第四节数列的递推与通项公式_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第八章

MST老唐说题26版一轮 第 4 节 数列的递推与通项公式 考向一 利用S 与a 的关系 n n S ,n1 1．关系：a  1 ，要注意验证n1与n2两种情况能否统一. n S S ,n2 n n1 2．已知S 与a 的关系式，记为 f  a ,S 0，求它的通项公式a ，一般有两种思路： n n n n n （1）消S ：容易直接求a 的情况，可利用阶差公式:S S a  n 2 ，消去S ，转化为等差或等 n n n n1 n n 比数列直接求出a ； n （2）消a ：难以直接求a 的情况，可利用阶差公式:a S S  n 2 ，消去a ，得出S 与S 的 n n n n n1 n n n1 递推关系式，先求出S 后，即可转化为“第1种情形”，从而间接求出a ，如例3. n n 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求S 要 n 比直接求a 麻烦；但也有时先直接求a 会比先求S 麻烦得多. n n n 题型1 消S n 【例1】设数列{a }的前n项和为S ，且3S 4a 2．求数列{a }的通项公式． n n n n n 【例2】设数列{a }的前n项和为S ，S 2a 2n6(nN*)．求数列{a }的通项公式． n n n n n 题型2 消a n 1 【例3】已知数列  a 的前n项和为S ，且满足a +2S S 0  n2 ，a  ，求a . n n n n n1 1 2 n 1 【例4】在正项数列  a 中，S 是数列  a 的前n项和，且a + 2S ，求a . n n n n a n n nMST老唐说题26版一轮 考向二 累加法 累加法适用于邻项差结构a a  f (n)a a  f (n) n n1 n n1 利用a (a a )(a a )(a a )(a a )a ，将问题转化为基本数列求和， n n n1 n1 n2 3 2 2 1 1 从而得到所求数列的通项．以下①②③为三种累加后可裂项相消求和的题型： 1 1 1 1 ①若 f(n)是关于n的分式函数， f  n   (  )； n(nk) k n nk 1 ②若 f(n)是关于n的对数函数， f  n ln(1 )ln(n1)lnn ； n 1 1 ③若 f(n)是关于n的无理式函数， f  n   ( nk n). nk n k ④若 f  n 是关于n的一次函数， f  n knb，累加后可转化为等差数列求和； ⑤若 f  n 是关于n的二次函数， f  n an2 bnc ，累加后可分组求和； ⑥若 f  n 是关于n的指数函数， f  n  pn，累加后可转化为等比数列求和； 1 1 【例1】在数列{a }中，a ＝1，a ＝a ＋ － ，求a . n 1 n＋1 n n n＋1 n 1 【例2】已知数列{a }中，a 2，a a ln(1 )，求a . n 1 n1 n n n 考向三 累乘法 a 累乘法适用于邻项商结构 n  f  n  a a  f  n ， a n n1 n1 a a a a 利用a  n  n1  3  2a ，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． n a a a a 1 n1 n2 2 1 n2 【例1】已知数列{a }中，a 2，a  a ，求数列{a }的通项公式； n 1 n1 n n n 【例2】设{a }是首项为1的正项数列，(n1)a2 a a na2 0 （nN），求{a }的通项公式. n n1 n n1 n nMST老唐说题26版一轮 考向四 构造法 题型一 一阶线性递推型a ka b（k 1，b0） n1 n 转化方法： b ①待定系数法，令a k  a ，化简整理后与原来的递推式比较系数可知k-=b，于是 ， n1 n k1  b  b 故数列a  是以a  为首项，以k为公比的等比数列.  n k1 1 k1 ②由a ka b得，a ka b（n2）两式相减，得a a k(a a )，当a a 0时， n1 n n n1 n1 n n n1 2 1 数列  a a 是公比为k的等比数列． n1 n 【例1】已知数列 满足 ， ，则 （ ） A． B． 1 =1 +1 =2 C + ． 3 9 = D． 9 9 10 10 2 −3 2 +3 2 −3 2 +3 3 3a 【例2】已知数列{a }的首项a  ,a  n (nN*)，求数列{a }的通项公式． n 1 5 n1 2a 1 n n 题型二 一阶线性递推型a  pa qnr (p 1,q 0) n1 n 转化方法：待定系数法，令a (n1) p(a n)，化简整理后与已知递推式比较系数得 n1 n  q     p1 q  p1  ，解得 ,从而转化为 a n是公比为 p的等比数列.   