第四节调和点列与极点极线论_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第九章

MST老唐说题26版一轮 9.4 调和点列与极点极线论 考向 1 单比与交比 一．单比的概念及性质 1.单比的定义   如果共线三点P,P,P满足PP PP ,则称为共线三点P,P,P的单比，也可以表示为P分PP 为 1 2 1 2 1 2 1 2 。其中P,P 称为基点,P称为分点。 1 2 对单比的概念我们需要理解以下几点: ⑴单比的定义是有顺序的,共线三点P,P,P的顺序不可随意调整，起点分点(分点终点); 1 2 ⑵当P位于线段P,P 之间时,0，否则,当P位于线段P,P 之外时，0，P为线段PP 中点时1； 1 2 1 2 1 2 ⑶如果P,P 为定点,也给定,则点P的位置唯一确定; 1 2 ⑷在平面直角坐标系中,P  x ,y  ,P  x ,y  ,由向量坐标运算,得出定比分点公式： 1 1 1 2 2 2 x x y y x  1 2 ,y  1 2 P 1 P 1 ⑸所谓共线三点的单比,即为定比分点中的定比。 最早出现定比分点高考题是在2006年山东高考卷，由于年代久远，所以我们就用同类型题来解读。 2.为定值的参数同构与点差法 当圆锥曲线上两点作为定比分点，线段两个端点分别位于焦点和另一条坐标轴上时，这里会涉及一个 为定值的问题，我们介绍参数同构法，点差思想来处理． 2 5 【例1】已知焦点在x轴上，离心率为 的椭圆的一个顶点是拋物线x2 4y的焦点，过椭圆右焦点F 的 5     直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M ，且MAAF，MBBF 1 2 (1)求椭圆的方程; (2)证明:为定值. 1 2MST老唐说题26版一轮 x2 y2 1 【例2】已知椭圆C:  1(ab0)的离心率e ，短轴长为2 3． a2 b2 2 （1）求椭圆C 的方程； 3   （2）已知经过定点P(1,1)的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线 y x相交于点Q，如果AQAP， 4   QBPB，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由． 二．单比与交比 1.单比角元形式 两条直线的有向角满足下面几个性质: (1).如果直线a逆时针旋转到直线b,则(a,b)为正角;如果直线a顺时针旋转到直线b,则(a,b)为负角; (2).sin(a,b)sin(b,a).   如下图,分别连接共线三点A,C,B与其所在直线外一点S ,记所形成的直线分别为a,c,b,若 AC CB ,则 SAsin(a,c)  . SBsin(c,b)MST老唐说题26版一轮 2、交比的概念及性质      点列的交比:如果共线四点P,P,P,P 满足PP PP ,PP PP ,则 称为共线四点P,P,P,P 的 1 2 3 4 1 3 3 2 1 4 4 2  1 2 3 4 交比,记为 P,P;P,P 。其中P,P 称为基点偶(对),P,P 称为分点偶(对)。 1 2 3 4 1 2 3 4 点列交比的角元形式：如下图,分别连接共线四点P,P,P,P 与其所在直线外一点S ,记所形成的直线分别 1 2 3 4 sin(a,c)sin(d,b) 为a,b,c,d ,则 P,P;P,P  . 1 2 3 4 sin(c,b)sin(a,d) 从交比的角元形式可以看出,交比 P,P;P,P 的值只与直线的有向角有关系,与线段长度没有关系。于是我 1 2 3 4 们很容易据此得到交比的射影不变性。 3.交比的射影不变性 交比的射影不变性：如图所示,过点S 引四条相交直线,分别与另外两条直线交于A,B,C,D和P,P,P,P , 1 2 3 4 则 P,P;P,P (A,B;C,D) 1 2 3 4 交比的射影不变性,是交比的角元形式的直接推论，交比的射影不变性表明，交比经中心射影后不变。 关于交比射影不变性的斜率公式，我们会在后面章节进行解读，交比射影不变性的推论，结合调和 点列，基本上可以打通高考.MST老唐说题26版一轮 【例3】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O为透视中心，平面内四 个点E，F ，G，H 经过中心投影之后的投影点分别为A，B，C，D．对于四个有序点A，B，C，D， CA 定义比值x CB 叫做这四个有序点的交比，记作(ABCD)． DA DB （1）证明：(EFGH)(ABCD)； 3 sinACO 3 （2）已知(EFGH) ，点B为线段AD的中点，AC  3OB3,  ，求cosA． 2 sinAOB 2MST老唐说题26版一轮 【例4】交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且 AC BD 非无穷远的四点，则称  （分式中各项均为有向线段长度，例如ABBA)为A，B，C ，D四点 BC AD 的交比，记为(A，B；C，D)． 1 （1）证明：1(D,B;C,A) ； (B,A;C,D) （2）若l ，l ，l ，l 为平面上过定点P且互异的四条直线，L ，L 为不过点P且互异的两条直线，L 与 1 2 3 4 1 2 1 l ，l ，l ，l 的交点分别为A，B ，C ，D ，L 与l ，l ，l ，l 的交点分别为A ，B ，C ，D ，证 1 2 3 4 1 1 1 1 2 1 2 3 4 2 2 2 2 明：(A ，B ；C ，D)(A ，B ；C ，D )； 1 1 1 1 2 2 2 2 （3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若EFG与△EFG的对应边不平行，对应顶点的连线交于同 一点，则EFG与△EFG对应边的交点在一条直线上．