文档内容
22.1．4 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标
（ ， ） （ ， ）
对称轴
x= x=
x> 时，y 随 x 的增大而增 x> 时，y 随 x 的增大而减
增减性 大； 小；
x< 时，y随x的增大而减小 x< 时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x= 时，y = 当x= 时，y =
最小值 最大值
知识点二 二次函数的三种解析式
b
⑴一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）. 对称轴x ，顶点坐标（ ， ）.
2a⑵顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）. 对称轴x= h，顶点坐标（h，k）.
x x ax x 2
⑶交点式：y=a（x-x 1 ）（x-x 2 ）. 对称轴x
x
1
x
2 ，顶点坐标
1
2
2， 2
2
1
.
2
知识点三 二次函数的平移问题
解析式 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）
分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0
由y=ax2向左平移| 由y=ax2向左平移| 由y=ax2向右平移| 由y=ax2向右平移|
变换过程 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平
移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位
左加右减，上加下减
总结
【题型探究】
题型一、把一般式化成顶点式
【例1】．（24-25九年级下·全国）将二次函数 化为 的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．
根据配方法将一般式化为顶点式即可求解．
【详解】解：∵ ，即 ，
故选：A．
【跟踪训练1】．2．（2025·山西大同·一模）将二次函数 化为 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．
根据配方法求解即可．
【详解】解：故选：D．
【跟踪训练2】．（2025·江苏徐州·一模）将二次函数 化为 的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为
，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，∵二次函数为 ，
∴二次函数 化为顶点式为 ．
故选：D．
题型二、画二次函数y=ax2+bx+c的图象
4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数 图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应
值如表所示：
x … 0 1 …y … 0 0 …
(1)这个二次函数的解析式是 ；
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式及画二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解答本题
的关键．
（1）设二次函数解析式为 ，选取表格中3组数据运用待定系数法求出 、 、 的值即可；
（2）描点、连线画出函数图象即可．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为 ，
把 代入得，
，
解得
∴二次函数的解析式是 ．
故答案为： ；
（2）解：描点，连线，如图．5．（2025九年级上·北京·专题练习）已知抛物线 ．
x 0 1 2 3
y 0 0
(1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
(2)在平面直角坐标系 中画出函数图象．
【答案】(1) ， ， 和
(2)见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数的图象，准确将二次函数的解析式化为顶点式是解题的
关键．
（1）利用配方法对函数解析式进行变形，从而可判断出抛物线的顶点坐标；
（2）先列表、再描点、连线，即可得到答案．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
令 ，则 ，抛物线与y轴交点为 ，
令 ，则 ， ，
∴抛物线与x轴交点为 和 ．
（2）列表如下：
x 0 1 2 3
y 0 0
画图如下：
6．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数 ．(1)将 化成 的形式；
(2)在所给的平面直角坐标系 中，画出它的图象．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与 轴的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）用配方法把二次函数化为顶点式即可；
（2）根据画函数图象的步骤，画出图象即可；
【详解】（1）解： ；
（2）列表：
描点、连线，
如图，
题型三、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【例3】．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．当 时， 取最大值2 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】本题主要考查抛物线的性质，先把函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、顶
点坐标以及增减性即可得出答案．
【详解】解： ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，故选项A正确，不符合题意；
∴抛物线的对称轴为直线 ，故选项B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为 ，
∴当 时， 取最大值2，故选项C正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【跟踪训练1】．（2025·陕西咸阳·二模）下表给出了二次函数 （ ）的自变量 与函数 的一些
对应值，则下列说法正确的是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
A．对称轴为直线 B．当 时，
C．当 时， 随 的增大而增大 D．此函数有最小值4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线 ，从而得到抛物线开
口向下，当 时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解．
【详解】解：由表格数据可得：当 和2时，对应y的值相等，
∴函数的对称轴为：直线 ，故A错误；
∵ ，当 时， ，∴当 时， ，故B错误；
∵数据从 到1对应的y值不断增大，
