第四节基本初等函数_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第二章

MST老唐说题26版一轮 2．4 基本初等函数 考向 1 幂指对函数 题型1 指对的混合运算 1．指数式运算 （1）有理数指数幂的性质 ①aman am+n(a0，m，nQ)； ②(am)n amn(a0，m，nQ)； ③(ab)m ambm(a0，b0，mQ)； m ④n am an(a0 ， m ， nQ) ． （2）注意事项：对于根式记号n a，要注意以下几点： a a0 ①nN ，且n1；②当n是奇数，则n an a ；当n是偶数，则n an |a| ； a a0 ③负数没有偶次方根； ④零的任何次方根都是零； ⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式： 1 1 1 1 1 1 7 例：   ． a a a a2a4a8 a2 4 8 a8 2．对数式的运算 （1）对数的性质和运算法则： ①特殊对数：log 10；log a1；其中a0且a1； a a ②对数恒等式：alogaN N (其中a0且a1，N 0)； log b log 7 lg7 ln7 ③对数换底公式：log b c ，如：log 7 2 =  ． a log a 5 log 5 lg5 ln5 c 2 （2）对数的运算法则： ①外和内乘原理：log (MN)log M log N ； a a a M ②外差内除原理：log log M log N； a N a a n ③提公次方法：log bn  log b(m，nR)； am m a ④指中有对，没心没肺：alogab b和log ab b，如：log 81log 34 4，2log25 5． a 3 3 （5）换底公式和对数运算的一些方法： log b log 7 lg7 ln7 ①常用换底：log b c ，如：log 7 2 =  ； a log a 5 log 5 lg5 ln5 c 2 1 1 ②倒数原理：log b ，如：log 2 ； a log a 3 log 3 b 2 ③约分法则：log blog clog c，如：log 3log 4log 4=2； a b a 2 3 2 ④归一法则：lg2lg5+lg22+lg5=lg2lg5+lg2 +lg5=lg5+lg21．MST老唐说题26版一轮 【例1】（2022•浙江）已知2a 5，log 3b，则4a3b ( ) 8 25 5 A．25 B．5 C． D． 9 3 1 1  【例2】已知x2 x 2 2，则x2 x2的值为 ． 【例3】（2022•天津）化简(2log 3log 3)(log 2log 2)的值为( ) 4 8 3 9 A．1 B．2 C．4 D．6 1 1 【例4】（2021•天津）若2a 5b 10，则  ( ) a b A．1 B．lg7 C．1 D．log 10 7 1 1 5 【例5】（2024•甲卷）已知 a1 ，   ，则a______． log a log 4 2 8 a 题型2 幂指对函数的图像及其性质 1．指数函数的定义及图像 yax 0a1 a1 图象 ①定义域R，值域(0，) ②a0 1，即时x0，y1，图象都经过(0，1)点 性质 ③ax a，即x1时， y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤x0时，ax 1；x0时，0ax 1 x0时，0ax 1；x0时，ax 1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数MST老唐说题26版一轮 （1）当底数大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论； （2）当0a1时，x，y0；a的值越小，图象越靠近 y轴，递减的速度越快； 当a1时，x，y0；a的值越大，图象越靠近 y轴，递增速度越快； 1 （3）函数yax与y( )x的图象关于 y轴对称； a 函数①yax；②ybx；③ycx；④ydx的图象如下左图所示，则0ba1d c； 即x(0，+)，bx ax dx cx (底大幂大)；x(，0)时，bx ax dx cx； 1 1 （4）特殊函数：函数y2x，y3x，y( )x，y( )x的图象如下右图所示． 2 3 2．对数函数的定义及图像 （1）对数函数的定义：函数 ylog x (a0且a1)叫做对数函数，它是指数函数yax (a0且a1)的 a 反函数． 对数函数的图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作 关于yx的对称图形，即可获得．同样也分a1与0a1两种情况归纳： 以ylog x与ylog x为例 2 1 2 a1 0a1 图象 定义域：(0，) 性质 值域：RMST老唐说题26版一轮 过定点(1，0)，即x1时，y0 在(0，)上增函数 在(0，)上是减函数 当0x1时，y0，当x1时，y0 当0x1时，y0，当x1时，y0 （2）底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当a1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当0a1时，对数函数的图象随 a的增大而远离x轴．(见下图) 3．