MST老唐说题26版一轮 三．调和点列与定比点差 1．调和点列的概念  AP 如下图①，点P在线段AB上，则满足  (0)的点P是唯一存在的．但是，如果将线段AB改为直 PB  AP AP AQ 线AB，此时，满足  的点有两个，如下图②，不妨记另一个点为Q，则  (1)，在此 PB QB PB 种情况下，我们称点A、P、B、Q为调和点列，或者称点P、Q调和分割点A、B．按照交比的调和比 解释，就是 (AB,PQ) 1 A P B 图① A P B Q 图② 特别的，当1时，即点P为AB的中点，则Q为无穷远点． 2．调和点列的性质 AC AD 如下图所示：对于线段AB的内分点C和外分点D满足C、D调和分割线段AB，即  ，设O为 CB DB 线段AB的中点，则有以下结论成立： A O C B D CA CB ①点A、B也调和分割C、D，即  ； AD BD 2 1 1 ②   （AB是AC 与AD的调和平均数）． AB AC AD   【例5】(2011山东卷改编)设A 、A 、A 、A 是平面直角坐标系中相异的四点，若AA AA (R)， 1 2 3 4 1 3 1 2   1 1 AA AA (R)，且  2，则称A ，A 调和分割AA.已知平面上的点C ，D调和分割点A，B， 1 4 1 2   3 4 1 2 则下面说法正确的是( ) A．A、B、C、D四点共线 B．D可能是线段AB的中点 C．C、D可能同时在线段AB上D． C、D不可能同时在线段AB的延长线上MST老唐说题26版一轮 3.定比分点和调和分点支配下的圆锥曲线     在椭圆或双曲线中，设A，B为椭圆或双曲线上的两点，若存在P，Q两点，满足APPB，AQQB， x x y y 则一定有： P Q  P Q 1 a2 b2   x x y y   证明 若A(x ，y )，B(x ，y )，且APPB，则P( 1 2 ， 1 2) ；若AQQB，则 1 1 2 2 1 1 ì x2 y2 ï 1 ± 1 =1 （1） x x y y ïa2 b2 Q( 1 2 ， 1 2)，有í ， 1 1 ïl2x2 l2y2 ï 2 ± 2 =l2（2） î a2 b2 （1）-（2）可得： (x x )(x x ) (y y )(y y ) 1 x x x x 1 y y y y 1 2 1 2  1 2 1 2 12即得：  1 2 1 2   1 2 1 2 1， a2 b2 a2 1 1 b2 1 1 x x y y 故 P Q  P Q 1． a2 b2     在抛物线y2 2px中，设A，B为抛物线上的两点．若存在P，Q两点，满足APPB，AQQB， 一定有y y  p(x x )． P Q P Q   x x y y   证明 若A(x ，y )，B(x ，y )，APPB，则P( 1 2 ， 1 2) ，AQQB，则 1 1 2 2 1 1 x x y y ì ïy2 = 2px ① Q( 1 2 ， 1 2) ，有í 1 1 1 1 ïî l2y 2 = 2l2px ② 2 2 ①—②得： y2 2y 2  p(x x 2x 2x ) 1 2 1 1 2 2 即(y y )(y y ) p(x x x x x 2x x 2x )， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (y y )(y y ) p(x x )(1) p(x x )(1) 所以 1 2 1 2  1 2  1 2 ，故y y  p(x x )． (1)(1) (1)(1) (1)(1) P Q P Q 定比点差的原理谜题解开，就是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．   x2 y2 |AP| |AQ| 【例6】过P(4，1)的直线交椭圆  1于不同两点A，B，在线段AB上取点Q，满足    . 4 2 |PB| |QB| 求证:点Q在某定直线上.MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例7】已知双曲线C:  1(a0,b0)过点A(4 2,3)，且焦距为10． a2 b2 （1）求C 的方程； |GD| |HD| （2）已知点B(4 2,3)，D(2 2,0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C 于G，H 两点．证明：  ． |GE| |HE|MST老唐说题26版一轮 四．定点在坐标轴上的定比点差 a2 若出现 y 0(或者 y 0)，则 x x a2 ，此时 x m,x  ;若出现 x 0( 或者 x 0) ，则 P Q P Q P Q m P Q b2 a2 b2 y y b2，此时y n,y  .对于公式中，成对出现的“m, ”或者“n, ”，由于公式的背景和极点 P Q P Q n m n 极线有关，不妨可以称它们为“调和共轭数”. x2 y2 1 3 【例8】已知椭圆C:  1(ab0)的离心率e ，且经过点(1, )，点F,F 为椭圆C的左、右焦点. a2 b2 2 2 1 2 (1)求椭圆C的方程; (2)过点F 分别作两条互相垂直的直线l,l ，且l 与椭圆交于不同两点 A,B,l 与直线 x1交于点P.若 1 1 2 1 2     AF FB，且点Q满足QAQB，求PQF 面积的最小值. 1 1 1MST老唐说题26版一轮 类型一 定点在x轴 x2 y2   过定点P(x , 0)的直线与椭圆  1(ab0)相交于 A、B两点，设 APPB(1),A(x , y ) ， P a2 b2 1 1   a2 B(x , y )，则在直线AB上一定存在点Q满足AQQB，根据定比点差法可知x  . 