∴抛物线开口向下，当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时， 随 的增大而增大，故C正确；
∴函数有最大值4，故D错误．
故选：C．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线
C．当 时， 的最大值为21
D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，二次函数图象的平移问题，把二次函数
解析式化为顶点式得到对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数可得开口方向，进而得到增减性，再求出当 时
的函数值，接着根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案。
【详解】解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，故A、B说法正确，不符合题意；
∴当 时，y随x增大而增大，
当 时， ，
∴当 时， 的最大值为21，故C说法正确，不符合题意；
∵原抛物线顶点坐标为 ，
∴将原抛物线的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 ，即 ，
故D说法错误，符合题意；
故选：D。
题型四、根据二次函数的图像判断系数符号
【例4】．（25-26九年级上·吉林四平·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，给出四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据其开口方
向，对称轴，图象交 轴的负半轴，可知 ， ， ， ，从而可以判断①，②；根据图
象过 ， ，可得 ， ，推出 ，可判断③；由 ， ，可判断④．
【详解】解：根据图像可知，开口向上，对称轴 ， ，图象过 ， ，
图象开口向上， ， ， ，
图象交 轴的负半轴，
，
；故①错误；
， ，
，
，故②正确；
图象过 ， ，
， ，
，， ，故③正确； ， ，
， ，故④正确；
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数 的图象过点 ，
抛物线的对称轴是直线 ，顶点在第一象限，给出下列结论：① ；② ；③ ；④若
、 （其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二
次函数的性质可得 ， ， ，即可判断结论①；由 处的函数值可判断结论②；由 处函数
值可判断结论③；根据 得到点 到对称轴的距离等于点 到对称轴的距离可判断结论④．
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴ ，
∵二次函数 的对称轴是直线 ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
∵二次函数 的图象过点 ，抛物线的对称轴是直线 ，
∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为 ，
由函数图象可得 时， ，
∴ ，故②正确；
时， ，
，
，即 ，故③错误；
∵对称轴是直线 ，
∴若 ，即 时，故④正确．
综上所述，正确的选项是①②④，共3个．
故选： C．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南通）二次函数 的图象过点 ， ，如图所示，给出四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意，由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与0的关系，然后根据对称轴及
抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解： ， ， ，
，错①误；
由图象可知：对称轴为直线 ，且 ，
②
，正确；
由图象可知： 当 时 ，
③
，
又 当 时， ，
；
与 相加得 ，
，正确；
，
④ ，
又 ，
，正确．
综上，正确结论的序号是 ．
故选：D． ②③④
【跟踪训练3】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线 的对称轴为直线 ．
下列说法：① ；② ；③当 时，y随x的增大而减小；④ （t为任意实数）．
其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，①分别判断a、b、c的符号，
再判断 的符号；②由对称轴为直线 ，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点
可判断 的符号；③利用二次函数的性质即可判断；④用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等
式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
【详解】解：①因图象开口向下，可知： ；
又∵对称轴为直线 ，
∴ ，整理得： ，即a、b同号．
由图象可知，当 时， ，
又∵对称轴为直线 ，可知：当 时， ；
即 ；
∴ ，故①正确．
②由①得： ．
代入原解析式得： ；
由图知，当 时， ，即 ，
∴ ，故②正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而减小．
∴当 时，y随x的增大而减小，故③正确．
④设 ，则 ，
∴两边加c得到 ，
∴不等式左侧为 时的函数值为最大值，右侧为 时的函数值，则不成立，故④错误．
综上，①②③正确，共3个．
故选：C．题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题
【例5】．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数 图象得出字母系数的正负，
再由一次函数 的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函
数的图象及其性质是解题的关键．
【详解】解： 、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，该选项正确，符合
题意；
、由抛物线可知， ，由直线可知， ，该选项错误，不合题意；
、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，该选项错误，不合题意；
、由抛物线可知， ，由直线可知， ，该选项错误，不合题意；
故选： ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·海南·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，一次函数 与二次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象，依据题意，本题可先由一次函数 图象得到字母系数
