文档内容
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第2课时）
一、教学目标
【知识与技能】
利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.
【过程与方法】
通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选
择恰当的解析式求法.
【情感态度与价值观】
经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶
点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】待定系数法求二次函数的解析式.
【教学难点】
选择恰当的解析式求法.
五、课前准备
课件
六、教学过程
（一）导入新课
教师问：已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的
解析式.（出示课件2）
学生板演：
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和
（-2，-12），所以
解得k=3，b=-6.
一次函数的解析式为y=3x-6.
教师问：如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？
（二）探索新知探究一 用三点式求二次函数的解析式
教师问：回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次
函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？（出示课件4）
学生答：求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c
的值.
教师问：我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确
定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，由几个点的坐
标可以确定二次函数？（出示课件5）
生猜想：两个.
师举例：已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.
师生共同解决如下：
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
教师问：三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？
生答：不能.
教师问：对于二次函数，那么由几个点的坐标可以确定二次函数？生答：三个.
师举例：已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)，求这个函数
的解析式.（出示课件6）
师生共同解决如下：
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
教师问：三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？
生答：能解.
生板演解题过程，教师加以指导.（出示课件7）
由②-①可得：2b=-6，b=-3.
由③-①可得：3a+3b=-3，a+b=-1，a=2.
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10，c=5.
∴解方程组得：a=2,b=-3,c=5.
出示课件8：例 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三
点，求这个函数的解析式.学生自主思考后，师生共同解决如下：
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).
∴
解得a＝1，b＝-2，c＝-3.
∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
出示课件9：教师归纳：求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待
定系数a，b，c的值.
若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c,列
出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式.
已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点，求这个函数的
解析式.（出示课件10）
学生独立思考后，自主解决.
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9).∴
解得a＝4，b＝5，c＝0.
∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x.
探究二 用交点式y=a(x-x )(x-x )求二次函数解析式
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出示课件11：一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2
与 时，y＝0，求这个二次函数的解析式.
生独立思考后，师生共同分析如下：
教师问：两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
学生答：方法一.
出示课件12：例 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，
B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析
式.学生自主思考后，找一生板演，教师加以指导.
解:∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)，
∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3).
∵图象过点C(0,3),
∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
教师总结：交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，
可设解析式为y=a（x-x ）（x-x ），把另一点的坐标代入，解关于a的一元一
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次方程.
出示课件13：已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M
（0,1），求抛物线的解析式.
生独立思考后，自主解决.
解:∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0)，
∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1).
∵图象过点M(0,1),
∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1.
∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1),故所求的抛物线解析式为y=－x2+1.
探究二 用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式
教师问：图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐
标已知，那么求解析式的关键是什么？（出示课件14）
学生思考后，出示课件15：
例 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.
学生自主思考后，师生共同解决.
解：∵抛物线顶点为(1,-4),
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)，
则-3=a(2-1)2-4，则a=1.
∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
教师归纳：若已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点
坐标代入解关于a的一元一次方程.（出示课件16）
出示课件17：已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且
图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的关系式.
学生对照例题，自主解决.
解：∵抛物线顶点为(-1,2)，∴设其解析式为y=a(x+1)2+2，
又抛物线过点(1,-3)，
则3=a(1+1)2+2，则a= .
故这个二次函数的关系式是y= (x+1)2+2.
（三）课堂练习（出示课件18-21）
1.已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该
函数的关系式.
2.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-
2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( )
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为
.4.如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴
交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.
5.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析
式.
参考答案：
1.解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1.
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4
即y=﹣x2﹣2x+3.
2.D
3.y=-7(x-3)2+4
4.解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,
知抛物线一定过点(-2,0).
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),
∵抛物线过点(0,4),∴4=a(0+2)(0-8),
∴这个抛物线的解析式为
5.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),
设解析式为y=a(x-5)(x+3),
∵抛物线过点(1,16)，
∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
（四）课堂小结
设二次函数的解析式有几种情况?
（五）课前预习
预习下节课（22.2）的相关内容.
七、课后作业
1.教材习题22.1第10、12题.
2.配套练习册内容
八、板书设计：九、教学反思：
本课时的主要内容是利用待定系数法求二次函数解析式，教师应让学生体
会求解过程，关键是让学生学会如何运用三点式，顶点式，交点式等来求解析
式.