2 2 Q x P  x x x x x  P Q  P Q  1 2 2   x x x x 一定有x  P Q  P Q  2 2 2 y y 0 1 2   x x  x x x x   1 1 2  x p x x x (1)   x 1  p 2 Q  p 2 Q  x x  1 2 p  x x x x 证明: 1 2  x x x  x (1) x  p Q p Q  1 Q  1 2 p  2 2 2  y y 0  y y 1 2  y y  0  1 2 0  1 2  1  y 类型二 定点在 轴 x2 y2   过定点P(0, y )的直线与椭圆  1(ab0)相交于 A、B两点，设 APPB(1),A(x , y ) ， p a2 b2 1 1   b2 B(x , y ) ，则在直线 AB 上一定存在点 Q 满足 AQQB ，根据定比点差法可知 y  .同 2 2 Q y P  y y y y y  P Q  P Q  1 2 2   y y y y 理:y  P Q  P Q .  2 2 2 x x 0 1 2   由于在考试当中我们经常要拿出这三个等式，故我们称之为:“三炮齐鸣，天下太平” x2   【例 9】(2018•浙江高考)已知点 P(0, 1) ，椭圆  y2 m(m1) 上两点 A、B 满足 AP2PB ，则当 4 m 时，点B横坐标的绝对值最大.MST老唐说题26版一轮 考向 2 极点极线与完全四边形 一．极点极线的定义 1．二次曲线的替换法则 x yxy 对于一般式的二次曲线：Ax2 BxyCy2 DxEyF 0，用xx 代x2，用 yy 代y2，用 0 0 代xy， 0 0 2 xx y y 用 0 代x，用 0 代y，常数项不变， 2 2 x yxy xx y y 可得方程：Axx B 0 0 Cyy D 0  E 0 F 0． 0 2 0 2 2 2.极点极线的综合模型——自极三角形 极点极线的几何意义: （1）若点P是圆锥曲线上的点，则过点P的切线即为极点 p对应的极线． （2）如图所示（以椭圆图形为例），若点P是不在圆锥曲线上的点，且不为原点O，过点P作割线PAB 、 PCD依次交圆锥曲线于A、B、C、D四点，连结直线AD、BC交于点M ，连结直线AC 、BD交于点N， 则直线l 为极点P对应的极线．类似的，也可得到极点N对应的极线为直线l ，极点M 对应的极线为直 MN PM 线l ，因此，我们把△PMN 称为自极三角形．【即△PMN 的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对 PN 应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】 如图所示，如果我们连结直线NM 交圆锥曲线于点E、F ，则直线PE 、PF 恰好为圆锥曲线的两条切 线，此时，直线l 不仅是极点P的极线，我们也称直线l 为渐切线． EF EF 下面的共轭点模型，实际都是极点在坐标轴上的特例模型的应用，也是高考题常见． 二．完全四边形 1.完全四边形定义 完全四边形两两相交，如下图的四边形ABCD，没有三线共点的四条直线AB、BC、CD、DA，及它们 的六个交点， ABE,ADF,BCF,DCE 两两相交于 A,B,C,D,E,F 六点，六个点可分成三对相对的顶点, 它们的连线AC,BD,EF是三条对角线.则ABCDEF 即为完全四边形MST老唐说题26版一轮 2.退化二次曲线构造曲线系解读完全四边形 模型构造： f (x，y)f (x，y)f (x，y) 1 2 3 x2 y2 如图，A、B分别为椭圆  1(ab0)的左右顶点，M 、N为椭圆上任意两点，MN 与x轴交 a2 b2 于点Q，AM 与BN 交于点P，我们可以理解为A，M ，B，N四点确定椭圆（双曲线和抛物线也一致）， 那么四点之间连线有6条，我们选取两条交点在椭圆内的直线乘积式构造弱化二次曲线 f (x，y)0，再选 1 取两条交点在椭圆外的直线乘积式构造另一条弱化的二次曲线 f (x，y)0，可以理解为两条弱化的二次曲 2 x2 y2 线形成了这个椭圆 f (x，y)  10，即 f (x，y)f (x，y)f (x，y) 3 a2 b2 1 2 3 注意：这里最终结果会指向一个极点极线性质x x a2，故在设计l :y0，l :xkym0， P Q AB MN f (x，y) y(xkym)0 ，l :xk ya0，l :xk ya0 1 AM 1 BN 2 x2 y2 f (x，y)(xk ya)(xk ya)0 ，从而得出：y(xkym)(xkya)(xk ya)(  1)； 2 1 2 1 2 a2 b2 记住：曲线系只需要对比系数，确定参数，无需展开求出和，k，k ，k 均是斜率倒数，不是斜率． 1 2 x2 【例 1】（2020•新课标Ⅰ）已知 A，B 分别为椭圆E:  y2 1(a1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点， a2   AGGB8．P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为M ，PB与E的另一交点为N． （1）求E的方程； （2）证明：直线MN 过定点．MST老唐说题26版一轮 【例2】（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(2 5，0)，离心率为 5 ． （1）求C 的方程； （2）记C 的左、右顶点分别为A，A ，过点(4,0)的直线与C的左支交于M ，N两点，M 在第二象限， 1 2 直线MA 与NA 交于P，证明P在定直线上． 1 2 三．调和平行弦中点定理 1.调和点列与调和线束 根据完全四边形中的调和点列可知，完全四边形的任意一条对角线的两端,都被它和另外两条对角线 的交点所调和分割.如果我们以 S 点为射影中心，P,P ,P,P 为调和点列，利用交比不变性，如下图， 1 2 3 4 (PP,PP )(AB,CD)1， 1 2 3 4 则SP ，SP ，SP ，SP 均为S点的调和线束. 1 2 3 4 2.