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2021-2022学年四川省成都市都江堰市、彭州市、邛崃市九年级
（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）新华社日内瓦2021年12月15日电：世界卫生组织15日公布的最新数据显示，全
球累计新冠确诊病例接近270000000例．将数据270000000用科学记数法表示为（ ）
A．27×107 B．2.7×108 C．2.7×109 D．0.27×109
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝35°，AB＝AC，则∠B的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．对角线相等
C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣a2b）3＝﹣a6b3
第1页（共32页）C．a6÷a2＝a3 D．a2+a2＝a4
7．（3分）如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若AB＝6，CD＝3，DO＝4，则BO的长是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．（3分）一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．（3分）下表是某公司某月的工资表统计图，则该月员工月收入的中位数、众数分别是（
）
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
A．5500，5000 B．5000，3400 C．3400，3000 D．5250，3000
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx﹣m与y＝ （m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）分解因式：x2﹣xy＝ ．
12．（4分）二次根式 中字母x的取值范围是 ．
13．（4分）现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年
份x（年）的关系式是 ．
14．（4分）如图， ABCD中，AB＞AD，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，
▱ 第2页（共32页）CD于点E，F；再分别以E，F为圆心，大于EF的一半长为半径画弧，两弧交于点G，作射
线AG交CD于点H．若BC＝12，则DH＝ ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算：（ ）﹣2+|1﹣ |+ ﹣（ ﹣3.14）0；
π
（2）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
16．（6分）化简： ．
17．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转
90°．
（1）画出旋转之后的△AB′C′；
（2）求线段AB旋转过程中扫过的扇形的面积．
18．（8分）某学校为全体960名学生提供了A、B、C、D四种课外活动，为了解学生对这四种
课外活动的喜好情况，学校随机抽取20名学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选
且只选一种）”的问卷调查；并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息
如下：
（1）在抽取的240人中最喜欢A活动的人数为 ，扇形统计图中“C”对应扇形的
圆心角的大小为 ，估计全体960名学生中最喜欢B活动的人数有 ；
（2）现从甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人担任“课外活动安全监督员”，请用树状图或
列表法表示出所有可能的结果，求乙被选到的概率．
第3页（共32页）19．（10分）如图，反比例函数y ＝ （k为常数，且k≠0）的图象与一次函数y ＝2x+2的图象
1 2
都经过点A（1，m），点B（a，b）．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并结合图象直接写出当y ＞y 时，x的取值范围．
1 2
20．（10分）如图，在四边形ABCD中AD∥CB，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与
四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证；四边形ANCM为平行四边形；
（2）当MN平分∠AMC时，
①求证；四边形ANCM为菱形；
②当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4 ，求DM的长．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）若实数x、y满足x﹣2＝y，则代数式x2﹣2xy+y2的值为 ．
第4页（共32页）22．（4分）若x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则x 2﹣3x ﹣2x +5的值
1 2 1 1 2
为 ．
23．（4分）若点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）都在反比例函数y＝ 的图象上，已知x ＜x ＜
1 1 2 2 3 3 1 2
0＜x ，则y ，y ，y 由小到大的排列顺序是 ．
3 1 2 3
24．（4分）若实数a使关于x的分式方程 + ＝4的解为正数，且使关于y的不等式组
的解集为y＞a，求符合条件的所有整数a的和为 ．
