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专题22.14 二次函数y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质
（直通中考）（培优练）
【要点回顾】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质
；
一、单选题
1．（2023·湖南娄底·统考中考真题）已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：①
；② ；③ （m为任意实数）；④若点 和点 在该图象上，
则 ．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
2．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 ，满足，已知点 ， ， 在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东·统考中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：
等都是三倍点，在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存
在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，抛物线 经过点 ， ．下列结论：
① ；② ；③若抛物线上有点 ， ， ，则 ；④方程
的解为 ， ，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一
个交点位于0合和1之间，则以下结论：① ；② ；③若图象经过点 ，则
；④若关于 的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论的个数是
（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数 （a为常数，且 ），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当 时，y随x的增大而
减小；④当 时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．② D．③④
7．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，抛物线 经过点 ，且 ，
有下列结论：① ；② ；③ ；④若点 在抛物线上，则 ．
其中，正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线 与x轴的一个交点为 ，若 ，
则实数 的取值范围是( )
A． B． 或
C． D． 或9．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线 的部分图象如图所示，则下列结论
中正确的是（ ）
A． B． C． D． （ 为实数）
10．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数 （其中 是自变量），当 时对
应的函数值 均为正数，则 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线 （ 为常数）关于直线 对称．
下列五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确
的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数 图像的一部分与x轴的
一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，结合图像给出下列结论：
① ；② ；③ ；④关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
⑤若点 ， 均在该二次函数图像上，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数 为常数， 的图象与
轴交于点 ．有下列结论：① ；②若点 和 均在抛物线上，则
；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2023·湖南·统考中考真题）已知 是抛物线（a是常数， 上的点，现有以下
四个结论：①该抛物线的对称轴是直线 ；②点 在抛物线上；③若 ，则 ；④若
，则 其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题15．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线 经过 两点，若
分别位于抛物线对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是 ．
16．（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距
离小于2，则 的取值范围是 ．
17．（2022·山东枣庄·统考中考真题）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函
数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像
他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分
别为﹣3和1；④若点（﹣4，y），（﹣2，y），（3，y）均在二次函数图像上，则y＜y＜y；⑤3a+c
1 2 3 1 2 3
＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
18．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，函数y＝ 的图象由抛物线的一部分和一条射
线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x，y），B（x，y），C（x，y）（x＜x
1 1 2 2 3 3 1 2
＜x）．设t＝ ，则t的取值范围是 ．
319．（2022·吉林长春·统考中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值为
1，则a的值为 ．
20．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别为 和
，抛物线 与线段 只有一个公共点，则 的取值范围是 ．
三、解答题
21．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
上任意两点，设抛物线的对称轴为 ．
（1）若对于 ， 有 ，求 的值；
（2）若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．
22．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数 ．
（1）当 时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当 时，求 的取值范围．
（2）当 时， 的最大值为2；当 时， 的最大值为3，求二次函数的表达式．23．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数 中，
（1）若它的图象过点 ，则t的值为多少？
（2）当 时，y的最小值为 ，求出t的值：
（3）如果 都在这个二次函数的图象上，且 ，求m的取值范围．
24．（2022·贵州安顺·统考中考真题）在平面直角坐标系中，如果点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为
和谐点，例如：点 ， ， ，……都是和谐点．
（1）判断函数 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数 的图象上有且只有一个和谐点 ．
①求 ， 的值；
②若 时，函数 的最小值为－1，最大值为3，求实数 的取值范围．参考答案
1．D
【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得 ， ， ，故
①不符合题意；当 与 时的函数值相等，可得 ，故②符合题意；当 时函数
值最大，可得 ，故③不符合题意；由点 和点 在该图象上，而
，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①不符合题意；
∵对称轴为直线 ，
∴当 与 时的函数值相等，
∴ ，故②符合题意；
∵当 时函数值最大，
∴ ，
∴ ；故③不符合题意；
∵点 和点 在该图象上，
而 ，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴ ．故④符合题意；
故选：D．【点拨】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方
程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．
2．C
【分析】利用解不等式组可得 且 ，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减
性判断即可解题．
【详解】解不等式组可得: ，且
所以对称轴 的取值范围在 ，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是 ，其次是 ，最远的是 ，
即根据增减性可得 ，
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
3．D
【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为 ，根据二次函数 的图象上至少存在一个
“三倍点”转化为 和 至少有一个交点，求 ，再根据 和 时两个函数值大
小即可求出．
【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为 ，
在 的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在 的范围内， 和 至少有一个交点，
令 ，整理得： ，
则 ，解得 ，
，
∴ ，
∴ 或当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
综上，c的取值范围是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．
4．D
【分析】根据二次函数图象可知： ， ， ，得出 ，故①不正确；将点 ，
代入，得出： ，再求出 ，故②不正确；根据函数图象可得 ，故③正确；根据方
程 ， ，可知方程无解，故④不正确．
【详解】解：根据二次函数图象可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①不正确；
