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2021-2022学年四川省宜宾市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。（注意：在试题卷上作答无效）
1．（4分） 的平方根是（ ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．（a2）3＝a8
C．（3a2b3）2＝9a4b6 D．a8÷a2＝a4
3．（4分）某学校对八年级1班50名学生进行体能评定，进行了“长跑”、“立定跳远”、
“跳高”的测试，根据测试总成绩划分体能等级，等级分为“优秀”、“良好”、“合
格”、“较差”四个等级，该班级“优秀”的有28人，“良好”的有15人，“合格”的有
5人，则该班级学生这次体能评定为“较差”的频率是（ ）
A．2 B．0.02 C．4 D．0.04
4．（4分）如图，OD平分∠AOB，点P是OD上一点，PE⊥OA于E，且PE＝3，点N是OB上
的点，则线段PN的取值范围是（ ）
A．PN≥3 B．PN＞3 C．PN≤3 D．PN＜3
5．（4分）如图所示，已知数轴上的点A、O、B、C、D分别表示数﹣2、0、1、2、3，则表示数3﹣
的点P应落在（ ）
A．线段AO上 B．线段OB上 C．线段BC上 D．线段CD上
6．（4分）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，满足下列条件的三角形中，
不能判定△ABC为直角三角形是的（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
7．（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
第1页（共27页）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
8．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．二直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
9．（4分）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D
和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村
民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线DE，分别过
点A、B作DE的垂线，垂足分别为E、D，若AE＝4，BD＝3，则DE之长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．12
11．（4分）如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一
个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据图二中
阴影部分的面积计算方法可以验证的公式为（ ）
第2页（共27页）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
12．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4 ，D为BC的中点，E是线段AB
上一点，连接CE、DE，则CE+DE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2+2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中
横线上。（注意：在试题卷上作答无效）
13．（4分）如果一个数的立方根是﹣3，那么这个数是 ．
14．（4分）分解因式：x3﹣25x＝ ．
15．（4分）化简：（8x3y3﹣4x2y2）÷2xy2＝ ．
16．（4分）已知2x＝a，则2x•4x•8x＝ （用含a的代数式表示）．
17．（4分）如图所示的长方体中，长AB＝5cm，宽BC＝3cm，高CD＝6cm，一只蚂蚁从顶点A
处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为 ．
18．（4分）已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（其中0°＜
∠BAD＜45°）以AD为直角边作Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于点
F，过点 A 作 AH⊥DE 于点 G，交 BC 于 H，在 D 点的运动过程中，有下列结论：
第3页（共27页）①△ABD≌△ACE；②BD2+DC2＝2AD2；③BD2+HC2＝DH2；④BD＝ ﹣1时，AC平
分∠HAE；⑤当∠BAD＝22.5°时，S△ADG ＝2S△AGF ．其中正确的有 （将所有正确结
论的番号填在答题卡对应题号的横线上）．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意：在
试题卷上作答无效）
19．（18分）计算或因式分解：
（1）计算：（﹣3）2+ ﹣ ÷（﹣ ）+（﹣1）2021；
（2）因式分解：x（x﹣6）+9；
（3）化简：2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）+（x+1）2．
20．（8分）已知 +（ab﹣4）2＝0．求代数式a2+b2的值．
21．（8分）某中学为推动学生“海量阅读”，准备添加一批书籍，为了了解学生阅读的喜好，
使添加的书籍更切合学生的需求，在全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要
求每人只选取一种最喜爱的书籍，如果没有喜爱的书籍，则作“其他”类统计，将收集的
数据绘制成图一、图二两幅不完整的统计图．
（1）求参与这次问卷调查的学生人数；
（2）补全图一中小说和科普的图形；
（3）求图二中，“小说”所在扇形的圆心角的度数．
22．（8分）已知：Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝
第4页（共27页）BC，FG⊥AC交BC于点E．