p1 r  q  r n   p1 2 p1  7 【例1】已知数列{a }满足a  ，a 3a 4n2，求出数列{a }的通项公式． n 1 3 n1 n nMST老唐说题26版一轮 题型三 含指数幂型递推关系式a ka  Apn或a ka  Apn1 n n1 n n1 a k a k 转化方法：①等式两边同时除以 pn： n   n1 1，当 1时，再构造等比数列求解（题型一）； pn p pn1 p k ②待定系数法，令a pn k(a pn1)，化简整理得a ka ( )pn，与原递推关系式比 n n1 n n1 p k p 1 较系数可得 1，解得 .对于a ka  pn1，同理可得 ． p k p n n1 k p 注意，当k  p时，只能构造等差数列，如例2． 【例1】已知数列{a }的前n项和为S ，满足2S 3a 2n 1，则数列 的通项公式为 ． n n n n 【例2】已知 数列满足 ， ，则数列 的通项公式为 ． +1 1 =2 +1−2 =2 pa 题型四 分式型递推关系式a  n . n1 qa r n 1 r 1 q r 转化方法：取倒数+待定系数，两边取倒数可得：    ，当 1时，可转化为题型一中结构， a p a p p n1 n 再待定系数构造等比数列即可. a  1  【例6】已知数列{a }满足a 1，a  n (nN ).求证：数列 3为等比数列，并求出数列a . n 1 n1 23a  a  n n n 题型五 平方式递推型ap raq n n1 转化方法：取对数法，当数列a 和a 的递推关系涉及到高次时，一般先对已知递推关系式进行适当的变 n n1 形（同加减、同乘除）整理成类似ka b ka b 2 形式，将等式两边分别取对数降次得到 n n1 lg(ka b)2lg(ka b)，数列  lg(ka b) 即为等比数列. n n1 n 【例8】已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为 ． 2 1 =2, +1 = =MST老唐说题26版一轮 题型六 二阶线性递推关系a  pa qa （n2） n1 n n1 转化方法：找到中间项，通过中间项与前一项和后一项的特征，寻求合理的构造方式解决问题． 【例】已知数列 满足 ，且 ， ，则数列 的通项公式是 ． +2+3 =4 +1 2 =5 3 =17 考向五 隔项型 题型一 隔项等差型a a d n2 n 1.分奇偶讨论法：通过对数列下标n进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况. n1 ①当n为奇数时，可令n2k1（kN），反解得k  ， 2 n1 n1 于是a a a (k1)d a ( 1)d a  d ； n 2k1 1 1 1 2 2 n ②当n为偶数时，可令n2k （kN），反解得k  ， 2 n n2 于是a a a (k1)d a ( 1)d a  d . n 2k 2 2 2 2 2  n1  a 1  2 d n为奇数 综上所述，a  . n  a  n2 d n为偶数   2 2 注意换元后，要将最后的结果还原成关于n的表达式. 2.待定系数法：（此方法限小题）此类型题由于a 和a 作为数列奇数项和偶数项首项，会使得数列一些变形 1 2 出现一些计算难度，故可以采用待定系数法来求统一的通项公式，考虑首项的因素，需要在原始的待定系 数的前面加上1 n．具体操作如下： 令a  xn yz 1 n，其中x d ，代入n1和n2即可确定y和z. n 2 【例1】数列a 中，a 1,a 4,a a 2n3，数列a 的通项公式. n 1 2 n n2 n 【例2】(2014•新课标1卷理)已知数列{a }的前n项和为S ，a =1，a 0，a a S 1，其中为 n n 1 n n n1 n 常数. （1）证明：a a ； n2 n （2）是否存在，使得{a }为等差数列？并说明理由. nMST老唐说题26版一轮 a 题型二 隔项等比型 n2 q a n 1.分奇偶讨论法：通过对数列下标n进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况. n1 n1 1 n1 ①当n为奇数时，可令n2k1（kN），反解得k  ，于是a a a qk1 a q 2 a q 2 ； n 2k1 1 1 1 2 n n2 n 1 ②当n为偶数时，可令n2k （kN），反解得k  ，于是a a a qk1 a q2 a q 2 . n 2k 2 2 2 2  n1 a q 2 n为奇数 综上所述，a  1 . n  n2 a q 2 n为偶数 2 注意换元后，要将最后的结果还原成关于n的表达式. 