无穷远点调和点列解读 如图所示，若(PP,PP)=-1，SP ，SP ，SP ，SP 均为S点的调和线束，过P S 延长线上任意一 1 2 3 4 1 2 3 4 4 点A作AB//SP 1 分别交SP 3 和SP 2 于点B和C，则 AC BC .MST老唐说题26版一轮 证明：根据交比不变性，若(PP,PP)=-1，则(A，B；C，)1,故AC CB. 1 2 3 4 3.调和平行中点定理推论 若A，M，B，N是调和点列，如下图所示，过A作任意直线l，在l上任取一点C，连接CM，CN，过 N作DE//CM交AC和BC于D、E两点，则必有： ①DN=EN， ②在CN上任取一点R，作PQ//CM//DE交AC于P，交BC于Q，则PR=QR. 注意：本定理的逆定理也成立. 题型一 角平分线定理 x2 y2 已知AB交椭圆  1ab0)长轴(短轴)于点P,B,Br是椭圆上关于长轴(短轴)对称的两点，直 a2 b2 x x y y 线AB交长轴(短轴)于Q，则 P Q 1或 P Q 1.(双曲线也有相同调和共轭性质) a2 b2 极点极线背景分析：如右图，由于点P与Q符合调和共轭，则以P为极点的极线是QN，故N、A、P、B是调 BP BQ BN BQ BQ 和点列，  (内角平分线定理)，作A关于x轴对称的点A，则   . PA AQ NA QA QAMST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例1】（2024•北京）已知椭圆方程E:  1(ab0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形 a2 b2 是边长为2的正方形．过点(0，t)(t  2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和 C(0,1)的直线AC 与椭圆E的另一个交点为D． （1）求椭圆E的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． x2 【例2】(2018全国卷I)设椭圆C:  y2 1的右焦点为F ，过F 的直线l与C交于A,B两点，点M 的坐标 2 为(2, 0). (1)当l与x轴垂直时，求直线AM 的方程; (2)设O为坐标原点，证明:OMAOMB.MST老唐说题26版一轮 题型二．斜率和为0与内外角平分线解读 x2 y2 已知点A,B是椭圆  1(a b0)上的动点,  ,直线PA,PB的斜率和为0,则直线AB a2 b2 P x 0 ,y 0 b2x 的斜率为 0 . a2y 0 如图所示,过点P作x,y轴的平行线,分别交AB于点 ,则PM,PN 分别是APB的内角,外角平分 N,M x n my 线,所以(AB,MN)1,所以M(x ,m),N  n,y  是椭圆的一组调和共轭点,即 0  0 1, 0 0 a2 b2 m y b2x k  0  0 . AB x n a2y 0 0 x2 y2 【例4】(2022新高考Ⅰ卷)已知A(2，1)在双曲线C:  1(a1)上,直线l交C于P、Q两点,直线 a2 a2 1 AP,AQ斜率之和为0.求l的斜率;MST老唐说题26版一轮 题型3 隐藏的角平分线与阿氏圆构造 x2 y2 【例1】（2025•山东省实验中学四诊第18题）已知椭圆C:  1(ab0)的半长轴的长度与焦距相等， a2 b2 且过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线l :x2y20与椭圆C 交于A，B两点，过点P(2,3)的直线交椭圆C于E，F 两点(E在 0 靠近P的一侧） |PE| （ⅰ）求 的取值范围； |PF| （ⅱ）在直线l 上是否存在一定点M ，使EMAFMA恒成立？若存在，求出M 点坐标；若不存在，请 0 说明理由． x2 y2 【例2】（2025•永州二模第19题）在直角坐标系xOy中，椭圆C:  1(ab0)经过点P(2 3，1)， a2 b2 短半轴长为 5 ．过点S(0,5)作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M ，直线PB交y轴于点N， 记直线PA，PB的斜率分别为k 和k ． 1 2 （1）求C 的标准方程； 1 1 （2）证明  是定值，并求出该定值； k k 1 2 （3）设点R(0,1)，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得MQRNQR恒成立，并求出所有满足条 件的Q点坐标．MST老唐说题26版一轮 题型四 调和点列+平行弦中点 x2 y2 3 【例1】（2024•甲卷）已知椭圆C:  1(ab0)的右焦点为F ，点M(1, )在椭圆C上，且MF  x轴． a2 b2 2 （1）求椭圆C 的方程； （2）过点P(4,0)的直线与椭圆C 交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB与MF 交于Q，证明： AQ y轴． x2 y2 【例2】(2020北京)已知椭圆C:  1过点A(2, 1)，且a2b. a2 b2 (1)求椭圆C的方程; |PB| (2)过点B(4, 0)的直线l交椭圆C于点M,N ，直线MA,NA分别交直线x4于点P,Q.求 的值. |BQ| y Q M N B O x A PMST老唐说题26版一轮 x2 y2 6 【例3】(2018北京文)已知椭圆M :  1(ab0)的离心率为 ，焦距为2 2.斜率为k的直线l与 a2 b2 3 椭圆M 有两个不同的交点A、B. (1)求椭圆M 的方程; (2)若k1，求|AB|的最大值; (3)设P(2, 0)，直线PA与椭圆M 的另一个交点为C，直线PB与椭圆M 的另一个交点为D.若C,D和点 7 1 Q( , ) 共线，求k. 4 4MST老唐说题26版一轮 考向 3 调和线束斜率关系 1.