25．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（AE＜EC），连接DE并延长交AB
于点F，过点E作EG⊥DE交BC于点G，连接DG，FG，DG交AC于H，现有以下结论：
①DE＝EG；②AE2+HC2＝EH2；③S△DEH 为定值；④CG+CD＝ CE；⑤GF＝
EH．以上结论正确的有 （填入正确的序号即可）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，经调查发现，
这种台灯的售价x每上涨1元，其销售量y就将减少10个（40≤x≤60）．
（1）求每月销售量y（用含x的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进
台灯多少个？
27．（10分）如图所示，已知边长为13的正方形OEFG，其顶点O为边长为10的正方形
ABCD的对角线AC，BD的交点，连接CE，DG．
（1）求证：△DOG≌△COE；
（2）当点D在正方形OEFG内部时，设AD与OG相交于点M，OE与DC相交于点N，求
证：MD+ND＝ OD；
（3）将正方形OEFG绕点O旋转一周，当点G，D，C三点在同一直线上时，请直接写出EC
第5页（共32页）的长．
28．（12分）如图，点A是反比例函数y＝ （k＞0）图象上的点，AB平行于y轴，且交x轴于点
B（1，0），点C的坐标为（﹣1，0），AC交y轴于点D，连接BD，AD＝ ．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设点P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，点Q是直线AC上一点，若以点O，P，
D，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）若点M（a，b）是该反比例函数y＝ 图象上的点，且满足∠MDB＞∠BDC，请直接写
出a的取值范围．
第6页（共32页）2021-2022学年四川省成都市都江堰市、彭州市、邛崃市九年级
（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解： 的相反数是﹣ ，
故选：A．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：A、主视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是三角形，故B符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是正方形，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
第7页（共32页）3．（3分）新华社日内瓦2021年12月15日电：世界卫生组织15日公布的最新数据显示，全
球累计新冠确诊病例接近270000000例．将数据270000000用科学记数法表示为（ ）
A．27×107 B．2.7×108 C．2.7×109 D．0.27×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：270000000＝2.7×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝35°，AB＝AC，则∠B的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据等腰三角形的性质可得到∠B＝∠C＝35°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°，
故选：D．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．对角线相等
C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
【分析】利用平行四边形的性质和矩形的性质可求解．
【解答】解：矩形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分且相等，平行四边形的性
质有两组对边平行且相等，对角线互相平分，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质和平行四边形的性
质是解题的关键．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣a2b）3＝﹣a6b3
第8页（共32页）C．a6÷a2＝a3 D．a2+a2＝a4
【分析】分别根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以
及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
B、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，故本选项符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
D、a2+a2＝2a2，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方与积
的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
7．（3分）如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若AB＝6，CD＝3，DO＝4，则BO的长是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】先证明△OAB∽△OCD，然后利用相似比求出OB的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴OB＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角
形的性质进行几何计算．
