专题17二元一次方程组（解析版）-重难点突破2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 17 二元一次方程组 目录 题型一 二元一次方程组的概念 题型二 二元一次方程组的解 题型三 二元一次方程的整数解问题 题型四 解二元一次方程组 题型五 二元一次方程组相同解问题 题型六 含参二元一次方程的应用 题型七 解三元一次方程组题型一 二元一次方程组的概念 1．已知 是关于 、 的二元一次方程，则 的值为 A．2 B． C． D．无法确定 【解答】解：依题意得： ， 解得 ． 故选： ． 2．若 是关于 ， 的二元一次方程，则 的值是 1 ． 【解答】解：根据二元一次方程的定义，方程中只含有2个未知数且未知数的次数为1，得 ， 解得 ． 3．如果 是二元一次方程，那么 ． 【解答】解：由题意，得 ， 解得 ， ， 故答案为： ． 4．如果 是二元一次方程，则 2 ． 【解答】解： 是二元一次方程，， ① ②得： ， 故答案为：2． 题型二 二元一次方程组的解 5．若 是方程 的解，则 ． 【解答】解：把 代入方程 ，可得： ， ， ， 故答案为： ． 6．已知关于 ， 的二元一次方程 ， 为常数且 （1）该方程的解有 无数 组； 若 ， ，且 ， 为非负整数，请直接写出该方程的解； （2）若 和 是该方程的两组解，且 ①若 ，求 的值； ②若 ， ，且 ，请比较 和 大小，并说明理由． 【解答】解：（1）该方程的解有 无数 组； 分别为0，1，2，3； 分别为6，4，2，0； （2）① ； ② ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 又 ， ， ， ． 7．已知 是二元一次方程 的解，则 1 ． 【解答】解： 是 的解， 将 ， 代入方程 可得 ， 解得 ． 故答案为：1． 8．已知 ， 都是关于 ， 的二元一次方程 的解，且 ，求 的值． 【解答】解： ， 都是关于 ， 的二元一次方程 的解， ① ②，得 ， 整理，得即 ， ． 9．已知二元一次方程 的一个解是 ，其中， ，则 4 ． 【解答】解：将 ， 代入方程 ，得 ， 故 ． 故答案为：4． 题型三 二元一次方程的整数解问题 10．二元一次方程 的非负整数解共有 对． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： ， ， 、 都是非负整数， 时， ； 时， ； 时， ； 时， ．二元一次方程 的非负整数解共有4对． 故选： ． 11．求方程 的所有正整数解． 【解答】解：用方程 ① 的最小系数7除方程①的各项，并移项得 ② 因为 ， 是整数，故 也是整数，于是 ．则 ③， 令 ，则 ．④ 由观察知 ， 是方程④的一组解．将 ， 代入③得 ． ， 代入②得 ．于是方程①有一组解 ， ， 所以它的一切解为 ， 由于要求方程的正整数解，所以 ， 解不等式得 只能取0，1，因此得原方程的正整数解为： 和 ． 12． 是方程 的一组解，则 的值是 ． 【解答】解：由题意，得 ，解得 ， 故答案为： ． 13．方程 的正整数解是 ． 【解答】解：方程整理得： ， 当 时， ， 则方程的正整数解为 ， 故答案为： 14．如果 ， 取0，1，2， 中的数，且 ，则 的值可以有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由题意，得 ． 和 的值取0到9的正整数， ，且是3的倍数． 根据以上条件可假设当 时， ， 当 时， ， 的值就是11到29之间的所有3的倍数，即是12，15，18，21，24，27， 再解这个方程取整数值． 得 的整数值只能是 ，5，8，相应的 值为 ，7，9． 把 分别代入 ，则有52，75，98三个值．故选： ． 15．方程 的正整数解为 ， 或 ． 【解答】解：由已知方程 ，移项得 ， ， 都是正整数，则有 ，又 ， ，又 为正整数，根据以上条件可知，合适的 值只能是 、2， 代入方程得相应 、1， 方程 的正整数解为 ， ； ， ． 题型四 解二元一次方程组 16．已知 ，则 ， ． 【解答】解：由 ，得 ， 解得 ． 17．已知二元一次方程组 ，则 2 5 ． 【解答】解： ， ① ②得： ， 故答案为：25． 18．解下列方程组：（1） ； （2） ． 【解答】解：（1）原式整理为 ， 化简可得 ， 由① ②得 ， 解得 ， 将 代入②得 ， 解得 ， 原方程组的解为 ． （2） ， 由① ②得 ， ③， 将③代入①得 ， 解得 ， 把 代入③得 ， 解得 ，方程组的解为 ． 19．善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形： ， 即 ，③ 把方程①代入③，得 ． ． 把 代入①，得 ． 原方程组的解为 ． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换法”解方程组： （2）已知 ， 满足方程组 ，求 的值． 【解答】解：（1）由②得： ③， 把①代入③得： ， 解得： ， 把 代入①得： ， 则方程组的解为 ； （2）由①得： ③，由②得： ④， ③ ④ 得： ， 解得： ． 20．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代 入法：如解方程组： 解：把②代入①得， ，解得 ． 把 代入②得， ． 所以方程组的解为 请用同样的方法解方程组： ． 【解答】解：由①得， ③， 把③代入②得， ， 解得： ， 把 代入③得， ， 则方程组的解为 21．阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得 ③，把③代入②，得 ．解得 ． 把 代入③，得 ． