文档内容
专题十三 《解析几何》讲义
13.3 椭圆
知识梳理 . 椭圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数2a(2a＞|FF|)的动点P的轨迹叫做椭圆，
1 2 1 2
这两个定点F，F 叫做椭圆的焦点.
1 2
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
(a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－b)
顶点坐标
(b,0)，(－b,0)， (0，a)，(0，－a)
焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)
半轴长 长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率 e＝
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
题型一 . 椭圆及其性质
1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−2√5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆
x2 y2
C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为 + =1 ．
36 16
【解答】解：由题可知，c=2√5，
过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|=2√5−t，由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即(2√5) 2−t2=42−(2√5−t) 2，解
6√5
得t= ，
5
8√5
∴|PM|=√(2√5) 2−t2= ，
5
6√5 8√5
∴点P的坐标为（− ， ），
5 5
6√5 8√5
x2 y2 (− ) 2 ( ) 2
设椭圆的方程为 + =1（a＞b＞0），则 5 5 ，化简得
a2 b2 + =1
a2 b2
36 64
+ =1，
5a2 5b2
又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，
x2 y2
∴椭圆的标准方程为 + =1．
36 16
x2 y2
故答案为： + =1．
36 16
√3
2．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F 、F 在x轴上，离心率为 ．过点F
1 2 3 1
的直线l与C交于A、B两点，且△ABF 周长为4√3，那么C的方程为（ ）
2
x2 x2 y2
A． + y2=1 B． + =1
3 3 2
x2 y2 x2 y2
C． + =1 D． + =1
12 4 12 8
x2 y2
【解答】解：如图，设椭圆方程为 + =1(a＞0，b＞0)．
a2 b2∵△ABF 周长为4√3，∴4a=4√3，得a=√3．
2
c √3
又e= = ，∴c＝1．
a 3
则b2＝a2﹣c2＝2．
x2 y2
∴椭圆C的方程为： + =1．
3 2
故选：B．
x2 y2
3．（2019·全国3）设F ，F 为椭圆C： + =1的两个焦点，M为C上一点且在第一
1 2
36 20
象限．若△MF F 为等腰三角形，则M的坐标为 （ 3 ， √15） ．
1 2
x2 y2
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C： + =1的a＝6，b＝2√5，c＝
36 20
4，
c 2
e= = ，
a 3
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF |＞|MF |，
1 2
△MF F 为等腰三角形，可能|MF |＝2c或|MF |＝2c，
1 2 1 2
2
即有6+ m＝8，即m＝3，n=√15；
3
2
6− m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
3
可得M（3，√15）．
故答案为：（3，√15）．
4．已知椭圆C的焦点为F （﹣1，0），F （1，0）．过F 的直线与C交于A，B两点．
1 2 2
若2|AF |＝3|BF |，|BF |＝2|BF |，则C的方程为（ ）
2 2 1 2
x2 x2 y2
A． + y2=1 B． + =1
2 3 2
x2 y2 x2 y2
C． + =1 D． + =1
4 3 5 4【解答】解：设|BF |＝2m，则|AF |＝3m，|BF |＝4m，
2 2 1
由椭圆的定义可知：|BF |+|BF |＝|AF |+|AF |＝6m，所以|AF |＝3m，
1 2 1 2 1
故点A在椭圆的上（下）顶点处，不妨设点A在上顶点处，则A（0，b），
设B点的坐标为（x，y），
→ 3 → 3
则由2|AF |＝3|F B|可得：AF = F B，即（1，﹣b）= (x−1，y)，
2 2 2 2 2 2
5 2 5 2
解得x= ，y=− b，即B（ ，− b），
3 3 3 3
25 4b2
代入椭圆方程可得： + =1，解得a2＝5，
9a2 9b2
所以b2＝a2﹣c2＝5﹣1＝4，
x2 y2
故椭圆的方程为： + =1，
5 4
故选：D．
x2 y2
5．已知点A（1，1）而且F 是椭圆 + =1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF |+|
