第五节跟踪训练_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第八章

MST老唐说题26版一轮
第五节 跟踪训练
考向1跟踪训练
【训练1】已知数列a 的前n项和为S n2 2n3．
n n
(1)求数列a 的通项公式；
n
(2)求数列S 前
n
项和T ．
n n
考向2 跟踪训练
题型1
【训练1】已知a 2n1，设b (1)na ，求数列b 的前n项和T ．
n n n n n
【训练2】已知数列{a }的前n项和为S ，a 1，S S 4n2(n2,nN*)，则a  ．
n n 1 n n1 100
a 1，n为奇数
【训练3】（2021•新高考I卷）已知数列{a }满足a 1，a  n ．
n 1 n1 a 2，n为偶数
n
（1）记b a ，写出b ，b ，并求数列{b }的通项公式；
n 2n 1 2 n
（2）求{a }的前20项和．
n
【训练4】已知等差数列a 的首项为1，公差为2．正项数列b 的前n项和为S ，且2S b2b ．
n n n n n n
a ,n为奇数
(1)求数列a 和数列b 的通项公式；(2)若c  n ，求数列c 的前2n项和．
n n n 2bn,n为偶数 nMST老唐说题26版一轮
a 6,n为奇数
【训练5】（2023•新高考Ⅱ）已知{a }为等差数列，b  n ，记S ，T 为{a }，{b }的前n项
n n 2a ,n为偶数 n n n n
n
和，S 32，T 16．
4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）证明：当n5时，T S ．
n n
题型2
【训练1】（2012•全国新课标文）数列a 满足a 1n a 2n1，求a 前60项和．
n n1 n n
【训练2】南宋数学家在《详解九章算法》和《算术通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶
等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成
等差数列，例如：3，4，6，9，13，为二阶等差数列．现有数列，其前7项分别为1，3，13，31，57，
n(n1)(2n1)
91，133，则该数列的前20项和为 ．（参考公式：122232n2 )
6
考向3 跟踪训练
【训练1】设函数f（x） log2 ，定义Sn ＝f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ），其中n N+ ，（n≥2）
1  1 2 3  −1
则Sn ＝ ． = 2 + 1−      ∈MST老唐说题26版一轮
【训练2】已知函数 f x 1 x2 1 x ，数列a 的前n项和为S ，点n,S  nN* 均在函数 f x的图象
2 2 n n n
4x
上，函数gx .
4x 2
(1)求数列a 的通项公式；
n
(2)求gxg1x的值；
(3)令b  g   a n    nN* ，求数列b 的前2020项和T .
n 2021 n 2020
考向4跟踪训练
【训练1】（2023•乙卷）记S 为等差数列{a }的前n项和，已知a 11，S 40．
n n 2 10
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求数列{|a |}的前n项和T ．
n n
考向5 跟踪训练
【训练1】已知数列 的前n项和为Sn ，

2 +1
{   +1 }(  ∈  ∗)
当 ＞ 时，n的最小(2 值+是  )(2 ．+  +1)
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60MST老唐说题26版一轮
a a
【训练2】已知等差数列a 满足 n n1 n1.
n 4
(1)求a 的通项公式；
n
1 3
(2)设b  ，数列b 的前n项和为T ，证明：T  .
n a 1a 1 n n n 16
n n1
【训练3】已知数列a 的前n项和为S n2，
n n
(1)求数列a 的通项公式a ；
n n
1 1
(2)设b  1  ，求数列b 的前n项和T ．
n S S n n
n n1
【训练4】已知数列a 的前n项和为S ，a 0，且a22a 4S 1．
n n n n n n
(1)求a 的通项公式；
n
S
(2)设b  n 的前n项和为P，求P．
n a a n n
n n1
 an 1
 1 2  1
(3)记数列  的前n项和为T ，若T  t恒成立，求t的最小值．
   2   n n T nMST老唐说题26版一轮
【训练5】设数列a 的前n项和为S ，且S 2a n，nN*.
n n n n
(1)求数列a 的通项公式；
n
1n13a 1
(2)令b  n ，求数列b 的前2n项和为T .
n a a n 2n
n n1
【训练6】设等比数列a 的前n项和为S ，数列b 为等差数列，且公差d0,a b 2，a b,S b.
n n n 1 1 3 3 3 5
(1)求数列a 的通项公式以及前n项和S ；
n n
 
 2n1  1
(2)数列 的前n项和为T ，求证：T  .
n2b
n
42  n n 9
【训练7】已知数列a 中，a 1，设S 为a 前n项和，2S na ．
n 2 n n n n
(1)求a 的通项公式；
n
sin1
(2)若b n  cosa 1cosa 1 ，求数列b n 的前n项和T n .
n n1MST老唐说题26版一轮
考向6 跟踪训练
题型1
na
【训练1】（2021•乙卷）设{a }是首项为1的等比数列，数列{b }满足b  n ，已知a ，3a ，9a 成等差
n n n 3 1 2 3
数列．
（1）求{a }和{b }的通项公式；
n n
S
（2）记S 和T 分别为{a }和{b }的前n项和．证明：T  n ．
n n n n n 2
【训练2】已知数列a 的首项a 1，且满足a 2a n1，等比数列b 的首项b  1 ，且满足b b2.
n 1 n1 n n 1 2 2n n
(1)求证：数列a n是等比数列，并求数列a 的通项公式；
n n
(2)求数列a b 的前n项和S ．
n n n
题型2
na
【训练1】（2021·乙卷）设  a  是首项为1的等比数列，数列  b  满足b  n ，已知a ，3a ，9a 成
n n n 3 1 2 3
等差数列．
   
（1）求 a 和 b 的通项公式；
n n
S
（2）记S 和T 分别为  a  和  b  的前n项和．证明：T  n ．
n n n n n 2MST老唐说题26版一轮
考向7 跟踪训练
题型1
【训练1】已知数列{a }的前n项和为Sn，且4S 2n1a 1，a ＝1．
n n n1 1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
1 3
(2)设b
n

a S
，数列{bn}的前n项和为Tn，证明T
n

2
．
n n
【训练2】若数列a 满足a 1，a a 2n．
n 1 n1 n
(1)求a 的通项公式；
n
1 1 1
(2)证明：   2．
a a a
1 2 n
a 1,n为奇数
【训练3】已知数列a 满足a 2,a  n ，记b a ．
n 1 n1 2a 2,n为偶数 n 2n1
n
(1)证明：数列b 为等比数列，并求出数列b 的通项公式；
n n
(2)求数列a 的前2n项和S ．
n 2n
1 3
(3)设c  ，记数列c 的前n项和为T ，求证：T  ．
n n1log b n n n 4
2 n1MST老唐说题26版一轮
题型2
【训练1】记S 为数列a 的前n项和，已知a =2，3a 2S 是公差为2的等差数列．
n n 1 n n
(1)求a 的通项公式；
n
1 1 1
(2)证明：   1．
a a a
1 2 n
【训练2】已知数列a 的前n项和为S ，a 3，S 2a ．
n n 1 n n1
(1)证明：数列S 2为等比数列；
n
 1 
(2)记数列 的前n项和为T ，证明：T 2．
S  n n
n
【训练3】（2021·天津卷）已知a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．b 是公比大于0的等比数
n n
列，b 4,b b 48．
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（I）求a 和b 的通项公式；
n n
1
（II）记c b  ,nN*，
n 2n b
n
（i）证明 c2c 是等比数列；
n 2n
（ii）证明 n a k a k1 2 2  nN*
c2c
k1 k 2k