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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 18 三角形内角和定理
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·南京期末）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿边
AB上的中线CE折叠，使点A落在点 处，则∠ EB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．40°
【答案】C
【完整解答】解：∵△ABC是直角三角形，CE是中线，
∴ ，
由折叠的性质，得
， ，
∴ ，
∵∠A=50°，
∴∠ACE=50°，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：C.
【思路引导】由直角三角形斜边中线的性质得AE=CE=BE，由折叠的性质得AE=AE'，∠AEC=∠A'EC，
即得AE=CE=BE=AE'，由等边对等角可得∠ACE=∠A=50°，利用三角形内角和、折叠的性质及三角形外
角的性质可得 ，∠BEC=100°，根据 =∠BEC-∠A'EC计算即可.
2．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是（ ）A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【完整解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ，
当70°角为底角时，它底角的度数是70°
故答案为：C.
【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的
度数，即可求解.
3．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分
线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
【思路引导】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，
∠FAC=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计算可求解.
4．（2分）（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【完整解答】解：根据题意得：最大角 ，
当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且 ，
∴最大角a的取值范围是 .
故答案为：D.
【思路引导】根据三角形的内角和定理可得α<180°，当三角形为等边三角形时，α=60°，据此可得α的范
围.
5．（2分）（2020八上·东海期末）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在
BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣ m° B．180°﹣2m°
C．30°+ m° D． m°
【答案】D
【完整解答】解：∵AD垂直平分BE，∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝ （180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝ [180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝ [180°﹣
（180°﹣m°）]＝ m°，
故答案为：D.
【思路引导】由AD垂直平分BE可得AB＝AE，从而得出AB＝AE=AC，利用等边对等角可得∠ABE＝
∠AEB，∠AEC＝∠ACE，即得∠BEC＝∠BEA+∠ACE，由三角形内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣
m°，由∠BEC＝ （180°﹣∠ABC﹣∠ACB）即可求解.
6．（2分）（2021八上·日照期中）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是
△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD②∠P＝ ③BC＝CD④
⑤PD//AC，其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【完整解答】解：∵∠BCA+∠BCF=180°，CP平分∠ACB，CD平分∠FCB，
∴∠PCB= ，∠DCB= ，
∴∠PCD=∠PCB+∠DCB = + ，
∴CP⊥CD；
故①符合题意；
延长CB到G，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠DBC，
∵∠EBD=∠PBA，∠CBD=∠PBG，
∴∠PBA =∠PBG，
∴∠ABG=2∠GBP，
∵∠ABG=∠A+∠ACB，即2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，
∴∠PBG= ∠A+∠PCB，
∴∠P= ∠A，
故②符合题意；∵CD平分∠BCF，
∴∠BCD= ，
∠DBC= ，
∴∠BCD+∠CBD= + ，
= ，
= ，
= ，
∴∠D=180°-（∠BCD+∠CBD）=180°- ，
故④符合题意；
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵2∠DBC=∠EBC=∠A+∠ACB=2∠A，
∴∠DBC=∠A，∴∠D=90° ，
∴2∠D+∠DBC=180°，
当∠A=60°时，∠D=∠DBC=60°，
∴BC=CD，
故③不符合题意，
∵∠DBC=∠A=∠ACB，
∴PD∥AC，
故⑤符合题意；
故正确的结论有4个．
故答案为：D．
【思路引导】根据角平分线的定义得出∠PCB= ，∠DCB= ，根据垂直的定义得出
CP⊥CD，故①符合题意；延长CB到G，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出∠P= ∠A，故
②符合题意；根据平行线的判定定理得出AB//CD，推出 △ ABC是等边三角形，得出
∠DBC=∠A=∠ACB，故③不符合题意，根据角平分线的定义得出∠EBD=∠DBC，求出∠D=
，故④符合题意；根据三角形外角的性质得出∠BAC=∠ACB，∠DBC=∠A，故⑤符合题意。
7．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB
的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重
合时，则∠OEC的度数（ ）A．90° B．92° C．95° D．98°
【答案】B
【完整解答】解：连接BO，CO，
∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.
故答案为：B.【思路引导】连接BO，CO，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得
OA=OB，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度数，
证明△ABO≌△ACO，得到BO=CO，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC，则
∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC中，应用内角和定理进行求解.