8．（3分）一元二次方程x2+x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．
【解答】解：∵x2+x+2＝0，
第9页（共32页）∴Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣
4ac的关系是解答此题的关键．
9．（3分）下表是某公司某月的工资表统计图，则该月员工月收入的中位数、众数分别是（
）
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
A．5500，5000 B．5000，3400 C．3400，3000 D．5250，3000
【分析】根据中位数和众数的概念，从小到大排列顺序后最中间的一个数叫这组数据的中
位数；众数为出现次数最多的数；据此解答即可．
【解答】解：数据3000出现次数最多，所以众数是3000，
共25个数据，把数据按照从大到小排列后，排在中间位置的是3400元，
所以中位数是：3400；
故选：C．
【点评】此题考查中位数和众数的意义及运用：中位数代表一组数据的“中等水平”，众
数代表一组数据的“多数水平”．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx﹣m与y＝ （m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据反比例函数的性质判断出m的取值，再根据一次函数的性质判断出m取值，
二者一致的即为正确答案．
【解答】解：A、由函数y＝mx﹣m的图象可知m＞0，﹣m＞0，相矛盾，故本选项错误；
第10页（共32页）B、由函数y＝mx﹣m的图象可知m＜0，﹣m＜0，相矛盾，故本选项错误；
C、由函数y＝mx﹣m的图象可知m＜0，﹣m＞0，由函数y＝ 的图象可知m＜0，故本选
项正确；
D、由函数y＝mx﹣m的图象可知m＞0，﹣m＜0，由函数y＝ 的图象可知m＜0，相矛盾，
故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，重点是注意系数
m的取值．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）分解因式：x2﹣xy＝ x （ x ﹣ y ） ．
【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
【解答】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．
【点评】此题考查的是对公因式的提取．通过观察可以得出公因式，然后就可以解题．观察
法是解此类题目常见的办法．
12．（4分）二次根式 中字母x的取值范围是 x ≥ 2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：3x﹣6≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题
的关键．
13．（4分）现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年
份x（年）的关系式是 y ＝ 5 0 x +10 0 ．
【分析】根据树苗的总高度与生长速度的关系进行计算即可．
【解答】解：由题意得，
y＝100+50x，
故答案为：y＝50x+100．
【点评】本题考查函数关系式，理解树苗的总高度与生长速度、时间的关系是正确解答的
前提．
第11页（共32页）14．（4分）如图， ABCD中，AB＞AD，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，
CD于点E，F；▱再分别以E，F为圆心，大于EF的一半长为半径画弧，两弧交于点G，作射
线AG交CD于点H．若BC＝12，则DH＝ 1 2 ．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠HAB＝∠DHA，根据作图过程可得AH平分∠DAB，
由等腰三角形的性质即可得DH＝DA，
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠HAB＝∠DHA，
根据作图过程可知：
AH平分∠DAB，
∴∠DAH＝∠HAB，
∴∠DAH＝∠DHA，
∴AD＝DH＝BC＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，平行四边形的性质，解决本题的关
键是掌握平行四边形的性质．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算：（ ）﹣2+|1﹣ |+ ﹣（ ﹣3.14）0；
π
（2）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、取绝对值符号、化简二次根式、计算零指数幂，再计算
加减即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进
一步求解即可．
【解答】解：（1）原式＝9+ ﹣1+2 ﹣1
＝3 +7；
（2）∵x2﹣4x﹣12＝0，
第12页（共32页）∴（x﹣6）（x+2）＝0，
则x﹣6＝0或x+2＝0，
解得x ＝6，x ＝﹣2．
1 2
【点评】本题主要考查实数混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：
直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的
方法．
16．（6分）化简： ．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝x﹣3．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算
法则，本题属于基础题型．
17．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转
90°．
（1）画出旋转之后的△AB′C′；
