 时，反比例函数的 （k≠0）的图象经过一、三象限；
②当 时，反比例函数的 （k≠0）的图象经过二、四象限．
2．（2022·重庆黔江·八年级期末）一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】当 时， ，则一次函数 经过一、三、四象限，反比例函数 经过一
、三象限，故排除C，D选项；
当 时， ，则一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数 经过二、四象限，
故排除B选项，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决
本题的关键．
3．（2022·四川宜宾·八年级期中）函数 和函数 在同一坐标系内的图像大致是( )
A． B． C． D．【答案】A
【分析】将一次函数化简为 ，得出x轴的交点为 ，据此排除C、D，考虑 时及 时，
判断两个函数经过的象限即可得出结果．
【详解】解： ，
函数 与x轴的交点为 ，故C、D不合题意；
函数 ，且 为常数 中 时，
反比例函数图像在一、三象限，此时 的图像在第一、三、四象限，故A符合题意，B不符合题意；
当函数 ，且 为常数 中 时，反比例函数图像在二、四象限，此时 的图像在第一、
二、四象限，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的图像，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像是解题关键．
4．（2021·甘肃·金昌市第五中学九年级阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y＝－ 与y＝ax＋1（a≠0）
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题可先由反比例函数 图象得到字母a的正负，再与一次函数y＝ax+1的图象相比较看是
否一致即可解决问题．【详解】解：A、由函数 的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．
B、由函数 的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项B
正确．
C、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．
D、由函数 的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，灵活应用反比例函数及一次函数的性质是
解题的关键．
5．（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx－k与 (k≠0)的大致
图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次
函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案．
【详解】解：①当k＞0时，一次函数 图象过一、三、四象限；反比例函数y＝ 图象过一、三象
限；
②当k＜0时，一次函数 图象过一、二、四象限；反比例函数y＝ 图象过二、四象限，
A．由反比例函数知k>0，一次函数 图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、
四象限，故该选项不正确；
B．由反比例函数知k<0，一次函数 图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、
四象限，故该选项不正确；C．由反比例函数知k 0，一次函数 图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、
三象限，故该选项不正确；
D．由反比例函数知k<0，一次函数 图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、
四象限，故该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键．
6．（2022·河南驻马店·八年级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与y＝ （k≠0）的图像大
致是（ ）
A．. B．. C． D．.
【答案】A
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特
点进行选择正确答案．
【详解】解：①当k＞0时，
一次函数y＝﹣kx+k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝ （k≠0）的图象经过一、三象限，
故A选项的图象符合要求，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y＝ （k≠0）的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个
函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．7．（2022·重庆一中八年级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反
比例函数 的图象大致可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出a，b的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出
a，b的符号，至此找出一次函数和反比例函数a，b的符号一致的选项即可．
【详解】解：A.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题
意；
B.由一次函数图象知a，b同号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项错误，不符合题意；
C.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项正确，符合题意；
D.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于确定出a，b的符号，明确
系数与函数图象的关系．
8．（2022·山东青岛·九年级期末）反比例函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能
是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象
限．
【详解】解：由反比例函数y= 与一次函数y=kx-3可知，
当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限，
当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质
是解题的关键．
考点二 一次函数与反比例函数的交点问题
例题：（2021·广西·北海市外国语实验学校九年级阶段练习）如图，已知直线y＝x+3与x轴、y轴分别交
1
于A，B两点，与反比例函数 （k≠0，x＜0）交于C，D两点，且C点的坐标为（﹣1，2）．
