文档内容
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时）
一、教学目标
【知识与技能】
1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，
以便确定它的对称轴和顶点坐标；
2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的平
移规律；
3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.
【过程与方法】
通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.
【情感态度与价值观】
经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数
y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，
感受数学的对称美.
二、课型
新授课三、课时
第1课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的
对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函
数y=ax2+bx+c的平移变换.
【教学难点】
用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等
六、教学过程
（一）导入新课
教师问：二次函数y=a(x-h)2+k的性质有哪些？（出示课件2）
师生共同回忆：
y=a(x-h)2+k(a≠0) a>0 a<0
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (h ,k) (h ,k)对称轴 x=h x=h
当xh时，y随着x的 增大.当x>h时，y随着x的增
增大而增大. 大而减小.
极值 x=h时,y =k x=h时,y =k
最小值 最大值
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
教师问：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些
知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质?（出示课件3）
（二）探索新知
探究一 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论
的图象和性质？（出示课件5）
问题1：怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？
学生回忆配方的方法及步骤，并回答.（出示课件6）学生回答后，教师总结并强调.（出示课件7）
配方的步骤：
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
问题2：你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？（出示课件8）
生答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3：二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
生答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4：如何画二次函数 的图象？（出示课件:9）
学生自主操作，画图，教师加以巡视.并引导他们进行分析.
方法一：描点法.
1.列表.… 3 4 5 6 7 8 9 …
x
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
2.描点，连线：
方法二：平移法.（出示课件10）
问题5：结合二次函数 的图象，说出其性质.（出示课件
11）
生答：当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
开口方向：向上.
对称轴：x=6.
顶点：(6,3).例 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.（出
示课件12）
师生共同解答如下：
解:函数 通过配方可得 ，
先列表：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 …
然后描点、连线，得到图象如下图：（出示课件13）
生观察图象，并总结性质如下：
开口方向：向下.
顶点坐标：（1，-2）.
对称轴：x=1.最值：x=1时，y最大值=-2.
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
出示课件14：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
生板演解题过程：
解：y=2x2-8x+7
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
探究二 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
出示课件15：根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
吗？
师生共同探究强化认知：
y=ax2+bx+c
出示课件16：显然，二次函数y 的顶点坐标为对称轴为
，
因 此 ， 抛 物 线 y=ax2+bx+c 的 对 称 轴 是 ， 顶 点 坐 标 是
.
师生共同总结整理如下：（出示课件18）
出示课件19：例 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（
）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
学生自主思考后，师生共同解答如下：
解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
∴函数图象开口向上，
∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
教师加以强调：把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、
对称轴、顶点及其他性质.
出示课件20：填一填.
抛物线 顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-
5
生自主思考，并填表.
答案：(1,1)；x=1；最大值1；
(0,-1)；y轴；最大值-1；( ,-6)；x= ；最小值-6.
出示课件21：一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象
的性质填空：
生观察图象，并填空.
k ＜0；b ＞0；k ＞0；b ＜0；k ＞0；b ＞0.
1 1 2 2 3 3
出示课件22，23：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，请根据二次
函数的性质填空：
a ___0，b ___0,c ___0；a 0，b ___0,c 0；
1 1 1 2 2 2
a ___0，b ___0,c ___0；a ___0，b ___0,c ___0.
3 3 3 4 4 4生观察图象后，独立填空，教师加以纠正.
a ＞0，b ＞0,c ＞0；a ＞0，b ＜0,c =0；
1 1 1 2 2 2
a ＜0，b =0,c ＞0；a ＜0，b ＞0,c ＜0.
3 3 3 4 4 4
师生共同总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系（出示课件
24）
字母符号 图象的特征
a＞0 开口___向上____
a＜0 开口___向下____
b=0 对称轴为_y__轴
a、b同号 对称轴在y轴的__左__侧
a、b异号 对称轴在y轴的__右__侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_正_半轴
c＜0 与y轴交于__负__半轴
出示课件25：例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结
论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个
数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4生独立思考后，师生共同分析：
由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴
交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第
二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a
＋c)2＜b2，故④正确．
出示课件26：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的
是（ ）
A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D． ac>0生独立思考后，自主解决.
解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，
根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞
0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，
所以ac<0，D错误．
（三）课堂练习（出示课件27-32）
1.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与
x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：
①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤
当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤
C．②③④ D．③④⑤2.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
则该二次函数图象的对称轴为( )
A.y轴 B.直线x=
C.直线x=2 D.直线x=
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a，b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .4.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下
列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y ）,（ ，
1
y ）是抛物线上两点，则y >y .其中正确的是（ ）
2 1 2
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④
5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
6.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y有最大值 .
7.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（ ）参考答案：
1.A
2.D
3.（2）
4.B
5.⑴直线x=3，(3，-5)；
⑵直线x=8，(8，1)；
⑶直线x=1.25， ；
⑷直线x=0.5， .
6. ；
7.B
（四）课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.
（五）课前预习
预习下节课（22.1.4第2课时）的相关内容.七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本课时的主要任务是理解和掌握二次函数的一般式.我们研究函数的一般基
本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象
的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的
性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等），另外还要向学生渗透转化思想，
即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.