的正负，再与二次函数 的图象相比较看是否一致．【详解】解：A．观察一次函数 的图象得： ，由二次函数 的图象得： ，相矛
盾，故本选项不符合题意；
B、观察一次函数 的图象得： ，由二次函数 的图象得： ，相矛盾，故本选
项不符合题意；
C、观察一次函数 的图象得： ，由二次函数 的图象得： ，有可能，故
本选项符合题意；
D、观察一次函数 的图象得： ，由二次函数 的图象得： ，相矛盾，故本选
项不符合题意；
故选：C．
【跟踪训练2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象大致为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键．
一次函数 ，可判断 、 的符号；根据二次函数 的图象位置，可得 ， ．
【详解】解：A、函数 中， ， ， 中， ， ，故A错误；
B、函数 中， ， ， 中， ， ，故B正确；
C、函数 中， ， ， 中， ， ，故C错误；
D、函数 中， ， ， 中， ， ，故D错误．
故选：B．【跟踪训练3】．（25-26九年级上·全国·单元测试）当 时， 和 大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数
图象是否相符即可．
【详解】解：A、由一次函数的图像可知 ，则二次函数对称轴应为 ，该选项图像错误，不符
合题意；
B、由一次函数的图像可知 ，则二次函数对称轴 ，该选项图像错误，不符合题意；
C、由一次函数的图像可知 ，而二次函数图像开口方向和对称轴位置均正确，符合题意；
D、由一次函数的图像可知 ，而二次函数的图像开口向上，即 ，故图像错误，不符合题意．
故选：C．
题型六、待定系数法求二次函数解析式
【例6】．（24-25九年级下·全国·随堂练习）选择最优解法，设出下列二次函数的表达式：
（1）已知抛物线的图象经过点 ， ， ，设抛物线的表达式为 ．
（2）已知抛物线的顶点坐标 ，且经过点 ，设抛物线的表达式为 ．
（3）已知二次函数有最大值6，且经过点 ， ，设抛物线的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式：
（1）根据抛物线与y轴的交点坐标，即可求解；
（2）根据抛物线的顶点坐标，即可求解；
（3）根据抛物线的最大值为6，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点 ，
∴可设抛物线的表达式为 ；
故答案为： ；
（2）∵抛物线的顶点坐标 ，
∴可设抛物线的表达式为 ；
故答案为： ；
（3）∵二次函数有最大值6，
∴可设抛物线的表达式为 ．
故答案为： ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象过点 ，顶点坐标为 ．
(2)已知图象经过点 ， ，且对称轴为直线 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是根据已知信息建立合适的函数解析式．
（1）根据顶点坐标为 ，设函数解析式为 ，再将点 代入函数解析式求解a的值即可；
（2）设函数解析式为 ，再根据经过A点与B点代入和对称轴公式求解即可．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为 ，
∴设函数解析式为 ，
∵函数经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴函数解析式为 ；
（2）解：设函数解析式为 ，
∵经过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，整理可得 ，
联立 ，
解得 ，
∴函数解析式为 ．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）求满足下列条件的二次函数的解析式：
(1)图象经过点 ， 和 ；
(2)图象顶点坐标为 ，且经过点 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题目特点灵活选取二次函数解析式的形式是解题的关
键；
（1）由题意，设二次函数的表达式 ，把三点坐标代入函数式中，解方程组即可求解；
（2）设抛物线的解析式为顶点式为 ，把 代入求出a的值，即可得到解析式．【详解】（1）解：由题意，设二次函数的表达式 ，
把 ， 和 代入 得： ，
．
二次函数的表达式 ．
（2）解：由题意，设抛物线的解析式为： ，
把 代入解析式得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为： ．
题型七、根据二次函数的对称性求函数值
【例7】．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）若抛物线 经过 和 两点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题
意，易知对称轴是直线 ，抛物线经过 和 两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，
该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解．
【详解】解：由题意得， 抛物线 的对称轴为直线 ，
抛物线经过 和 两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，
，解得 ．故答案为： ．
【跟踪训练1】．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）当 与 时，代数式 的值相等，
则 时，代数式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟
记性质和得出 是解题的关键．先由抛物线 ，可得抛物线的对称轴为直线 ，
从而得到以a、b为横坐标的点关于直线 对称，进而得到 ，再把 代入，即可求解．
【详解】解：由抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵当 或 时，代数式 的值相等，
∴当 或 时，抛物线 的函数值相等，
∴以a、b为横坐标的点关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
即 时，代数式 的值为 ．
故答案为： ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线 上有
三点，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意，由 ，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过 ，可得对称轴是直线 ，又 ，且抛物线过 ，故 ，再分类讨论判断即
可得解．
【详解】解：由题意，∵ ，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又∵抛物线过 ，
∴对称轴是直线 ．
又∵ ，且抛物线过 ，
∴ ．
∴ ．
①当 时， ，
∴ ；
②当 时， ，
∴ ；
③当 时， ，
∴无解；
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