(1)求出反比例函数的表达式；
(2)求出点D的坐标；
(3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y＞y．
1 2
【答案】(1)y＝﹣
2(2)D（﹣2，1）
(3)当﹣2＜x＜﹣1时，y＞y
1 2
【分析】（1）根据待定系数法即求得；
（2）解析式联立，解方程组即可求得D点的坐标；
（3）根据函数图像的位置关系，即可求得．
（1）
∵点C（-1，2）在反比例函数y＝ （k≠0，x＜0）上，
2
∴k=-1×2=-2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ；
2
（2）
解 得 或
∴D（-2，1）
（3）
由图象可知：当﹣2＜x＜﹣1时，y＞y．
1 2
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·海南·儋州川绵中学八年级期中）如图，直线一次函数y= x+2与双曲线反比例函数相交于点A
（m,3），与x轴交于点C，求反比例函数解析式．
【答案】
【分析】设反比例函数的解析式为 ，根据点A(m,3)是一次函数 与反比例函数 交点，即可求出点A(2,3)，再将其代入 即可求解．
【详解】设反比例函数的解析式为 ，
∵点A(m,3)是一次函数 与反比例函数 交点，
∴将点A(m,3)代入 中，有 ，
解得 ，
∴点A坐标为(2,3)，
∴将点A(2,3)代入 中，有 ，
则有 ，
即反比例函数的解析式为 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及求解反比例函数解析式的问题，求出A点坐标
是解答本题的关键．
2．（2022·浙江·宁波外国语学校八年级期中）如图，直线 与双曲线 交于A、
B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标6，点B的坐标为(-3，-2)．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)结合图像直接写出 时 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或【分析】（1）由点B的坐标求出 ，得出双曲线的解析式为 ．求出A的坐标为(1，6)，由点A和
B的坐标以及待定系数法即可求出直线的解析式为 ；
（2）根据求 时 的取值范围，即求 的图像在 的图像下方时 的取值范围，再结合
其交点坐标即可得出答案．
（1）
∵点B(-3，-2)在双曲线 上，
，
双曲线的解析式为 ．
把 代入 得： ，
点的坐标为(1，6)．
直线 经过A、B两点，
，解得 ，
直线的解析式为直线 ；
（2）
∵求 时 的取值范围，即求 的图像在 的图像下方时的 的取值范围，
由图像可知，当 或 时， 的图像在 的图像下方，
∴当 时 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式．熟练掌握待定系数法是
解决问题的关键．
3．（2021·贵州·铜仁学院附属中学九年级阶段练习）如图， 的顶点A是一次函数的图象与反比例函数 的图象在第四象限的交点，AB垂直x轴于B，且 ．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求出它们的交点A、C的坐标和 AOC的面积．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为
(2)A(1，-3)，C(-3，1)，
【分析】（1）由反比例函数k的几何意义即可求出k的值，从而即可得出这两个函数的解析式；
（2）联立反比例函数和一次函数解析式，再根据点A和点C所在的象限，即可求出其坐标．设直线AC与
y轴交于点D，根据一次函数解析式可求出点D坐标，再根据 求解即可．
（1）
∵点A在反比例函数图象上， 轴，且 ，
∴ ，
解得： ．
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ；
（2）
联立 ，解得： ， ．
∵点A在第四象限，点C在第二象限，
∴A(1，-3)，C(-3，1)．
如图，设直线AC与y轴交于点D，
对于 ，令 ，得： ，
∴D(0，-2)，
∴OD=2．
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合．考查反比例函数k的几何意义，反比例函数图象与一次函
数图象的交点坐标等知识．利用反比例函数k的几何意义求出两个函数的表达式是解题关键．
4．（2022·四川·测试·编辑教研五九年级阶段练习）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图
象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知A（3，1），点B的坐标为（m，-2）．(1)直接写出反比例函数的解析式；
(2)求一次函数的解析式；
(3)在y轴上是否存在一点P，使得 PDC与 CDO相似？若存在求P点的坐标，若不存在说明理由．
△ △
【答案】(1)反比例解析式为y=
(2)一次函数解析式为y= x-1
(3)存在，P的坐标为（0，0）或（0， ）．
【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）把B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，由A与B坐标，利用待定系数法确定出直
线AB解析式即可；
（3）在y轴上，存在一点P，使得 PDC与 CDO相似，理由为：过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，如图
所示，根据直线AB解析式确定出C△与D坐标△，得到OC，OD，DC的长，由三角形PDC与三角形CDO相
似，得比例求出PD的长，由DP-OD求出OP的长，即可确定出P坐标．
（1）
解：把A（1，3）代入反比例解析式得：3= ，即k=3，
则反比例解析式为y= ；
（2）
解：∵B（m，-2）在反比例函数y= 上，
∴-2= ，即m=- ，即B（- ，-2），
把A与B坐标代入一次函数解析式得： ，
解得： ，
则一次函数解析式为y= x-1；
（3）解：若P与O重合，显然成立；
若P与O不重合，在y轴上存在一点P，使得 PDC与 CDO相似，理由为：过点C作CP⊥AB，交y轴于
点P，如图所示， △ △
∵C、D两点在直线y= x-1上，
∴C、D的坐标分别为C（ ，0），D（0，-1），
∴OC= ，OD=1，DC= ，
∵△PDC∽△CDO，
∴ = ，即 = ，
解得：PD= ，
∴OP=DP-OD= -1= ，
则点P的坐标为（0， ）．
综上所示，P的坐标为（0，0）或（0， ）．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式与一次函数解析式，
相似三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
5．（2021·吉林·白城市第三中学九年级阶段练习）如图，反比例函数 的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点 ，点 ；
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)4