（2）求线段AB旋转过程中扫过的扇形的面积．
【分析】（1）利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出AB的长，再利用扇形面积公式求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；
（2）∵AB＝ ＝ ，
第13页（共32页）∴线段AB旋转过程中扫过的扇形的面积为： ＝ ．
【点评】此题主要考查了旋转变换以及扇形面积公式应用，得出对应点位置是解题关键．
18．（8分）某学校为全体960名学生提供了A、B、C、D四种课外活动，为了解学生对这四种
课外活动的喜好情况，学校随机抽取20名学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选
且只选一种）”的问卷调查；并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息
如下：
（1）在抽取的240人中最喜欢A活动的人数为 6 0 人 ，扇形统计图中“C”对应扇形
的圆心角的大小为 108 ° ，估计全体960名学生中最喜欢B活动的人数有 33 6 人 ；
（2）现从甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人担任“课外活动安全监督员”，请用树状图或
列表法表示出所有可能的结果，求乙被选到的概率．
【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数，先求
出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得，用总人数乘以样本
中最喜欢D套餐的人数所占比例即可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即
可．
【解答】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），
则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），
第14页（共32页）∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°× ＝108°，
估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960× ＝336（人），
故答案为：60人，108°，336人；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中乙被选到的结果数为6，
∴乙被选到的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．也考查了统计图．
19．（10分）如图，反比例函数y ＝ （k为常数，且k≠0）的图象与一次函数y ＝2x+2的图象
1 2
都经过点A（1，m），点B（a，b）．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并结合图象直接写出当y ＞y 时，x的取值范围．
1 2
【分析】（1）由一次函数y ＝2x+2可求得A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的
2
解析式；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标，再根据函数图象即可求解．
第15页（共32页）【解答】解：（1）∵一次函数y ＝2x+2的图象经过点A（1，m），
2
∴m＝2×1+2＝4，
∴A（1，4），
把A（1，4）代入y ＝ （k为常数，且k≠0）得：k＝1×4＝4，
1
则反比例函数的解析式是：y ＝ ；
1
（2）由 解得 或 ，
∴B（﹣2，﹣2）．
根据图象得：当x＜﹣2或0＜x＜1时，y ＞y ；
1 2
当y ＞y 时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
1 2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点
坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，
则两者无交点．也考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及数形结合的思想．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中AD∥CB，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与
四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证；四边形ANCM为平行四边形；
（2）当MN平分∠AMC时，
①求证；四边形ANCM为菱形；
②当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4 ，求DM的长．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AM＝CN，根据平行四边形的判定定理即可得到
结论；
（2）①根据角平分线的定义得到∠AMN＝∠CMN，根据平行线的性质得到∠AMN＝
∠CNM，得到CM＝CN，根据菱形的判定定理得到平行四边形ANCM为菱形；
第16页（共32页）②根据菱形的性质得到∠ABN＝90°，BC＝AD＝8，根据勾股定理得到即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，∠OAM＝∠OCN，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：①∵MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠AMN＝∠CNM，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∴平行四边形ANCM为菱形；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABN＝90°，BC＝AD＝8，
