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专题 22.9 二次函数 y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习）
（基础练）
【考点目录】
【考点1】一般式化为顶点式并求出顶点坐标、对称轴、最值；
【考点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的增减性判断取值范围或比较大小；
【考点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与a、b、c的关系；
【考点4】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象判断某些特殊式的符号；
【考点5】二次函数与一次函数图象的综合判断；
【考点6】二次函数图象的对称性；
【考点7】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的平移；
【考点8】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的几何最值；
【考点9】待定系数法求二次函数的解析式；
【考点10】二次函数综合.
一、单选题
【考点1】一般式化为顶点式并求出顶点坐标、对称轴、最值；
1．（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（2024·四川自贡·三模）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【考点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的增减性判断取值范围或比较大小；
3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数 ，如果 随 的增大而减小，那么 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知三点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较大小
【考点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与a、b、c的关系；5．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线 的图象，A、B、C 为抛物线与坐
标轴的交点，且 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数 ，当 时， ，则二次函数
的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【考点4】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象判断某些特殊式的符号；
7．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线 过点 ，与 轴的交点
在 ， 之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线 ，有以下结论：
① ；
② ；
③抛物线顶点的纵坐标大于4小于 ；
其中正确结论的个数是（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线 的图象．如图所示，则下列结论中，正
确的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点5】二次函数与一次函数图象的综合判断；
9．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数
的图象大致为（ ）A． B． C． D．
【考点6】二次函数图象的对称性；
11．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）用“描点法”画二次函数 的图象时，列
出了如下表格：
… 1 2 3 4 …
… 0 0 3 …
根据以上信息，当 时， 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
12．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知二次函数 的图像的对称轴为直线 ，且抛物
线经过点 和点 ．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【考点7】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的平移；
13．（2024·宁夏固原·模拟预测）把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平
移后抛物线的表达式是( )
A． B． C． D．
14．（2024·广东河源·一模）将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛
物线为( )
A． B．
C． D．
【考点8】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的几何最值；
15．（19-20九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线y x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，
CE+EF的最小值是（ ）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
16．（2023·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，过点
平行于 轴的直线交抛物线 于 、 两点，点 在抛物线 上且在 轴的上方，连接
， 则 面积的最大值是( )
A． B． C． D．
【考点9】待定系数法求二次函数的解析式；
17．（2024九年级下·云南·专题练习）已知 是 的二次函数， 与 的对应值如下表：
则其表达式为
A． B．
C． D．
18．（2024·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像沿直线 翻折，它能够
与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（ ）A． B． C． D．
【考点10】二次函数综合.
19．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知点 ，点 ．若抛物线
（a为常数， ）与线段 有两个不同的公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
20．（23-24九年级上·河南周口·期末） ， 分别为抛物线 与 轴的两个交点，且
为顶点．当 的面积最大时， （ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
【考点1】一般式化为顶点式并求出顶点坐标、对称轴、最值；
21．（2023·辽宁丹东·模拟预测）将二次函数 化成 形式为 ．
22．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）把抛物线 化成 的形式是
，该图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
【考点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的增减性判断取值范围或比较大小；
23．（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，那么
的取值范围为 ．
24．（23-24九年级上·河南周口·期中）已知 ， ， 是抛物线 上的点，
比较 ， ， 的大小 ．【考点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与a、b、c的关系；
25．（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知二次函数 的图像如图所示，则点 在第
象限．
26．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数 的部分图象如图所示，则
．
【考点4】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象判断某些特殊式的符号；
27．（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，若二次函数 的图象的对称轴为直
线 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 、点 ，则下列结论：① ；②二次函数的最大值
为 ；③ ；④ ；⑤当 时， ．⑥ ；其中正确的结论有
．
28．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，下列四个结
论：① ；
② ；
③ ；
④若方程 有四个实数根，则这四个实数根的和为4．
其中正确结论是 ．（填写序号）
【考点5】二次函数与一次函数图象的综合判断；
29．（2024·河南新乡·模拟预测）一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的
图象一定不经过第 象限．
30．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为
， ，则关于x的方程 的解为 ．
【考点6】二次函数图象的对称性；
31．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数 ，当自变量x取两个不同的值 ， 时，函数值相等，则当自变量x取 时的函数值是 ．
32．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数 ，点 均在
该二次函数的图象上，且 ，则k的取值范围为 ．
【考点7】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的平移；
33．（2024·吉林长春·模拟预测）将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位
长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ．
34．（2024·上海·模拟预测）将抛物线 沿直线 方向平移 个单位后的解析式为
．
35．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，点 是抛物线的对称轴上一动点，连接 和 ，则 的最小值是 ．
【考点8】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的几何最值；
36．（2022·四川达州·二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线
的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长
的最小值为 ．37．（23-24九年级下·安徽六安·期末）已知抛物线 经过点 ，它的对称轴是直
线 ，则这条抛物线的函数表达式是 ．
38．（2024·广西南宁·二模）如图， ， ， ，抛物线过O、A、B三点，则该抛
物线的解析式为 ．
【考点9】待定系数法求二次函数的解析式；
39．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，抛物线 交 轴于点 ，交
轴于点 ，以 为边的正方形 的顶点 在抛物线上，则点 的坐标是 ．
【考点10】二次函数综合.