(3) 或
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得一次函数和反比例函数的表达式；
（2）先根源一次函数的解析式求出点 的坐标，再根据 的面积等于 的面积与 的面
积之和即可得；
（3）根据点 的坐标，利用函数图象法即可得．
（1）
解：将点 代入一次函数 得： ，解得 ，
则一次函数的表达式为 ，
将点 代入反比例函数 得： ，
则反比例函数的表达式为 ．
（2）
解：对于一次函数 ，
当 时， ，解得 ，即 ，当 时， ，即 ，
则 的面积为 ．
（3）
解： ，
当反比例函数值大于一次函数值时，自变量 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和函数图
象法是解题关键．
6．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象
分别交 轴、y轴于A、B两点，与反比例函数 的图象交于C、D两点， 轴于点E，已知C点
的坐标是（8，-2）， ．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求∆ABO的面积；
(3)根据图象直接回答：当 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
【答案】(1)反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 ；
(2)4；
(3) 或 ．
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点 的坐标，再利用待定系数法求出一次
函数表达式即可求解；
（2）利用 ，求出 ，则 ，求出 ，则 ，根据 即可
求解；（3）观察函数图象即可求解．
（1）
解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的关系式为 ，
点 在反比例函数 上，且 ，
，代入求得： ，
点 的坐标为 ．
、 两点在直线 上，则 ，解得 ，
一次函数的关系式为 ；
（2）
解：把 代入 ，解得 ，
即 ，则 ，
当 代入 ，解得 ，
即 ，则 ，
；
（3）
解：由图象可知：当 或 时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图像和性
质，体现了方程思想，同时利用数形结合的思想求解，综合性较强．
7．（2021·江苏·宿迁市钟吾国际第一初级中学八年级期中）如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝ （x＜
0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是x轴上的一个动点．
①若点M在线段OC上，且 AMB的面积为8，求点M的坐标；
②点N是平面直角坐标系中△的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的
坐标，
【答案】(1)反比例函数的关系式为：y=- ；
(2)C（-8，0）；
(3)①M（-4，0）；②点N的坐标为：（2 ，4）或（ ，4）或（-8，8）．
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数y= 中，可得k的值，写出反比例函数的关系式；
（2）先利用待定系数法求一次函数的解析式，再令y=0，可得点C的坐标；
（3）①设M（x，0），根据面积差列式： =8，可得x的值，则M（-4，0）；
②以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，分AB为边和对角线两种情况讨论，根据勾股定理和菱
形的性质可计算点N的坐标．
（1）
解：∵点A的坐标为（-2，6），
∴k=-2×6=-12，
∴反比例函数的关系式为：y=- ；
（2）
解：当x=-6时，y=- =2，
∴B（-6，2），把点A（-2，6）和B（-6，2）代入y=ax+b得： ，
解得： ，
∴y=x+8，
当y=0时，x+8=0，
x=-8，
∴C（-8，0）；
（3）
解：①设M（x，0），
∵D（0，8），
∴OD=8，
∵ =8，
∴ =8，
∴ ×8×6- •(x+8)×2- ×6(-x) =8，
x=-4，
∴M（-4，0）；
②如图2，过A作AE y轴，过B作BE x轴，∵A（-2，6），B（-6，2），
∴AE=BE=4，
∴AB=4 ，
过B作BF⊥x轴于F，如图2，则BF=2，
分两种情况：
①以AB为边，当M在F的右侧时，
∵FM= =2 ，
∴OM=2 -6，
∴点M（2 -6，0），
根据“点B向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点A”的平移规律，可得N的坐标为（2 -6+4，
0+4），
∴N（2 ，4）；
当M在F的左侧时，同理求得FM=2 ，
∴OM=-2 -6，
∴点M（-2 -6，0），
同理由平移的性质得N（ ，4）；
②以AB为对角线时，如图3，此时因为A、B对称，所以M与O重合，
∵AB的解析式为：y=x+8，
∴OD=OC=8，C（-8，0），D（0，8），
∴△OHD是等腰直角三角形，
∵四边形ANBM是菱形，
∴AB⊥MN，
∴点G是CD的中点，也是MN的中点，
∴点G（-4，4），
∴点N（-8，8）；综上所述，点N的坐标为：（2 ，4）或（ ，4）或（-8，8）．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了
三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式，并注意运用分类讨论的思想解决问题．
考点三 一次函数与反比例函数的实际应用
例题：（2022·全国·九年级单元测试）当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，
把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，
上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分
散．学生注意力指标 随时间 （分钟）变化的函数图象如图所示，当 和 时，图象是
线段，当 时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点 对应的指标值．
(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间
段．
【答案】(1)点 对应的指标值为20，
(2)注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间，
【分析】（1）用待定系数法，设反比例函数为 ，将点 代入 可得反比例函数解析式，
再将 代入可解；
（2） 用待定系数法求出AB段的直线方程，再分类讨论可解．
（1）
解：设反比例函数为 ，由图可知点 在 的图象上，
∴ ，∴
将 代入得：点 对应的指标值为
（2）
（2）设直线 的解析式为 ，将 、 代入 中，
得 ，解得
∴直线 的解析式为
①当 时，
解得： ，
②当 时，45>30,显然注意力指标高于30，
③当 时， ，
解得： ，