8．（2分）（2021八上·下城期中）如图，等腰Rt ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平
分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点△，延长AM交BC于点N，连接DM.下列结论：①DF
＝DN；③AE＝CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD＝45°，其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【完整解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE ∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中∴△FBD≌△NAD，
∴DF＝DN，∴①正确；
在△AFB和△CNA中
∴△AFB≌△CAN，
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，∴②正确；
∵AE＝AF，M为EF的中点，
∴AM⊥EF，
∴∠AMF＝90°，
同理∠ADB＝90°，
∵∠BFD＝∠AFE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠MBA＝∠MBN，
∵AN⊥BM，
∴∠AMB＝∠NMB＝90°，
∴∠BNM＝∠BAM＝180°﹣∠AMB﹣∠ABM＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
∴BA＝BN，
∴AM＝MN，
∵∠ADC＝90°，
∴AM＝MN＝DM，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠BMD＝45°，∴④正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正确；
即正确的有4个.
故答案为：D.
【思路引导】由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，由角平分线的概念可得
∠ABE＝∠CBE＝22.5°，然后求出∠BFD、∠AEB、∠AFE、∠BFD、∠AEB的度数，推出AF＝AE，由
等腰三角形的性质可得AM⊥BE，证明△FBD≌△NAD，据此判断①；证明△AFB≌△CAN，得到AF＝
CN，然后结合AF＝AE可判断②正确；由等腰三角形的性质可得AM⊥EF，则∠AMF＝90°，同理可得
∠ADB＝90°，由角平分线的概念可得∠MBA＝∠MBN，求出∠BNM、∠BAM的度数，推出AM＝MN＝
DM，据此判断④；由外角的性质可得∠DNA＝∠C+∠CAN＝67.5°，根据内角和定理可得∠MDN＝67.5°
＝∠DNM，据此判断③.
9．（2分）（2021八上·营山月考）如图，Rt ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于
点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，△交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；
②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S = S ；⑤S =S ，其中正确的结论有（ ）
四边形ABDE ABP APH ADE
△ △ △
个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【完整解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE= （∠A+∠B）=45°，∴∠APB=135°，故①正确.
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，
BP=BP，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，
∴AD=AP+PD=PF+PH，故②正确.
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S =S ，S =S ，PH=PD，
APB FPB APH FPD
△ △ △ △
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S =S ，
EPH EPD
△ △
∴S =S ，故⑤正确，
APH AED
△ △
∵S =S +S +S +S
四边形ABDE ABP AEP EPD PBD
△ △ △ △
=S +（S +S ）+S
ABP AEP EPH PBD
△ △ △ △
=S +S +S
ABP APH PBD
△ △ △
=S +S +S
ABP FPD PBD
△ △ △
=S +S
ABP FBP
△ △
=2S ，故④不正确.
ABP
△
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误，
故答案为：B.
【思路引导】利用三角形的内角和定理得∠A+∠B=90°，由角平分线的定义可求出∠BAD+∠ABE的度数；
然后利用三角形的内角和定理求∠APB的度数，可对①作出判断；
求出∠BPD=45°，再证∠APB=∠FPB，由ASA证△ABP≌△FBP，由全等三角形性质证∠BAP=∠BFP，
AB=FB，PA=PF；利用ASA证明△APH≌△FPD，推出PH=PD，由AD=AP+PD，可对②作出判断；
由全等三角形的性质和面积公式可求出S =S ，S =S ，PH=PD；再证明HD∥EP，可推出
APB FPB APH FPD
△ △ △ △
S =S ，即可证得S =S ，可对⑤作出判断；
EPH EPD APH AED
△ △ △ △
根据S =S +S +S +S ，可推出S =2S ，可对④作出判断；若DH平分
四边形ABDE ABP AEP EPD PBD 四边形ABDE ABP
△ △ △ △ △
∠CDE，则∠CDH=∠EDH，利用平行线的性质可推出∠CDE=∠ABC，可得到DE∥AB，这个显然与条件
矛盾，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
10．（2分）（2021八上·吴兴期末）如图,在等腰△ABC中,AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点
Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论:①∠APO-∠OBD=30° ;②△BPO是正
三角形;③AB-AP=AO;④ ，其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【完整解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，
∴BO=CO，∠BAD= ∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°.
∵OP=OB，
∴OP=OC，∴∠OPC=∠OCP，
∴∠OPC=∠OCD+∠ACB=∠OCD+30°，即∠APO-∠OBD=30°，故①正确.
