文档内容
专题十三 《解析几何》讲义
13.3 椭圆
知识梳理 . 椭圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数2a(2a＞|FF|)的动点P的轨迹叫做椭圆，
1 2 1 2
这两个定点F，F 叫做椭圆的焦点.
1 2
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
(a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－b)
顶点坐标
(b,0)，(－b,0)， (0，a)，(0，－a)
焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)
半轴长 长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率 e＝
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
题型一 . 椭圆及其性质
1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−2√5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆
C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为 ．
√3
2．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F 、F 在x轴上，离心率为 ．过点F
1 2 1
3的直线l与C交于A、B两点，且△ABF 周长为4√3，那么C的方程为（ ）
2
x2 x2 y2
A． + y2=1 B． + =1
3 3 2
x2 y2 x2 y2
C． + =1 D． + =1
12 4 12 8
x2 y2
3．（2019·全国3）设F ，F 为椭圆C： + =1的两个焦点，M为C上一点且在第一
1 2
36 20
象限．若△MF F 为等腰三角形，则M的坐标为 ．
1 2
4．已知椭圆C的焦点为F （﹣1，0），F （1，0）．过F 的直线与C交于A，B两点．
1 2 2
若2|AF |＝3|BF |，|BF |＝2|BF |，则C的方程为（ ）
2 2 1 2
x2 x2 y2
A． + y2=1 B． + =1
2 3 2
x2 y2 x2 y2
C． + =1 D． + =1
4 3 5 4
x2 y2
5．已知点A（1，1）而且F 是椭圆 + =1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF |+|
1 1
9 5
PA|的最大值和最小值．题型二 . 焦点三角形
1．过椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的中心做一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一
+ =
a2 b2
个焦点，则△PFQ的周长的最小值为 ．
x2 y2 π
2．已知F ，F 是椭圆 + =1的焦点，P在椭圆上，且∠F PF = ，则点P到x轴的
1 2 9 5 1 2 3
距离为 ．
3．已知F是椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两
+ =
a2 b2
点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
√3 √3 1 1
A．[ ，1) B．(0， ] C．[ ，1) D．(0， ]
2 2 2 2
4．已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与椭圆
C： + =1(a＞b＞0) 1 2 2
a2 b2
C交于M，N两点．设线段NF 的中点为D，若 → → ，且 → → ，则椭
1 MD⋅N F =0 MF ∥DF
1 1 2
圆C的离心率为（ ）
1 √3 1 √2
A． B． C． D．
3 3 2 2
5．（2013·山东）椭圆C：x2 y2 的左、右焦点分别是F ，F 离心率
+ =1(a＞0，b＞0) 1 2
a2 b2
√3
为 ，过F 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
1
2
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF ，PF ，设∠F PF 的角平分线
1 2 1 2
PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；题型三 . 椭圆第二定义——焦半径公式
1．过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆
的离心率为（ ）
√2 2 1 √2
A． B． C． D．
3 3 2 2
x2
→ →
2．椭圆 + y2=1两个焦点分别是F
1
，F
2
，点P是椭圆上任意一点，则
PF ⋅PF
的取值
4 1 2
范围是（ ）
A．[1，4] B．[1，3] C．[﹣2，1] D．[﹣1，1]
3．已知椭圆x2 y2 （a＞b＞0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F ，F 分别
+ =1 1 2
a2 b2
2−√3
是椭圆的左、右焦点，且△F AB 的面积为 ，点 P 为椭圆上的任意一点，则
1
2
1 1
+ 的取值范围为（ ）
|PF | |PF |
1 2
A．[1，2] B．[√2，√3] C．[√2，4] D．[1，4]
题型四 . 离心率之焦点三角形
1．设椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，P是C上的点，
+ = 1 2
a2 b2
PF ⊥F F ，∠PF F ＝30°，则C的离心率为 ．
2 1 2 1 2
2．已知椭圆C：x2 y2 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，M为椭圆上一点，
+ =1 1 2
a2 b2
→ → ，线段MF 的延长线交椭圆C于点N，若|MF |，|MN|，|NF |成等差数列，
MF ⋅M F =0 2 1 1
1 2
则椭圆C的离心率为（ ）
√2 √3 √2 √3
A． B． C． D．
2 2 3 3
3．（2013·辽宁）已知椭圆 x2 y2 的左焦点为F，C与过原点的直线
C： + =1(a＞b＞0)
