文档内容
2021-2022学年四川省成都市龙泉驿区八年级（上）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求，答案涂在答题卡上）。
1．（3分）无理数的发现引发了第一次数学危机，带来了一场数学革命，继而促进了几何学的
发展．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．|﹣2| C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A． ， ， B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，2，
4．（3分）点（﹣2，5）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（5，﹣2）
5．（3分）函数y＝﹣2x的图象一定经过点（ ）
A．（2，﹣1） B． C．（﹣2，1） D．（﹣1， ）
6．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方
差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 376 350 376 350
方差s2 12.5 13.5 2.4 5.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）下列图形中，∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
第1页（共29页）C． D．
8．（3分）小亮放学回家走了一段，发现一家新开的店在搞活动，就好奇地围观了一会，然后
意识到回家晚了妈妈会着急，急忙跑步回到家．若设小亮与家的距离为s（米），他离校的
时间为t（分钟），则反映该情景的图象为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a）（b）中天平保持
左右平衡，现要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ）
A．25克 B．30克 C．40克 D．50克
10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元
一次方程组 的解是（ ）
第2页（共29页）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）。
11．（4分）要使 在实数范围内有意义，x应满足的条件是 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣2）到x轴的距离是 ．
13．（4分）有个数值转换器，原理如图所示，当输入x为8时，输出的y值是 ．
14．（4分）如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，7，1，3．则最大的正方形E的面积是
．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（10分）计算：
（1）（2022﹣ ）0+ ；
π
（2） ．
16．（12分）解方程组：
第3页（共29页）（1） ；
（2） ．
17．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（1，0），C（3，4）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，画出△ABP．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝46°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
19．（10分）某学校第二课堂要创办“足球特色班”，大量的热爱足球的同学踊跃报名参加，
但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩是由足球知识、身体素质、足
球技能三项成绩构成的，如果最终评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面
表中是小张和小王两位同学的成绩记录：
第4页（共29页）足球知识 身体素质 足球技能
小张 70 90 80
小王 90 75
（1）若按三项成绩的平均分记为最终评价成绩，请计算小张的最终评价成绩；
（2）根据实际情况，学校决定足球知识、身体素质、足球技能三项成绩按1：4：5的权重来
确定最终评价成绩．
①请计算小张的最终评价成绩为多少分？
②小王在足球技能应该最少考多少分才能达到优秀？
20．（8分）在平面直角坐标系上，点A为直线OA第一象限上一点，AB垂直x轴于B，OB＝4，
AB＝2，
（1）求直线OA的解析式；
（2）直线y＝2x上有一点C（x轴上方），若△AOC为直角三角形，求点C坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小
丽抽到的卡上写的是 ﹣1，小颖抽到的卡上写的是2，那么赢家是 ．
22．（4分）若关于x，y的方程组 的解也是方程x+y＝1的解，则a的值为 ．
23．（4分）如图，数轴上表示1， 的点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是
．
24．（4分）学校举办新年游园活动，其中某班在数学老师的指导下设计的比赛规则为：如图，
射线OA是由大量红色玩具摆成的，射线OB则是由大量蓝色玩具摆成，∠AOB＝45°，选
第5页（共29页）手需从距离点O处20米点P处出发，跑步到OA上拿一个红色玩具，再跑到OB上拿一个
蓝色玩具，然后再返回到点P处，请问选手行进的最短路程为 ．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+6的图象l 与正比例函数y＝x的
1
图象l ，交于点C．若一次函数y＝kx﹣2的图象为l ，且l ，l ，l 不能围成三角形，则满足
2 3 1 2 3
条件的k的值为 ．
二、解答题（共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
26．（10分）现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机
放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，