在△PBC中，∵∠CBP+∠BPC+∠BCP=180°，∠BCP=30°，
∴∠CBP+∠BPC=180°-30°=150°.
∵∠BPC=∠APO+∠OPB，
∴∠CBP+∠APO+∠OPB=150°.
由①知：∠APO=30°+∠BOD，
∴∠CBP+∠OBD+30°+∠OPB=150°.
∵∠CBP+∠OBD=∠OBP，
∴∠OBP+∠OPB=150°-30°=120°.
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=120°÷2=60°.
∵在△BPO中，∠OBP=∠OPB=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BPO为等边三角形，故②正确.
在AB上截取AE=AP，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAE=60°.
∵AE=AP，
∴△APE为等边三角形，
∴∠BPO=∠APE=60°,
∵∠BPO=∠BPE+∠EPO，∠APE=∠APO+∠BPO，
∴∠BPE=∠APO.
∵AP=AE，∠BPE=∠APO，BP=OP，
∴△EPB≌△APO（SAS），
∴BE=AO.
∵BE=AB-AE=AB-AP，
∴AB-AP=AO，故③正确.
延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，∵PB=OB,∠PBA=∠OBF，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴S =S ，
四边形AOBP ABF
△
要证S =2S ，即证OD= AD，
ABF BOC
△ △
而OD= AD无法证明，故④错误.
故答案为：C.
【思路引导】①由等腰三角形的性质结合已知条件可得：BO=CO，∠BAD= ∠BAC=60°，
∠ABC=∠ACB=30°，进一步推出∠OPC=∠OCP，然后根据角的和差关系判断即可；
②由三角形内角和定理可得∠CBP+∠BPC=150°，然后根据角的和差关系推出∠OBP+∠OPB=120°，根据
等腰三角形的性质求出∠OBP=∠OPB=60°，据此判断即可；
③在AB上截取AE=AP，可推出△APE为等边三角形，进而证明△EPB≌△APO，然后根据全等三角形的
性质以及线段和差关系判断即可；
④延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，证明△APB≌△FOB，则可
得S =S ，然后判断出OD与AD的关系即可.
四边形AOBP ABF
△
二．填空题（共10小题，满分20分，每题2分）
11．（2分）（2022八上·岑溪期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，
如果∠AEF ＝75°，那么∠BAF ＝ °.【答案】60
【完整解答】解：根据题意得：∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°，
∵∠AEF ＝75°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=15°，
∴∠DAE=15°，
∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=30°，
∴∠BAF=∠BAD-∠DAF=60°.
故答案为：60.
【思路引导】由折叠的性质可得∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°，由直角三角形的性质可
得∠DAE=∠EAF=90°-∠AEF=15°，即得∠DAF=30°，利用∠BAF=∠BAD-∠DAF即可求解.
12．（2分）（2022八上·博白期末）如图，将 纸片沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分
， 平分 ，若 ，则 的度数为 .
【答案】120°
【完整解答】解：如图，连接AA'，平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
沿DE折叠，
， ，
， ，
，
故答案为： .
【思路引导】，连接AA'，由角平分线的定义得 ， ，利用三角
形内角和得 ，即得 ，由三角形内角和
得∠A=60°，由折叠性质及三角形外角的性质得 .
13．（2分）（2021八上·澄海期末）如图，在△ABC中， ∠A=30°，点D、E分别在边AB、AC上，
BD=BC=CE，连结CD、BE．则∠BEC+∠BDC= ．【答案】105°
【完整解答】解：∵ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【思路引导】在 中， ，得出 ，
再根据 ，得出 ．由点A的大小，即可得出答案。
14．（2分）（2021八上·花都期末）已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角
形的顶角为 °．
【答案】70或110
【完整解答】解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；
②
∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．
故答案为：70或110．
【思路引导】分两种情况，分别画出图象并利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
15．（2分）（2021八上·济阳期末）如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点
， ，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为 ．
【答案】70°
【完整解答】解：∵∠OBO=∠2-∠1=20°，
2 1
∴∠ABC=3∠OBO=60°，∠OBC=∠OBO=20°，
2 1 1 2 1
∴∠BCO=180°-20°-135°=25°，
2
∴∠ACB=2∠BCO=50°，
2
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
故答案为：70°．【思路引导】由三角形外角的性质可得∠OBO=∠2-∠1=20°，根据三等分线可得∠ABC=3∠OBO=60°，
2 1 2 1
∠OBC=∠OBO=20°，利用三角形内角和定理可得∠BCO=25°，由角平分线的定义可得
1 2 1 2
∠ACB=2∠BCO=50°，再利用三角形内角和定理求出 ∠A的度数即可.
