第四节跟踪训练_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_十一章

MST老唐说题26版一轮 第四节 跟踪训练 题型1 【训练1】已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，且PX 034PX 1a，则a（ ） 2 1 1 1 A． B． C． D． 3 2 3 4 【训练2】有一个盒子里有1个红球，现将n（nN*）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取 到的红球个数为个，则随着n（nN*）的增加，下列说法正确的是（ ） A．E减小，D增加 B．E增加，D减小 C．E增加，D增加 D．E减小，D减小 【训练3】为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步 方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论 文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认 定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位） 进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕 业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为 p0 p1，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格” 相互独立. 1 (1)若p ，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少； 2 (2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为180元，不需要复评的评审费用为90元，则每篇论文平均评审 费用的最大值是多少？MST老唐说题26版一轮 题型2 【训练1】（2020•江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋 中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X ，恰有2个黑球的概 n 率为 p ，恰有1个黑球的概率为q ． n n （1）求 p ，q 和 p ，q ； 1 1 2 2 （2）求2p q 与2p q 的递推关系式和X 的数学期望E(X )（用n表示）． n n n1 n1 n n 【训练2】甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知 每局游戏乙赢的概率为 p(0 p1)，甲赢的概率为1 p，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的 情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分 配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖 金的概率之比P :P 分配奖金.记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去， 甲 乙 2 甲获得全部奖金的概率 f A，并判断当p 时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事 3 件发生的概率小于0.05，则称随机事件为小概率事件）MST老唐说题26版一轮 题型3 5 【训练1】设随机变量B2,p，若P1 ，则p的值为 . 9 【训练2】设随机变量X ~B(n,p)，记 p Ckpk(1 p)nk，k 0,1,2,,n．在研究p 的最大值时，某学习 k n k 小组发现并证明了如下正确结论：若(n1)p为正整数，当k (n1)p时， p  p ，此时这两项概率均为 k k1 最大值；若(n1)p不为正整数，则当且仅当k取(n1)p的整数部分时，p 取最大值．某同学重复投掷一 k 枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继 续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 的概率最大． 【训练3】“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生 课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分 别位于区间 7,9， 9,11， 11,13， 13,15， 15,17， 17,19 ，用频率分布直方图表示如下，假设用频率 估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立. (1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间 13,17的概率； (2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间 15,17的人数，求的分布 列和数学期望E .MST老唐说题26版一轮 【训练4】一个袋子中装有N 大小相同的球，其中有N 个黄球，N 个白球，从中随机地摸出m个球作为样 1 2 本，用X 表示样本中黄球的个数. (1)若采取不放回摸球，当N 6，N 2，N 4，m3时，求X 的分布列； 1 2 (2)若采取有放回摸球，当N 100，N 50，N 50，m10时，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比 1 2 例，求误差不超过0.1的概率(用分数表示). 题型4 【训练1】（2024•武汉模拟）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家把一批产品发给商家时，商家按规 定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品： （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格产 品的概率； （2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验， 只有2件产品都合格时才接收这些产品，否则拒收． ①求该商家检验出不合格产品件数的均值； ②求该商家拒收这些产品的概率．MST老唐说题26版一轮 【训练2】某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽 取9箱进行检测，其中有5箱为一等品. (1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率； (2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望. 【训练3】某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项 技能的评价指标，按60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100分成8组，得到如图所 示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）； (2)若采用分层抽样的方法从评价指标在 70,75和 85,90内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随 机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在 70,75内的学员人数为X ，求X 的分布列与数学 期望．MST老唐说题26版一轮 题型5 【训练1】（2025•济南月考）下列关于随机变量X的说法正确的是（ ） A．若X服从正态分布N（1，2），则D（2X+2）＝8 B．已知随机变量X服从二项分布B（2，p），且 ，随机变量Y服从正态分布N（2，σ2）， 5 ( ≥ 1)= 若 ＜ ，则 ＜ ＜ 9 2 ( 0)= (2 4)= C．