1 1
9 5
PA|的最大值和最小值．
【解答】解：∵|PF |+|PF |＝2a＝6
1 2
∴|PF |＝6﹣|PF |
1 2
∴|PF |+|PA|＝6﹣|PF |+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF |）
1 2 2
当点P位于P 时，|PA|﹣|PF |的差最小，其值为﹣|AF |=−√2此时，|PF |+|PA|也得到最
1 2 2 1
小值，其值为6−√2；
当点P位于P 时，|PA|﹣|PF |的差最大，其值为|AF |=√2此时，|PF |+|PA|也得到最大值，
2 2 2 1
其值为6+√2．
题型二 . 焦点三角形1．过椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的中心做一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦
+ =
a2 b2
点，则△PFQ的周长的最小值为 2 a + 2 b ．
【解答】解：如图，
由椭圆的定义知|PF|+|PF |＝2a
1
由椭圆的对称性知|QF|＝|PF |，
1
∴有|PF|+|QF|＝2a，而|PQ|的最小值是2b，
∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b．
故答案为：2a+2b．
x2 y2 π
2．已知F ，F 是椭圆 + =1的焦点，P在椭圆上，且∠F PF = ，则点P到x轴的
1 2 9 5 1 2 3
5√3
距离为 ．
6
x2 y2
【解答】解：由椭圆 + =1可得：a＝3，b=√5，c=√a2−b2=2．
9 5
设|PF |＝m，|PF |＝n．
1 2
π
则m+n＝2a＝6，（2×2）2＝m2+n2﹣2mncos ，
3
20
可得：mn= ，
3
1 1 π
∴S = ×2c⋅|y |= mnsin ，
△F 1 F 2 P 2 P 2 3
20 √3
∴2×2|y |= × ，
P
3 2
5√3
解得|y |= ．
P
6
5√3
故答案为： ．
63．已知F是椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两
+ =
a2 b2
点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
√3 √3 1 1
A．[ ，1) B．(0， ] C．[ ，1) D．(0， ]
2 2 2 2
【解答】解：连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝120°，
由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，∠FAF'＝60°，
在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF|⋅|AF'|cos∠FAF＝（|AF|+|AF'|）2﹣3|AF|⋅|
AF'|，
|AF|+|AF'|
所以(|AF|+|AF'|) 2−|FF'|2=3|AF|⋅|AF'|≤3( ) 2，
2
1
即 (|AF|+|AF'|) 2≤|FF'|2，当且仅当|AF|＝|AF′|时取等号，
4
1 c 1 1
即 ⋅4a2≤4c2，可得e= ≥ ，所以椭圆的离心率e∈[ ，1)，
4 a 2 2
故选：C．
4．已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与椭圆
C： + =1(a＞b＞0) 1 2 2
a2 b2
C交于M，N两点．设线段NF 的中点为D，若 → → ，且 → → ，则椭
1 MD⋅N F =0 MF ∥DF
1 1 2
圆C的离心率为（ ）
1 √3 1 √2
A． B． C． D．
3 3 2 2
【解答】解：∵ → → ，∴MD⊥NF ，
MD⋅N F =0 1
1
又D为线段NF 的中点，∴|MF |＝|MN|，
1 1
∵ → → ，∴F 是MN的中点，则|MF |＝|NF |，因此MN⊥x轴，
MF ∥DF 2 2 2
1 2设|MF |＝m，则|MF |＝2m，
2 1
2a
由|MF |+|MF |＝3m＝2a，得m= ．
1 2
3
2a 4a
在△MF F 中，由勾股定理可得( ) 2+4c2=( ) 2，
1 2
3 3
整理可得，3c2＝a2，
c √3
∴e= = （0＜e＜1）．
a 3
故选：B．
5．（2013·山东）椭圆C：x2 y2 的左、右焦点分别是F ，F 离心率
+ =1(a＞0，b＞0) 1 2
a2 b2
√3
为 ，过F 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
1
2
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF ，PF ，设∠F PF 的角平分线
1 2 1 2
PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共
1 1
点，设直线PF ，PF 的斜率分别为k ，k ，若k≠0，试证明 + 为定值，并求出
1 2 1 2 kk kk
1 2
这个定值．
【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得c2 y2 ，解得 b2，
+ =1 y=±
a2 b2 a
2b2
∵过F 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴ =1．