题型八、利用二次函数的对称性求最短路径
【例8】．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C，点B的坐标为 ．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，则点P的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质
转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知： ，所以当点 在线段 上时， 的值最小，
的周长也最小，以此为依据求解即可；
【详解】解：令 ，则 ，
解得 ， ，
， ，
抛物线 的对称轴为：
点 的横坐标为：
当 时， ；
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
由抛物线的对称性可知：
∴当点 在线段 上时， 有最小值，则 的周长最小，
将 代入 得：
故此时点 的坐标是故答案为： ．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，且 ，点 、 是直线 上的两个动点，且 （点 在点 的上方），则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅
助线是解题的关键．
先求出点 的坐标，求出求出点 的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点 的坐标，取 ，连接 ，
， ，可证四边形 是平行四边形，得到 ，则四边形 的周长 ，再
由点 ， 关于直线 对称，得到 ，则 ，故当 、 、 三点共线时，
最小，最小为 ，即此时 最小，据此求解即可．
【详解】解： 点 是抛物线 与 轴交点，
点 的坐标为 ，
，
点 的坐标为 ，
，
，
抛物线解析式为 ，
抛物线对称轴为直线 ，
令 ，则 ，
解得 或 ，
点 的坐标为 ，
取 ，连接 ， ， ，，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
点 ， 关于直线 对称，
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，最小为 ，即此时 最小，
，
四边形 的最小值为 ．
故答案为： ．
【跟踪训练2】．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知拋物线 经过 ，
， 三点，直线 是拋物线的对称轴，点M是直线 上的一个动点，当 最短时，点M的坐
标为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性，连接 交对称轴 于M，此时 最短，利用待定系数法求得直线 的解
析式即可求得点M的坐标．【详解】解：连接 交抛物线的对称轴 于M，则 最短，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵抛物线经过 、 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，
∴点M坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解
决最短路径问题是解答的关键．
题型九：二次函数的对称问题
【例9】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的
横坐标是 ，顶点坐标为 ，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数 的顶点坐标知对称轴是直线 ，又图象与x轴的一个交点的横
坐标是 ，从而根据对称性可得，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标．
【详解】解：由题意， 二次函数 的顶点坐标为 ，
对称轴是直线 ．
又 图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，
二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为： ．
故答案为：1．
【跟踪训练1】．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）二次函数 ，当 和 时， 的
值相等．
（1） ；（用含有 的式子表示）
（2）无论 为何值，二次函数 与 交于点 ，当 时，总存在 随 的增大而减小，
则代数式 的最小值为 ．
【答案】 3
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）由当 和 时， 的值相等，可得对称轴为 ，再由一般式对称轴公式即可得到 ，再
化简即可；
（2）根据相交得到 ，先求出 ，而总存在 随 的增大而减小，得到 ，那么 ，
再由 ，即可求解最值．
【详解】解：（1）由题意可知 ，
解得 ；
（2）令 ，
可得 ，
若和 无关，则 ，
此时 ，即点 的坐标为 ．当 时，总存在 随 的增大而减小，
，解得 ，
而 ，
故当 时，代数式 有最小值3，
故答案为： ，3．
【跟踪训练2】．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线 经过点 ， ，
（1）抛物线的对称轴为 ；
（2）点 ， 在抛物线上，且 ，则t的取值范围是 ．
【答案】 直线
【分析】本题考查二次函数的图象和性质：
（1）根据对称性求出对称轴即可；
（2）根据对称轴求出 值，求出 和 时的函数值，根据 ，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线 经过点 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
故答案为： ；
（2）∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， 在抛物线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ；
故答案为： ．
题型十、二次函数压轴问题（线段、周长、面积、四边形）
【例10】．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线 交 轴于点 ， ，交
轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标．
(2)如图， 是抛物线上位于直线 上方的动点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，当 的长度最大
时，求点 的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ，顶点坐标为
(2)
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式；（2）中用参数t表示抛物线上的点P、
直线 上点 的坐标，再用t表示出 的长是解题关键．
（1）将点 ， 坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出直线 的解析式，设出点 坐标，表示出点 坐标，建立 ，利用二次函数的性质即