求证：AB＝DE．
23．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题：
观察下列各计算题：
26×682＝286×62
34×473＝374×43
52×275＝572×25
15×561＝165×51
…
以上每个等式都非常巧妙，左边是一个两位数乘以三位数，等式两边的数字之间具有特殊
性，一边的数字也有特殊性，且数字关于等号成对称分布，我们把满足这种条件的等式称
为“对称积等式”．
解决问题：（1）填空，使下列各式成为“对称积等式”：
41×154＝ ×14；
×286＝682× ；
（2）设“对称积等式”这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
①写出a+b的取值范围；
②请用含a、b的代数式写出表示“对称积等式”的式子，并证明你的结论．
24．（12分）如图，已知长方形的边AD＝8，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度
的速度沿A→D→A的路径匀速运动，同时，动点N从点C出发，沿C→B方向以每秒1个
单位长度的速度匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t秒．
（1）如（图一），当运动时间为1秒时，求MN的长度；
（2）当0≤t≤4时，直接写出△AMN为直角三角形时的运动时间t的值；
第5页（共27页）（3）如（图二），当4＜t＜8时，判断△AMN的形状，并说明理由．
25．（14分）（1）如（图一），分别以△ABC的两边AB、AC为直角边向外作两个等腰直角三角
形，∠EAB＝∠DAC＝90°，AE＝AB，AD＝AC，连接BD、CE交于点F．
①求证：BD＝CE；
②当BC和AC满足什么数量关系时，点F是BD的中点，并说明理由；
（2）运用（1）解答中获取的经验，解决问题：
如（图二），为了测量一狭长水库两端A、B的距离，小王在水库旁边的空地上选择点C，能
直达点A和点B，并以AC为斜边在△ABC内作Rt△ACD，且DA＝DC，连接BD：测得
∠DBC＝15°，DB＝1千米，BC＝ 千米，请根据测量结果直接写出AB之长（结果保留根
号）．
第6页（共27页）2021-2022学年四川省宜宾市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。（注意：在试题卷上作答无效）
1．（4分） 的平方根是（ ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．
【分析】先求16的算术平方根，再求其结果的平方根．
【解答】解：∵ ＝4
∴ 的平方根即4的平方根是±2．
故选：C．
【点评】本题考查算术平方根、平方根，是个易错题，注意先算术平方根再平方根．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．（a2）3＝a8
C．（3a2b3）2＝9a4b6 D．a8÷a2＝a4
【分析】利用合并同类项运算法则判断A，利用积的乘方与幂的乘方运算法则判断B和C，
利用同底数幂的除法运算法则判断D．
【解答】解：A、a2与a4不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式＝a6，故此选项不符合题意；
C、原式＝9a4b6，故此选项符合题意；
D、原式＝a6，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn，同底
数幂的除法（底数不变，指数相减）运算法则是解题关键．
3．（4分）某学校对八年级1班50名学生进行体能评定，进行了“长跑”、“立定跳远”、
“跳高”的测试，根据测试总成绩划分体能等级，等级分为“优秀”、“良好”、“合
格”、“较差”四个等级，该班级“优秀”的有28人，“良好”的有15人，“合格”的有
5人，则该班级学生这次体能评定为“较差”的频率是（ ）
A．2 B．0.02 C．4 D．0.04
【分析】求出：“较差”的人数，再根据频率 定义求解即可．
第7页（共27页）【解答】解：“较差”的人数＝50﹣28﹣15﹣5＝2，
∴能评定为“较差”的频率＝ ＝0.04，
故选：D．
【点评】本题考查频数与频率，解题的关键是理解频率的定义，属于中考常考题型．
4．（4分）如图，OD平分∠AOB，点P是OD上一点，PE⊥OA于E，且PE＝3，点N是OB上
的点，则线段PN的取值范围是（ ）
A．PN≥3 B．PN＞3 C．PN≤3 D．PN＜3
【分析】过P点作PF⊥OB于F，如图，根据角平分线的性质得到PF＝PE＝3，然后利用垂
线段最短可确定线段PN的取值范围．
【解答】解：过P点作PF⊥OB于F，如图，
∵OD平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PF＝PE＝3，
∴线段PN的取值范围为PN≥3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查
了垂线段最短．
5．（4分）如图所示，已知数轴上的点A、O、B、C、D分别表示数﹣2、0、1、2、3，则表示数3﹣
的点P应落在（ ）
A．线段AO上 B．线段OB上 C．线段BC上 D．线段CD上
【分析】估算出 的值即可解答．
【解答】解：∵4＜5＜9，
第8页（共27页）∴2＜ ＜3，
∴﹣3＜﹣ ＜﹣2，
∴0＜3﹣ ＜1，
∴表示数3﹣ 的点P应落在线段OB上，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握平方数是解题的关键．
6．（4分）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，满足下列条件的三角形中，
不能判定△ABC为直角三角形是的（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断，即可得出结论．
【解答】解：A．由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠A＜∠B＜∠C＜90°，不能判定△ABC为直
角三角形，符合题意；
B．由∠A＝∠C﹣∠B，可得∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形，不合题意；