2. 待定系数法：a qxnyz1n，a qx(n1)yz1n1，a a q2xnx2y qAnB，对比系数可得出x A ， n n1 n n1 2 2B A y ，再代入a 即可确定z. 4 1 【例2】已知数列{a }满足a 1,a a 2n,求此数列的通项公式. n 1 n n1 考向六 特征根法与不动点法 1.不动点的概念：对于函数y f x，我们称方程 f xx的根为函数 f x的不动点. 2.不动点法：当我们遇到a  f a ，且 f a 是一个关于a 的多项式（或分式多项式）这种类型的递推 n1 n n n pa q 公式时，可以采用不动点法来求a ，常见的题型有2类：a  Aa B型，a  n 型. n n1 n n1 ma t n （1）a  Aa B型：（参考例1） n1 n 第一步，构造函数 f x AxB，并令 f xx，求出 f x的不动点； 第二步，在递推公式a  Aa B两端同时减去x ，化简使得左右两侧结构一致； n1 n 0 第三步，构造数列求通项. pa q （2）a  n 型：（三种情况的例题分别为后续的例2、例3、例4） n1 ma t n pxq 第一步，构造函数 f x ，并令 f xx，求出 f x的不动点； mxt pa q 第二步，若 f x有2个不动点，则用a  n 两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除可 n1 ma t nMST老唐说题26版一轮 pa q 以产生优良结构，进而构造数列求通项；若 f x只有1个不动点，则用a  n 两端减去该不动点， n1 ma t n 再取倒数，化简可以产生优良结构，进而构造数列求通项；若 f x没有不动点，则在考题中，a 往往是 n pa q 周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式a  n 求出前几项找规律即可. n1 ma t n 3.特征根法：形如a m ，a m ，a  pa qa （ p、q是常数）的二阶递推数列都可用特征根 1 1 2 2 n2 n1 n 法求得通项a ，其特征方程为x2  pxq（*）．（以下两种情况的例题分别为后续的例5、例6） n （1）若方程（*）有二异根、，则可令a c n c n（c 、c 是待定常数）； n 1 2 1 2 （2）若方程（*）有二重根 ，则可令a (c nc )n（c 、c 是待定常数）． n 1 2 1 2 (其中c 、c 可利用a m ，a m 求得) 1 2 1 1 2 2 【例1】已知数列a 满足a 1，a 2a 2  nN*，则a _______. n 1 n1 n n 2a 1 【例2】已知数列a 满足a 2，a  n ，则a _______. n 1 n1 a 2 n n 2a 1 【例3】已知数列a 满足a 2，a  n ，则a _______. n 1 n1 a 4 n n a 1 【例4】已知数列a 满足a 2，a  n ，则a _______. n 1 n1 a 2 2023 n 【例5】已知数列a 中，a 2，a 4，且a 2a 3a  nN*，则a _______. n 1 2 n2 n1 n nMST老唐说题26版一轮 【例6】已知数列a 中，a 2，a 4，且a 4a 4a  nN*，则a _______. n 1 2 n2 n1 n n 考向七 斐波那契数列 1．定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数 列，又称黄金分割数列；表达式F 1,F 1,F F F (nN)． 0 1 n n1 n2 ①逐项罗列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧； ②递推公式：a a 1,a a a (n3)； 1 2 n n1 n2 1 1 5 1 5 ③通项公式：a  [( )n( )n]．（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）． n 5 2 2 2．求和问题： ①前n项和：S a a a a 1； n 1 2 n n2 ②奇数项和：a a a a a ； 1 3 5 2n1 2n ③偶数项和：a a a a a 1． 