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专题 18 二元一次方程（组）的实际问题
题型一 行程问题
1．体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追
上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是 米
秒，乙的速度是 米 秒，所列方程组是 ．
【解答】解：根据题意，得
．
故答案为： ．
2．一条船顺流航行，每小时航行20千米；逆流航行，每小时航行16千米．设这条轮船在静水中的速度是
千米 时，水流速度是 千米 时，根据题意，得方程组： ．
【解答】解：设这条轮船在静水中的速度是 千米 时，水流速度是 千米 时，
根据题意，得 ．
故答案为 ．
3．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上
坡路的平均速度是3千米 时，下坡路的平均速度是5千米 时．若设小颖上坡用了 分钟，下坡用了 分
钟，根据题意可列方程组为
A． B．C． D．
【解答】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：
故选： ．
4．某船往返两地，顺流时每小时航行18千米，逆流时每小时航行14千米，则水流速度是多少？
A．3.5千米 时 B．2.5千米 时 C．2千米 时 D．3千米 时
【解答】解：设轮船在静水中的速度是 千米 时，水流速度是 千米 时，
由题意得： ，
解得： ，
即水流速度是2千米 时，
故选： ．
5．为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到
完全出隧道共用时24秒，整列火车完全在隧道内的时间为14秒，整列火车长300米．请你根据小明和小
亮获得的数据，求出隧道的长度和火车过隧道的速度．
【解答】解：设隧道的长度为 米，火车过隧道的速度为 米 秒，
根据题意，得 ．
解得： ．
答：隧道长1140米，火车过隧道的速度为60米 秒．
题型二 分配问题
6．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排 名工人生产镜片， 名工人生产镜架，则可列方程组
A． B．
C． D．
【解答】解：设安排 名工人生产镜片， 名工人生产镜架，
由题意，得 ．
故选： ．
7．在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生 50人，其中男生 人，
女生 人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．
（1）求这个班男生、女生各有多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身
与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
答：这个班有男生有24人，女生有26人；
（2）男生剪筒底的数量： （个 ，
女生剪筒身的数量： （个 ，
因为一个筒身配两个筒底， ，
所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，
设男生应向女生支援 人，
由题意得： ，
解得： ，答：原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援 4
人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
8．现用160张铁皮做盒子，每张铁皮做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，
设用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，使盒底与盒身正好配套．则可列方程组为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据共有160张铁皮，得方程 ；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程 ．
列方程组为 ．
故选： ．
9．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓 22个或螺母16个，
若分配 名工人生产螺栓， 名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正
确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：设分配 名工人生产螺栓， 名工人生产螺母，
因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺栓22个或螺母16个，所以可得方程组： ．
故选： ．
10．某种教学仪器由1个 部件和3个 部件配套构成，每个工人每天可以加工 部件100个或者加工部件120个．现有工人14名，应怎样安排人力，才能使每天生产的 部件和 部件配套？
【解答】解：设安排 人生产 部件，安排 人生产 部件，由题意，得
，
解得： ，
答：安排4人生产 部件，安排10人生产 部件，才能使每天生产的 部件和 部件配套．
11．某木工厂有22个工人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求
工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，则需要安排多少工人加工桌子，多少工人加工椅子？
【解答】解：设需要安排 个工人加工桌子， 个工人加工椅子，
根据题意得： ，
解得： ．
答：需要安排10个工人加工桌子，12个工人加工椅子．
题型三 设计方案
12．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款 120元，乙公司
人均捐款100元．如图是甲、乙两公司员工的一段对话．
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱1500元， 种防疫
物资每箱1200元．若购买 种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来
（注 、 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【解答】解：（1）设甲公司 人，乙公司 人，根据题意得： ，
解得： ，
答：甲公司150人，乙公司180人；
（2）设 种物资购买 箱， 种物资购买 箱，
由题意得： ，
整理得： ，
，且 、 是正整数，
当 时， ；
当 时， ；
答：共有两种方案，① 种物资购买8箱， 种物资购买20箱；② 种物资购买4箱， 种物资购买25