综上所述：
∴注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间．
【点睛】本题考查，待定系数法，分段函数，反比例函数与一次函数综合，审清题意求出函数解析式和分
类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，如图，药物燃
烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此
时教室内每立方米空气含药量为8毫克，燃尽后y与x成反比例．(1)求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量；
(2)画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图象；
(3)当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生
不能停留在教室里？
【答案】(1)第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量是4毫克
(2)见解析
(3)从第2分钟至第50分钟学生不能停留在教室里
【分析】（1）首先根据题意，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y与燃烧时间x成正比例，再
将x=5代入计算可求解；
（2）燃烧后，y与x成反比例；且其图象都过点（10，8），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的
关系式，再画出图象可其求解；
（3）根据题意求解y＞1.6时的x的取值范围可得答案．
（1）
解：设药物燃烧阶段函数解析式为y=kx（k≠0），由题意得：8=10k，
1 1 1
∴ ，
∴此阶段函数解析式为 ，
当x=5时，y=4，
故第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量为4毫克．
（2）
解：设药物燃烧结束后函数解析式为 ，由题意得： ，
∴k=80，
2∴此阶段函数解析式 ，
其图象如下：
（3）
解：当y＞1.6时，得 ，
解得x＞2，
当y＞1.6时，得 ，
∵x＞0，
∴1.6x＜80，
解得x＜50．
即从消毒开始2分钟到50分钟之间时学生不能停留在教室里．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象与性质，反比例函数的运用，解题的关键是确定两个变量
之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）为适应日益激烈的市场竞争要求，某工厂从2021年1月且开始限产，并
对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例；到5月底开始恢复全面生产后，
工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图像
如图所示，试解决下列问题：(1)分别求该工厂对生产线进行升级改造前后，y与x之间的函数关系式；
(2)到第几个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元？
(3)当月利润少于50万元时，为该工厂的资金紧张期，问该工厂资金紧张期共有几个月？
【答案】(1)y＝10x－30
(2)到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元
(3)该工厂资金紧张期共有5个月
【分析】（1）根据题意列方程即可得到函数解析式；
（2）把 代入 即可得到结论；
（3）对于 ， 时，得到 ，得到 时， ，对于 ，当 时，得到
，于是得到结论．
（1）
解：由题意得，设前5个月中y与x的函数关系式为 ，
把x＝1，y＝100代入得，k＝100，
∴y与x之间的函数关系式为
把x＝5代入得 ，
由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y＝10x＋b，
把x＝5，y＝20代入得，20＝10×5＋b，
∴b＝－30，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x－30；
（2）
解：由题意得，把y＝100代入y＝10x－30得100＝10x－30，解得：x＝13，
∴到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元；
（3）
解：对于 ，y＝50时，x＝2，
∵k＝100＞0，y随x的增大而减小，
∴x>2时，y＜50，
对于y＝10x－30，当y＝50时，x＝8，∵k＝10＞0，y随x的增大而增大，
∴x＜8时，y＜50，
∴2＜x＜8时，月利润少于50万元，
∴该工厂资金紧张期共有5个月．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2022·江苏·滨海县教师发展中心二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自
动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加
热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，
饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当 时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式，再将 代入解析式，即可得 的值；
（3）由题可知，饮水机的水温呈周期性变化，利用周期进行计算．
（1）
解：当 时，设 ．
将点 ， 代入上式，
得 ，解得 ．（2）
解：当 时，设 ，
将点 代入上式，
得 ，解得 ，
，
将点 代入 ，
得 ，解得 ．
（3）
解：由题可知，开机 分钟与开机 分钟时饮水机的水温相等，
当 时， ．
小丽散步 分钟回到家时，饮水机内的温度约为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求反比例函数解析式，根据自变量求函数值，解决本
题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．
4．（2022·浙江·宁波市曙光中学二模）如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度 （微
克/毫升）与用药的时间 （小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段 和部分双曲线
组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图
象由线段 和部分曲线 组成，其中 与 平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时
有疗效．(1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度；
(2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗?
