文档内容
22.1．4 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标
（ ， ） （ ， ）
对称轴
x= x=
x> 时，y 随 x 的增大而增 x> 时，y 随 x 的增大而减
增减性 大； 小；
x< 时，y随x的增大而减小 x< 时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x= 时，y = 当x= 时，y =
最小值 最大值
知识点二 二次函数的三种解析式
b
x
⑴一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）. 对称轴 2a ，顶点坐标（ ， ）.⑵顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）. 对称轴x= h，顶点坐标（h，k）.
x x ax x 2
x x 1 2， 2 1
⑶交点式：y=a（x-x
1
）（x-x
2
）. 对称轴x 1
2
2 ，顶点坐标
2 2
.
知识点三 二次函数的平移问题
解析式 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）
分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0
由y=ax2向左平移| 由y=ax2向左平移| 由y=ax2向右平移| 由y=ax2向右平移|
变换过程 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平
移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位
左加右减，上加下减
总结
【题型探究】
题型一、把一般式化成顶点式
【例1】．（24-25九年级下·全国）将二次函数 化为 的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】．2．（2025·山西大同·一模）将二次函数 化为 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练2】．（2025·江苏徐州·一模）将二次函数 化为 的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
题型二、画二次函数y=ax2+bx+c的图象
4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数 图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应
值如表所示：x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)这个二次函数的解析式是 ；
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．
5．（2025九年级上·北京·专题练习）已知抛物线 ．
x 0 1 2 3
y 0 0
(1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
(2)在平面直角坐标系 中画出函数图象．6．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数 ．
(1)将 化成 的形式；
(2)在所给的平面直角坐标系 中，画出它的图象．
题型三、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例3】．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．当 时， 取最大值2 D．当 时， 随 的增大而增大
【跟踪训练1】．（2025·陕西咸阳·二模）下表给出了二次函数 （ ）的自变量 与函数 的一些
对应值，则下列说法正确的是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
A．对称轴为直线 B．当 时，C．当 时， 随 的增大而增大 D．此函数有最小值4
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线
C．当 时， 的最大值为21
D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为
题型四、根据二次函数的图像判断系数符号
【例4】．（25-26九年级上·吉林四平·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，给出四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数 的图象过点 ，
抛物线的对称轴是直线 ，顶点在第一象限，给出下列结论：① ；② ；③ ；④若
、 （其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南通）二次函数 的图象过点 ， ，如图所示，给出四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【跟踪训练3】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线 的对称轴为直线 ．
下列说法：① ；② ；③当 时，y随x的增大而减小；④ （t为任意实数）．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题
【例5】．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·海南·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，一次函数 与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象大致为
A． B． C． D．
【跟踪训练3】．（25-26九年级上·全国·单元测试）当 时， 和 大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
题型六、待定系数法求二次函数解析式
【例6】．（24-25九年级下·全国·随堂练习）选择最优解法，设出下列二次函数的表达式：
（1）已知抛物线的图象经过点 ， ， ，设抛物线的表达式为 ．
（2）已知抛物线的顶点坐标 ，且经过点 ，设抛物线的表达式为 ．
（3）已知二次函数有最大值6，且经过点 ， ，设抛物线的表达式为 ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象过点 ，顶点坐标为 ．(2)已知图象经过点 ， ，且对称轴为直线 ．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）求满足下列条件的二次函数的解析式：
(1)图象经过点 ， 和 ；
(2)图象顶点坐标为 ，且经过点 ．
题型七、根据二次函数的对称性求函数值
【例7】．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）若抛物线 经过 和 两点，则 ．
【跟踪训练1】．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）当 与 时，代数式 的值相等，
则 时，代数式 的值为 ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线 上有
三点，且 ，则 的取值范围是 ．
题型八、利用二次函数的对称性求最短路径
【例8】．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C，点B的坐标为 ．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，则点P的坐标为 ．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，且 ，点 、 是直线 上的两个动点，且 （点 在点 的上方），则的最小值是 ．
【跟踪训练2】．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知拋物线 经过 ，
， 三点，直线 是拋物线的对称轴，点M是直线 上的一个动点，当 最短时，点M的坐
标为 ．
题型九：二次函数的对称问题
【例9】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的
横坐标是 ，顶点坐标为 ，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ．【跟踪训练1】．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）二次函数 ，当 和 时， 的
值相等．
（1） ；（用含有 的式子表示）