可得出结论．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ．，
抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ；
（2）解：令 ，得 ，
点 ．
设直线 的函数解析式为 ．
把点 ， 代入，得 ，
解得 ，
直线 的函数解析式为 ．
设点 ，则点 ，
．
，
当 时， 的长度最大，
此时点 的坐标为 ．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，已知二次函数 过点 ， ．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使 的面积为4，若存在，
求出点P的坐标，若不存在说明理由．【答案】(1)平移后的解析式为 ，
(2)平移后的解析式为 ，顶点为 ；
(3)存在， 或
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解
题的关键：
（1）将点 ， 代入 ，求解即可得出答案；
（2）先将解析式变形为 ，再根据二次函数的平移即可得出答案；
（3）当 时， ，求出 ， ，根据 ，得出 ，再得出
，求解即可得出答案．
【详解】（1）将点 ， 代入
得， ，
解得， ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2） ，
由平移规律得平移后的解析式为 ，
∴顶点为 ；
（3）当 时， ，
解得： ， ，
∴ ， ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵顶点为 ，
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，
∴ ，
解得， 或 ，
∴ 或 ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线 经过点 、
，交 轴于点 ，点 是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点 的坐标为 时，求四边形 的面积；
(3)若 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)16
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作 于T，根据 列式求解即可；（3）取 ，连接 ， ，证明 ，则线段 与抛物线的交点 即为所求；求出直线
的解析式为 ，联立 ，解得 或 （舍去），则 ；如图所示，取
，连接 ，同理可得 ，则直线 与抛物线的交点 即为所求；同理可得
；则符合题意的点P的坐标为 或 ．
【详解】（1）解：将点 代入 ，
得
解得
∴抛物线解析式为 ；
（2）解∶如图所示，过点P作 于T，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
（3）解：如图所示，取 ，连接 ， ，∵ 、 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴线段 与抛物线的交点 即为所求；
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 （舍去），
∴ ；
如图所示，取 ，连接 ， ，
同理可得 ，∴直线 与抛物线的交点 即为所求；
同理可知直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 （舍去），
∴ ；
综上所述，符合题意的点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助
线并利用数形结合的思想求解．
【跟踪训练3】．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线 交x轴于点 和点B，交y
轴于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若点P是线段 上的一动点，作 轴，交抛物线于点Q，当 最大时，在抛物线对称轴上找一
点M，使 的值最小，求出此时点M的坐标；
(3)若点P在直线 上的运动过程中，是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)(3)存在，P点坐标为 或 或 或
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义、勾股定理等知识
点，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，设 ，则 ，可得
，得到当 时PQ最大为 ，此时 ；再求得点B的坐标为 ，再利用
待定系数法求出直线 的表达式为 ，最后把 代入计算即可求解；
（ ）设 ，由勾股定理可得 ，根据等腰三角形的定义
分三种情况解答求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 交y轴于点 ，则 ，
再把 代入抛物线，得： ，
解得： ，
所以抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，∴当 时， 最大为 ，此时 ，
当 时， ，
解得： 或1，即
设直线 的表达式为 ，代入B、Q两点坐标，
得 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，把 代入 ，得 ，
∴M点坐标为 ．
（3）解：存在，理由如下：
由抛物线的对称轴为直线 、 、 ，
设 ，
∴ ，
①当 时，即 ，
得 ，
解得： ，
∴P点坐标为 或 ；
②当 时，即 ，
得 ，
解得 或1（ 舍去），
∴P点坐标为 ；③当 时，易知P点的横坐标为 ，
代入 中得 ，
∴P点坐标为 ．
综上，P点坐标为 或 或 或 ．
【跟踪训练4】．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线 ，与 轴交于 ，
两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 ，点 ．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)若抛物线 的顶点为 ，抛物线的对称轴交直线 于点 ，点 为直线 右侧抛物线上一点，点 在直线
上，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)抛物线 的函数表达式为 ；
(2)存在，点 的坐标为 或 或 ．
【分析】（ ）由 ， ， ，求出 ， ，然后利用待定系数法即可求
解；
（ ）先求出直线 解析式为 ，设 ， ，则分当 为边时，四边形
为平行四边形时；当 为边时，四边形 为平行四边形时；当 为对角线时，四边形 为平
行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解；本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应