40．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点
C，抛物线 经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 ．
（1）求抛物线的表达式 ．
（2）若点P在抛物线对称轴上，当点P坐标为 ，点Q坐标为 时，使以点A，C，P，Q为顶
点的四边形是以AC为对角线的菱形．参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练将二次函数的一般式配方成顶点式解题的关键．
配方成顶点式即可得．
【详解】解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
故选：B．
2．C
【分析】依据题意，由抛物线为 ，从而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键．
【详解】解：由题意， 抛物线为 ，
顶点为 ．
故选：C．
3．D
【分析】此类题目主要考查二次函数的图像与性质，解答此类题目要熟练掌握二次函数的对称轴与
开口方向，并能根据函数图像得到符合题意的自变量的取值范围．当 时，若 （即对称
轴左侧）， 随 的增大而减小，据此即可写出 的取值范围．
【详解】二次函数 的图象的对称轴是 轴，即直线 ，
，
当 时， 随 的增大而减小．
故选D．
4．A
【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．将点
， ， 代入 中，求出 ， ， ，最后比较得到 ， ， 的大小关系．
【详解】解：抛物线为 ，点 ， ， 都在该抛物线上，
，，
，
，
故选：A．
5．D
【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小：当 时，抛
物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；②一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位
置：当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 与 异号时（即 ，对称轴在 轴右．
（简称：左同右异）③常数项 决定抛物线与 轴交点．抛物线与 轴交于 ．此题主要考查了
二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次函数各项的系数和图形
的关系．
【详解】解： ，
，
又 时， ，
，
，
选项C不正确；
抛物线开口向上，
；
又 ，
，
选项A不正确；
，
，
又 ，
，
选项D正确；
，
时， ，，
又 ，
，
选项B不正确．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为 和 ，然后得到二次函数
和二次函数 的图象关于y轴对称，进而求解即可．
【详解】∵二次函数 ，当 时， ，
∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为 和
∴ ，
∴对称轴为
∵二次函数
∴对称轴为
∴二次函数 和二次函数 的图象关于y轴对称
∴二次函数 与x轴的交点坐标为 和 ，且开口向下
∴二次函数 的图象可能为．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物
线的对称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ．
又∵对称轴是直线 ，
∴ ．
∴ ，故①错误．
又抛物线的对称轴为直线 ，且过点 ，
∴ ，即 ，
∴ ，故②正确．
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴顶点坐标为 ，
又 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴抛物线顶点的纵坐标大于4小于 ．故③正确．
故选：B．
8．D
【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴
有2个交点，
∴ ， ，
∴ ， ，故②正确；
∴ ，故①错误；
当 时， ，故③正确；
∵ ，
∴ ，即 ，故④正确；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
故选：D．
9．A
【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进
行分析即可．
【详解】解：A、由二次函数图象知， ，即 ；由一次函数图象知，
，a、c的符号都一致，故符合题意；
B、由二次函数图象知， ，即 ；由一次函数图象知， ，c的符
号不一致，故不符合题意；
C、由二次函数图象知， ，即 ；由一次函数图象知， ，c的符
号不一致，故不符合题意；
D、由二次函数图象知， ，即 ；由一次函数图象知， ，a、c的
符号都不一致，故不符合题意；
故选：A．10．C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出 ， ，再根据
一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
11．A
【分析】本题考查了图表表示函数，根据图表得到 和 是对称点，继而得到抛物线的对称
轴为 ，根据 ，判断与 是对称点即可．
【详解】根据图表，得到 和 是对称点，
故抛物线的对称轴为 ，
根据 ，
故 和 是对称点，
故 ，
故选A．
12．A
【分析】题考查了二次函数的对称性，根据抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P的对称点，利用
数形结合思想，确定m的范围是解题的关键.