B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25
吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A，B两
种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要
求，求出A，B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
27．（10分）如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝ ，点
D与点B关于直线l轴对称，连接CD交直线l于点E，连接BE． α
（1）求证：∠ADC＝∠ACD；
（2）求证：∠BEC＝ ；
α 第6页（共29页）（3）当 ＝60°时，连接BD交直线l于点F，若 ＝5，求 ．
α
28．（10分）已知直线l：y＝3x+3与x轴交于点A，点B在直线l上，且位于y轴右侧某个位置．
（1）求点A坐标；
（2）过点B作直线BC⊥AB，交x轴于点C，当△ABC的面积为60时，求点B坐标；
（3）在（2）问条件下，D，E分别为射线AO与AB上两动点，连接DE，DB，是否存在当
△ADE为直角三角形同时△DEB为等腰三角形的情况，若存在，求出点E坐标；若不存在，
说明理由．
第7页（共29页）2021-2022学年四川省成都市龙泉驿区八年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求，答案涂在答题卡上）。
1．（3分）无理数的发现引发了第一次数学危机，带来了一场数学革命，继而促进了几何学的
发展．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．|﹣2| C． D．
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．﹣ 是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．|﹣2|＝2，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C． 是无理数，故本选项符合题意；
D． ＝2，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了立方根，算术平分线，绝对值，无理数的定义等知识点，能熟记无理数
的定义是解此题的关键，注意：无理数是值无限不循环小数．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘法与除法的法则对各项进行运算即
可．
【解答】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
第8页（共29页）3．（3分）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A． ， ， B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，2，
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和
等于最大数的平方即可．
【解答】解：A、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+（ ）2＝22，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么
这个三角形就是直角三角形．
4．（3分）点（﹣2，5）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（5，﹣2）
【分析】关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【解答】解：点（﹣2，5）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣5）．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，明确关于x轴对称点的横坐
标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的
关键．
5．（3分）函数y＝﹣2x的图象一定经过点（ ）
A．（2，﹣1） B． C．（﹣2，1） D．（﹣1， ）
【分析】将各选项坐标代入函数解析式进行判断．
【解答】解：A、﹣2×2＝﹣4≠﹣1，故此选项不符合题意；
B、﹣2×（﹣ ）＝1，故此选项符合题意；
C、﹣2×（﹣2）＝4≠1，故此选项不符合题意；
D、﹣2×（﹣1）＝2≠ ，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记图象上任意一点的
坐标都满足函数关系式y＝﹣2x．
第9页（共29页）6．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方
差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 376 350 376 350
方差s2 12.5 13.5 2.4 5.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵乙和丁的平均数最小，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差最小，
∴选择丙参赛．
故选：C．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表
明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据
分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．（3分）下列图形中，∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内
角互补，两直线平行．据此判断即可．
【解答】解：A、∠1、∠2是同旁内角，由∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故本选项错误；
B、∠1、∠2是内错角，由∠1＝∠2能判定AC∥BD，故本选项错误；