调和线束的斜率关系 调和线束的斜率关系:若l ,l ;l ,l 是调和线束,则它们的斜率满足 1 3 2 4 k k k k 1 1 2 1 2  1 4 ，   k k k k k k k k k k 2 3 3 4 1 2 1 4 1 3 2kk k k k k k k  1 3 2 4 1 3 2 4 题型一：利用斜率关系判断定点定值 y2 x2 5 【例1】（2023•乙卷）已知椭圆C:  1(ab0)的离心率为 ，点A(2,0)在C 上． a2 b2 3 （1）求C 的方程； （2）过点(2,3)的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M ，N，证明：线段MN 的中点为定点． x2 y2 【例2】(2022北京卷)已知椭圆E:  1(ab0)的一个顶点为A(0，1),焦距为2 3. a2 b2 (1)求椭圆E的方程 (2)过点P(2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB，AC 分别与x轴交于点M ,N. 当|MN|2时,求k的值.MST老唐说题26版一轮 3 【例3】(2022全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0, 2),B( , 1)两 2 点. (1)求E的方程; (2)设过点P(1, 2)的直线交E于M,N 两点，过M 且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H 满足   MT TH .证明:直线HN 过定点. 题型二. 调和共轭点与斜率等差 x2 y2 椭圆或双曲线  1中，设直线AB与椭圆或双曲线交于A、B两点，且直线AB与x轴、y轴的交点 a2 b2 分分别为M(m，0)、N(0，n)，点M 和点N均不是椭圆顶点． a2 （1）若点P在直线x 上，则k k 2k ； m PA PB PMMST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例4】已知椭圆E:  1 (ab0)经过点Q(2,0) ，且直线bxcybc 0(c a2b2 且cb)与 a2 b2 3 圆x2  y2  相切． 4 （1）求椭圆E的标准方程； （2）若过点M(1，0)的直线l交E于A，B两点，是否存在定点P，使直线AP与直线BP的斜率之和为2？ 若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由． b2 1 1 2 （2）若P是直线y 上任一点，则   ． n k k k PA PB PN （3）过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）焦点F 的任一直线交圆锥曲线于A、B两点，交对应准线于点 N，点P位于圆锥曲线的通径所在直线上，则k k 2k ． PA PB PN 注意：本结论将F换成M(m，0)，且PM  x轴，M与N满足调和共轭，k k 2k 也成立 PA PB PN .MST老唐说题26版一轮 【例5】已知双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，点M（3，﹣1）在双曲线C上． 2 2 （1）求双曲线C的方程2 −； 2 = 2 （2）若F为双曲线的左焦点，过点F作直线l交C的左支于A，B两点．点P（﹣4，2），直线AP交直 线x＝﹣2于点Q．设直线QA，QB的斜率分别k1 ，k2 ，求证：k1 ﹣k2 为定值． x2 y2 3 【例6】(2013江西文)椭圆C：  1（ab0）的离心率为e ，ab3. a2 b2 2 （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于N直线AD 交BP于点M ，设BP的斜率为k，MN 的斜率为m，证明为2mk 为定值.MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例 7】过点(4,2)的动直线l与双曲线 E:  1(a 0,b0)交于 M,N 两点,当l与 x 轴平行 a2 b2 时,|MN |4 2 ,当l与 y轴平行时,|MN |4 3. (1)求双曲线E的标准方程; (2)点P是直线 y  x1上一定点,设直线PM,PN 的斜率分别为k ,k ,若k k 为定值,求点P的坐标. 1 2 1 2MST老唐说题26版一轮 考向 4 帕斯卡定理 一．帕斯卡（Pascal）定理及其逆定理 图1 L，M，N三点共线 图2 L，M，N三点共线 已知1,2,3,4,5,6是二阶点列上任意六个点,我们记: 12与45的交点为L, 23与56的交点为M , 34与61的交点为N , 那么L、M和N 三点共线(此直线叫Pascal线)。 二．帕斯卡定理中点的名称的替换 帕斯卡定理中,123456六个点的排列次序是任意的,但无论怎样排列,必须构成一回路。图1和2的回 路按顺时针排列次序分别为152463和156423。下面我们再举几个不同排列次序,看它们的结果怎样? 我们考察顺序为136425的六点。根据定理:12与45的交点为L,23与56的交点为M,34与61的交点 为N,可得到下图所示结果: 图3对于136425六点排列次序的帕斯卡定理MST老唐说题26版一轮 可以看出,与图1(或3)的差别是L,N两点的上下位置进行了互换,M仍在它们中间。 再考察顺序为163524(或635241,352416,524163,241635,416352)的六点。根据定理,可得到下图所示结果: 图4对于163524排列次序的帕斯卡定理 可以看出,点L位于M 和N 两点的中间,N 跑到了曲线外边。LNM三点仍保持共线。 再考察六点位置完全为递增的自然顺序123456。