(3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时
可进行第三次服药?
【答案】(1)第16小时的血液浓度为3微克/毫升，第22小时的血液浓度为11微克/毫升
(2)不超过6小时
(3)48小时
【分析】（1）先求双曲线 的函数解析式 ，可得第16小时的血液浓度，再求直线 的解析式，
得 ，再求直线 的函数解析式，即可得第22小时的血液浓度；
（2）将 代入直线 的解析式 和双曲线 的解析式 ，即可得答案；
（3）曲线 的函数解析式为 ，将 代入，即可得答案．
（1）
解：把点 代入双曲线 的解析式 得， ，
双曲线 的函数解析式 ，
当 时， ，即第16小时的血液浓度为3微克/毫升，
设直线 的解析式为 ，把点 代入 得， ，∵OA与BC平行，
∴直线 、OB的解析式中的k一样，
设直线 的解析式为 ，把点 代入得 ，
直线 的函数解析式 ，
当 时， ，即第22小时的血液浓度为11微克/毫升；
（2）
当 时，若 ，则 ，解得 ，
当 时，若 ，则 ，解得 ，
．
这16小时内药物有疗效的持续时间不超过6小时；
（3）
把点 代入 得， ．
曲线 的函数解析式为 ，当 时， ， ．
∴受试者第二次服药后至少过48小时，才能进行第三次服药．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的应用，解题的关键是正确的求出函数的解析式．
5．（2022·河南省直辖县级单位·一模）近两年，人们与新冠病毒进行着长期的抗争．每周末，学校都要对
教室采进行消杀．已知消杀时，教室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （分钟）成正比例；
消杀后， 与 成反比例（如图所示）．现测得消杀8分钟结束时，教室内空气中每立方米的含药量为6
毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题．(1)消杀时 关于 的函数关系式为________，自变量 的取值范围是________；消杀后 与 的函数关系式
为________；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中
的病菌，那么此次消杀是否有效？为什么?
【答案】(1) ， ；
(2)有效，理由见解析
【分析】（1）消杀时，设y=kx(k≠0)，把点(8，6)代入即可，从图上即可得此时自变量x的取值范围；消杀
后，设 ，把点(8，6)代入即可；
（2）把y=3分别代入正比例函数与反比例函数中，可求得对应的自变量x的值，即可得到起始与结束时间，
从而可作出判断．
（1）
∵消杀时， 与时间 成正比例
∴设y=kx(k≠0)
把点(8，6)代入得：8k=6
解得：
∴
由图知此时自变量x的取值范围为
∵消杀后 与 成反比例
∴设
把点(8，6)代入反比例函数解析式中，得
∴m=48
∴
故答案为： ， ；
（2）当y=3时， ，则x=4；当y=3时， ，则x=16
即消杀3分钟后开始有效，16分钟后失效
所以持续时间为：16-4=12（分钟）>10分钟
所以此次消杀有效
【点睛】本题是反比例函数的应用，考查了待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，求自变量的值，
关键是确定函数关系式．
6．（2022·江苏南通·九年级期末）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万
支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列
问题：
(1)该企业4月份的生产数量为多少万支？
(2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？
【答案】(1)45万支
(2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代
入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，
求解即可，注意x为正整数．
（1）
解：当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝ ，
∵点（1，180）在该函数图象上，
∴180＝ ，得k＝180，∴y＝ ，
当x＝4时，y＝ ＝45，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）
解：设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，
∴ ，
解得 ，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，
，
解得2≤x≤7
∵x为正整数，
∴x＝2，3，4，5，6，7，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，求出一次函数和反比
例函数解析式是解答本题的关键．
考点四 实际问题与反比例函数
例题：（2022·全国·九年级单元测试）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，
当温度不变时，注射器里的气体的压强 是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个函数的表达式；
(2)当气体体积为 时，求气体压强的值；
(3)若注射器内气体的压强不能超过 ，则其体积V要控制在什么范围?