a2 b24
相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF= ，则C的离心率
5
e＝ ．题型五 . 离心率之寻求等量关系
1．（2012•新课标）设F 、F 是椭圆E：x2 y2 1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为
1 2 + =
a2 b2
3a
直线x= 上一点，△F PF 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
2 1
2
1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 5
2．（2015•浙江）椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y bx的对称
+ = =
a2 b2 c
点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
3．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0）的左焦点，
+ =
a2 b2
A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF
交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
题型六 . 离心率取值范围之椭圆的有界性
1．椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的两个焦点为F ，F ，若P为椭圆上一点，且|PF |＝
+ = 1 2 1
a2 b2
3|PF |，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
2
1 1 1 1
A．（0， ] B．[ ，1） C．（0， ] D．[ ，1）
3 3 2 2
2．椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的二个焦点F （﹣c，0），F （c，0），M是椭圆上一点，
+ = 1 2
a2 b2
且 →• → 0，则离心率e的取值范围 ．
F M F M=
1 2
3．已知F （﹣c，0），F （c，0）为椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上
1 2 + =
a2 b2一点且 → • → c2，则此椭圆离心率的取值范围是 ．
PF PF =
1 2
4．已知椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F （﹣c，0），F （c，0），若
+ = 1 2
a2 b2
a c
椭圆上存在一点P使 = ，则该椭圆的离心率的取值范围为
sin∠PF F sin∠PF F
1 2 2 1
．题型七 . 椭圆的第三定义——点差法
x2 y2
1．（2013•大纲版）椭圆C： + =1的左、右顶点分别为A 、A ，点P在C上且
1 2
4 3
直线PA 斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 斜率的取值范围是（ ）
2 1
1 3 3 3 1 3
A．[ ， ] B．[ ， ] C．[ ，1] D．[ ，1]
2 4 8 4 2 4
2．已知椭圆C：x2 y2 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过
+ =1(a＞b＞0)
a2 b2
原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为K 、K ，当
PM PN
1
K ⋅K =− 时，则椭圆方程为（ ）
PM PN 4
x2 y2 x2 y2
A． + =1 B． + =1
16 4 4 2
y2 x2
C．x2+ =1 D． + y2=1
4 4
3．（2015•新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐
标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
课后作业 . 椭圆
x2 y2
1．已知点A（0，1），而且F 是椭圆 + =1的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，
1
9 5
则|PF |+|PA|的最小值为（ ）
1
A．6−√5 B．6−√2 C．6+√2 D．6+√5
2．以椭圆x2 y2 的右焦点F 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭
+ =1(a＞b＞0) 2
a2 b2
圆于M，N两点，若过椭圆左焦点F 的直线MF 是圆F 的切线，则该椭圆的离心率为
1 1 2
．3．已知点P（﹣2，√14）在椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0）上，过点P作圆O：x2+y2＝2
+ =
2 a2 b2
的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
4．如图，从椭圆x2 y2 上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F ，又
+ =1(a＞b＞0) 1
a2 b2
点A是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则椭
圆的离心率为（ ）
1 √5 √2 √3
A． B． C． D．
2 5 2 2
x2 y2
5．若点O和点F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则
9 5
→ → 的最小值为（ ）
OP⋅FP
11
A． B．3 C．8 D．15
4
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A ，A ，B ，B 为椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的四个
1 2 1 2 + =
a2 b2
顶点，F为其右焦点，直线A B 与直线B F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，
1 2 1
且 → → 则该椭圆的离心率为 ．
OT=3OM