根据定理的陈述,可得到下图所示结果: 图5对于123456六点原始次序的Pascal定理 从上图可以看出,L,M,N 三点的排列位置和图2类似,且三点也都位于曲线之外部。 L，M，N三个点中,也允许有无穷远点。例如,图5中若有一对边平行,如23与56平行,则它们的交点M 是与23和56有共同方向的无穷远点,如图6所示。 图6帕斯卡定理中允许有无穷远交点 究竟有多少种不同的情况呢?对于 6 点位置,共有 6!720 种排列,但轮换相同的 6 种排列(如 123456,234561, ,612345)构成的回路相同,顺时针和逆时针排,如123456和564321,也代表相同回路,不同 排列的回路（即Hamilton回路）情况为(6-1)!/2=60种。帕斯卡定理说明对于这60种不同的回路都会使它们 的6顶点的三组对边的交点L、M、N共线。MST老唐说题26版一轮 最后还要说明两点:六个顶点中,如相邻两个顶点有1到3个重合,这样六个点就变成5个、4个或3个, 这时帕斯卡定理仍然成立。 x2 y2 5 【例1】（2023•北京）已知椭圆E:  1(ab0)的离心率为 ，A、C分别为E的上、下顶点，B、 a2 b2 3 D分别为E的左、右顶点，|AC|4． （1）求E的方程； （2）点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M ，直线PA与直线y2交于点N．求 证：MN //CD． x2 y2 3 【例2】已知点A，B是椭圆E:  1(ab0)的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为 ． a2 b2 2 （1）求椭圆E的方程； （2）点O是坐标原点，直线l经过点P(2,2)，并且与椭圆E交于点M ，N，直线BM 与直线OP交于点T， 设直线AT ，AN的斜率分别为k ，k ，求证：kk 为定值． 1 2 1 2MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例3】已知A(3,0)和A (3,0)是椭圆:  1(ab0)的左、右顶点，直线l与椭圆相交于M ，N 1 2 a2 b2 5 两点，直线l不经过坐标原点O，且不与坐标轴平行，直线AM 与直线AM 的斜率之积为 ． 1 2 9 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线OM 与椭圆的另外一个交点为S，直线AS与直线A N 相交于点P，直线PO与直线l相交于 1 2 点Q，证明：点Q在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 2 【例4】已知如图，点B ，B 为椭圆C的短轴的两个端点，且B 的坐标为(0,1)，椭圆C的离心率为 ． 1 2 2 2 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l不经过椭圆C的中心，且分别交椭圆C 与直线 y1于不同的三点D，E，P（点E在线 段DP上），直线PO分别交直线DB ，EB 于点M ，N．求证：四边形BMB N 为平行四边形． 2 2 1 2MST老唐说题26版一轮 考向5 万能的对合方程 过抛物线y2 2px上两点A(x ，y )、B(x ，y )的直线AB方程是:(y y )y2pxy y . 1 1 2 2 1 2 1 2 关于对合，如果我们设立某种法则 f ，我们发现(y y )y2pxy y 中， 1 2 1 2 2px yy 2px yy 2px yy y  2 ，同时y  1 ，故令 f  i ， f(y ) y ， f(y ) y ，这样用y 表示y 和用 1 y y 2 y y y y 1 2 2 1 2 1 2 1 i y 表示y 是一样的，这就是一种对合方程，并且y  f(f(y ))，其实我们在做任何联立的时候，只要两个 1 2 1 1 完全能轮换对称的变量构成的方程，比如二次韦达，都是一种对合方程的形式，有句话叫做百姓日用而不 知，正是我们天天在用对合方程，却对其看不见，不妨我们重新来了解一下对合方程。 2024年新高考Ⅱ卷19题，就是考查了神奇的反比例对合方程！ m 如图，A(x，y )和B(x ，y )分别是反比例函数（等轴双曲线） y 上的两点，则AB的两点对合 1 1 2 2 x x x 式方程为： 1 2 yx x x . 1 2 m m m  x x m m m x x 证明：由于k  1 2  ，故AB:y  (xx )，即 1 2 yx x x . AB x x x x x x x 1 m 1 2 1 2 1 2 1 1 2 和抛物线的两点对合式一样，在这个两步就能证明的式子背后，隐藏了很多我们平时没抓住的信息， 比如斜率的简化，比如构造相切的点到直线距离的快速同构，由于斜率只需要两点的坐标即可表示，命题 者就抓住了这个特点，进行了圆锥与数列综合的命题。 一．等轴双曲线仿射后旋转45°形成反比例函数 k a2 如图，将等轴双曲线x2  y2 a2逆时针旋转45°，即变成了初中的反比例函数y= k = ， x 2MST老唐说题26版一轮 【例1】（2024•新Ⅱ卷）已知双曲线C:x2 y2 m(m0)，点P(5,4)在C上，k为常数，0k 1，按照如 1 下方式依次构造点P(n2，3，)，过P 斜率为k的直线与C 的左支交于点Q ，令P 为Q 关于y轴 n n1 n1 n n1 的对称点，记P 的坐标为(x ，y )． n n n 1 （1）若k  ，求x ，y ； 2 2 2 1k （2）证明：数列{x  y }是公比为 的等比数列； n n 1k （3）设S 为△PP P 的面积，证明：对任意的正整数n，S S ． n n n1 n2 n n1 二．