∴AB＝ ＝ ＝4，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（8﹣DM）2＝42+DM2，
解得DM＝3．
故DM的长为3．
第17页（共32页）【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边
形的判定与性质，解决本题的关键是证明△AOM≌△CON．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）若实数x、y满足x﹣2＝y，则代数式x2﹣2xy+y2的值为 4 ．
【分析】由x﹣2＝y可得x﹣y＝2，再把所求式子因式分解后代入计算即可．
【解答】解：由x﹣2＝y可得x﹣y＝2，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝22
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
22．（4分）若x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则x 2﹣3x ﹣2x +5的值
1 2 1 1 2
为 202 4 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到x 2＝x +2021，则x 2﹣3x ﹣2x +5化为﹣2
1 1 1 1 2
（x +x ）+2027，再根据根与系数的关系得到x +x ＝1，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2
【解答】解：∵x 是一元二次方程x2﹣x﹣2021＝0的根，
1
∴x 2﹣x ﹣2021＝0，
1 1
即x 2＝x +2021，
1 1
∴x 2﹣3x ﹣2x +5＝x +2021﹣3x ﹣2x +5＝﹣2（x +x ）+2026，
1 1 2 1 1 2 1 2
∵x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝1，
1 2
∴x 2﹣3x ﹣2x +5＝﹣2×1+2026＝2024．
1 1 2
故答案为：2024．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，
1 2
则x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
23．（4分）若点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）都在反比例函数y＝ 的图象上，已知x ＜x ＜
1 1 2 2 3 3 1 2
0＜x ，则y ，y ，y 由小到大的排列顺序是 y ＜ y ＜ y ．
3 1 2 3 2 1 3
第18页（共32页）【分析】根据反比例函数性质，反比例函数y＝ 的图象分布在第一、三象限，则y 最大，y
3 2
最小．
【解答】解：∵k＝7＞0，
∴反比例函数y＝ 的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
而x ＜x ＜0＜x ，
1 2 3
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 1 3
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解
析式．也考查了反比例函数的性质．
24．（4分）若实数a使关于x的分式方程 + ＝4的解为正数，且使关于y的不等式组
的解集为y＞a，求符合条件的所有整数a的和为 1 3 ．
【分析】先解分式方程得x＝ ，再由题意可得 ＞0，且 ≠1，可求得a＜6且
a≠2；再解不等式组，结合题意可得a＞1，则可得所有满足条件的整数为1，3，4，5，求和
即可．
【解答】解： + ＝4，
2﹣a＝4（x﹣1），
2﹣a＝4x﹣4，
4x＝6﹣a，
x＝ ，
∵方程的解为正数，
∴6﹣a＞0，
∴a＜6，
∵x≠1，
∴ ≠1，
第19页（共32页）∴a≠2，
∴a＜6且a≠2，
，
由①得y≥1，
由②得y＞a，
∵不等式组的解集为y＞a，
∴a≥1，
∴符合条件a的整数有1，3，4，5，
∴符合条件的所有整数a的和为13，
故答案为：13．
【点评】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组
的解集取法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
25．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（AE＜EC），连接DE并延长交AB
于点F，过点E作EG⊥DE交BC于点G，连接DG，FG，DG交AC于H，现有以下结论：
①DE＝EG；②AE2+HC2＝EH2；③S△DEH 为定值；④CG+CD＝ CE；⑤GF＝
EH．以上结论正确的有 ①②④⑤ （填入正确的序号即可）．
【分析】通过证明点D，点E，点G，点C四点共圆，可得∠EGD＝∠EDG＝45°，可得DE＝
EG，故①正确；由旋转的性质可得AN＝CH，DN＝DH，∠DCH＝∠DAN＝45°，∠CDH＝
∠ADE，由“SAS”可证△DEN≌△DEH，可得EN＝EH，由勾股定理可得CH2+AE2＝
HE2，故②正确；利用特殊位置可得EH的长是变化的，且点D到EH的距离不变，则
S△DEH 不是定值，故③错误；由“SAS”可证△DNE≌△GCE，可得NE＝CE，∠DEN＝
∠CEG，由等腰直角三角形的性质可得 CD+CG＝ CE，故④正确；通过证明
△DEH∽△DGF，可得FG＝ EH，故⑤正确；即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
