专题22.8二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 22.8 二次函数 y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考 点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为y=a（x-h）²+k(a≠0) yax2bxca    x2  b a x    ca    x2  b a x   2 b a    2    2 b a    2   c a    x 2 b a    2  4ac 4a b2 ． b 4acb2 y a(xh)2 k h k  对照 ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2 ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 x 2 b a ，顶点坐标是    2a , 4a  ． b  b 4acb2 【要点提示】抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 x 2a ，顶点坐标是    2a , 4a  ， 可以当作公式加以记忆和运用． 【知识点二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点 A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到 点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结 起来． 【知识点三】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质 y  ax2 bxc(a  0) 1.二次函数 图象与性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） 图象 a0 a0开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a y  ax2 bxc(a  0) 2.二次函数 图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a＞0 开口向上 a a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【知识点四】求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 b 4acb2 x y  2a 时， 最值 4a ． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为顶点式【例1】（23-24九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数解析式为 ． （1）请将函数 的表达式用配方法化为 的形式； （2）请写出函数 图象的顶点坐标与对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为 ，对称轴为直线 【分析】本题考查了待定系数法，掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法求解； （2）根据抛物线的顶点式求解． 解：（1） ； （2） 图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ． 【举一反三】 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数 的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练将二次函数的一般式配方成顶点式解题的关键． 配方成顶点式即可得． 解： ， 抛物线的对称轴为直线 ， 故选：B． 【变式2】（2023·湖北孝感·一模）抛物线 的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 将二次函数解析式化为顶点式，进而求解．解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标为 ， 故答案为： ． 【题型2】二次函数图象的平移 【例2】（24-25九年级上·浙江·假期作业）将二次函数 的图象向左平移 个单位长度，再 向上平移 个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴． 【答案】 ，对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数图象的平移及对称轴，先把二次函数转化为顶点式，再根据平移规律“左 加右减，上加下减”求出新抛物线的表达式，最后根据对称轴公式 即可求出新抛物线的对称轴， 掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 解： ∵二次函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度， ∴新抛物线的表达式为 ， ∴新抛物线的对称轴为直线 ． 【举一反三】 【变式1】（2024·江苏盐城·三模）将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个 单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．解：将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函 数表达式为 ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线 是由抛物线 先向右平 移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 【答案】 ， 【分析】此题考查了二次函数的平移规律，由一般式转化为顶点式， 首先将 化为 ，然后根据函数平移的规律求解即可． 解：∵抛物线 ， ∴把抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为 ，即 ． ∴ ， ． 故答案为： ， ． 【题型3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)确定a、b、c及其他式子的符号 【例3】（20-21九年级上·全国·课后作业）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图 象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c． 【答案】①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0 【分析】①抛物线开口向下得到a＜0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＜0； ②抛物线与x轴没有交点，所以 =b2﹣4ac＜0； ③取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=a+b+c＜0； ④取x=﹣1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=﹣1，y=a﹣b+c＜0． 解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x=﹣ ＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点 在x轴的下方，则c＜0，abc＜0； ②抛物线与x轴没有交点，所以 =b2﹣4ac＜0； ③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c＜0； ④当自变量为﹣1时，图象在x轴下方，则x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0． 【举一反三】 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·三模）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图 所示，现给以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数 有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与 的关系，然后根据对 称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①由抛物线可知： ， 对称轴 ， ， ，故①正确；②由对称轴可知： ， ， 抛物线过点 ， ， ，故②正确； ③ 关于 的对称点为 ， 时， ，故③正确； ④抛物线与 轴有两个交点， ， 即 ， ，故④正确； 故正确的有：①②③④． 故选：D． 【变式2】（2024·河南·三模）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，以下结 论：① ；② ；③ ；④当 时， 随 的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）． 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与 轴交点位置确定①③，根据 时判定②，由抛物线 图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐 标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．解：①抛物线的对称轴在 轴右侧，则 ，而 ，故 ，故错误； ② 时，函数值小于0，则 ，故正确； ③与 轴交于点 和点 ，则对称轴 ，则 ，故 ，故正确； ④当 时，图象位于对称轴右边， 随 的增大而减小．故正确； 综上所述，正确的为②③④． 故答案为：②③④． 【题型4】二次函数、一次函数图象的位置 【例4】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数 的图象与直线 的图象如图所示． （1）判断 的图像的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标； （2）设直线 与抛物线 的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标； （3）连接 ， ，求 的面积． 