箱．
13．某中学七年级一班学生去商场购买了 品牌足球1个、 品牌足球2个，共花费210元，七年级二班
同学在同一商场购买了 品牌足球3个、 品牌足球1个，共花费230元．
（1）求 ， 两种品牌足球的价格各为多少元？
（2）为响应“足球进校园”的号召，学校使用专项经费 1500元全部用来购买 ， 两种品牌的足球供学
生使用（要求两种足球都必须购买，专项经费必须用完），那么学校有多少种不同的购买方案？请分别求
出每种方案购买 ， 两种品牌足球的个数．
【解答】解：（1）设 种品牌足球的价格为 元， 种品牌足球的价格为 元，
依题意得： ，
解得： ，
答： 种品牌足球的价格50元， 种品牌足球的价格80元．
（2）设购买 品牌足球 个，购买 品牌足球 个，
根据题意得： ，
即 ，、 均为正整数，
或 或 ，
则学校有3种购买足球的方案，
方案一：购买 品牌足球22个、 品牌足球5个；
方案二：购买 品牌足球14个、 品牌足球10个；
方案三：购买 品牌足球6个、 品牌足球15个．
14．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表：
牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元
方案一 20 10 1100
方案二 10 20 1300
（1）求牛奶与咖啡每箱分别为多少元；
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或
打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1800元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的
，则此次按原价采购的咖啡有 3 6 箱．（直接写出答案）
【解答】解：（1）设牛奶一箱 元，咖啡一箱 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：牛奶每箱30元，咖啡每箱50元；
②设牛奶与咖啡总箱数为 箱，则打折的牛奶箱数为 箱，
打折牛奶价格为： （元 ，打折咖啡价格为： （元 ，
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为 箱，则打折咖啡与原价牛奶共有 箱，
由题意得： ，整理得： ，
、 均为正整数，
，或 ，
，
， ，
即此次按原价采购的咖啡有36箱，
故答案为：36．
15．某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批 ， 两种型号的新能源汽车．据了解，2辆 型汽车
和3辆 型汽车的进价共计80万元；3辆 型汽车和2辆 型汽车的进价共计95万元．
（1）求 ， 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进
的 种型号的新能源汽车数量多于 种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案．
【解答】解：（1）设 型汽车每辆的进价为 万元， 型汽车每辆的进价为 万元，
依题意，得： ，
解得： ，
答： 型汽车每辆的进价为25万元， 型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进 型汽车 辆，购进 型汽车 辆， ，
依题意，得： ，
．
， 均为正整数，
为5的倍数，
或 或 ，
，不合题意舍去，
共2种购买方案，
方案一：购进 型车4辆， 型车10辆；
方案二：购进 型车2辆， 型车15辆．
16．由于酒泉独特的气候资源，生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于
其他洋葱产区，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆 型车和1辆 型车
载满洋葱一次可运走10吨；用1辆 型车和2辆 型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱31吨，计划
同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆 型车和1辆 型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆 型车需租金100元 次，1辆 型车需租金120元 次．请选出费用最少的租车方案，并求出
最少租车费．
【解答】解：（1）设1辆 型车载满洋葱一次可运送 吨，1辆 型车载满洋葱一次可运送 吨，
依题意，得： ，
解得： ，
答：1辆 型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆 型车载满洋葱一次可运送4吨．
（2）依题意，得： ，
， 均为正整数，
或 或 ．
一共有3种租车方案，
方案一：租 型车1辆， 型车7辆；
方案二：租 型车5辆， 型车4辆；
方案三：租 型车9辆， 型车1辆；
（3）方案一所需租金为 （元 ；方案二所需租金为 （元 ；
方案三所需租金为 （元 ．
，
最省钱的租车方案是方案一，即租 型车1辆， 型车7辆，最少租车费为940元．
17．已知：用2辆 型车和1辆 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆 型车载满货物一
次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都
载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆 型车和1辆车 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
【解答】解：（1）设1辆 型车和1辆 型车都装满货物一次可分别运货 吨、 吨，
由题意得： ，
解得： ， ．
故1辆 型车和1辆 型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．
（2）由题意和（1）得： ，
、 均为非负整数，
或 ，
共有2种租车方案：
①租 型车6辆， 型车2辆，
②租 型车2辆， 型车5辆．
18．甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按 的利润
率标价出售，乙玩具按 的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价9折出售，
这样商店共获利114元．
（1）求甲，乙两个玩具的成本各是多少元？
（2）商店老板决定投入1000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每个玩具至少购进1个，那么可以怎
