文档内容
专题 18 反比例函数与几何图形的综合应用
考点一 反比例函数与三角形的综合应用 考点二 反比例函数与平行四边形的综合应用
考点三 反比例函数与矩形的综合应用 考点四 反比例函数与菱形的综合应用
考点五 反比例函数与正方形的综合应用
考点一 反比例函数与三角形的综合应用
例题：（2022·江西·崇仁县第二中学二模）如图，在等腰三角形AOB中，AO=AB，点O是平面直角坐标系
原点，点A在反比例函数 的图象上，已知OA=5，OB=6．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点P，交x轴于点C．
①求直线AC的解析式；
②求点P的坐标．
【变式训练】
1．（2022·山东东营·中考真题）如图， 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数 的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________．
2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，把一个等腰直角三角形ACB放在
平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C(﹣2,0)，点B在反比例函数 的图象上，且y轴平分∠BAC，则
k的值是________．
3．（2022·陕西省西安高新逸翠园学校模拟预测）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直
角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
则点C的横坐标为________．
4．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的斜边 轴于点 ，直角顶点 在 轴上，双曲线 经过 边的中点 ，若 ，则 ______．
5．（2022·贵州铜仁·九年级期末）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函
数y＝ （x＞0）的图象经过点B．
(1)求a和k的值；
(2)将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求 的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若 BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
△
6．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数
和 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点， ，
．(1)求反比例函数 的表达式；
(2)连接 ， ， ，求 的面积；
(3) 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使得 是等腰直角
三角形？若存在，求所有符合条件点 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点二 反比例函数与平行四边形的综合应用
例题：（2022·河南南阳·八年级期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（-1，2）是平
行四边形OABC的两个顶点，反比例函数 的图像经过点B．
(1)求出反比例函数的表达式；
(2)将平行四边形OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数 的图像上，并
说明理由；
(3)在x轴上是否存在一点P，使 是以OC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．【变式训练】
1．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，平行四边形ABCD的BC边过原点O，顶点D在x轴
上，反比例函数 的图象过AD边上的A，E两点，已知平行四边形ABCD的面积为8，
，则k的值为______．
2．（2022·福建泉州·八年级期中）如图，点D是平行四边形 内一点， 轴， 轴，且
， ， ，若反比例函数 的图象经过A、D两点，则k的值是______．
3．（2021·河北保定·九年级期末）如图，平行四边形OABC的边OC在y轴上，对角线AC，OB交于点
D，函数 的图象经过点 和点D．(1)求k值和点D的坐标；
(2)求平行四边形OABC的周长．
4．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，已知平行四边形ABCD的顶点A、C在反比例函数 的图象上，
顶点B、D在 轴上． 已知点 、 ．
(1)直接写出点C、D的坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)求平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长；
(4)求平行四边形ABCD的面积S．
5．（2021·湖南永州·九年级期中）如图1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的坐标为 ，反比例函数 在第一象限内的图像经过点A，与BC相交于F．
(1)若 ，求反比例函数的关系式．
(2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=9，求OA的长和点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图2），点P为直线EF上的一个动点，连接
PA，PO．是否存在这样的点P、使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为斜边的直角三角形？若存在，请
直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图1，已知 ， ，平行四边形 的边 、
分别与 轴、 轴交于点 、 ，且点 为 中点，双曲线 为常数， 上经过 、 两点．
(1)求 的值；
(2)如图2，点 是 轴正半轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线，分别交反比例函数 为常数，
图像于点 ，交反比例函数 的图像于点 ，当 时，求 点坐标；(3)点 在双曲线 上，点 在 轴上，若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，试求出满
足要求的所有点 的坐标．
考点三 反比例函数与矩形的综合应用
例题：（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴
的正半轴上，点B在反比例函数y＝ （k＞0）的第一象限内的图像上，OA＝6，OC＝4，动点P在y轴的
右侧，且满足S PCO＝ S OABC．
矩形
△
(1)若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；
(2)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q
的坐标．
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象和矩形
ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且 ， ，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩
形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，矩形OABC被三条直线分割成六个小矩形，若D、E是CO边上
的三等分点，反比例函数 刚好经过小矩形的顶点F、G，若图中的阴影矩形面积 ，
则反比例系数k的值为__．