1
a2b2
{ =1
a
又 e=
c
=
√3
，联立得
a2=b2+c2解得{a=2，b=1
，
a 2 c=√3
c √3
=
a 2
x2
∴椭圆C的方程为 + y2=1．
4
（2）如图所示，设|PF |＝t，|PF |＝n，
1 2
由角平分线的性质可得t |M F | m+√3，
= 1 =
n |F M| √3−m
2
又t+n＝2a＝4，消去t得到4−n √3+m，化为 2(√3−m)，
= n=
n √3−m √3
∵a﹣c＜n＜a+c，即 ，也即 2(√3−m) ，解得
2−√3＜n＜2+√3 2−√3＜ ＜2+√3
√3
3 3
− ＜m＜ ．
2 2
3 3
∴m的取值范围；(− ， )．
2 2
题型三 . 椭圆第二定义——焦半径公式
1．过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆
的离心率为（ ）
√2 2 1 √2
A． B． C． D．
3 3 2 2
【解答】解：如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG＝60°，所以AB＝2AG，…①
AF BF
由圆锥曲线统一定义得：e= = ，
AC BD
∵FA＝2FB，
∴AC＝2BD
1
直角梯形ABDC中，AG＝AC﹣BD= AC⋯②
2①、②比较，可得AB＝AC，
2
又∵AF= AB
3
AF AF 2
∴e= = =
AC AB 3
2
故所求的离心率为 ．
3
故选：B．
x2
→ →
2．椭圆 + y2=1两个焦点分别是F
1
，F
2
，点P是椭圆上任意一点，则
PF ⋅PF
的取值
4 1 2
范围是（ ）
A．[1，4] B．[1，3] C．[﹣2，1] D．[﹣1，1]
【解答】解：椭圆的焦点坐标F （√3，0），F （−√3，0）．
1 2
设P（2cos ，sin ）（ [0，2 ））．
∴ PF → ⋅P θ F → = （θ −√3 θ − ∈2∈cos ，π﹣sin ）•（ √3− 2cos ，﹣sin ）＝4cos2 ﹣3+sin2 ＝
1 2
θ θ θ θ θ θ
3cos2 ﹣2，
∵0≤θcos2 ≤1，
∴﹣2≤3cθos2 ﹣2≤1．
即 → →θ的最大值与最小值分别是1，﹣2．
PF ⋅PF
1 2
故选：C．
3．已知椭圆x2 y2 （a＞b＞0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F ，F 分别
+ =1 1 2
a2 b2
2−√3
是椭圆的左、右焦点，且△F AB 的面积为 ，点 P 为椭圆上的任意一点，则
1
21 1
+ 的取值范围为（ ）
|PF | |PF |
1 2
A．[1，2] B．[√2，√3] C．[√2，4] D．[1，4]
【解答】解：由2b＝2可得b＝1，即A（0，1），
又F（﹣c，0），B（﹣a，0），
1 2−√3
∴S = ×(a−c)×1= ，
△F 1 AB 2 2
又a2﹣c2＝1，
∴a＝2，c=√3．
∴|PF |+|PF |＝2a＝4，
1 2
1 1 4 4
+ = =
∴ ，
|PF | |PF | |PF ||PF | |PF |(4−PF )
1 2 1 2 1 1
∵2−√3≤|PF |≤2+√3，
1
|PF |（4﹣|PF |）＝﹣（|PF |﹣2）2+4，
1 1 1
∴1≤|PF |（4﹣|PF |）≤4．
1 1
4
∴1≤ ≤4．
|PF |(4−PF )
1 1
故选：D．
题型四 . 离心率之焦点三角形
1．设椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，P是C上的点，
+ = 1 2
a2 b2
√3
PF ⊥F F ，∠PF F ＝30°，则C的离心率为 ．
2 1 2 1 2
3
【解答】解：|PF |＝x，∵PF ⊥F F ，∠PF F ＝30°，
2 2 1 2 1 2
∴|PF |＝2x，|F F |=√3x，
1 1 2
又|PF |+|PF |＝2a，|F F |＝2c
1 2 1 2
∴2a＝3x，2c=√3x，
c √3
∴C的离心率为：e= = ．
a 3
√3
故答案为： ．
32．已知椭圆C：x2 y2 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，M为椭圆上一点，
+ =1 1 2
a2 b2
→ → ，线段MF 的延长线交椭圆C于点N，若|MF |，|MN|，|NF |成等差数列，
MF ⋅M F =0 2 1 1
1 2
则椭圆C的离心率为（ ）
√2 √3 √2 √3
A． B． C． D．
2 2 3 3
【解答】解：设|MF |＝m，
2
∵|MF |，|MN|，|NF |成等差数列，
1 1
∴2|MN|＝|MF |+|NF |，
1 1
∴|MN|＝|MF |+|NF |＝2a﹣|MF |+2a﹣|NF |＝4a﹣2|MN|，
2 2 1 1
4
∴|MN|= a，
3
4
∴|NF |= a﹣m，
2
3
4 2
∴|NF |＝2a﹣（ a﹣m）= a+m，
1
3 3
∵ → → ，
MF ⋅M F =0
1 2
∴MF ⊥MF ，
1 2
∴Rt△F MN中，|NF |2＝|MN|2+|MF |2，
1 1 1
4 2
∴（2a﹣m）2+（ a）2＝（ a+m）2，
3 3
整理可得m＝a，
∴|MF |＝a，|MF |＝a，
2 1
∴|F F |2＝|MF |2+|MF |2，
2 1 2 1
∴4c2＝2a2，
c √2
∴e= = ，
a 2
故选：A．
3．（2013·辽宁）已知椭圆 x2 y2 的左焦点为F，C与过原点的直线