将点 ， 代入得出： ，
得出： ，
∴ ，
再代入 得出： ，故②不正确；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
根据图象可知： ，故③正确；∵方程 ，
∴ ，
∴方程 无解，故④不正确；
正确的个数是1个，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出 ，再根据图象得出当
时， ，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛
物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程 移项可得 ，
根据该方程无实数根，得出抛物线 与直线 没有交点，即可判断④．
【详解】解：①∵该抛物线开口向下，
∴ ，
∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴ ，
∵该抛物线于y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，
故①正确，符合题意；
②∵ ，
∴该抛物线的对称轴为直线 ，则 ，
当 时， ，
把 得：当 时， ，
由图可知：当 时， ，
∴ ，
故②不正确，不符合题意；
③∵该抛物线的对称轴为直线 ，∴ 到对称轴的距离为 ， 到对称轴的距离为 ，
∵该抛物线开口向下，
∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵ ，
∴ ，
故③正确，符合题意；
④将方程 移项可得 ，
∵ 无实数根，
∴抛物线 与直线 没有交点，
∵ ，
∴ ．故④正确
综上：正确的有：①③④，共三个．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，
熟练掌握二次函数的图象和性质．
6．B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为 ， ，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵ ，
∵ ，
∴ ，
当 时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当 时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为 ， ，∴抛物线开口向上，
∴当 时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当 时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关
键．
7．B
【分析】抛物线 经过点 ，且 ，，可以得到 ， ，从
而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出 ，则 ，即可判断②；由图象可知，
当 时， ，即 ，所以有 ，从而可得出 ，即可判断③；利用
，再根据 ，所以 ，从而可得 ，即可判断④．
【详解】解 ：∵抛物线 的图象开口向上，
∴ ，
∵抛物线 经过点 ，且 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴
∴ ，故②正确；
由图象可知，当 时， ，即 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，故③正确；
∵ ，又∵ ，
∴ ，
∵抛物线 的图象开口向上，
∴ ，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题
的关键．
8．B
【分析】根据抛物线有交点，则 有实数根，得出 或 ，分类讨论，分别求得当
和 时 的范围，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ 有实数根，
∴
即
解得： 或 ，
当 时，如图所示，依题意，当 时， ，
解得： ，
当 时， ，解得 ，
即 ，
当 时，
当 时， ，
解得：
∴
综上所述， 或 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线 可得 ， ，由此即可
判断A；根据对称性可得当 时， ，当 时， ，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向
上，对称轴为直线 ，可得抛物线的最小值为 ，由此即可判断D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，故A中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，故B中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故C中结论正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线 ，且抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为 ，
∴ ，
∴ ，故D中结论错误，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相
关知识是解题的关键．
10．D
【分析】首先根据题意求出对称轴 ，然后分两种情况： 和 ，分别根据二次函数的性
质求解即可．
【详解】∵二次函数 ，
∴对称轴 ，
当 时，
∵当 时对应的函数值 均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴ ，∴解得 ；
当 时，
∵当 时对应的函数值 均为正数，
∴当 时， ，
∴解得 ，
∴ ，
∴综上所述，
当 时对应的函数值 均为正数，则 的取值范围为 或 ．
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
11．B
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；
由抛物线的对称轴为 ，得到 ，即可判断②；可知 时和 时的y值相等可判断③正确；
由图知 时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为 可得 ，因此
，根据图像可判断⑤正确．
【详解】①∵抛物线的开口向上，
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由 得， ，
，
故①正确；
② 抛物线的对称轴为 ，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为 ，可知 时和 时的y值相等．
由图知 时， ，∴ 时， ．
即 ．
故③错误；
④由图知 时二次函数有最小值，
，
，
，
故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为 可得 ，
，
∴ ，
当 时， ．
由图知 时
故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函
数图像的性质及数形结合是解题的关键．
12．B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点
代入抛物线解析式并结合 即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否
大于零即可判定④；判定点 ， 的对称轴为 ，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解： 抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ ，即 ，即②错误；
∴ ，即①正确，
二次函数 图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即 ，故③正确；
∵关于x的一元二次方程 ， ， ，
∴ ， ，
∴无法判断 的正负，即无法确定关于x的一元二次方程 的根的情况，
故④错误；
∵
∴点 ， 关于直线 对称
∵点 ， 均在该二次函数图像上，
∴ ，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的 的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的
获取信息是解题的关键．
13．C
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与 轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与 轴正半轴交于一点，
， .
，
..
故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，
.
在对称轴的左边， 在对称轴的右边，如图所示，
.
故②正确.
图象与 轴交于点 ，
， .
.
.
故③正确.
，
.
当 时， ，
.
，
，
.
故④不正确.
综上所述，正确的有①②③.故选：C.
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以
及与 轴交点.
14．B
【分析】根据对称轴公式 可判断①；当 时， ，可判断②；根据抛物线的增减
性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到 ，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线 （a是常数， ，
∴ ，
故①正确；
当 时， ，
∴点 在抛物线上，
故②正确；
当 时， ，
当 时， ，
故③错误；
根据对称点的坐标得到 ，
，
故④错误．
故选B．
【点拨】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
15．
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线 ，开口向上，根据已知条件得出点 在对称轴的右侧，
且 ，进而得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
∵ 分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点 在对称轴的右侧，则 ，解得 ，
∴
∴ 点在 点的右侧，与假设矛盾，则点 在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵ ，
∴
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．
【分析】先判断 ，再根据二次函数的性质可得： ，再利用二次函数
的性质求解n的范围即可．
【详解】解： 点 到 轴的距离小于2，
，
点 在二次函数 的图象上，
，
当 时， 有最小值为1．当 时， ，
的取值范围为 .