C、∠1、∠2是内错角，由∠1＝∠2能判定AB∥CD，故本选项正确；
D、∠1、∠2是四边形中的对角，由∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
8．（3分）小亮放学回家走了一段，发现一家新开的店在搞活动，就好奇地围观了一会，然后
第10页（共29页）意识到回家晚了妈妈会着急，急忙跑步回到家．若设小亮与家的距离为s（米），他离校的
时间为t（分钟），则反映该情景的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分三段分析，最初步行、好奇地围观、急忙跑步，分析函数的性质，进行判断即可．
【解答】解：由题意得，
最初与家的距离s随时间t的增大而减小，好奇地围观时，时间增大而s不变，急忙跑步时，
与家的距离s随时间t的增大而减小，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，读懂函数图象的意义是解题的关键，解答时，注意分情况
讨论思想的运用．
9．（3分）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a）（b）中天平保持
左右平衡，现要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ）
A．25克 B．30克 C．40克 D．50克
【分析】由图（a）和图（b）可得5个黑三角和5个黑圆共重150克，从而1个黑三角和1个
黑圆共重30克，由此可计算出1个黑三角重20克，1个黑圆重10克，可计算出此题结果．
【解答】解：设一个黑三角重a克，一个黑圆重b克，由题意，
得5（a+b）＝150，
解得a+b＝30，
第11页（共29页）由图（a）得，a+2（a+b）＝80，
即a+2×30＝80，
解得a＝20，
∴b＝30﹣20＝10，
∴a+2b＝20+10×2＝20+20＝40，
故选：C．
【点评】此题考查了利用等式的性质和方程解决实际问题的能力，关键是能根据题意列出
关系式，利用等式的性质进行计算．
10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元
一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图
象的交点坐标进行判断．
【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为（3，1），
所以关于x、y的二元一次方程组 的解是 ．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数
图象的交点坐标．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）。
11．（4分）要使 在实数范围内有意义，x应满足的条件是 x ≥ 2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．
【解答】解：要使 在实数范围内有意义，
第12页（共29页）x应满足的条件x﹣2≥0，即x≥2．
【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式的概念：式子 （a≥0）叫二次
根式．二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣2）到x轴的距离是 2 ．
【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣2）到x轴的距离是：|﹣2|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的坐标，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，横坐标的绝对值是
点到y轴的距离．
13．（4分）有个数值转换器，原理如图所示，当输入x为8时，输出的y值是 ．
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的立方根，若结果是有理数，再
重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【解答】解：当输入是8时，取立方根是2，2是有理数，再把2输入，2的立方根是 ，
是无理数，所以输出是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了立方根，解题的关键是注意读懂数值转换器．
14．（4分）如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，7，1，3．则最大的正方形E的面积是 1 4
．
第13页（共29页）【分析】根据勾股定理可知S +S ＝S ，S +S ＝S ，S +S ＝S ，代入即可得出答案．
A B F C D G F G E
【解答】解：如图，
∵所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积分别为3、7、1、3，
∴S +S ＝S ，S +S ＝S ，S +S ＝S ，
A B F C D G F G E
∴S ＝S +S +S +S ＝3+7+1+3＝14，
E A B C D
∴正方形E的面积为14．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了勾股定理，特别要注意条件中给出的是正方形的边长还是面积，
属于基础题．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（10分）计算：
（1）（2022﹣ ）0+ ；
π
（2） ．
【分析】（1）先算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；
（2）先把括号里的各项进行化简，再算括号里的加减，最后算除法即可．
【解答】解：（1）（2022﹣ ）0+
π
＝1+3+2﹣ +
＝6；
（2）
＝（ ﹣2 +2 ）÷
＝
＝1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．（12分）解方程组：
第14页（共29页）（1） ；
（2） ．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1） ，