非等轴双曲线的仿射换元  x y x  x2 y2   a a 2 2 由于  1，令 ， 则xy1，由于(1，0)逆时针旋转45后得到点( ， )，(0，1)逆时 a2 a2  y x  y 2 2   a a  x y 2 2x 2y x   (  ) 2 2  a a 2 a a 针旋转45后得到点( ， )，所以 变换是将原来P(x，y)横坐标和纵坐标 2 2  x y 2 2x 2y y   (  )   a a 2 a a a 缩小 倍后逆时针旋转45得来。 2 综上，双曲线都可以转化为反比例或者对勾函数，当e 2时，按照旋转都能得出反比例，当e 2 时， 旋转后会得到对勾或者飘带函数。按照换元法，就需要先对坐标进行伸缩变换，如下：  x y 2 2x 2y x   (  ) x2 y2  a b 2 a b  1，令 ，则此变换是将原来P(x，y)横坐标和纵坐标分别缩小 a2 b2  x y 2 2x 2y y   (  )   a b 2 a b a b 倍和 后逆时针旋转45得来，新坐标方程为xy1。 2 2MST老唐说题26版一轮 【例2】（2024•天一大联考）已知双曲线C 的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(2,0)，B(4,3)两 点． （1）求C 的方程； （2）设P，M ，N三点在C 的右支上，BM //AP，AN //BP，证明：    （ⅰ）存在常数，满足OM ON OP； （ⅱ）△MNP的面积为定值． 【例3】（2025温州1.5模）已知双曲线 过点 ，其渐近线的方程为 ．按 2 2 照如下方式依次构造点 ：: 2过−右 2支=上1点 >0,作 斜>率0 为1的 1直2线,2与 的左支交于点 =，±过2 再作斜率为-1的直线与 的 右 = 支 2 交 ,3 于 ,⋯ 点 ． −1 −1 −1 （1）求双曲线 的方程 ； , （2）用 表 示点 的坐标； （3）求 证 , ： 数列 −1 是等比数列． 2 − MST老唐说题26版一轮 三．椭圆与双曲线的两点对合式    由于coscos sinsin cos , 2 2 2    coscos sinsin cos , 2 2 2 1.椭圆两点对合式 x  y   设A(acos,bsin)、B(acos,bsin) ,故弦AB的方程是 cos  sin cos , a 2 b 2 2 特别的情况， b b （1）当P为左顶点，则，k  = t ； PA + a 1 atan 2 b b （2）当P为右顶点，则0，k   ； PA  at atan 1 2  b b 1t （3）当P为上顶点，则 ，k   1 ； 2 PA   a1t atan(  ) 1 2 4 3 b b 1t （4）当P为下顶点，则 ，k   1 ； 2 PA  3 a1t atan(  ) 1 2 4 2. 双曲线右支的两点对合式 a bsin a bsin x  y   设A( , )、B( , ),故弦AB的方程是 cos  sin cos , cos cos cos cos a 2 b 2 2 （，为一四象限角，即在双曲线右支上的两点对合式） 特别的情况， sin b cos b （1）当P为左顶点，k   t ； PA 1 a 1 a( 1) cos sin b cos b （2）当P为右顶点，k   ； PA 1 at a( 1) 1 cosMST老唐说题26版一轮 3.双曲线左支的两点对合式 a bsin a bsin 关于双曲线左支上两点，涉及到符号的变化，比如第二三象限A( , ) 、B( , ), cos cos cos cos a bsin() a bsin() 不妨换元为A( , )、B( , ) ,故弦AB的方程是 cos() cos() cos() cos() x  y     cos  sin cos ,令tan( )t ，tan( )t ， 1 2 a 2 b 2 2 2 2 x y 即 (1tt ) (t t )1tt ； a 1 2 b 1 2 1 2 sin() b cos() b （1）当P为左顶点，k  = t ； PA 1 a 1 a( 1) cos() sin() b cos() b （2）当P为右顶点，k   ； PA 1 at a( 1) 1 cos() 3. 双曲线左右两支的两点对合式 a bsin 关于双曲线两支上两点，涉及到符号的变化，比如第一二象限 A( , )、和位于第三四象限的 cos cos a bsin() x  y    B( , ) ,故弦 AB 的方程是 cos  sin cos ,令 tan t ， cos() cos() a 2 b 2 2 2 1  x y tan( )t ，即 (1tt ) (t t )1tt ； 2 2 a 1 2 b 1 2 1 2MST老唐说题26版一轮 四．对合方程简化单动点模型 1.椭圆 (1) 若AB关于y轴对称，则t t 1； A B (2) 若AD关于x轴对称，则t t 0； A D (3) 若AC 关于原点对称，则t t 1； A C 2. 双曲线 (1) 若AB关于y轴对称，则t t 1； A B (2) 若AD关于x轴对称，则t t 0； A D (3) 若AC 关于原点对称，则t t 1； A C x2 【例 4】（2020•新课标Ⅰ）已知 A，B 分别为椭圆E:  y2 1(a1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点， a2   AGGB8．P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为M ，PB与E的另一交点为N． （1）求E的方程； （2）证明：直线MN 过定点．MST老唐说题26版一轮 x2 y2 3 【例5】（2025•重庆南坪中学）如图，已知椭圆C:  1(ab0)的上顶点为A(0,3)，离心率为 ， a2 b2 2 若过点A作圆M :(x3)2  y2 r2(0r3)的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A)． （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线AB和AD的斜率分别为k ，k ，求证：k k 为定值； 1 2 1 2 （3）求证：直线BD过定点．