C．由a：b：c＝5：12：13，可得a2+b2＝c2，能判定△ABC为直角三角形，不合题意；
D．由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可得∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形，不合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，如果三角形的三边长
a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7．（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【解答】解：A．是整式的乘法，故A不符合题意；
B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C．是因式分解且完全正确，故C符合题意；
D．x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
8．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．二直线平行，同旁内角相等
第9页（共27页）B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
【分析】利用平行线的性质、等边三角形的判定方法、全等三角形的判定方法及垂直平分
线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、二直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
C、有两边和夹角对应相等的两个三角形一定全等，故原命题错误，不符合题意；
D、到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符
合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、等边三角形的判定
方法、全等三角形的判定方法及垂直平分线的判定方法，难度不大．
9．（4分）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D
和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村
民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
【分析】根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线
的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，
则水池修建的位置应该为P点．
第10页（共27页）故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查
了线段垂直平分线的性质．
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线DE，分别过
点A、B作DE的垂线，垂足分别为E、D，若AE＝4，BD＝3，则DE之长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．12
【分析】由“AAS”可证△ACE≌△CBD，可得CE＝BD＝3，CD＝AE＝4，可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝90°．
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE．
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE＝BD＝3，CD＝AE＝4，
∴DE＝CE+CD＝7，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等
是解题的关键．
11．（4分）如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一
第11页（共27页）个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据图二中
阴影部分的面积计算方法可以验证的公式为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
【分析】图二中阴影部分的面积运用整体方法和和差方法表示，就可得到此题结果．
【解答】解：由题意得，图二中阴影部分的面积可表示为：（a﹣b）2和a2﹣2ab+b2，
故选：C．
【点评】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式．
12．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4 ，D为BC的中点，E是线段AB
上一点，连接CE、DE，则CE+DE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2+2
【分析】作点C关于AB的对称点A'．连接C'D，与AB交于点E．作DF⊥CC'于点F．则CE
＝C'E，CE+DE＝C'E+DE，线段C'E即为CE+DE得最小值．
【解答】解：如图．
作点C关于AB的对称点A'．连接C'D，与AB交于点E．作DF⊥CC'于点F．
则CE＝C'E，CE+DE＝C'E+DE，线段C'E即为CE+DE得最小值．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4 ，
∴AC＝BC＝4，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD＝ BC＝ ＝2，
第12页（共27页）CF＝DF＝ ，CC'＝2CG＝2×2 ＝4 ，
∴C'F＝CC'﹣CF＝4 ﹣ ＝3 ，
∴C'D＝ ＝ ＝2 ．
故选：B．
【点评】此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使DE+CE的值最小是关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中