①+②得：2x＝2，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1+y＝4，
解得：y＝3，
则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
①﹣②得：4y＝28，
解得：y＝7，
把y＝7代入①得：3x﹣7＝8，
解得：x＝5，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
17．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（1，0），C（3，4）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 5 ；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 （﹣ 3 ，﹣ 4 ） ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，画出△ABP．
第15页（共29页）【分析】（1）根据A，B，C的坐标，画出图形即可，利用分割法求出△ABC的面积；
（2）利用中心对称的性质解决问题即可；
（3）设P（m，0），构建方程，解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求，S△ABC ＝3×4﹣ ×1×2﹣ ×2×3﹣ ×2×4＝5，
故答案为：5．
（2）∵C（3，4），C，D关于原点对称，
∴D（﹣3，﹣4）；
故答案为：（﹣3，﹣4）；
（3）设P（m，0），则有 ×|1﹣m|×2＝4，
解得m＝﹣3或5，
∴P（﹣3，0），P′（5，0）．
第16页（共29页）【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利
用参数解决问题，属于中考常考题型．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝46°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝46°，由余角的性质可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质可求解．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝46°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝44°；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠BAD＝∠F，
∴∠F＝∠CAD，
∴AE＝EF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解
题的关键．
19．（10分）某学校第二课堂要创办“足球特色班”，大量的热爱足球的同学踊跃报名参加，
但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩是由足球知识、身体素质、足
球技能三项成绩构成的，如果最终评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面
表中是小张和小王两位同学的成绩记录：
足球知识 身体素质 足球技能
小张 70 90 80
第17页（共29页）小王 90 75
（1）若按三项成绩的平均分记为最终评价成绩，请计算小张的最终评价成绩；
（2）根据实际情况，学校决定足球知识、身体素质、足球技能三项成绩按1：4：5的权重来
确定最终评价成绩．
①请计算小张的最终评价成绩为多少分？
②小王在足球技能应该最少考多少分才能达到优秀？
【分析】（1）直接利用算术平均数的定义求解可得；
（2）①根据加权平均数的定义列式计算可得；
②设小王在足球技能应该考x分才能达到优秀，根据加权平均数的定义列出不等式计算
可得．
【解答】解：（1）小张的期末评价成绩为 ＝80（分）；
（2）①小张的期末评价成绩为 ＝83（分）；
②设小王在足球技能应该考x分才能达到优秀，
根据题意，得： ≥80，
解得x≥82，
故小王在足球技能应该最少考82分才能达到优秀．
【点评】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键．
20．（8分）在平面直角坐标系上，点A为直线OA第一象限上一点，AB垂直x轴于B，OB＝4，
AB＝2，
（1）求直线OA的解析式；
（2）直线y＝2x上有一点C（x轴上方），若△AOC为直角三角形，求点C坐标．
第18页（共29页）【分析】（1）由题意得A（4，2），利用待定系数法即可求解；
（2）设点C坐标为（x，2x），求出OA2、OC2、AC2，分三种情况根据勾股定理可得点C坐标．
【解答】解：（1）∵AB垂直x轴于B，OB＝4，AB＝2，
∴A（4，2），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则2＝4k，解得k＝ ，
∴直线OA的解析式为y＝ x；
（2）设点C坐标为（x，2x），
∵A（4，2），
∴OA2＝42+22＝20，OC2＝x2+（2x）2＝5x2，AC2＝（4﹣x）2+（2x﹣2）2＝5x2﹣16x+20，
当OA2+OC2＝AC2时，
20+5x2＝5x2﹣16x+20，
解得x＝0（舍去），
当OA2+AC2＝OC2时，
20+5x2﹣16x+20＝5x2，
解得x＝ ，
∴点C坐标为（ ，5），
当OC2+AC2＝OA2时，
5x2+5x2﹣16x+20＝20，
解得x＝ 或x＝0（舍去），
第19页（共29页）∴点C坐标为（ ， ），
综上，点C坐标为（ ，5）或（ ， ）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等，熟
练掌握分类讨论的思想是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小
丽抽到的卡上写的是 ﹣1，小颖抽到的卡上写的是2，那么赢家是 小颖 ．
【分析】估算出 的值即可解答．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴ ＜ ＜ ，
∴2＜ ＜3，
∴1＜ ﹣1＜2
∴赢家是：小颖，
故答案为：小颖．
【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方数的解题的关键．