用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵抛物线 ，与 轴交于 ， 两点与 轴交于点 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线 的函数表达式为 ；
（2）解：存在点 ，理由如下，
∵ ， ，
∴设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 解析式为 ，
∵点 在直线 上，
∴设 ，
∵点 为直线 右侧抛物线上一点，
设 ，
由抛物线 的函数表达式为 ，
∴ ，
∴当 时， ，∴ ，
当 为边时，四边形 为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴点 ；
当 为边时，四边形 为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴点 ；当 为对角线时，四边形 为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴点 ，此时与点 重合；
综上可知：点 的坐标为 或 或 ．
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·江苏南通）若二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线 ，则在对称轴
左侧 随 的增大而减小，然后根据题意得到 ，求解可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线 ，
∴在对称轴左侧 随 的增大而减小，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，故选：C．
2．（25-26九年级上·浙江杭州）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．y有最小值是3
C．对称轴是直线 D．当 时，y随x增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可．
【详解】解：二次函数为 ，
∵ ，
∴函数图象开口向下，故A错误；
∵二次函数的顶点为 ，且开口向下，
∴y有最大值是3，故B错误；
根据二次函数的顶点可知对称轴为 ，故C错误；
∵对称轴为 ，且开口向下，
∴当 时，y随x增大而增大，故D正确；
故选：D ．
3．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）二次函数 （a，b，c为常数，且 ）与x轴的一个交点
的横坐标是 ，顶点坐标为 ，则下列关于二次函数 的说法中正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是求出二次函数解析式．
利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据其性质，对称性，增减性进行判断即可．
【详解】解：将二次函数 转化为 ，
又∵二次函数的顶点坐标为 ，∴ ，
∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标是 ，
∴
，
∴二次函数的解析式为 ，
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，对称轴是直线 ，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是4，故选项B错误；
∵ ，对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
将 代入解析式得
，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8，故选项D正确，
故选D．
4．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的大
致图象可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，运用数形结合的方法是解题的关键．
先由一次函数 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 的图象相比是否一致，即可得出答案．
【详解】解：A、由抛物线开口方向可得 ，由直线与 轴交点可得 ，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线开口方向可得 ，由直线与 轴交点可得 ，矛盾，故本选项不符合题意；
C、由抛物线开口方向可得 ，由直线与 轴交点可得 ，故本选项符合题意；
D、由抛物线开口方向可得 ，由直线与 轴交点可得 ，矛盾，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数 中函数y与自变量x之间的部分对应值如
下表所示，点 ， ， 在函数的图象上，当 ， 时，则 的大小关
系是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 2 …
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
先利用待定系数法可得二次函数的解析式为 ，再根据二次函数的对称性可得点 在这个二
次函数的图象上，然后求出 ，根据二次函数的增减性求解即可得．
【详解】解：将点 ， 代入 得： ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
∴这个二次函数的对称轴为直线 ，抛物线的开口向下，
∴当 时的函数值与当 时的函数值相等，
∴点 在这个二次函数的图象上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵二次函数 的对称轴为直线 ，抛物线的开口向下，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∵点 ， ， 都在这个二次函数的图象上，且 ，
∴ ，
故选：B．
6．（25-26九年级上·浙江金华）已知二次函数 的图象如图所示，有下列 个结论，其中正确
的结论是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与 的关系，以及二次函数与方
程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与 轴的交点位置，即可得到 、
、 的正负性，从而判断A选项；把 代入二次函数解析式中，即可判断B选项；根据二次函数图象的对称
轴可判断C选项的正确性；根据二次函数图象与 轴有 个交点，从而判断D选项．
【详解】解： 二次函数图象开口向下，
，
对称轴 ，
， ，故C选项正确；
二次函数图象与 轴的交点在 轴上方，
，
，故A选项错误；
当 时， ，
，即 ，故B选项错误；
二次函数图象与 轴有 个交点，
，故D选项错误；
故选：C ．
7．（25-26九年级上·福建福州）若二次函数 的图象经过 、 、 、
、 ， 则 的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，根据点 的坐标确
定函数的对称轴，再通过对称轴即可判断函数大小．
【详解】解：∵二次函数的图象经过 、 ，
