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专题十三 《解析几何》讲义
13.1 直线方程
知识梳理 . 直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所
成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P(x，y)，P(x，y)在直线l上，且x≠x，则l的斜率 k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含垂直于x轴的直线
0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x(x≠x)和直线y＝y(y≠y)
1 1 2 1 1 2
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用
4．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l k＝k.
1 2 1 2 1 2 1 2
②当直线l 1 ，l 2 不重合且斜率都不存在时，l 1 ∥l 2 . ⇔
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l k·k＝－1.
1 2 1 2 1 2 1 2
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0⇔时，l
1
⊥l
2
.
5．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式为|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)点到直线的距离公式
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝ .
1 2
题型一 . 倾斜角与斜率之间的关系
1．直线sin •x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
θ π 3π
A．[0， ） B．[0， ]∪[ ，π)
4 4
π
π π π
C．[0， ] D．[0， ]∪( ，π)
4 4 2
π
2．若0＜ ＜ ，则经过两点P （0，cos ），P （sin ，0）的直线的倾斜角为（ ）
1 2
2
α α α
π
A． B． + C． ﹣ D．﹣
2
α α π α α
3．已知直线l过点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3）、B（3，0）为端点的线段相交，
求直线l的斜率的取值范围是 ．
题型二 . 直线方程
1．直线l过点A（1，1），且l在y轴上的截距的取值范围为（0，2），则直线l的
斜率的取值范围为 ．
2．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是 ．
3．已知△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最大值．
题型三 . 直线的平行与垂直关系
1．k＝5是直线l ：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l ：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的（
1 2
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知直线l ：ax+4y﹣2＝0与直线l ：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则
1 2
a+b+c的值为 ．
3．已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为
（1，2），
（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）
（2）求BC边上的高所在直线的方程．题型四 . 距离问题
1．已知点A（﹣1，2），B（1，4），若直线l过原点，且A，B两点到直线l的距离
相等，则直线l的方程为（ ）
1
A．y＝x或x＝0 B．y＝x或y＝0 C．y＝x或y＝﹣4x D．y＝x或y= x
2
2．P、Q 分别为 3x+4y﹣10＝0 与 6x+8y+5＝0 上任意一点，则|PQ|的最小值为是
．
3．直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．
①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．
②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．
题型五 . 对称问题
1．在平面直角坐标系中，点 A（1，2）关于直线 l：x+y＝0 对称的点的坐标为
（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
2．直线x+3y﹣1＝0关于直线x﹣y+1＝0对称的直线方程是 ．
3．若直线l ：y＝k（x﹣4）与直线l 关于点（2，1）对称，则直线l 恒过定点 ．
1 2 2
4．过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l ：2x﹣y﹣2＝0与l ：x+y+3＝0之间的线
1 2
段AB恰被点P平分，则此直线的方程为 ．
5．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射
到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2√10 B．6 C．3√3 D．2√5课后作业 . 直线方程
1．若直线l：y=kx−√3与直线x+y﹣3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜
角的取值范围是（ ）
A．（00，600） B．（300，600） C．（300，900） D．（600，900）
2．过点P（1，2）的直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，则直线l的方程
为 ．
3．若直线l被4x+y+6＝0和3x﹣5y﹣6＝0两条直线截得的线段的中点恰好是坐标原点，求
直线l的方程．
4．已知m，n，a，b R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则 的最小值
√(m−a) 2+(n−b) 2
∈
为（ ）
1
A．√3 B．√2 C．1 D．
2
5．已知b＞0，直线x﹣b2y﹣1＝0与直线（b2+1）x+ay+2＝0互相垂直，则ab的最小值等
于（ ）
A．1 B．2 C．2√2 D．2√3
6．设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x上的动点，则△ABC周长的最小
值是（ ）
A．√5 B．2√5 C．3√5 D．√10