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组 ． 【解答】解：由①得： ③， 将③代入②得： ，即 ， 将 代入③得： ， 则方程组的解为 ． 22．琴琴在课外书上看到了如图所示的解方程的方法，请你按照如图所示的方法解下列方程组． （1） （2） ．【解答】解：（1）令 ， ， 原方程组可化为 ， 解得 ， 得 ， 解得 ； （2）令 ， ， 原方程组可化为 ， 解得： ， 得 ，解得 ． 题型五 二元一次方程组相同解问题 23．已知方程组 与方程组 的解相同，则 ， 的值分别为 A． B． C． D． 【解答】解：解方程组 得： ， 方程组 与方程组 的解相同， 把 代入方程组 得： ， 解得： ， 故选： ． 24．已知方程组 和方程组 有相同的解，则 的值是 5 ． 【解答】解：解方程组 ， 得 ， 代入 得， ．25．已知关于 ， 的方程组 和 有相同解，求 值． 【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为 ， 解方程组（1）得 ， 代入（2）得 ， 解得： ． 所以 ． 26．与方程组 的解相同的方程是 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得只有同时满足 和 才符合条件， 故排除 、 、 ． 故选： ． 27．已知方程组 与 有相同的解，则 14 4 ． 【解答】解：因为方程组 与 有相同的解， 所以有 ，解得 ． 将其代入 ， ，得 ， 解得 ． 则 ． 28．已知关于 ， 的方程组 与 同解，求 的值． 【解答】解： 关于 ， 的方程组 与 同解， 解方程组 ，得： ， 把 ， 代入方程组 ，得： ， 解得： ， ． ． 29．已知方程组 和方程组 的解相同，求 、 ． 【解答】解：解方程组 ，得 ， 代入方程组 ，得 ， 解得： ．答： ， ． 题型六 含参二元一次方程的应用 30．甲、乙两名同学在解方程组 时，甲解题时看错了 ，解得 ；乙解题时看错了 ， 解得 ．请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【解答】解：把 代入得： ， 把 代入得： ， 解得： ， ， 原方程组为 ， 解得： ． 31．解关于 ， 的方程组 时，甲正确地解出 ，乙因为把 抄错，误解为 ，求 ， ， 的值． 【解答】解：将 代入 ，得： ， 解得： ， 将 代入 ，得： ， 联立得： ，解得： ， 则 、 、 ． 32．已知关于 ， 的方程组 有整数解，即 ， 都是整数， 是正整数，求 的值． 【解答】解：① ②式，得 ． 是正整数， 为整数 ， ， 解得： ． 33．若方程组 的解互为相反数，则 的值等于 A． B．10 C． D． 【解答】解： 解得 ， 、 互为相反数， ， ， 故选： ． 34．已知关于 ， 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值． 【解答】解： ， ① ②得： ，解得： ， 把 代入①得： ， 解得： ， ， ， 解得： ． 35．二元一次方程组 的解 ， 的值相等，则 2 ． 【解答】解： ， 的值相等， ， 解得， ， 则 ， ， 解得， ， 故答案为：2． 36．解关于 、 的方程组 ，并求当解满足 时的 的值． 【解答】解：根据题意得 ， 消元得 ， 代入③得： ． 37．若方程组 的解满足条件 ，则 的取值范围是 ．【解答】解： ① ②，得 ， 方程租的解满足 ， 解得 ． 故答案为： ． 38．已知关于 ， 的方程组 分别求出当 为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解． 【解答】解：由①得， ，③ 将③代入②得， ，④ （1）当 ，即 且 时，方程④有唯一解 ，将此 值代入③有 因而原方程组有唯一一组解； （2）当 且 时，即 时，方程④无解，因此原方程组无解； （3）当 且 时，即 时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多 组解． 题型七 解三元一次方程组 39．方程组 的解是A． B． C． D． 【解答】解： ， ② ③，得 ④， 由①和④组成一个二元一次方程组： ， 解得： ， 把 代入②，得 ， 解得： ， 所以方程组的解是 ， 故选： ． 40．关于 ， 的二元一次方程组 的解中 和 的值互为相反数，则 ． 【解答】解： 和 的值互为相反数 代入方程 得： 则 ．把 ， 代入第二个方程得： ． 41．解方程组： ．【解答】解： ， ① ②，得 ④， ② ③，得 ⑤， ④ ⑤，得 ， 解得 ， 把 代入④，得 ， 把 ， 代入②，得 ． 所以原方程组的解是 ． 42．已知正整数 ， ， 满足 ， ，则 1 4 ． 【解答】解：由题 ， 由②知： ， ， ， 均为正整数，即 ， ， 且为整数， 为偶数且 ， ， ① ， ，代入①②， ，即 ， ， 故 ， ， ，此时 ； ② 时， 代入①，②， ，即 ， 不满足题意； ③ 时， ， ， 即 ， 此时解出 ，不满足题意， 继续变大时，解出的 更小， 故仅 ， ， 满足， ． 故答案为：14． 43．若 ，那么代数式 3 ． 【解答】解： ， ② ①，得： ， 故答案为：3．44．若 则 的立方根是 3 ． 【解答】解： 由③可得： ④ 把④代入①中得， ⑤ 把④代入②得， ⑥ 联立⑤⑥可得： ， ， 将 ， 代入④得， 的立方根是3， 故答案为：3 45．三元一次方程组 的解是 ． 【解答】解： ， ① ② ③得： ，即 ④， 把①代入④得： ， 把②代入④得： ， 把③代入④得： ，则方程组的解为 ， 故答案为： 46．若关于 、 的二元一次方程组 的解 、 互为相反数，求 的值． 【解答】解：将 代入二元一次方程租 可得关于 ， 的二元一次方程组 ，解得 ．