22．（4分）若关于x，y的方程组 的解也是方程x+y＝1的解，则a的值为 ﹣ 2 ．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组得y＝ ，x＝ ，再将解代入方程x+y＝1即
可求a的值．
【解答】解： ，
①﹣②得，（a﹣1）y＝3，
解得y＝ ，
将y＝ 代入①得，x＝3+ ＝ ，
∵方程的解是方程x+y＝1的解，
∴ + ＝1，
解得a＝﹣2，
第20页（共29页）经检验，a＝﹣2是方程的解，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查二元一次方程组，二元一次方程的解，熟练掌握用代入法和加减消元法
解二元一次方程组是解题的关键．
23．（4分）如图，数轴上表示1， 的点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是
2 ﹣ ．
【分析】设点A表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【解答】解：设点A表示的数是x，
∵数轴上表示1、 的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，
∴ ，
解得x＝ ．
故答案为：2﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数与数轴的对应关系以及中点的性质，正确理解中点公式是解
题的关键．
24．（4分）学校举办新年游园活动，其中某班在数学老师的指导下设计的比赛规则为：如图，
射线OA是由大量红色玩具摆成的，射线OB则是由大量蓝色玩具摆成，∠AOB＝45°，选
手需从距离点O处20米点P处出发，跑步到OA上拿一个红色玩具，再跑到OB上拿一个
蓝色玩具，然后再返回到点P处，请问选手行进的最短路程为 2 0 米 ．
【分析】作点P关于直线OA的对称点P′M作点P关于直线OB的对称点P″，连接
OP′，OP″，P′P″交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，此时△PMN的周长最小即为
选手行进的最短路程．
【解答】解：如图，作点P关于直线OA的对称点P′M作点P关于直线OB的对称点P″，
第21页（共29页）连接OP′，OP″，P′P″交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，此时△PMN的周长最小．
由对称的性质可知，OP＝OP′＝OP″＝10，∠POA＝∠AOP′，∠POB＝∠BOP″，
∵∠AOB＝45°，
∴∠P′OP″＝90°，
∴P′P″＝ ＝ ＝20 （米）．
即选手行进的最短路程为 20 米．
故答案为：20 米．
【点评】本题轴对称变换、等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对
称变换，解决最值问题，学会用转化的思想思考问题．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+6的图象l 与正比例函数y＝x的
1
图象l ，交于点C．若一次函数y＝kx﹣2的图象为l ，且l ，l ，l 不能围成三角形，则满足
2 3 1 2 3
条件的k的值为 ﹣ 3 或 1 或 ．
【分析】当l ∥l 或l ∥l 时以及l 也经过点C，l ，l ，l 不能围成三角形，即可求解．
1 3 2 3 3 1 2 3
第22页（共29页）【解答】解：由 得 ，
∴C（ ， ），
当l ∥l 或l ∥l 时，l ，l ，l 不能围成三角形，
1 3 2 3 1 2 3
即k＝﹣3或1，
当l 过点C时，将点C坐标代入y＝kx﹣2，解得：k＝ ；
3
故答案为：﹣3或1或 ．
【点评】本题考查了两直线的交点，数形结合是解题的关键．
二、解答题（共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
26．（10分）现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机
放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，
B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25
吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A，B两
种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要
求，求出A，B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，根据“每台A型机器人比每台B型机
器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨”
列方程组解答即可；
（2）题目中的不等关系是：厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，等量关系是：总费
用＝A型机器费用+B型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决．
【解答】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，
根据题意得：
，
解得： ，
第23页（共29页）答：每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨；
（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），根据题意
得：
m≥10；
w＝3m+2.5（20﹣m）＝0.5m+50．
∵0.5＞0，
∴w随着m的减少而减少．
∴当m＝10时，w有最小值，w最小 ＝0.5×10+50＝55．
∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元．
【点评】考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用．解决问题的关键是读懂题意，找
到关键描述语，找到所求的量的等量关系．列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递
增情况解决