横线上。（注意：在试题卷上作答无效）
13．（4分）如果一个数的立方根是﹣3，那么这个数是 ﹣ 2 7 ．
【分析】根据立方根的定义求解可得．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴﹣27的立方根是﹣3，
故答案为：﹣27．
【点评】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义．
14．（4分）分解因式：x3﹣25x＝ x （ x + 5 ）（ x ﹣ 5 ） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣25x，
＝x（x2﹣25），
＝x（x+5）（x﹣5）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方
差公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．
15．（4分）化简：（8x3y3﹣4x2y2）÷2xy2＝ 4 x 2 y ﹣ 2 x ．
【分析】根据多项式除以单项式的法则化简即可．
【解答】解：原式＝8x3y3÷2xy2﹣4x2y2÷2xy2
第13页（共27页）＝4x2y﹣2x．
故答案为：4x2y﹣2x．
【点评】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别
除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
16．（4分）已知2x＝a，则2x•4x•8x＝ a 6 （用含a的代数式表示）．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵2x＝a，
∴2x•4x•8x＝2x•（2x）2•（2x）3
＝a•a2•a3
＝a6，
故答案为：a6．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，列代数式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算
法则是解题的关键．
17．（4分）如图所示的长方体中，长AB＝5cm，宽BC＝3cm，高CD＝6cm，一只蚂蚁从顶点A
处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为 1 0 cm ．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用
两点之间线段最短解答．
【解答】解：①展开正面和右面，如图，连接AD．
∵长AB＝5cm，宽BC＝3cm，高CD＝6cm，
∴AC＝8cm，
第14页（共27页）∴AD＝ ＝ ＝10（cm），
②展开正面和上面，
如图，连接AD．
∵长AB＝5cm，宽BC＝3cm，高CD＝6cm，
∴BE＝BE+DE＝6+3＝9cm，
∴AD＝ ＝ ＝ （cm），
③展开左面和上面，
AG＝3cm，DG＝GH+DH＝6+5＝11（cm），
AD＝ ＝ ．
∵10＜ ，
∴爬行的最短距离为10cm．
故答案为：10cm．
【点评】此题考查最短路径问题，解答此题要注意以下几点：
（1）将立体图形展开的能力；
（2）正确运用勾股定理．
18．（4分）已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（其中0°＜
第15页（共27页）∠BAD＜45°）以AD为直角边作Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于点
F，过点 A 作 AH⊥DE 于点 G，交 BC 于 H，在 D 点的运动过程中，有下列结论：
①△ABD≌△ACE；②BD2+DC2＝2AD2；③BD2+HC2＝DH2；④BD＝ ﹣1时，AC平
分∠HAE；⑤当∠BAD＝22.5°时，S△ADG ＝2S△AGF ．其中正确的有 ①②③④ （将所
有正确结论的番号填在答题卡对应题号的横线上）．
【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，故①正确；由全等三角形的性质可得BD＝CE，
∠ACE＝∠ABD＝45°，可得∠DCE＝90°，由勾股定理可求BD2+DC2＝2AD2；故②正确；
由等腰直角三角形的性质可得DH＝HE，由勾股定理可得CH2+CE2＝HD2，故③正确；由
等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求∠EAC＝∠CAH＝22.5°，即AC平分
∠HAE，故④正确；由角平分线的性质可得GF＝FN，由等腰直角三角形的性质可得GE
＝（ +1）GF＝DG，由三角形的面积公式可得S△ADG ＝（ +1）S△AGF ，故⑤错误，即可
求解．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），故①正确；
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴DE＝ AD，
∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴∠DCE＝90°，
第16页（共27页）∴CD2+CE2＝DE2，
∴BD2+DC2＝2AD2；故②正确；
如图，连接HE，
∵AD＝AE，AH⊥DE，∠DAE＝90°，
∴AH是DE的垂直平分线，
∴DH＝HE，
∵∠DCE＝90°，
∴CH2+CE2＝HE2，
∴CH2+CE2＝HD2，故③正确；
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC＝ ，
∵BD＝ ﹣1，
∴CD＝BC﹣BD＝ ﹣（ ﹣1）＝1，
∴CD＝AC＝1，
∴∠CAD＝∠ADC＝ ＝67.5°，
∵AD＝AE，AH⊥DE，∠DAE＝90°，
∴∠DAH＝∠EAH＝45°，
∴∠EAC＝∠CAH＝22.5°，
∴AC平分∠HAE，故④正确；
如图，过点F作FN⊥AE于N，
第17页（共27页）∵△BAD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝22.5°，
∵AD＝AE，AH⊥DE，∠DAE＝90°，