幂函数及其性质 （1）幂函数的定义 一般地，yxa(aR)(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数． （2）幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①xa的系数为1；②xa的底数是自变量；③指数为常数． （3）常见的幂函数图像及性质： 函数 yx yx2 yx3 yx 1 2 yx1 图象 定义域 R R R {x|x0} {x|x0} 值域 R {y|y0} R {y|y0} {y|y0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在(，0)上递减， 在(，0) 单调性 在R上单调递增 在R上单调递增 在[0，+)上递增 在(0，+)上递增 和(0，+)上递减 公共点 (1，1) （4）在区间（0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间（1，)上， 幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴； （5）幂函数yxa(aR)在第一象限内图象的画法如下（单调性）： ①当a0时，其图象可类似yx1画出； 1 ②当0a1时，其图象可类似 yx2 画出； ③当a1时，其图象可类似yx2画出．MST老唐说题26版一轮 幂函数yxa(aR)在第二（三）象限内图象的画法如下（奇偶性）： 1 ①无奇偶性，如 yx2只在第一象限有图象； ②奇函数，则补充第三象限图象，如yx3； ③偶函数，则补充第二象限图象，如yx2． 【例1】（多选）设a＞1，在下列函数中，图像经过定点(1，1)的函数有（ ） A．yxa B．yax1 C．ylog x1 D．yax31 a 【例2】已知函数 f(x)ax2 1(a0,a1)的图像恒过一点P，且点P在直线mxny10(mn0)的图像 1 1 上，则  的最小值为( ) m n A．4 B．6 C．7 D．8 1 1 【例3】（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数y ，ylog (x )(a0且a1)的图象可能是( ) ax a 2 A． B． C． D． 【例4】已知 f(x)ax(a0,a1)，m，n(0,)，则下列结论正确的是( ) A． f(mn) f(m)f(n) B． f(mn) f(m) f(n) mn mn f(m) f(n) C． f( )f( mn) D． f( ) 2 2 2 【例5】已知函数y f(x)的图象与函数yex的图象关于直线y x对称，则函数y f(x2 4x3)的单调 递增区间为( ) A．(,1) B．(,2) C．(2,) D．(3,)MST老唐说题26版一轮 题型3 指对函数与实际应用 【例1】今年10月份，自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮 子王高程数据为4981.3m，夏诺多吉高程数据为5951.3m．已知大气压强 p（单位：Pa)随高度h（单位： m)的变化满足关系式lnp lnpkh， p 是海平面大气压强，k 104，则狮子王山峰峰顶的大气压强是夏 0 0 诺多吉山峰峰顶的大气压强的( ) 1000 1000  A．e0.097倍 B．e 97 倍 C．e0.097 D．e 97 【例2】古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平称物品的理 论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积．某金店用一杆 不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金 放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则 顾客实际所得黄金质量w( ) A．w10g B．w10g C．w10g D．w10g 【例3】（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我 国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯 联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行．L 2 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球 1 2 2 M M M 的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： 1  2 (Rr) 1 ． (Rr)2 r2 R3 r 33 34 5 设 ．由于的值很小，因此在近似计算中 33，则r 的近似值为( ) R (1)2 M M 3M M A． 2R B． 2 R C． 3 2R D． 3 2 R M 2M M 3M 1 1 1 1 【训练8】中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录，虽比发达国家起步晚了40多年，但中国高铁建设 突飞猛进，截至2023年初，运营里程增加到4.2万公里，连续十多年稳居世界第一，中国高铁不仅速度比MST老唐说题26版一轮 I 以前列车快而且噪声更小．我们常用声强级L 10lg 表示声音的强弱，其中I 代表声强（单位： 1 1012 W /m2)．若普通列车的声强级是100dB，高速列车的声强级是50dB，则普通列车声强是高速列车声强的( ) A．106倍 B．