∴二次函数的对称轴为直线： ，
∵ ，
∴二次函数开口向上，
∴ 、 、 与对称轴之间的距离中， 最远， 最近，
∴ ，
故选：D．
8．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象经过点 ，
， ， ，其中 ， 为常数，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出 ， 两点关于抛物线的对称轴对称，据此得
出 ， 之间的关系，再将点 和点 代入二次函数解析式，进一步得出 ， 之间的关系，最后用 表示出 和
即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 在二次函数 图象上，
∴ ， 两点关于抛物线的对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 在二次函数 图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ 在二次函数 图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
9．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点 作 轴的垂线，
交抛物线另一侧于点 ，点 ， 在线段 上，且关于 轴对称，分别过点 ， 作 轴的垂线交抛物线于 ，
两点，则四边形 周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解
与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点 坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形 周
长的表达式，再利用二次函数性质求最大值．
【详解】解：点 在抛物线 上，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
抛物线表达式为 ．
设 （ ），
点 ， 关于 轴对称，．
过点 作 轴垂线交抛物线于 ，则 ；过点 作 轴垂线交抛物线于 ，则 ．
∴ ， ，
∴ ， ．
四边形 周长 ，
．
∵上述函数中二次项系数 ，开口向下，对称轴为直线 ．
∴当 时， ．
故选： ．
二、填空题
10．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知 ， ， 是二次函数 的图象上的三
个点，则 ， ， 的大小关系为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键是掌握二次函数图象的
性质．
【详解】解：由二次函数 ，则它的对称轴为 ，开口向下，
∴图象上的点离对称轴越远则 的值越小，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
11．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知抛物线 关于 对称，其部分图象如图所示，则下
列结论中：① ；② ；③ ；④ ．正确的是 （填序号）．【答案】①②③
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．运用数形结合思想得图象开口向上，图象与 轴的交点坐标为 ，则 ， ，因为抛物线
关于 对称，则 ，整理得 ，结合对称性得抛物线 与 轴的另一个
交点坐标为 ，把 代入 ，得 ，即可作答．
【详解】解：观察函数图象，开口向上，
∴ ，
故①符合题意；
观察函数图象得抛物线 与 轴的交点坐标为 ，
∴ ，
故②符合题意；
∵抛物线 关于 对称，
∴
∴
∴
故③符合题意；
观察函数图象得抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，
∵抛物线 关于 对称，
∴即抛物线 与 轴的另一个交点坐标为 ，
把 代入 ，得 ，
即
故④不符合题意；
故答案为：①②③
12．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上运动，过点
作 轴于点 ，以 为对角线作矩形 ，连接 ，则对角线 的最小值为
【答案】
【分析】本题主要考查的是矩形的性质，配方法求二次函数的最值，求得 的最小值是解题的关键．先依据配方
法确定出函数的最小值，依据矩形的对角线相等可得到 ，然后确定出 的最小值即可.
【详解】 ，
抛物线的开口向上，顶点坐标为 ，
当 时， 有最小值 ，
的最小值为 ．
∵ 是矩形 的对角线，
∴ ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．
给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是 填序号【答案】①④
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，
解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．根据开口方向、对称轴、抛物
线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当 时，当 时， 的范围，确定代数式
的符号．
【详解】解：由题图知 ， ，
，
抛物线与 轴交于负半轴，
，
，故 正确；
对称轴为直线 ，
，即 ，
，故 错误；
当 时， ，
，故 错误；
当 时， ，对称轴为直线 ，
当 时， ，
，故 正确．
故答案为：①④．
14．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线 与 交于点 过点
作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论 取何值， 的值总是正数；② ；③当 时， ；④ ；其中，结论正确的是
（填写序号即可）
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用二次函数的性质，对于抛物线 ，当 时，
y有最小值为1，则可对①进行判断；把A点坐标代入 可求出a的值，则可对②进行判断；当
时通过计算从而可对③进行判断；利用对称性求出B、C的坐标，然后计算出 和 的长，从而可对④进
行判断．
【详解】解：①∵抛物线 开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值， 的值总是正数，故本结论正确；
②把 代入抛物线 得 ，解得 ，故本结论正确；
③由两函数图象可知，抛物线 解析式为 ，当 时， ，
，故 ，故本结论错误；
④∵抛物线 与 交于点 ，
∴ 的对称轴为 ， 的对称轴为 ，
∴
∴ ，
∴ ，故本结论正确．
故正确的结论为：①②④．
故答案为：①②④．三、解答题
15．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知二次函数 经过点 、 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)用配方法把该二次函数的解析式化为 的形式，并写出顶点坐标和对称轴．
【答案】(1)