27．（10分）如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝ ，点
D与点B关于直线l轴对称，连接CD交直线l于点E，连接BE． α
（1）求证：∠ADC＝∠ACD；
（2）求证：∠BEC＝ ；
α
（3）当 ＝60°时，连接BD交直线l于点F，若 ＝5，求 ．
α
【分析】（1）由轴对称的性质可得AD＝AB＝AC，可得结论；
（2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠ADC＝∠ABE＝∠ACD，由外角的性质可得结
论；
（3）设BF＝a，AF＝5a，由直角三角形的性质分别求出EC，DE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵点D与点B关于直线l轴对称，
∴直线l是DB的垂直平分线，
第24页（共29页）∴AD＝AB，DE＝BE，
∵AB＝AC，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD；
（2）证明：如图，设AB与CD交于点O，
∵AD＝AB，DE＝BE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠ADC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ABE，
∵∠AOD＝∠ACD+∠BAC＝∠ABE+∠BEC，
∴∠BEC＝∠BAC＝ ；
（3）如图，过点A作α AH⊥CD于H，
∵∠BEC＝ ＝60°，
∴∠DEB＝α120°，
∵DE＝BE，EF⊥BD，
第25页（共29页）∴∠DEF＝∠BEF＝60°，
∴∠AEC＝60°，∠EBF＝30°，
∴BF＝ a，BE＝2EF，
∵ ，
∴设BF＝a，AF＝5a，
∴EF＝ a，BE＝ a＝DE，AE＝AF﹣EF＝5a﹣ a，
∵∠AEH＝60°，AH⊥DC，
∴∠EAH＝30°，
∴EH＝ AE＝ ﹣ a，
∴DH＝DE+EH＝ a+ a，
∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴CH＝DH＝ a+ a，
∴EC＝5a+ a，
∴ ＝ ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形
的判定和性质，轴对称的性质，直角三角形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解
题的关键．
28．（10分）已知直线l：y＝3x+3与x轴交于点A，点B在直线l上，且位于y轴右侧某个位置．
（1）求点A坐标；
（2）过点B作直线BC⊥AB，交x轴于点C，当△ABC的面积为60时，求点B坐标；
（3）在（2）问条件下，D，E分别为射线AO与AB上两动点，连接DE，DB，是否存在当
△ADE为直角三角形同时△DEB为等腰三角形的情况，若存在，求出点E坐标；若不存在，
说明理由．
第26页（共29页）【分析】（1）在y＝3x+3中，令y＝0得x＝﹣1，即得A（﹣1，0）；
（2）过B作BF⊥x轴于F，设B（m，3m+3），由△ABF∽△BCF，即得 ＝ ，
CF＝ ，即有AC＝AF+CF＝ ，根据△ABC的面积为60，得 ×
×|3m+3|＝60，即可解得m＝1或m＝﹣3（因B在y轴右侧，舍去），故B（1，
6）；
（3）当∠AED＝90°，BE＝DE时，设E（n，3n+3），由E在射线AB上知n≥﹣1，由A（﹣1，
0），B（1，6），得AB＝2 ，BC＝6 ，而△AED∽△ABC，得 ＝ ，且DE＝BE，即
有 ＝ ，解得E（﹣ ， ），当∠ADE＝90°，BE＝BD时，设E
（t，3t+3），由BE＝BD，可得BE＝AB＝2 ，根据AD2+DE2＝AE2，即可解E（3，12）．
【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令y＝0得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）；
（2）过B作BF⊥x轴于F，如图：
设B（m，3m+3），
∵∠ABF＝90°﹣∠CBF＝∠FCB，∠ABC＝∠AFB＝90°，
第27页（共29页）∴△ABF∽△BCF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CF＝ ，
∴AC＝AF+CF＝|m+1|+ ＝ ，
∵△ABC的面积为60，
∴ × ×|3m+3|＝60，
∴ ×10（m+1）2×3＝60，
解得m＝1或m＝﹣3（因B在y轴右侧，舍去），
∴B（1，6）；CF＝ ＝18，OC＝19，
∴C（19，0），B（1，6）；
（3）存在当△ADE为直角三角形同时△DEB为等腰三角形，
当∠AED＝90°，BE＝DE时，如图：
由（2）知C（19，0），
设E（n，3n+3），由E在射线AB上知n≥﹣1，
∵A（﹣1，0），B（1，6），
∴AB＝2 ，BC＝6 ，
∵∠AED＝∠ABC＝90°，∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC，
∴ ＝ ，
而DE＝BE，
第28页（共29页）∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得n＝﹣2（舍去）或n＝﹣ ，
∴E（﹣ ， ），
当∠ADE＝90°，BE＝BD时，如图：
设E（t，3t+3），
∴AD＝t+1，DE＝3t+3，
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠BAD＝90°﹣∠BED＝90°﹣∠BDE＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∴BE＝AB＝2 ，
∴AE＝4 ，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴（t+1）2+（3t+3）2＝（4 ）2，
解得t＝﹣5（舍去）或t＝3，
∴E（3，12），
综上所述，点E坐标为（﹣ ， ）或（3，12）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及三角形面积，相似三角形的判定与性质，直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半等，解题的关键是用含字母的代数式边上相关点坐标，
用相似三角形对应边成比例或勾股定理列方程解决问题．
第29页（共29页）