【答案】(1)
(2)气体压强为
(3)体积V应不少于
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）把 代入反比例函数解析式求解即可；
（3）把 代入反比例函数解析式求解即可．
（1）
解：设 ，
由图可得，反比例函数图象过 ，
，
解得 ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）
当 时，
，
∴气体压强为 ；（3）
当 时，
，
解得 ，
∴体积V应不少于 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·八年级期末）越野滑雪起源于北欧，又称北欧滑雪，是世界运动史上最古老的运动项
目之一．在北京冬奥会男子30km越野滑雪比赛中，某运动员的滑行速度 （单位：km/h）与滑行时间
（单位：h）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据速度乘以时间等于定值30即可求解．
【详解】解：在北京冬奥会男子30km越野滑雪比赛中，某运动员的滑行速度 （单位：km/h）与滑行时间
（单位：h）之间的函数关系式是 ，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．
2．（2020·江苏·建新中学九年级阶段练习）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到
乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：v•t＝s，
∴ ，故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像在第一象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后
利用实际意义确定其所在的象限．
3．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次
用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系
如图所示（当 时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________
小时
【答案】
【分析】分别求出当 和 时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求
出持续时间即可．
【详解】解：当 时，函数为正比例函数，设： ，
∵函数经过点 ，
∴ ，即 ，
∴当 时， ，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即 时，
∴ ，
当 时，函数为正比例函数，设： ，
∵函数经过点 ，
∴ ，即 ，∴当 时， ，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即 时，
∴ ，
∴根据图象可以判断出：当 时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是
解答本题的关键．
4．（2022·江苏南京·八年级期末）在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单
位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于
1cm2时，面条总长度大于______cm．
【答案】128
【分析】设反比例函数解析式为y＝ ，利用待定系数法求出k；根据x＜1得到关于y的不等式，求出y
的取值范围即可．
【详解】解：由题意可以设y＝ ，
把（4，32）代入得：k＝128，
∴y＝ （x＞0）．
∴x＝ ，
∵x＜1，∴ ＜1，
∴y＞128，
∴面条总长度大于128cm．
故答案为：128．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，属于基础题目，根据图象找出函数图象
经过的点的坐标是解题的关键．
5．（2022·湖南·九年级单元测试）如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面
积为12m2的矩形园子．
（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 _____（不写自变量取值范围）；
（2）当y≥4m时，x的取值范围为 _____；
（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 _____m．
【答案】 y 1.2≤x≤3 1.6
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出xy＝12，进而可得出y ；
（2）代入4≤y≤10，可求出1.2≤x≤3，即x的取值范围为1.2≤x≤3；
（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度．
【详解】解：（1）依题意得：xy＝12，
∴y ．
故答案为：y ．
（2）∵y ，k＝12，
当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵4≤y≤10，
即4 10，∴1.2≤x≤3．
∴x的取值范围为1.2≤x≤3．
故答案为：1.2≤x≤3．
（3）当x＝7.5时，y 1.6；
当y＝7.5时， 7.5，
解得：x＝1.6．
∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m．
故答案为：1.6．
【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐
标特征，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）利用反比例函
数的性质，找出x的取值范围；（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出另一条边的长度．
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图为某人对地面的压强p（单位： ）与这个人和地面接触面积S
（单位： ）的函数关系图像．
(1)通过图像确定函数解析式和这个人的体重．
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为 ，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
(3)如果某一沼泽地面能承受的最大压强为 ，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下
陷（木板的质量忽略不计）？