样安排进货？【解答】解：（1）设甲玩具的成本是 元，乙玩具的成本是 元，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元．
（2）设购进 个甲玩具， 个乙玩具，
依题意得： ，
．
又 ， 均为正整数，
或 或 或 ，
共有4种进货方案，
方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；
方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；
方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；
方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具．
19．某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电
子产品，设甲、乙型设备应各买入 ， 台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格（元 台） 1000 800 500
销售获利（元 台） 260 190 120
（1）购买丙型设备 台（用含 ， 的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了56000元，则商场有哪
几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【解答】解：（1）购买丙型设备 台．
故答案为： ．（2）依题意，得： ，
整理得： ，
．
又 ， ， 均为正整数，
为5的倍数，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ，不合题意，舍去．
共有3种购进方案，方案1：购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台；方案2：购进甲型设
备46台，乙型设备10台，丙型设备4台；方案3：购进甲型设备43台，乙型设备15台，丙型设备2台．
（3）选择方案1的销售利润为 （元 ；
选择方案2的销售利润为 （元 ；
选择方案3的销售利润为 （元 ．
，
购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台，获利最多，此时利润为14410元．
题型四 销售问题
20．天虹商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价500元．若将上衣价格下调 ，将裤子价格
上调 ，则这样一套运动套装的售价提高 ．设上衣和裤子在调价前单价分别为 元和 元，则可列
方程组为A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意可列方程组为 ，
故选： ．
21．为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．
已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买 4个航拍无人机和7个编程机器人共需
3480元．设购买1架航拍无人机需 元，购买1个编程机器人需 元，则可列方程组为
A． B．
C． D．
【解答】解：依题意得： ．
故选： ．
22．某公司用3000元购进两种货物．货物卖出后，一种货物的利润率是 ，另一种货物的利润率是
，两种货物共获利315元，如果设该公司购进这两种货物所用的费用分别为 元， 元，则列出的方
程组是A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意得： ．
故选： ．
23．某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，
收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收
入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有
误，其中记录有误的是
A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天
【解答】解：设牙刷的单价为 元，牙膏的单价为 元，
当第1天、第2天的记录无误时，依题意得：
，解得： ，
（元 ， （元 ．
又 ，
第3天的记录有误．
故选： ．
24．某网络书店开展“亲子图书”优惠活动，若一次性购买该系列的 2本书，每本书30元；若一次性购买
该系列的3本书，每本书25元．在活动期间，所有顾客只能选择上述两种方式购买该系列图书，且每人只
能享受一次优惠，若该书店因这个优惠活动共卖出54本图书，收入1470元，求共有多少名顾客购买了该系列图书．
【解答】解：设用第一种方式购书的顾客有 人，用第二种方式购书的顾客有 人，由题意得：
．
解得： ．
．
答：共有18名顾客购买了该系列图书．
25．某商场购进一种商品，然后在进价基础上加价出售，平均每天卖出 15件，30天共获利22500元．为
了尽快回收资金，商场决定每件打八折销售，结果平均每天比打折前多卖出 10件，这样30天仍获利
22500元，求这种商品的进价和打折前的售价．
【解答】解：设这种商品的进价为 元，打折前的售价为 元，则
得
，
解得 ．
答：这种商品的进价是50元，打折前的售价是100元．
26．小敏的爸爸是一家水果店的经理．一天，他去水果批发市场，用100元购进甲种水果，用100元购进
乙种水果，已知乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5元．
（1）求甲、乙两种水果各购进了多少千克？
（2）如果当天甲、乙两种水果都按2.80元出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出 ，剩余的按售
价打5折售完．请你通过计算，说明这一天的水果买卖是否赚钱？如果赚钱，赚了多少元？如果不赚钱，
那么赔了多少元？
【解答】解：（1）设甲种水果的批发价为 元，购进了 千克，则乙种水果的批发价为 元，购进
了 千克．则有 ，
解得： ， ； ， ．
故甲、乙两种水果各购进了40千克和50千克．
（2）这一天的利润 ，
这一天的水果买卖赚钱，赚了29.6元．
27．某天，一蔬菜经营户用180元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40千克到菜市场去卖，西红柿和
豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
品名 西红柿 豆角
批发价（单位：元 千克） 3.6 4.6
零售价（单位：元 千克） 5.4 7.5