∴∠DAH＝∠EAH＝45°＝∠AED，DG＝GE＝AG，
∴∠CAH＝∠CAE＝22.5°，
∴AF平分∠HAE，
又∵AG⊥GF，FN⊥AE，
∴GF＝FN，
∵∠AED＝45°，FN⊥AE，
∴∠NFE＝∠NEF＝45°，
∴EF＝ FN＝ GF，
∴GE＝（ +1）GF＝DG，
∵S△ADG ＝ AG×DG＝ ×（ +1）×GF×AG，S△AGF ＝ ×AG×GF，
∴S△ADG ＝（ +1）S△AGF ，故⑤错误，
故答案为：①②③④．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，
勾股定理，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意：在
试题卷上作答无效）
19．（18分）计算或因式分解：
（1）计算：（﹣3）2+ ﹣ ÷（﹣ ）+（﹣1）2021；
（2）因式分解：x（x﹣6）+9；
（3）化简：2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）+（x+1）2．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可；
第18页（共27页）（2）先化简，然后对化简后的式子进行因式分解即可；
（3）按照运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，然后进行计算即可．
【解答】解：（1）（﹣3）2+ ﹣ ÷（﹣ ）+（﹣1）2021
＝9+2﹣4×（ ）+（﹣1）
＝9+2+6﹣1
＝16；
（2）x（x﹣6）+9
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2；
（3）2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）+（x+1）2．
＝2x2﹣2x﹣（x2﹣1）+x2+2x+1
＝2x2﹣2x﹣x2+1+x2+2x+1
＝2x2+2．
【点评】本题考查了实数的运算，整式的混合运算，因式分解﹣运用公式法，熟练掌握整式
乘法与因式分解的关系是解题的关键．
20．（8分）已知 +（ab﹣4）2＝0．求代数式a2+b2的值．
【分析】根据非负数的性质由已知 +（ab﹣4）2＝0，得a+b＝3，ab＝4，先利用完全
平方公式得原式＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可．
【解答】解：∵ +（ab﹣4）2＝0，
∴a+b﹣3＝0，ab﹣4＝0，
∴a+b＝3，ab＝4，
原式＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×4
＝9﹣8
＝1．
【点评】本题考查了求代数式的值和完全平方公式的运用，也考查了非负数的性质．
21．（8分）某中学为推动学生“海量阅读”，准备添加一批书籍，为了了解学生阅读的喜好，
使添加的书籍更切合学生的需求，在全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要
求每人只选取一种最喜爱的书籍，如果没有喜爱的书籍，则作“其他”类统计，将收集的
第19页（共27页）数据绘制成图一、图二两幅不完整的统计图．
（1）求参与这次问卷调查的学生人数；
（2）补全图一中小说和科普的图形；
（3）求图二中，“小说”所在扇形的圆心角的度数．
【分析】（1）根据B级“其它”的人数和所占的百分比求出抽取的总人数；
（2）用“漫画”的人数除以总人数，可得“漫画”所占比例，进而得出“小说”所占比例，
再分别求出“小说”和“科普”的人数，从而补全统计图；
（3）360度乘以“小说”所占的百分比即可求出扇形统计图中“小说”对应的圆心角的
度数．
【解答】解：（1）参与这次问卷调查的学生人数为：30÷15%＝200（人）；
（2）参与“漫画”的比例为： ，
故参与“小说”所占比例为：1﹣30%﹣20%﹣15%＝35%，
∴参与“小说”的人数为：200×35%＝70（人），
参与“科普”的人数为：200×20%＝40（人），
补图如下：
（3）图二中，“小说”所在扇形的圆心角的度数为：360×30%＝108°．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
第20页（共27页）形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）已知：Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝
BC，FG⊥AC交BC于点E．
求证：AB＝DE．
【分析】由“AAS”可证△ABC≌△EDF，可得AB＝DE．
【解答】证明：∵FG⊥AC，FD⊥BC，
∴∠ABC＝∠FDE＝∠EGC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°＝∠C+∠GEC，
∴∠A＝∠GEC，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（AAS），
∴AB＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题：
观察下列各计算题：
26×682＝286×62
34×473＝374×43
52×275＝572×25
15×561＝165×51
…
以上每个等式都非常巧妙，左边是一个两位数乘以三位数，等式两边的数字之间具有特殊
性，一边的数字也有特殊性，且数字关于等号成对称分布，我们把满足这种条件的等式称
第21页（共27页）为“对称积等式”．
解决问题：（1）填空，使下列各式成为“对称积等式”：
41×154＝ 45 1 ×14；
6 2 ×286＝682× 2 6 ；
（2）设“对称积等式”这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
①写出a+b的取值范围；
②请用含a、b的代数式写出表示“对称积等式”的式子，并证明你的结论．
【分析】（1）根据此“对称积等式”的规律进行填空即可；
（2）①根据两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的
数、个位上的数、十位上的数，由a≥1，b≥1，a+b≤9得a+b的取值范围；
②根据此“对称积等式”的规律即可写出等式．