故答案为：
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
17．①②③
【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由
抛物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得b＝2a，由抛
物线过点（1，0），可判断⑤．
【详解】∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y＞y＞y，④错误．
2 1 3
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程
及不等式的关系．
18． ＜t＜1/0.6<t<1
【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x+x＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，
1 2可得y＝y＝y＝m，求出x 的范围，进而求出t的范围．
1 2 3 3
【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x+x＝2，
1 2
由一次函数y＝﹣ x+ （x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝ ，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x，y），B（x，y），C（x，y）（x＜x＜x），
1 1 2 2 3 3 1 2 3
∴y＝y＝y＝m，2＜m＜3，
1 2 3
∴2＜x＜ ，
3
∴t＝ ＝ ，
∴ ＜t＜1．
故填： ＜t＜1
【点拨】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，
利用数形结合的思想是解答本题的关键．
19． /
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而
减小，然后分两种情况讨论：若 ；若 ，即可求解．
【详解】解： ，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
若 ，当 时，y随x的增大而减小，
此时当 时，函数值y最小，最小值为 ，不合题意，
若 ，当 时，函数值y最小，最小值为1，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
综上所述，a的值为 ．故答案为：
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20． 或
【分析】根据抛物线求出对称轴 ， 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ，直线CD的表达式
，分两种情况讨论：当 时，当 时，利用抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的开口
越小，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为： ，当 时， ，故抛物线与 轴的交点坐标为 ，
顶点坐标为 ，直线CD的表达式 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 （舍去），
当 ，抛物线 与线段 只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则 ，解得 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 ，
当抛物线过点 时，
解得，m=-1
由抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段 只有一个公共点，
，
综上所述， 的取值范围为 或 ，
故答案为 或 ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论
思想解决问题是解题的关键．
21．(1) (2)
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴的右侧，根据对
称性求得 ，进而根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于 ， 有 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线的对称轴为 ．
∴ ；
（2）解：∵当 ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴的右侧，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
22．(1)① ；②当 时， (2)
【分析】（1）①将 代入解析式，化为顶点式，即可求解；
②已知顶点 ，根据二次函数的增减性，得出当 时， 有最大值7，当 时取得最小值，即可求解；
（2）根据题意 时， 的最大值为2； 时， 的最大值为3，得出抛物线的对称轴 在 轴的
右侧，即 ，由抛物线开口向下， 时， 的最大值为2，可知 ，根据顶点坐标的纵坐标为3，
求出 ，即可得解．
【详解】（1）解：①当 时， ，
∴顶点坐标为 ．
②∵顶点坐标为 ．抛物线开口向下，
当 时， 随 增大而增大，
当 时， 随 增大而减小，
∴当 时， 有最大值7．
又
∴当 时取得最小值，最小值 ；
∴当 时， ．
（2）∵ 时， 的最大值为2； 时， 的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在 轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线开口向下， 时， 的最大值为2，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴二次函数的表达式为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的
性质是解题的关键．23．(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分 ，当 时，函数值最小，以及 ，当
时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由 关于对称轴对称得 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线
与y轴交点 ，此交点关于对称轴的对称点为 ，结合已知确定出 ；再分类讨论：A，B
都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）将 代入 中，
得 ，
解得， ；
（2）抛物线对称轴为 ．
若 ，当 时，函数值最小，
，
解得 ．
，
若 ，当 时，函数值最小，
，
解得 （不合题意，舍去）
综上所述 ．
（3） 关于对称轴对称，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为 ，抛物线对称轴为直线 ，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得 ．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得 ，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述 或 ．
【点拨】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是
解题的关键．
24.【答案】(1)存在，
(2)① ；
【分析】（1）根据定义可知，和谐点都在 上，联立两直线解析式即可求解；
（2）①根据题意可知二次函数与 相切于点 ，据此即可求解；
②根据①得到解析式，根据二次函数图象的性质分析即可求解．
【详解】（1）解：∵点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为和谐点，
∴和谐点都在 上，，
解得 ，
上的和谐点为 ；
（2）解：①∵二次函数 的图象上有且只有一个和谐点 ，
∴ 即 有两个相等的实数根，
，
解得 ①，
将 代入 得，
，
联立①②，得 ，
② ，
，
其顶点坐标为 ，则最大值为3，在 时， 随 的增大而增大，当 时， ，
根据对称轴可知，当 时， ，
时，函数 的最小值为－1，最大值为3，
根据函数图象可知，当 时，函数 的最小值为－1，最大值为3，
实数 的取值范围为： ．
【点拨】本题考查了新定义问题，两直线交点问题，一次函数与抛物线交点问题，待定系数法求二次函数
解析式，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键．