【详解】解：点 关于对称轴 的对称点坐标为 ，
∵ ，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，∴点 离对称轴近，
∴ ，
故选A．
13．B
【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据二次函数图象平移的方法“上加下减，左加右
减”即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是：
，即 ．
故选：B．
14．D
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线 向左平移1个单位所得直线解析式为： ；
再向下平移3个单位为： ，即 ．
故选：D．
15．C
【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点
F，则C'F即为所求最短距离．
【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为 ，C(0，﹣2)，
∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，
过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，∴CE=C'E，
则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；
∵直线y x+3，
设直线C'F的解析式为 ，
将C'(﹣2，﹣2)代入得： ，
解得： ，
∴C'F的解析式为y x ，
解方程组 ，
得： ，
∴F( ， )，
∴C'F ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，
确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键．
16．D【分析】先确定 ，再解方程 得 ， ，所以 ，设 ，
利用三角形面积公式表示出 ，然后利用二次函数的性质解决问题．
【详解】解：当 时， ，则 ，
当 时， ，解得 ，则 ， ，
，
设 ，
当 时， 面积的最大值为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．B
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是根据二次函数的对称性找到
顶点坐标 ，设 ，代入 ，求 即可．
【详解】解：由表可知： 关于对称轴的对称点是 ，
二次函数对称轴是直线 ，
二次函数顶点坐标是 ，
设二次函数解析式是 ，
把 代入 得：
，
解得： ，
二次函数解析式是 ，
故选：B．18．C
【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，解题的关键是明确关于直线 翻折得到的图像与原
图像关于直线 对称．根据直线对称的特点即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数 的图像的顶点为 ，
∴沿直线 翻折后的二次函数 的图像的顶点为 ，
∴另一个二次函数的表达式为 ，即 ．
故选：C．
19．B
【分析】
本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线 的解析式，令 ，根据
有两个交点求出a的取值范围，再分 和 两种情况讨论即可得到答案；
【详解】解：设 所在直线为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，
∵二次函数与线段 有两个不同的公共点，
∴ ，
解得： ，
①当 时，
此时函数的开口向上，∴ ， ，
解得： ，
②当 时
此时函数的开口向下，
∴ ， ，
解得： ，
综上所述得： ， ，
故选：B．
20．A
【分析】本题考查了二次函数的综合应用；根据解析式得出抛物线的顶点 为 ，当
最大时， 的面积最大，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：抛物线
该抛物线的顶点 为
当 最大时， 的面积最大，
当 时， 最大为 ，即 为 时 的面积最大故选：A．
21．
【分析】本题考查了二次函数化为顶点式： ；利用配方法整理即可得解．
【详解】解： ，
所以， ．
故答案为： ．
22． 直线
【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式，即可求解．
【详解】解： ，对称轴为直线 ，顶点坐标为
故答案为： ，直线 ， ．
23．
【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物
线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于 时，满足当 时， 随 的增大而减小，由此即
可求解．
【详解】解： 二次函数 ，开口向下，对称轴为直线 ，
时，满足当 时， 随 的增大而减小，
故答案为： ．
24．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的对称轴为直线 ，然后根据
二次函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，∴抛物线开口向下，
∴当 时，y随x的增大而减少，当 时，函数有最大值，
∵ 关于 对称点为 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
25．二
【分析】本题考查的是二次函数图像及性质，系数符号的确定是解题关键．根据对称轴的位置、开
口方向、函数与y轴的交点的位置判断出 的符号即可求解．
【详解】解: 抛物线开口向下,
又 对称轴在 轴右侧,
二次函数与y轴的交点在y轴正半轴，
在第二象限，
故答案为：二
26．
【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像的对称性是解答此题的关键．
由已知的图像可知二次函数图像的对称轴为直线 ， 即可求出b，由二次函数图像与y轴交点
即可求解．
【详解】解：二次函数 与y轴交点为 ，
即 ，
对称轴为直线 ，即 ，
解得： ，
故答案为： ．27．②⑤⑥
【分析】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象与 轴的交点等知识点，根据对称轴在
轴的右侧，与 轴相交在正半轴，可判定①；由顶点坐标即可判断②；由 即可判断③；由
抛物线与 轴有两个交点即可判断④；有抛物线与 轴交点的横坐标即可判断⑤；由对称轴方程得
到 ，由 时函数值为 即可判断⑥．
【详解】解： 二次函数对称轴在 轴的右侧，与 轴相交在正半轴， ，故①
不正确；
二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ，且开口向下，二次函数的最大值为 ，
故②正确；
抛物线过 ，
时， ，即 ，
故③不正确；
抛物线与 轴有两个交点，
，
故④不正确；
对称轴为直线 ， ，
，
有图象可知， 时， ，
故⑤正确；
，即 ，
而 时， ，即 ，
，
，
故⑥正确，
故答案为：②⑤⑥．
28．②③④【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质．由抛物线开口向下得到
；由抛物线的对称轴为直线 得到 ；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到
，则 ；在 时， ，即 ，由 ，得到， ，代入到
，即可得出 ；根据二次函数的最值问题得到 时，y有最大值 ，
则 ，变形得到 ；根据图象的对称与翻折可得结论．
【详解】解：：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴ ，
∴ ，