【解答】解：（1）41×154＝451×14；
62×286＝682×26，
故答案为：451，62，26；
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
①∵ ，
∴2≤a+b≤9；
②一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]＝[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：左边＝（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
＝（10a+b）（100b+10a+10b+a），
＝（10a+b）（110b+11a），
＝11（10a+b）（10b+a），
右边＝[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
＝（100a+10a+10b+b）（10b+a），
＝（110a+11b）（10b+a），
＝11（10a+b）（10b+a），
左边＝右边，
第22页（共27页）所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]＝[100a+10
（a+b）+b]×（10b+a）．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数
字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
24．（12分）如图，已知长方形的边AD＝8，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度
的速度沿A→D→A的路径匀速运动，同时，动点N从点C出发，沿C→B方向以每秒1个
单位长度的速度匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t秒．
（1）如（图一），当运动时间为1秒时，求MN的长度；
（2）当0≤t≤4时，直接写出△AMN为直角三角形时的运动时间t的值；
（3）如（图二），当4＜t＜8时，判断△AMN的形状，并说明理由．
【分析】（1）过点N作NR⊥AD于R．求出MR，NR，利用勾股定理求解．
（2）当0≤t≤4时，如果AM＝BN，则△AMN是直角三角形，当t＝4时，点M与D重合，点
N位于BC的中点，此时△AMN是等腰直角三角形；
（3）由（2）可知当t＝4时，△AMN是等腰直角三角形，由此判断出△AMN是锐角三角形．
【解答】解：（1）过点N作NR⊥AD于R．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝∠DRN＝90°，
第23页（共27页）∴四边形CDRN是矩形，
∴RN＝CD＝4，CN＝DR＝1，
∵AM＝2，AD＝8，
∴RM＝AD﹣AM﹣DR＝8﹣2﹣1＝5，
∵∠MRN＝90°，
∴MN＝ ＝ ＝ ．
（2）当0≤t≤4时，如果AM＝BN，则△AMN是直角三角形，
∴2t＝8﹣t，
∴t＝ ，
当t＝4时，点M与D重合，点N位于BC的中点，此时△AMN是等腰直角三角形，
综上所述，当△AMN是直角三角形时，t的值为 或4．
（3）∵当t＝4时，△AMN是等腰直角三角形，
∵点M的运动速度大于点N的运动速度，
∴当4＜t＜8时，△AMN是锐角三角形．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理
等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（14分）（1）如（图一），分别以△ABC的两边AB、AC为直角边向外作两个等腰直角三角
形，∠EAB＝∠DAC＝90°，AE＝AB，AD＝AC，连接BD、CE交于点F．
①求证：BD＝CE；
②当BC和AC满足什么数量关系时，点F是BD的中点，并说明理由；
（2）运用（1）解答中获取的经验，解决问题：
如（图二），为了测量一狭长水库两端A、B的距离，小王在水库旁边的空地上选择点C，能
直达点A和点B，并以AC为斜边在△ABC内作Rt△ACD，且DA＝DC，连接BD：测得
∠DBC＝15°，DB＝1千米，BC＝ 千米，请根据测量结果直接写出AB之长（结果保留根
号）．
第24页（共27页）【分析】（1）①证明△BAD≌△EAC（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE；
②AB与CE交于点M，由全等三角形的性质得出∠AEC＝∠ABD，证出EC⊥BD，由等腰
三角形的性质可得出结论；
（2）过点D作DE⊥BD，DE＝BD，连接CE，BE，证明△EBD为等边三角形，得出CE＝BC
＝ ，则可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵△ABE和△ACD是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△EAC中，
，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE；
②解：当BC＝ AC时，点F是BD的中点．
理由：如图，AB与CE交于点M，
第25页（共27页）∵△BAD≌△EAC，
∴∠AEC＝∠ABD，
∵∠AME＝∠BMC，
∴∠EAB＝∠BFE＝90°，
∴EC⊥BD，
∵CD＝ AC，BC＝ AC，
∴CD＝BC，
∴F为BD的中点；
（2）解：过点D作DE⊥BD，DE＝BD，连接CE，BE，
，
由（1）知△ABD≌△CED（SAS），
∴AB＝CE，
∵△BDE为等腰直角三角形，BD＝1千米，
∴BE＝ 千米，∠EBD＝45°，
∵BC＝ 千米，
∴BE＝BC，
∵∠DBC＝15°，
∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝45°+15°＝60°，
∴△EBC为等边三角形，
∴CE＝BC＝ 千米，
∴AB＝ 千米．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，
全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判
第26页（共27页）定和性质是解题的关键．
第27页（共27页）