2
16．（2分）（2021八上·中山期末）在 中， ，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所
得的锐角为42°，则 ．
【答案】66°或24°
【完整解答】解：如图，由题意得： 是 的垂直平分线，
如图，由题意得： 是 的垂直平分线，
综上： 或
故答案为： 或【思路引导】分两种情况：∠A为钝角和锐角，据此分别画出图形，利用线段垂直平分线的性质及等腰三
角形的性质分别解答即可.
17．（2分）（2021八上·金东期中）已知等腰 中， 于点D，且 ，则
底角的度数为 .
【答案】 或 或
【完整解答】解：分三种情况：①如解图①，
当 时，
，
，
，
，
底角为 ；
②如解图②，当 时，
，，
，
，
底角为 ；
③如解图③，当 时，
，
，
，
，
底角的度数为 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【思路引导】当AB=AC时，根据等腰三角形的性质可得BD=CD，结合AD= BC可得AD=BD=CD，据
此可得底角的度数；当AB=BC且△ABC为锐角三角形时，由AD= BC可得AD= AB，则
∠ABD=30°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得底角的度数；当AB=BC且△ABC为钝角三
角形时，由AD= BC可得AD= AB，推出∠DBA=30°，然后根据等腰三角形的性质以及外角的性质进行求解.
18．（2分）（2021八上·长沙期中）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分线，BD，CE交于
点O.过点O作OF⊥BC，垂足为F，若∠BAC=120°，OD•OE=12，BC−BE−CD=5，则OF= .
【答案】
【完整解答】解：在BC上取点G和H，使BG=BE，CH=DC，
∵BD，CE 是△ABC 的角平分线，
∴∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，
又∵BO=BO，CO=CO，
∴△BEO≌△BGO（SAS），△ODC≌△OHC（SAS），
∴∠BOG=∠BOE，∠HOC=∠DOC，
∵∠A=120°，
∴∠OBC+∠OCB= =30°，
∴∠BOE=30°，∠BOC=150°，
∴∠GOH=∠BOC-∠BOG-∠HOC
=150°-30°-30°
=90°，
∴S = GO•HO= EO•DO=6，
OGH
△
∵BC-BE-CD=5，∴BC-BG-CH=5，
即 GH=5，
∴OF= ，
故答案为： .
【思路引导】在BC上取点G和H，使BG=BE，CH=DC，利用SAS证明△BEO≌△BGO，
△ODC≌△OHC，得出∠BOG=∠BOE，∠HOC=∠DOC，然后根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB
的度数，则可利用三角形外角的性质求出∠BOE，然后根据角的和差关系∠GOH=90°，求出根据面积公式
求出△OGH的面积，再根据线段间的和差关系求出GH，然后利用三角形面积公式求出OF长即可.
19．（2分）（2021八上·西湖期中）在等腰 中， ，过点 作直线 ，
是 上的一点，且 ，则 的度数为 .
【答案】75º或15º
【完整解答】解：分两种情况：
①当点 在点 的左边时，作 于 ， 于 ，如图1所示：
，
，
等腰 中， ， ，
， ，
，， ，
，
；
②当点 在点 的右边时，作 于 ， 于 ，如图2所示：
同①得： ，
，
，
，
；
综上所述， 的度数为75º或15º，
故答案为：75º或15º.
【思路引导】当点F在点C的左边时，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H，由平行线间的距离处处相等可得
FH=CG，由等腰直角三角形的性质可得AG=BG，CG= AB，根据AB=BF可得FH=CG= AB= BF，
∠BAF=∠BFA，则∠ABF=30°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BAF的度数；当点F在
点C的右边时，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H，同理可得∠FBH=30°，由等腰三角形的性质可得
∠BAF=∠BFA，由外角的性质可得∠FBH=∠BAF+∠BFA，据此求解.
20．（2分）（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，
∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝
∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .【答案】②③④
【完整解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，
设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，
分别是 的角平分线，是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【思路引导】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即
点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可
得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判
断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由
BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.