(2)顶点式 ，顶点坐标 ；对称轴为直线
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，正确
求出函数解析式．
（1）将两点坐标代入解析式，解得 的值，求出二次函数的解析式即可；
（2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可．
【详解】（1）解：将 、 代入 得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ．
（2）解： ，
∴顶点式为： ，顶点坐标为 ；对称轴为直线 ．
16．（25-26九年级上·北京·阶段练习）下表是二次函数 的部分 ， 的对应值：
… 0 1 2 3 …
… 2 …(1) 的值为___________，在直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)当 时， 的取值范围是______________；
(3)当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值都小于二次函数 的值，直接写出 的取值
范围．
【答案】(1) ，图象见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、画二次函数的图象、二次函数的图象性质、一次函数的图象性
质：
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，代入 即可求m的值；描点连线即可得图象；
（2）根据二次函数图象的性质即可求得答案；
（3）只需要 时二次函数值大于或等于一次函数的函数值即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
故答案为：2；
描点并连线可得二次函数的图象：；
（2）解：∵二次函数图象开口向上，对称轴 ，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
∴y的取值范围是 ，
故答案为： ；
（3）解：当 时，二次函数的函数值 ，且随着x的增大y增大，
对于一次函数 ，当 时，随着x的增大y也增大， ，
故要满足题意，则 ，解得 ．
17．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知抛物线 （b，c为常数）的图象经过点 和 ．
(1)求抛物线的表达式及对称轴．
(2)过点 与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且 ，求t的值．
(3)将抛物线沿x轴向左平移 个单位长度，当 时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的
和为12，求m的值．
【答案】(1)抛物线的表达式为 ，对称轴为直线
(2) 或
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二
次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出B，C的坐标，然后根据为AB=2AC列方程求出t的值解答即可；
（3）根据题已得到平移后的解析式，然后在 得到最大值与最小值，根据题意列方程求出m值即可．【详解】（1）解：已知抛物线 的图象经过点 和 ，将这两点代入抛物线方程，可得
，
解得： ，
所以抛物线的表达式为 ，
对称轴为直线 ；
（2）解：令y=0，则
解得 1，
所以抛物线与x轴的交点为 和 ．
因为过点 与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
所以B，C两点的纵坐标为t，即 ，
解得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
解得 或 ．
（3）解：将抛物线沿x轴向左平移 个单位长度，得到
新抛物线的对称轴为： ，则当 时，y随x的增大而增大，
当 时，y的最大值为 ，
y的最小值为 ，因为y的最大值与最小值的和为12，
所以
解得 或 （舍去）．
18．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数 的图象与y轴交于点C，点B是点C关
于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上的点A 及点B．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出 时x的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征以及通过图象比较
函数值大小是解题的关键．
（1）对于二次函数，将点 代入其表达式求出 ，进而得到二次函数解析式，再求出点 坐标，根据对称轴
求出点 坐标，最后将 、 代入一次函数求出解析式．
（2）通过观察图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方时 的取值范围．
【详解】（1）解：把 代入 ，可得
解得 ，
所以二次函数解析式为 ，展开得 ．
当 时， ，
所以 ．二次函数 的对称轴为直线 ，
因为点 与 关于对称轴对称，
所以 ．
把 ， 代入 ，可得
解得 ， ，
所以一次函数解析式为 ．
（2）解：∵ ， ，
∴由图象可知， 时 的取值范围是 或 ．
19．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，抛物线 经过 两点，与 轴的另一个交
点为 ，顶点为 ．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)若 为该抛物线上一动点（与点 不重合）．
①当点 在直线 的下方运动时，求 面积的最大值；
②在①的条件下，连接 ，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 是抛物线对称轴上的点，要使
，求满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与面积，全等三角形的性质．（1）将 两点分别代入 列方程计算即可；
（2）①过点 作 轴的平行线，交 于点 ，连接 ， ，先求出直线 的函数解析式为 ，再设点
，则点 ，根据 求面积最大值即可；
②由 ，得到 ，设点 ，则 ， 或 ，再根据
点 在抛物线对称轴右侧或左侧时，列方程求出 ， 的值即可．
【详解】（1）解：将 两点分别代入 ，
得 ，解得 ，
该抛物线的函数解析式为 ．
（2）解：①如图，过点 作 轴的平行线，交 于点 ，连接 ， ．
设直线 的函数解析式为 ．
将 两点分别代入，得 ，
解得 ，
直线 的函数解析式为 ．
设点 ，则点 ，
，，
，且 ，
当 时， 的面积有最大值，最大值为 ．
②由（1）易知，抛物线的对称轴为 ，
，
∵ ，
∴ ，
设点 ，
∵过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 是抛物线对称轴上的点，
∴ ， 或 ，
当点 在抛物线对称轴右侧时， ，
，
，
， ， 或 ．
当点 在抛物线对称轴左侧时， ，
，
，
， ， 或 与点 在直线 的下方矛盾，应舍去．
所以，点 的坐标为 或 ．