MST老唐说题26版一轮 【例 6】（2025•合肥一模）已知动圆C :(x2)2  y2 r2(r 0)与动圆C :(x2)2  y2 r2(r 0)，满足 1 1 1 2 2 2 |r r |2 3，记C 与C 公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，B（点A在点B的左侧）． 1 2 1 2 （1）求曲线T的方程； （2）若直线l与圆x2  y2 3相切，且与曲线T交于P，P 两点（点P在y轴左侧，点P 在y轴右侧）． 1 2 1 2 3 3 (i)若直线l与直线y x和y x分别交于Q ，Q 两点，证明：|PQ ||PQ |； 3 3 1 2 1 1 2 2 (ii)记直线AP，BP 的斜率分别为k ，k ，证明：kk 是定值． 1 2 1 2 1 2MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【例7】（2025•北京海淀区清华附中）已知椭圆W :  1(ab0)的左顶点为A，下顶点为B，离心 a2 b2 3 8 3 率为 ，点C( , )在W 上． 2 5 5 （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程； （Ⅱ）设D，E，F 是椭圆W 上三个不同的点，它们都不与A，B，C 重合，且AB//DE，BC//EF ， 求证：AF //CD．MST老唐说题26版一轮 拓展思维 拓展1 蒙日圆 x2 y2 问题:过  1(ab0)外一点P(x ，y )作椭圆两条切线.切点分别为A、B，若k k .讨 a2 b2 0 0 PA PB 论P的轨迹. 如果是切线同构成切点弦，这是走阿基米德三角形的线路，一旦涉及两切线斜率和积问题，用k 构造一个 PA 联立式子，利用判别式为零，从而得出k 的二次方程:ak2 bk c0，而k 也满足这个方程，故k 、 PA PA PA PB PA k 是此同构方程ak2bkc0的两个根，从而再利用韦达定理来确定k k 的关系式。我们也可以 PB PA PB 理解为k 确定方程ak2bkc0，而k ，k 是此方程的根. PA PA PB x2 y2   1 先联立看切线:a2 b2 (a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0 ，0a2k2b2m20 ①  ykxm 将m y kx 代入①得关于k的一元一次方程:(a2x2)k22x y kb2y2 0② 0 0 0 0 0 0 易知k 、k 同时满足②式，故k 、k 是②式的两个根，我们设为k 、k ， PA PB PA PB 1 2 b2y2 所以k k  0 ，所以x2y2 a2b2; 1 2 a2x2 0 0 0 (1)1，P为焦点在y轴上的椭圆; (2)1，P为半径为 r a2b2 的圆，即“蒙日圆”: (3)(1，0)，P为焦点在x轴上的椭圆: b2 (4)(0， )，P为焦点在y轴上的双曲线; a2 b2 b (5) ，P为斜率为 的射线; a2 a b2 (6) ，P为焦点在x轴上的双曲线; a2 x2 y2 5 【例1】(2014•广东)已知椭圆C:  1(ab0)的右焦点为( 5，0)，离心率为 . a2 b2 3 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P(x ，y )为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程. 0 0MST老唐说题26版一轮 6 【例2】椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，并与直线 yx2相切. 3 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)如图，过圆D:x2 y2 4上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n.求证:mn.MST老唐说题26版一轮 拓展2 仿射法与面积转化 一：仿射法与面积变化 仿射法定理一（直径三角形）：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积 b2 k k  AC BC a2 S' a S'' b 仿射法定理二（面积伸缩定理）：  （拉伸短轴）；  （压缩长轴） S b S a a a 拉长短轴后点的坐标变化：A(x ,y ) A'(x , y ),横坐标不变，纵坐标拉伸 倍． 0 0 0 0 b b a a 斜率的变化：如图纵坐标拉 伸了 倍，故k' k ，由于k k 1． A'C' B'C' b b b b b2 b k k  k  k  ，S  S (水平宽不变，铅锤高缩小) AC BC a A'C' a B'C' a2 △ABC a △A'B'C' b b 压缩长轴后点的坐标变化：A(x ,y ) A'( x , y ),纵坐标不变，横坐标缩小 倍． 0 0 0 0 a a b a 斜率的变化：如图横坐标缩小了 倍，故k' k ，由于k k 1． A'C' B'C' a b b b b2 a k k  k  k  ，S  S （水平宽扩大，铅垂高不变） AC BC a A'C' a B'C' a2 △ABC b △A'B'C' 【例1】（ 2016•北京）已知椭圆C: x2 + y2 =1过点A  2,0 ，B  0,1 两点． a2 b2 （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA 与y轴交于点M ，直线PB与x轴交于点N，求证： 四边形ABNM 的面积为定值．