3．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，矩形 的边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在
反比例函数 的图象上，且 ．将矩形 以点 为旋转中心，顺时针旋转 后得到矩
形 ，函数 的图象刚好经过 的中点 ，交 于点 ．
(1)求该反比例函数关系式；
(2)求 的面积．4．（2022·四川雅安·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，
反比例函数 的图像经过点 ，交 于点 ．
(1)求 的值及直线 的解析式；
(2)在 轴上找一点 ，使 的周长最小，求此时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
5．（2022·江苏宿迁·八年级期末）如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 在反
比例函数 的第一象限内的图像上， ， ，动点 在 轴的上方，且满足
．
(1)若点 在这个反比例函数的图像上，求点 的坐标；
(2)连接 、 ，求 的最小值；(3)若点 是平面内一点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有
点 的坐标．
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为
（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC
以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为 ；
(2)当 BPQ与 COQ相似时，求t的值；
△ △
(3)当反比例函数y= （x> 0）的图象经过点P、Q两点时．
①求k的值；
②点M在x轴上，点N在反比例函数y= 的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行
四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．
考点四 反比例函数与菱形的综合应用例题：（2022·四川遂宁·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，
点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB
所在直线解析式为 ．
(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，
求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存
在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
【变式训练】
1．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形 顶
点 与原点 重合， 点 在 轴的正半轴上，点 在函数 的图象上，
________．2．（2022·江苏南京·二模）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数 ，
的图像上．若 ，则A的坐标为______．
3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在 轴上， ， 两点
的坐标分别为 ， ，直线 ： 与反比例函数 的图象交于 ，
两点．
(1)求该反比例函数的解析式及 的值；
(2)判断点 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
4．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）如图1，菱形 顶点 在 轴上，顶点 在反比
例函数 上，边 交 轴于点 ， 轴， ， ．5．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D在第
一象限， 轴，反比例函数 的图象经过顶点D．
(1)若 ，
①求反比例函数的解析式；
②证明：点C落在反比例函数 的图象上；
(2)若 ， ，求菱形ABCD的边长．
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（12，5），双曲线的图象经过点A．
(1)菱形OABC的边长为____；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线
上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
考点五 反比例函数与正方形的综合应用
例题：（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，A、B分别是 轴正半轴上和 轴正半轴上的点，以AB为边在
第一象限内作正方形ABCD，反比例函数 的图象经过点C．
(1)若点C坐标为（2，3），则 的值为______；
(2)若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）；
① 则 的值为______；② 此时点D______（填“在”、“ 不在”或者“不一定在”）该反比例函数的图象上；
(3)若C、D两点都在函数 的图象上，直接写出点C的坐标为______．
【变式训练】
1．（2022·江苏·星海实验中学八年级期末）如图， 是射线 上一点，过 作 轴于点 ，
以 为边在其右侧作正方形 ，过 的双曲线 交 边于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函
数y= （x＜0）的图像经过点B和CD边中点E，则k的值为______．
3．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，双曲线 在第一象限经过点D，将正方形向下平移m个单位后，点C刚好
落在双曲线上，则m＝________________．
4．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，正方形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B在y轴的正半
轴上，顶点C、D都在反比例函数 图象上，则点C的坐标是______．
5．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，已知点 在正比例函数 图像上，过点 作 轴于点
B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数 图像上．
(1)若点 的横坐标为－2，求 的值；
(2)若设正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k值．6．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴
上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝ （x＞
0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
(1)若BC＝4，求点E的坐标；
(2)连接AE，OE，若△AOE的面积为16，求k的值．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA
＝6，OB＝3，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形 ，点 恰好落在反比例函数
的图象上，求此时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、 、P、Q为顶点的四边形
为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