问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
【解答】解：设批发了西红柿 千克，豆角 千克
由题意得：
解得：
（元
答：卖完这些西红柿和豆角能赚111.6元．
28．列方程解应用题：在庆祝深圳经济特区建立40周年的活动中，八年级组购买了“小红旗”装饰各班教
室，家委会先后两次在同一家商店以相同的单价购买了两种材质的“小红旗”，第一次购买 300个塑料材
质的“小红旗”，200个涤纶材质的“小红旗”，共花费 660元；第二次购买100个塑料材质的“小红
旗”，300个涤纶材质的“小红旗”共花费570元，求这两种材质的“小红旗”单价各为多少元？
【解答】解：设塑料材质的“小红旗”的单价为 元，涤纶材质的“小红旗”的单价为 元，
由题意得： ，解得： ，
答：塑料材质的“小红旗”的单价为1.2元，涤纶材质的“小红旗”的单价为1.5元．
29．政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个 商品，5个
商品，总费用114元．3个 商品，7个 商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个 商品和8个
商品共用了141.6元．
（1）求出商品 、 每个的标价．
（2）若商品 、 的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
【解答】解：（1）设每个 商品的标价为 元，每个 商品的标价为 元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每个 商品的标价为9元，每个 商品的标价为12元．
（2）设商店打 折出售这两种商品，
依题意得： ，
解得： ，
（元 ．
答：商店打8折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠．
题型五 其他问题
30．某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板，做成如图②所示的竖式与横式两种长方形形状的无盖纸
盒．现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，则可制作横式、竖式两种纸盒各
多少个？【解答】解：设制作竖式纸盒 个，生产横式纸盒 个．
由题意得 ，
解得： ．
答：可制作横式纸盒60个、竖式纸盒30个．
31．某校八年级的学生外出郊游要住宿， 宾馆提供了大小房间共 30 间， 已知大房间能住
5 人， 小房间能住 3 人， 110 名学生恰好住满这 30 间房间， 则大小房间各有多少间？
【解答】解： 设大小房间各有 间和 间， 根据题意得：
，
解得： ，
答： 大小房间各有 10 间、 20 间 ．
32．某景点的门票价格如下表：
购票人数 人 100以上
每人门票价 元 20 16 10
某校八年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且
少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1828元，如果两班联合起来作为一个团体购票，
则只需花费1020元．
（1）两个班各有多少名学生？
（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？
【解答】解：（1） ， 不为整数，（1）（2）两班的人数之和超过100人．
设（1）班有 名学生，（2）班有 名学生，
依题意得： ，
解得： ．
答：（1）班有49名学生，（2）班有53名学生．
（2）（1）班节约的钱数为 （元 ，
（2）班节约的钱数为 （元 ．
答：团体购票与单独购票相比较，（1）班节约了490元，（2）班节约了318元．
33．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用 里程费 耗
时费，其中里程费按 元 公里计算，耗时费按 元 分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，
按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表：
乘客 里程数（公里） 平均速度（公里 时） 打车总费用（元
甲 8 60 20
乙 10 50 26
（1）求 与 的值；
（2）小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为 45公里 时，行驶了9公里，请
你计算小明的妈妈应付车费多少元？
【解答】解：（1）依题意得： ，
解得： ．
答： 的值为2， 的值为0.5；
（2） （元 ．
答：小明的妈妈应付车费24元．34．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体的无盖纸盒．
（1）现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，可制作横式、竖式两种纸盒各多
少个？
（2）若有正方形纸板30张，长方形纸板 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，其中竖式纸盒做了
个，请用含 的代数式表示 ．
（3）在（2）的条件下，当 不超过65张时，最多能做多少个竖式纸盒？
【解答】解：（1）设可以制作横式纸盒 个，竖式纸盒 个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：可以制作横式纸盒60个，竖式纸盒30个．
（2） 竖式纸盒做了 个，且正方形纸板共用了30张，
横式纸盒做了 个，
，
．
（3） ，
随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值，最大值 ．
答：当 不超过65张时，最多能做8个竖式纸盒．
35．运动会结束后八（1）班班主任准备购买一批明信片奖励积极参与运动会各个比赛项目的学生，计划用班费180元购买 、 两种明信片共20盒，已知 种明信片每盒12元， 种明信片每盒8元．
（1）根据题意，甲同学列出了尚不完整的方程组如下： ；请在括号内填上具体的数字并说出
， 分别表示的含义： 表示 种明信片的总价 ， 表示 ；
（2）乙同学设了未知数但不会列方程，请你帮他把方程补充完整并求出该方程组的解；
乙： 表示购买了 种明信片的盒数， 表示购买了 种明信片的盒数．
【解答】解析：（1）从等量关系式入手分析，由“ ”、“ ”可知，12、8分别两种明信片的单价，
而依等量关系式可知：总价 单价 数量，便知 表示 种明信片的总价， 表示 种明信片的总价，则
方程组补充为： ；
故答案为： 种明信片的总价， 种明信片的总价；
（2）由等量关系式： 种盒数 种盒数 ， 种盒数 单价 种盒数 单价 ，
可列方程组为： ，
解得 ．