【答案】(1)函数解析式为 ，这个人的体重600N
(2)人双脚站立时对地面的压强为(3)木板面积至少为
【分析】（1）由图示图像求出压强与对应的面积，由压强公式求出压力，然后可以求出人的重力即可；
（2）由压强公式可以求出压强即可；
（3）由压强公式的变形公式可以求出木板的面积即可．
（1）
解：由图示图像可知函数解析式为： ，
∵p=60Pa时，S=10
∴由 ，人的体重G=pS=60Pa×10 =600N．
答：函数解析式为 ，这个人的体重600N．
（2）
解：人双脚站立时对地面的压强为： ．
答：人双脚站立时对地面的压强为 ．
（3）
解：由 可知，木板面积至少为： ．
答：木板面积至少为 ．
【点睛】本题主要考查了函数图像、函数解析式等知识点，灵活应用压强公式即可正确解题，解题时要注
意由图像求出压强与受力面积的关系．
7．（2022·江苏泰州·八年级期末）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强
P（Pa）与气球体积V（ ）之间成反比例关系，其图像如图所示．(1)求P与V之间的函数关系式；
(2)当 时，求P的值；
(3)当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？
【答案】(1)P=
(2) 千帕
(3)不少于 m3
【分析】（1）设出反比例函数的解析式，代入点A的坐标，即可解决；
（2）由题意可得V=1.8m3，代入到解析式中即可求解；
（3）为了安全起见，P≤40000kPa，列出关于V的不等式，解不等式，即可解决．
（1）
解：设这个函数解析式为：P= ，
代入点A的坐标（1.5，16000）得， =16000，
∴k=24000，
∴这个函数的解析式为P= ；
（2）
由题可得，V=1.8m3，
∴P= （kPa），
∴气球内气体的压强是 千帕；
（3）
∵气球内气体的压强大于144kPa时，气球将爆炸，
∴为了安全起见，P≤40000kPa，
∴ ≤40000，
∴V≥ m3，∴为了安全起见，气球的体积不少于 m3．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出解析式是解决此题的突破口．
8．（2022·甘肃天水·八年级期末）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方
米，某运输公司承担了运送土石方的任务．设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务
所需时间为t天．
(1)求y关于t的函数表达式；
(2)当y=1000时，求t的值；
(3)若工期要求在100天内完成，公司每天至少要运送多少立方米土石方?
【答案】(1)
(2)1000
(3) 立方米土石方
【分析】（1）根据每天运送的石方量乘以天数可得总量106立方米，由此得到函数表达式；
（2）将y=1000代入计算即可；
（3）计算t=100，再利用反比例函数的性质即可得到答案．
（1）解：由题意得： ，∴y关于t的函数表达式为 ．
（2）当y＝1000时， ．
（3）（3）当t＝100时， ，∵在 中， ，∴y随t的增大而减小，∴公司每天至
少要运送 立方米土石方．
【点睛】此题考查了反比例函数与实际问题，求反比例函数的解析式，利用自变量求函数值，已知函数值
求自变量，正确掌握反比例函数的知识是解题的关键．
9．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记
录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：桌面所受压强P（Pa） 400 500 800 1000 1250
受力面积S（ ） 0.5 0.4 a 0.2 0.16
(1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式及a的值．
(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平
玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】(1) ，0.25
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后
用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
（1）
解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式为 ，
把（400，0.5）代入得： ，
解得：k=200，
∴压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式为 ，
当P=800时， ，
∴a=0.25；
（2）
解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02（ ），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为 ，∵10000>2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
10．（2022·河北唐山·九年级期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y
（天）与每天完成工程量x米的函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项
任务？
(3)工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调
配几台挖掘机？
【答案】(1)
(2)该工程队需要20天才能完成此项任务
(3)最少还需调配4台挖掘机
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）将x＝60代入 ，求解即可；
（3）先求出5天后还剩余的工作量，用这个剩余的工作量除以时间5天，得到每天应完成的工作量，再减
去已有的两台挖机一天完成的要作量，得到还应凋入挖机一天要完成的工作量，用这个一天要完成的工作
量除以每台完成任务的工作量，即可求得要调配的挖机数．
（1）解：设y= ，由图可知，点(24，50)在图像上，把(24，50)代入y= ，得50= ，解得：k=1200，∴；
（2）解：∵该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，∴该工程队每天完成60米，将
x＝60代入 ，得y= ＝20(天),∴该工程队需要20天才能完成此项任务；
（3）解：5天后还剩1200－60×5＝900(米)900÷5－60＝120(米)120÷30＝4（台）∴最少还需调配4台挖掘
机．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，求出反比例函数解析式是解题的
关键．