所以①错误；
根据抛物线在 时， ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
故②正确．
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 时，y有最大值 ，
∴ ，
∴ ，
故③正确．
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线 有四个交点即可．由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．
故④正确
故答案为：②③④．
29．三
【分析】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象
限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一，第三，第四象限，
∴ ， ，
∴ ，
且当 时， ，
∴二次函数 的图象开口向上，对称轴在x轴的右侧，与y轴交于正半轴，
故图像一定不经过第三象限，
故答案为：三．
30． ，
【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学
会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐
标．
【详解】解：由图象可知，关于x的方程 的解，就是抛物线 与直线 的
两个交点坐标分别为 ， 的横坐标，
即 ， ．
故答案为： ， ．
31．34
【分析】本题考查二次函数的对称性，由题意可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线
的对称轴对称，即可求解．【详解】解：当自变量x取两个不同的值 ， 时，函数值相等，
则以 ， 为横坐标的两点关于直线 对称，
所以有 ，
所以 ，
当 时， ，
故答案为：34．
32． 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点 ，可得二次函数图
象的对称轴，从而得到点 关于对称轴的对称点为 ，再分两种情况：当点
在对称轴的左侧时；当点 在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】解：∵点 均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，
∴二次函数图象的对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴的对称点为 ，
当 时， ，
∴二次函数的图象与y轴的交点为 ，
∵ ，
当点 在对称轴的左侧时， ；
当点 在对称轴的右侧时， ，且 ，
解得： ；
综上所述，k的取值范围为 或 ．故答案为： 或 ．
33．
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加
下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解： ，
∴将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的
函数表达式为 ，即 ，
故答案为： ．
34． 或
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下
减”的平移规律是解题的关键．沿直线 方向平移 个单位，相当于向上平移2个单位，
再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案．
【详解】解：对于 ，当 时， ，当 时， ，
即：直线 经过 ， ，
则 ，
由此可知抛物线 沿直线 方向平移 个单位，
相当于抛物线 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，
此时平移后的解析式为 ；
或抛物线 向下平移2个单位，再向右平移2个单位，
此时平移后的解析式为 ；综上： 或 ．
35．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接 ， ，设 交抛物线
对称轴于点 ，当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，令 分别求得
的坐标，勾股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，设 交抛物线对称轴于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
∵ ，当 时， ，则
当 时， ，
解得： ,
∴ ，
∴
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
36．
【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长
=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间
的距离公式可得答案．
【详解】解：如图，
在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1），
∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
∴对称轴为x=1，顶点D（1，2），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
= ，
∴四边形EDFG的周长的最小值为： ．
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、
G的位置是解题的关键．
37．
【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据
“抛物线 经过点 ”得出 ，根据“对称轴是直线 ”得出 ，解方程组即可求解．
【详解】解∶∵抛物线 经过点 ，它的对称轴是直线 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为∶ ．
38． /
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求二次函数
解析式．先求出 ，然后用待定系数法求解即可．
【详解】如图，作 于点C
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设函数解析式为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
39．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据正方形的性质，求出 ，进而求出对称轴，
根据对称性求出 点坐标即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ 关于对称轴对称，
∴对称轴为直线 ，
∵抛物线 交 轴于点 ，
∴ ；
故答案为： ．
40．
【分析】（1）先求得 ， ， 三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）根据菱形性质可得 ，进而求得点 的坐标，根据菱形性质，进一步求得点 坐标．
【详解】解：（1）当 时， ，，
当 时， ，
，
，
对称轴为直线 ，
，
设抛物线的表达式： ，
，
，
抛物线的表达式为： ；
（2）设 ，
以 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为对角线的菱形，
，
即： ，
，
，
，
， ，
， ，
．
故答案为： ， ， ．
【点拨】本题考查了二次函数及其图象性质，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练
掌握知识点．