【答案】(1)抛物线 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)A点坐标为 ，B点坐标为 (3)3 【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、 顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）联立二次函数和一次函数解析式求解即可； （3）首先得到 与y轴交点的坐标为 ，进而求解即可．解：（1）抛物线 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 ； （2）由题意得 ，即 ， 解得 或 ， 则 或 ， ∴A点坐标为 ，B点坐标为 ； （3）∵ 与y轴交点的坐标为 ， ∴ 的面积 ． 【举一反三】 【变式1】（2024·广东东莞·一模）已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出 ， ，再根据一次 函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 解：∵抛物线开口向下， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 【变式2】（2024·四川德阳·二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一 定不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到 ， ，据此可得一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 解：∵二次函数开口向下， ∴ ， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 【题型5】二次函数图象的对称性求对称轴或函数值 【例5】（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数 中的自变量x和函数值y满足 下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m …（1）这个二次函数的对称轴是直线________； （2）)m的值为________； （3）当 时，y的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知， 与 时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称， 由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据抛物线的对称性求得即可； （3）根据表格中数据即可得出结论． （1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当 与 时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为： ； （2）解：∵点 关于直线 的对称点为 ∴ ， 故答案为： ； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当 时， 故答案为： ． 【举一反三】 【变式1】（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点 、 皆在 轴上，且 有一水平线与两图像相交于 、 、 、 四点，各点位置如图所示，若 ， ， ， 则 的长度是（ ）A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由 ， ， 的长度以及根据二次函数的对称性可以知道， 和 ， 和 ， 和 横坐标的差， 从而推出 和 的横坐标之差，得到 的长度． 解：由 、 、 、 四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同 ， ， ， ， 又 ． 故选：B． 【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线 经过 三点， 若 ，则 的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】由抛物线 ，可知抛物线开口向上，与 轴的交点为 ，由抛物线 经过 ， ， 三点，得出对称轴为直线 ，然后根据点的坐标特 征得出 或 ，解不等式（组 即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌 握二次函数的性质是解题的关键． 解： 抛物线 ， 抛物线开口向上，与 轴的交点为 ， 抛物线 经过 ， ， 三点， 对称轴为直线 ，， 或 ， 解得 或 ． 故 的取值范围是 或 ． 故答案为： 或 ． 【题型6】由二次函数图象的增减性求值或取值范围 【例6】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数 ， （1）若二次函数过点 ， ①求二次函数的表达式； ②当 随 的增大而减小时，求 的取值范围； （2）若点 和点 在该二次函数图象上，求 的值． 【答案】(1)① ；② (2)8 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）①直接用待定系数法将点 代入求出 即可；②将二次函数解析式化为顶点式即可判断出当 随 的增大而减小时， 的取值范围； （2）先求出抛物线的对称轴为 ，再根据点 和点 关于对称轴对称， 得 ，求出 ，把点 代入 ，用含 的式子表示出 ，最 后代入 中即可． （1）解：① 二次函数 过点二次函数的表达式为 ； ② 时， 随 的增大而减小 即当 随 的增大而减小时， 的取值范围为 ； （2） 二次函数 抛物线的对称轴为 点 和点 关于对称轴对称 把点 代入 得 解得 . 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知 ，当 时， 随 的增大而 减小，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数增减性、解一元一次不等式等知识，根据题意，确定 的增减性，再由条件限制得到关于 取值范围即可确定答案，熟记二次函数图像与性 质是解决问题的关键． 解： 知抛物线开口向上，对称轴为 ， 当 时， 随 的增大而减小， 当 时， 随 的增大而减小， ，解得 ， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小， 那么 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开 口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于 时，满足当 时， 随 的增大而减小，由此即可求解． 解： 二次函数 ，开口向下，对称轴为直线 ， 时，满足当 时， 随 的增大而减小， 故答案为： ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最 大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质 是解题的关键．由 ，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当 时， ，即 关于对称轴对称的点坐标为 ，由当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得 最小值，可得 ，计算求解，然后作答即可． 解：∵ ， ∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， 当 时， ， ∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ， ∵当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值， ∴ ， 解得， ， 故选：C． 【例2】（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使 得 ，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大 小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意， 理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到 ，按 照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知 中存在一点 ，使得 ， 则 ，， 中存在一点 ，有 ，解得 ，则 ， 抛物线 “开口大小”为 ， 故答案为： ． 2、拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，则 ．其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置， 抛物线与 轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为 可判断③；由 二次函数的性质可判断④．解题关键是掌握二次函数的图像与性质． 解：∵抛物线开口向下，∴ ， ∵抛物线交 轴于正半轴， ∴ ， ∵对称轴为直线 ，即 ， ∴ ， ∴ ，故结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线 ，且当 时， ， ∴ 时， ， 即 ，故结论②正确； ∵对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故结论③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 若 且 ，则点 到对称轴的距离小于 到直线的距离， ∴ ，故结论④不正确， ∴正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【例2】（2024·江苏南京·三模）如图，在 中， ， ， 足够长，点D，E 分别在边 ， 上，F为 的中点，若 ，则 的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线的性质得到 ，设 ，则 ，则对 运用 勾股定理得 ，即可求解． 解：设 ，则 ， ∵ ，F为 的中点， ∴ ， ， ∴ ， 当 时， 取得最小值为8， ∴ 的最小值为 ， ∴ 的最小值为 ， 故答案为： ．