三．解答题（共7题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·陇县期末）如图所示，点E在 外部，点D在BC边上，DE交AC于F，
若 ，AD=AB，求证：AC=AE.
【答案】证明： ，
，即 ，
由对顶角相等得： ，
又 ，
，
在 和 中， ，，
.
【思路引导】根据∠1=∠2结合角的和差关系可得∠BAC=∠DAE，由对顶角的性质可得∠AFE=∠CFD，
结合内角和定理可得∠C=∠E，证明△ABC≌△△ADE，据此可得结论.
22．（7分）（2021八上·嵩县期末）如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝
130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA．
（1）（3分）求证：△AED是等边三角形；
（2）（4分）若△CDE是直角三角形，求α的度数．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ AD=AE ，∠BAD=∠CAE，∠BDA=∠AEC =α，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∠BDA＝α，
∴ ， ，
．∵ 是直角三角形， ．
当 时， ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
∴ 或 ．
【思路引导】（1）利用全等三角形的性质得∠BAD=∠CAE，∠CEA=α，AD=AE，易得∠BAC=∠DAE；
再利用等边三角形的性质可求出∠BAC=60°，由此可得到∠DAE=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形
是等边三角形，可证得结论；
（2）利用等边三角形的性质可证得∠ADE=∠AED=60°，可表示出∠CDE，∠CED，∠DCE；然后根据直
角三角形的定义，分情况讨论：∠CED=90°时；∠CDE=90°时，分别求出α的值.
23．（11分）（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D
在底边BC上，AE=AD，连结DE. △
（1）（3分）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）（4分）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）（4分）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等
腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由
∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°−x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根
据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
24．（8分）如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP
相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：（1）（4分）∠P的度数；
（2）（4分）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，
试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
【答案】（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
【思路引导】（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-
∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数；
（2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系.
25．（11分）（2021八上·汉阴期末）如图， 和 中，
， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E
在 异侧， 、 的平分线相交于点I.
（1）（3分）当 时，求 的长；
（2）（4分）求证： ；
（3）（4分）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴△ABP为直角三角形，
∵∠B=30°，AB=6，∴AP=3，
∴PD=AD-AP=3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE；
（3）解：设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=180°-30°-90°=60°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC= ∠PAC= （90°-α）=45°- α，∠ICA= ∠PCA=30°，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（45°- α+30°）
=105°+ α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150.
【思路引导】（1）利用垂直的定义可推出△ABP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可求出AP的长；然后根据PD=AD-AP，可求出PD的长；
（2）利用SAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠BAC=∠DAE，由此可推
出结论；
（3）设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α， 利用三角形的内角和定理求出∠BCA=60°，再利用角平分线的定义可得到∠IAC和∠ICA的度数；再根据∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA），可表示出∠AIC的度数，然后根据
0°＜α＜90°，可得到m，n的值.
26．（7分）（2021八上·香坊期末）已知， 中， ，点D在 边上，E在
的外部，连接 、 、 ，且 ， ．
（1）（3分）如图1，求证： ；
（2）（4分）如图2，当 时，连接 交 于点F，如果把顶角为
的等腰三角形称为黄金三角形，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个黄金三角形．
【答案】（1）证明：
即
又
（2）解： 是黄金三角形
，在 中， ，
是黄金三角形
是黄金三角形
在 中，
是黄金三角形
是黄金三角形
综上所述， 是黄金三角形
【思路引导】（1）先求出 ，再利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）根据黄金三角形的定义求解即可。
27．（11分）（2021八上·盐湖期中）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如
图1，在 OAB与 OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．
（1）（3分）如图1， OAB与 OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置
关系，并说明理由．
（2）（3分）如图2， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）（5分）如图3， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，取AD
的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG=OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
【答案】（1）解： ．
理由：∵ 与 是对顶三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，且 ．
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
设AC，BD相交于点M，则 ，
∴ ，
综上所述， ，且 ；
（3）证明：∵E为AD的中点，
∴ ，又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【思路引导】（1）根据“ 对顶三角形 ”可得 ， ， ，利用三角形
的内角和求出∠OAB、∠OCD的度数，从而得出∠OAB=∠OCD，根据平行线的判定即证；
（2）证明 ，可得 ， ，然后利用三角形的内角和求出
， 设AC，BD相交于点M，利用三角形外角的性质可得
，即得结论；
（3）先证 ，再证 ，可得 ，由
，可得 ，从而求出 ，据此即得结论.