（2）无论 为何值，二次函数 与 交于点 ，当 时，总存在 随 的增大而减小，
则代数式 的最小值为 ．
【跟踪训练2】．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线 经过点 ， ，
（1）抛物线的对称轴为 ；
（2）点 ， 在抛物线上，且 ，则t的取值范围是 ．
题型十、二次函数压轴问题（线段、周长、面积、四边形）
【例10】．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线 交 轴于点 ， ，交
轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标．
(2)如图， 是抛物线上位于直线 上方的动点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，当 的长度最大
时，求点 的坐标．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，已知二次函数 过点 ， ．(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使 的面积为4，若存在，
求出点P的坐标，若不存在说明理由．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线 经过点 、
，交 轴于点 ，点 是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点 的坐标为 时，求四边形 的面积；
(3)若 ，求点 的坐标．【跟踪训练3】．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线 交x轴于点 和点B，交y
轴于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若点P是线段 上的一动点，作 轴，交抛物线于点Q，当 最大时，在抛物线对称轴上找一
点M，使 的值最小，求出此时点M的坐标；
(3)若点P在直线 上的运动过程中，是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【跟踪训练4】．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线 ，与 轴交于 ，
两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 ，点 ．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)若抛物线 的顶点为 ，抛物线的对称轴交直线 于点 ，点 为直线 右侧抛物线上一点，点 在直线
上，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·江苏南通）若二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·浙江杭州）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．y有最小值是3
C．对称轴是直线 D．当 时，y随x增大而增大
3．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）二次函数 （a，b，c为常数，且 ）与x轴的一个交点
的横坐标是 ，顶点坐标为 ，则下列关于二次函数 的说法中正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8
4．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的大
致图象可能是（ ）
A． B． C． D．5．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数 中函数y与自变量x之间的部分对应值如
下表所示，点 ， ， 在函数的图象上，当 ， 时，则 的大小关
系是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 2 …
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·浙江金华）已知二次函数 的图象如图所示，有下列 个结论，其中正确
的结论是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26九年级上·福建福州）若二次函数 的图象经过 、 、 、
、 ， 则 的大小关系是( )
A． B． C． D．8．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象经过点 ，
， ， ，其中 ， 为常数，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点 作 轴的垂线，
交抛物线另一侧于点 ，点 ， 在线段 上，且关于 轴对称，分别过点 ， 作 轴的垂线交抛物线于 ，
两点，则四边形 周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C． D．
二、填空题
10．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知 ， ， 是二次函数 的图象上的三
个点，则 ， ， 的大小关系为 ．
11．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知抛物线 关于 对称，其部分图象如图所示，则下
列结论中：① ；② ；③ ；④ ．正确的是 （填序号）．12．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上运动，过点
作 轴于点 ，以 为对角线作矩形 ，连接 ，则对角线 的最小值为
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．
给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是 填序号
14．（25-26九年级上·湖南长沙）如图，抛物线 与 交于点 过点 作 轴的
平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论 取何值， 的值总是正数；② ；③当 时， ；④ ；其中，结论正确的是
（填写序号即可）
三、解答题
15．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知二次函数 经过点 、 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)用配方法把该二次函数的解析式化为 的形式，并写出顶点坐标和对称轴．
16．（25-26九年级上·北京·阶段练习）下表是二次函数 的部分 ， 的对应值：
… 0 1 2 3 …
… 2 …
(1) 的值为___________，在直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)当 时， 的取值范围是______________；
(3)当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值都小于二次函数 的值，直接写出 的取值
范围．
17．（25-26九年级上·浙江温州）已知抛物线 （b，c为常数）的图象经过点 和 ．(1)求抛物线的表达式及对称轴．
(2)过点 与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且 ，求t的值．
(3)将抛物线沿x轴向左平移 个单位长度，当 时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的
和为12，求m的值．
18．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数 的图象与y轴交于点C，点B是点C关
于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上的点A 及点B．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出 时x的取值范围．
19．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，抛物线 经过 两点，与 轴的另一个交
点为 ，顶点为 ．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)若 为该抛物线上一动点（与点 不重合）．
①当点 在直线 的下方运动时，求 面积的最大值；
②在①的条件下，连接 ，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 是抛物线对称轴上的点，要使
，求满足条件的点 的坐标．