若X服2从超几何分布H（4，3 2，10），则期望 4 ( )= D．若X服从二项分布 ， ，则方差 5 1 8 (4 ) ( )= 3 9 【训练2】2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖 一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红 球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球， 享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不 打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸 取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？MST老唐说题26版一轮 【训练3】“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实 实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切 身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进 行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所 示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在12,14 ，14,16 ，16,18 三组内 的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在14,16 内 的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取20名学生，用Pk表示这20名学生中恰有k名学 生周平均阅读时间在8,12内的概率，其中k  0,1,2,,20．当Pk最大时，写出k的值．MST老唐说题26版一轮 题型6 【训练1】（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2)，则下列结论中不正确的是( ) A．越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【训练2】（2015•湖北）设X ~ N(，2)，Y ~ N(，2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结 1 1 2 2 论中正确的是( ) A．P(Y )P(Y ) 2 1 B．P(X )P(X ) 2 1 C．对任意正数t，P(Xt)P(Yt) D．对任意正数t，P(Xt)P(Yt) 【训练3】（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0，32)，从中随机抽取 一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) （附：若随机变量服从正态分布N(,2)，则P()68.26%， P(22)95.44%) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%MST老唐说题26版一轮 【训练4】随机变量X 服从正态分布X N  10,2 ,P(X 12)m,P 8 X 10 n ，则 1  1 的最小值 2m n 为（ ） A．34 2 B．62 2 C．64 2 D．32 2 【训练5】山东烟台某地种植的苹果按果径X （单位：mm）的大小分级，其中X80,100 的苹果为特级， 且该地种植的苹果果径X N85,25．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果 的个数约为（ ）（参考数据：X  N  ,2 ，P( X )0.6827．P(2 X 2)0.9545， P(3 X 3)0.9973） A．3000 B．13654 C．16800 D．19946MST老唐说题26版一轮 题型7 【训练1】某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后方可参加复试．为 了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩绘制成如图所示的样本频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计样本的平均数； (2)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布N  ,2 ，其中为样本平均数的估计值，9，试估计所有 考生中初试成绩不低于80分的人数； (3)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0 分，四道题的总得分为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中前两题每道题能答对的概率均 3 3 为 ，后两题每道题能答对的概率均为 ，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为X ， 4 5 求PX 20 . 附：若随机变量X 服从正态分布N  ,2 ，则：P( X )0.6827， P(2 X 2)0.9545，P(3 X 3)0.9973.MST老唐说题26版一轮 【训练2】为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛 活动，并从 中抽取了200 份试卷进行调查，这200 份试卷的成绩（卷 面共100分）频率分布直方图如右 图所示． (1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． (2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N ， 2 （用样本平均数和标准差 s 分别作为 、的 近似值），已知样本标准差 s  7.36 ，如有84%的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的 平均分约为多少？（结果取整数） (3)从得分区间 80，90  和 90，100 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这 10份样本中随机 抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间 80，90  的概率．           参考数据：若 X~N ， 2 ，则 P X 0.68 ，P 2 X 2 0.95 ， P 3 X   3 0.99.MST老唐说题26版一轮 【训练3】在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参 赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数45.75． (1)若所有参赛者年龄X服从正态分布N  ,15.752 ，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数； (2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有 a%0a100的概率评为A类，1a%的概率评为B类，每位参赛者作品的评级结果相互独立．记上 述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为 pa，求 pa的极大值点a ； 0 (3)以（2）中确定的a 作为a的值，记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y，若对这些幸运嘉宾进行颁 0 奖，现有两种颁奖方式：甲：A类作品参赛者获得1000元现金，B类作品参赛者获得100元现金；乙：A 类作品参赛者获得3000元现金，B类作品参赛者不获得现金奖励．根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖 方式，成本可能更低． 附：若X  N  ,2 ，则P  X 0.6827．