第20页（共32页）∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵EG⊥DE，
∴∠DEG＝∠DCG＝90°，
∴点D，点E，点G，点C四点共圆，
∴∠DCE＝∠DGE＝45°，∠GDE＝∠GCE＝45°，
∴∠EGD＝∠EDG，
∴DE＝EG，故①正确；
如图，将△CDH绕点D顺时针旋转90°，得到△ADN，连接NE，
∴AN＝CH，DN＝DH，∠DCH＝∠DAN＝45°，∠CDH＝∠ADE，
∴∠NAE＝90°，
∴AN2+AE2＝NE2，
∵∠FDG＝45°，
∴∠ADE+∠CDH＝45°，
∴∠ADE+∠ADN＝45°，
∴∠NDE＝45°＝∠FDG，
又∵DE＝DE，DN＝DH，
∴△DEN≌△DEH（SAS），
∴EN＝EH，
∴AN2+AE2＝HE2，
∴CH2+AE2＝HE2，故②正确；
当点E与点A重合时，EH＝ ，
当AE＝HC时，
∵CH2+AE2＝HE2，
∴AE＝CH＝ EH，
第21页（共32页）∴EH＝（ ﹣1）AC，
∴EH的长是变化的，
又∵点D到EH的距离不变，
∴S△DEH 不是定值，故③错误；
如图，延长CD到N，使DN＝CG，连接NE，
∵点D，点E，点G，点C四点共圆，
∴∠CDE+∠CGE＝180°，
又∵∠CDE+∠NDE＝180°，
∴∠NDE＝∠CGE，
又∵DN＝CG，DE＝GE，
∴△DNE≌△GCE（SAS），
∴NE＝CE，∠DEN＝∠CEG，
∴∠NED+∠DEC＝∠CEG+∠DEC＝90°，
∴∠NEC＝90°，
∴NC＝ CE，
∴CD+CG＝ CE，故④正确；
如图，连接HF，
∵∠FDG＝∠CAB＝45°，
∴点A，点D，点H，点F四点共圆，
∴∠DAC＝∠DFH＝45°，
∴∠DGE＝∠DFH＝45°，
第22页（共32页）∴点E，点F，点G，点H四点共圆，
∴∠EFG+∠EHG＝180°，
又∵∠EHG+∠DHE＝180°，
∴∠DHE＝∠DFG，
又∵∠EDH＝∠FDG，
∴△DEH∽△DGF，
∴ ＝ ＝ ，
∴FG＝ EH，故⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角
三角形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相
似三角形或全等三角形是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，经调查发现，
这种台灯的售价x每上涨1元，其销售量y就将减少10个（40≤x≤60）．
（1）求每月销售量y（用含x的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进
台灯多少个？
【分析】（1）利用每月的销售量＝600﹣10×上涨的价格，即可用含x的代数式表示出y值；
（2）利用每月的销售利润＝每个台灯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次
方程，解之即可得出x的值，结合40≤x≤60即可确定x的值，再将其代入y＝﹣10x+1000
中即可求出y值．
【解答】解：（1）依题意得：y＝600﹣10（x﹣40），
即y＝﹣10x+1000（40≤x≤60）．
（2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，
整理得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x ＝50，x ＝80（不合题意，舍去）．
1 2
当x＝50时，y＝﹣10x+1000＝﹣10×50+1000＝500．
答：这种台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各
第23页（共32页）数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27．（10分）如图所示，已知边长为13的正方形OEFG，其顶点O为边长为10的正方形
ABCD的对角线AC，BD的交点，连接CE，DG．
（1）求证：△DOG≌△COE；
（2）当点D在正方形OEFG内部时，设AD与OG相交于点M，OE与DC相交于点N，求
证：MD+ND＝ OD；
（3）将正方形OEFG绕点O旋转一周，当点G，D，C三点在同一直线上时，请直接写出EC
的长．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）如图1中，过点O作OJ⊥CD于点J，OK⊥AD于点K．证明四边形OJDK是正方形，
再利用全等三角形的性质证明MK＝NJ，可得结论；
（3）分两种情形：如图2中，当等G在CD的延长线上时，过点O作OH⊥CD于H．如图3
中，当点G值DC的延长线上时，分别求出DG，可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD＝OC，
∵四边形EFGO是正方形，
∴∠GOE＝∠DOC＝90°，OG＝OE，
∴∠DOG＝∠EOC，
在△GOD和△EOC中，
，
∴△DOG≌△COE（SAS）；
第24页（共32页）（2）证明：如图1中，过点O作OJ⊥CD于点J，OK⊥AD于点K．
∵∠ODJ＝∠ODK＝45°，∠OJD＝∠OKD＝∠JDK＝90°，
∴四边形OJDK是矩形，DJ＝OJ，DK＝OK，OD＝ DJ，
∴四边形OJDK是正方形，
∴OK＝OJ＝DJ＝DK，
∵∠GOE＝∠KOJ＝90°，
∴∠KOM＝∠NOJ，
∵∠OKM＝∠OJN＝90°，
∴△OKM≌△OJN（ASA），
∴KM＝JN，
∴DM+DN＝DK+KM+DJ﹣JN＝2DJ＝ OD；
（3）解：如图2中，当点G在CD的延长线上时，过点O作OH⊥CD于H．
∵∠DOC＝90°，CD＝10，OH⊥CD，OD＝OC，
第25页（共32页）∴DH＝CH＝5，
∴OH＝ CD＝5，
∵OG＝13，
∴GH＝ ＝ ＝12，
∴DG＝GH＝DH＝12﹣5＝7，
∵△DOG≌△COE，
∴CE＝DG＝7．
如图3中，当点G在DC的延长线上时，同法可得GH＝12，DG＝DH+GH＝17，可得CE＝