2 4 6 2n 2n1 证明：①a S S  a a  a a  a a a a a a a S 1， n2 n2 n1 n2 n1 n1 n 2 1 1 n n1 1 1 n 故S a 1，此证明方法也是错位相减的一种特例． n n2 ②a a a a  a a  a a  a a a S a ， 1 3 2n1 1 1 2 3 4 2n3 2n2 1 2n2 2n 此证明过程也需要利用①的结论． ③a a a a  a a  a a  a a S a 1． 2 4 2n 1 2 3 4 5 2n2 2n1 2n1 2n1 这三个式子用数学归纳法证明也非常简单，无需强化记忆，每次列出前几项比划一下，考试中如果出现需 要这些结论的，拿出前几项及时推导即可． 3．平方和问题：a 2 a 2 a 2 a a （根据面积公式推导，如下图） 1 2 n n n1MST老唐说题26版一轮 构造正方形来设计面积，a 2 a 2 a 2 S S S  a a  a a a a ，以此类推，也可以用数学归 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 4 纳法证明，知道一个大致的方向即可． 4．余数列周期性： 被2除的余数列周期为3：1,1,0,‧‧‧‧‧‧ 被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,‧‧‧‧‧‧ 被4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,‧‧‧‧‧‧ 5．裂项问题： 1 1 1 1 1  1 1  1  1 1  1  1 1                     a 1 a 3 a 2 a 4 a 2n3 a 2n1 a 2n2 a 2n a 2 a 1 a 3  a 3 a 2 a 4  a 2n2 a 2n3 a 2n1  1  1 1  1 1      ．   a 2n1 a 2n2 a 2n  a 1 a 2 a 2n1 a 2n 注意：如果是斐波那契数列的部分项求和也可以，比如 p p p p  1 1         ,前提就是必须隔项，否则无法裂项相消． a m a m2 a m1 a m3 a mn2 a mn a m1 a m a mn  【例1】著名的波那契列{ }：1，1，2，3，5，8， ，满足 = =1， = + ( )，那么 1 2 +2 +1 1+ + + + + + 是斐波那契数列中的…( ) ∈ ∗ 3 5 7 9 2021 A. 第 20 20项 … B. 第2021项 C. 第2022项 D. 第2023项 【例2】（多选）1202年，斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…， 该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记Sn 为该数列的前n项和， 则下列结论正确的有（ ） A．a11 ＝89 B．a2025 为奇数 C．a1+a3+a5+…+a2025 ＝a2026 D． 2 2 2 1+ 2+⋯+ 2024 = 2025 2024 1 1 1 1 1 1 【例3】已知数列{a n }满足：a 1  3 ，a 2  3 ，a n1 a n a n1 (nN*,n2)，则 aa  a a  a a  a a 1 3 2 4 3 5 2021 2023 的整数部分为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9MST老唐说题26版一轮 【例4】意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列 被誉为是最美的数列，斐波那契数列a 满足a 1，a 1，a a a  n3,nN* .若将数列的每一 n 1 2 n n1 n2 项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S ，每段螺旋线 n 与其所在的正方形所围成的扇形面积为c ，则其中不正确结论的是（ ） n A．S a2 a a B．a a a a a 1 n1 n1 n1 n 1 2 3 n n2 C．a a a a a 1 D．4c c a a (n3) 1 3 5 2n1 2n n n1 n2 n1 【例5】意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55， ，即 (1)= (2)= 1，·( )= ( 1)+ ( 2) 3, ，此数列在现代物理“准晶体结构”､ ∗ 化学等领…域都有 着广泛 的应用.若 此 数列 的 −各项除 以 2−的余 数≥构成 一∈个 新数列 ，则数列 的前2021项 的和为 ( ) A.2020 B.1348 C.1347 D.672