105倍 C．104倍 D．103倍 【训练9】（2023•多选•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压 p 级L 20lg ，其中常数 p (p 0)是听觉下限阈值， p是实际声压．下表为不同声源的声压级： p p 0 0 0 声源 与声源的 声压级 距离/m /dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽 10 50~60 车 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为 p ， p ， p ，则( ) 1 2 3 A． pp B． p 10p C． p 100p D． p100p 1 2 2 3 3 0 1 2 【训练10】今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对 海洋生态造成不可估量的破坏．据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8 种半衰期在1万年以上．已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间t（年)近似满足关系式 1 1 ckat(k，a为大于0的常数且a1)．若c 时，t 10；若c 时，t20．则据此估计，这种有机 6 12 1 体体液内该放射性元素浓度c为 时，大约需要( )（参考数据：log 31.58，log 52.32) 120 2 2 A．43年 B．53年 C．73年 D．120年MST老唐说题26版一轮 考向 2 比大小问题 题型1 单调性法比较大小 【例1】（2024•天津卷）若 a4.20.3，b4.20.3，clog 0.2 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） 4.2 A. abc B. bac C. cab D. bca 1 1 【例2】（2022•天津）已知a20.7，b( )0.7，clog ，则( ) 3 2 3 A．acb B．bca C．abc D．cab S1 【例3】（2024•北京）生物丰富度指数d  是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中 lnN 的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没 有变化，生物个体总数由N 变为N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( ) 1 2 A．3N 2N B．2N 3N C．N2 N3 D．N3 N2 2 1 2 1 2 1 2 1 【例4】（2024•北京）已知(x ，y )，(x ，y )是函数y2x的图象上两个不同的点，则( ) 1 1 2 2 y  y x x y  y x x A．log 1 2  1 2 B．log 1 2  1 2 2 2 2 2 2 2 y  y y  y C．log 1 2  x x D．log 1 2 x x 2 2 1 2 2 2 1 2 题型2 中间值法比较大小 【例1】（2021•天津）设alog 0.3，blog 0.4，c0.40.3，则三者大小关系为( ) 2 1 2 A．abc B．cab C．bca D．acb 2 【例2】（2020•新课标Ⅲ）设alog 2，blog 3，c ，则( ) 3 5 3 A．acb B．abc C．bca D．cab，MST老唐说题26版一轮 【例3】（2024•新高考Ⅱ）设函数 f(x)a(x1)2 1，g(x)cosx2ax(a 为常数），当x(1,1)时，曲线 y f(x)与yg(x)恰有一个交点，则a( ) 1 A．1 B． C．1 D．2 2 题型3 图像交点法比较大小 【例1】设正实数a,b,c分别满足a2a blog bclog c1，则a,b,c的大小关系为（ ） 3 2 A．abc B．bca C．cba D．acb 题型4 结合函数单调性及奇偶性比较大小 【例1】（2019•新课标Ⅲ）设 f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,)单调递减，则( ) 1  3  2 A． f(log ) f(2 2) f(2 3) 3 4 1  2  3 B． f(log ) f(2 3) f(2 2) 3 4  3  2 1 C． f(2 2) f(2 3) f(log ) 3 4  2  3 1 D． f(2 3) f(2 2) f(log ) 3 4 拓展思维 拓展1 糖水不等式比较大小 【例1】已知alog 2，blog 4，clog 6，则（ ） 3 6 9 A．cab B．cba C．abc D．acb 【例2】（2020•新课标Ⅲ）已知55 84,134 85 ，设a log 3,blog 5，clog 8，则有（ ） 5 8 13 A．abc B．bac C．bca D．cabMST老唐说题26版一轮 拓展2 常用估值 2 1.414 3 1.732 5 2.236 1 e2.718 e 1.649 0.368 e2 7.389 e ln20.693 lg20.301 180 sin10.841 cos10.540 tan11.557 弧度制1rad  57.296  2 【例题】设a ，bln2，csin1，则( ) 3 A．bca B．bac C．cba D．cab