DG＝17．
综上所述，满足条件的CE的长为7或17．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角
三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分
类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
28．（12分）如图，点A是反比例函数y＝ （k＞0）图象上的点，AB平行于y轴，且交x轴于点
B（1，0），点C的坐标为（﹣1，0），AC交y轴于点D，连接BD，AD＝ ．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设点P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，点Q是直线AC上一点，若以点O，P，
D，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）若点M（a，b）是该反比例函数y＝ 图象上的点，且满足∠MDB＞∠BDC，请直接写
第26页（共32页）出a的取值范围．
【分析】（1）由AB∥y轴，可得 ＝ ，可求得CD＝ ，AC＝2 ，BC＝2，再利用勾
股定理即可求得AB，得出点A（1，4），运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝2x+2，设Q（m，2m+2），分类讨论：当OD
为平行四边形的边时，运用平行四边形对边平行且相等建立方程求解即可；当OD为平行
四边形的对角线时，运用平行四边形对角线互相平分建立方程求解即可；
（3）分两种情况：当点M（a，b）在第三象限时，设直线AC与双曲线y＝ 在第三象限的交
点为E，求得点E的横坐标即可得出答案；当点M（a，b）在第一象限时，如图4，将△DBC
沿着DB翻折得到△DBE，过点B作BK⊥CD于点K，过点E作EF⊥x轴于点F，延长DE
与双曲线y＝ 在第一象限的交点为G，运用翻折的性质和相似三角形性质求出点E的坐
标，再运用待定系数法求得直线DE的解析式，求出直线DE与双曲线的交点横坐标即可
得出答案．
【解答】解：（1）∵B（1，0），C（﹣1，0），
∴OB＝OC＝1，
∵AB∥y轴，AD＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝ ，
∴AC＝2 ，BC＝2，
∵∠ABC＝90°，
第27页（共32页）∴AB＝ ＝ ＝4，
∴A（1，4），
∵点A是反比例函数y＝ （k＞0）图象上的点，
∴4＝ ，
解得：k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝ ；
（2）设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵A（1，4），C（﹣1，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝2x+2，
设Q（m，2m+2），
当OD为平行四边形的边时，如图1，
则PQ∥OD，PQ＝OD，
∴P（m， ），
∴PQ＝|2m+2﹣ |，
在Rt△CDO中，OD＝ ＝ ＝2，
∴|2m+2﹣ |＝2，
解得：m＝± 或m＝± ﹣1，
∵点P在第一象限，
∴m＞0，
∴m＝ 或 ﹣1，
∴Q （ ﹣1，2 ），Q （ ，2 +2），
1 2
当OD为平行四边形的对角线时，如图2，
第28页（共32页）∵四边形OP DQ 是平行四边形，
3 3
∴OP ∥DQ ，
3 3
∵DQ 所在直线AC的解析式为y＝2x+2，
3
∴OP 所在直线AC的解析式为y＝2x，
3
联立方程得2x＝ ，
解得：x＝± ，
∵点P在第一象限，
∴x＝ ，
∴P（ ，2 ），
∵四边形OP DQ 是平行四边形，
3 3
∴OK＝DK，P K＝Q K，
3 3
∴ ＝0，
解得：m＝﹣ ，
∴Q （﹣ ，2﹣2 ），
3
综上，点Q的坐标为Q（ ﹣1，2 ），Q（ ，2 +2），Q（﹣ ，2﹣2 ）；
1 2 3
（3）当点M（a，b）在第三象限时，如图3，设直线AC与双曲线y＝ 在第三象限的交点为
E，
由2x+2＝ ，
解得：x＝1或﹣2，
∴E（﹣2，﹣2），
∴a＜﹣2，
当点M（a，b）在第一象限时，如图4，将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，过点B作
BK⊥CD于点K，
过点E作EF⊥x轴于点F，延长DE与双曲线y＝ 在第一象限的交点为G，
∵S△DBC ＝ BC•OD＝ CD•BK，
∴BK＝ ＝ ＝ ，
第29页（共32页）∴DK＝ ＝ ＝ ，
由翻折知：∠DBE＝∠DBC，∠DEB＝∠DCB，∠BDE＝∠BDC，BE＝BC＝2，
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DBE＝∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∠DBC+∠DBE+∠EBF＝180°，
∴∠EBF＝∠BDC，
∵∠BFE＝∠BKD＝90°，
∴△BEF∽△DBK，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴BF＝ ，EF＝ ，
∴OF＝OB+BF＝1+ ＝ ，
∴E（ ， ），
设直线DE的解析式为y＝cx+d，
∵D（0，2），E（ ， ），
∴ ，
解得： ，
∴直线DE的解析式为y＝ x+2，
由 ＝ x+2，
解得：x＝ ，
第30页（共32页）∵∠MDB＞∠BDC，
∴0＜a＜ ，
综上，a的取值范围为a＜﹣2或0＜a＜ ．
第31页（共32页）【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，直角三
角形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形性质等，解题关键是运用数
形结合思想和分类讨论思想解决问题．
第32页（共32页）