C： + =1(a＞b＞0)
a2 b24
相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF= ，则C的离心率
5
5
e＝ ．
7
【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|＝|BF'|＝6
4
∵△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF= ，
5
∴由余弦定理|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，
4
可得62＝102+|BF|2﹣2×10×|BF|× ，解之得|BF|＝8
5
由此可得，2a＝|BF|+|BF'|＝14，得a＝7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2＝100＝|AB|2
1
∴∠AFB＝90°，可得|OF|= |AB|＝5，即c＝5
2
c 5
因此，椭圆C的离心率e= =
a 7
5
故答案为：
7
题型五 . 离心率之寻求等量关系
1．（2012•新课标）设F 、F 是椭圆E：x2 y2 1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为
1 2 + =
a2 b2
3a
直线x= 上一点，△F PF 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
2 1
2
1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 5
【解答】解：∵△F PF 是底角为30°的等腰三角形，
2 1
∴|PF |＝|F F |
2 2 13a
∵P为直线x= 上一点
2
3
∴2( a−c)=2c
2
c 3
∴e= =
a 4
故选：C．
2．（2015•浙江）椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y bx的对称
+ = =
a2 b2 c
√2
点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
2
【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为 F （﹣c，
1
0），如图连接QF ，QF，
1
b
设QF与直线y= x交于点M，由题意知M为线段QF的中点，
c
∴F Q∥OM，又∵OM⊥FQ，
1
∴F Q⊥QF，|F Q|＝2|OM|，
1 1
|MF| b
在Rt△MOF中，tan∠MOF= = ，|OF|＝c，
|OM| c
c2 bc
可得|OM|= ，|MF|= ，
a a
2bc 2c2
故|QF|＝2|MF|= ，|QF |＝2|OM|= ，
a 1 a
2bc 2c2
由椭圆定义得|QF|+|QF |= + =2a，得b＝c，
1
a a
∴a c，
=√b2+c2=√2c √2
故e= = ．
a 2
3．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0）的左焦点，
+ =
a2 b2
A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF
交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
ka
设OE的中点为H，可得H（0， ），
2
由B，H，M三点共线，可得k ＝k ，
BH BM
ka
即为 2 k(a−c)，
=
−a −c−a
a−c 1
化简可得 = ，即为a＝3c，
a+c 2
c 1
可得e= = ．
a 3
另解：由△AMF∽△AEO，
a−c MF
可得 = ，
a OE
由△BOH∽△BFM，
a OH OE
可得 = = ，
a+c FM 2FM
2(a−c) a+c
即有 = 即a＝3c，
a ac 1
可得e= = ．
a 3
故选：A．
题型六 . 离心率取值范围之椭圆的有界性
1．椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的两个焦点为F ，F ，若P为椭圆上一点，且|PF |＝
+ = 1 2 1
a2 b2
3|PF |，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
2
1 1 1 1
A．（0， ] B．[ ，1） C．（0， ] D．[ ，1）
3 3 2 2
【解答】解：P为椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）上一点，F ，F 为椭圆焦点，且|PF |＝3|
+ = 1 2 1
a2 b2
PF |，
2
3
可得|PF |+|PF |＝2a，|PF |= a≤a+c，
1 2 1
2
1
∴e≥ ．
2
1
∴椭圆离心率的范围是[ ，1）
2
故选：D．
2．椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的二个焦点F （﹣c，0），F （c，0），M是椭圆上一点，
+ = 1 2
a2 b2
→ → √2
且 F M • F M=0，则离心率e的取值范围 ≤ e ＜ 1 ．
1 2 2
【解答】解：设点M的坐标为（x，y），则 → （x+c，y）， → （x﹣c，y）．
F M= F M=
1 2
由 →• → 0，得x2﹣c2+y2＝0．①
F M F M=
1 2
又由点M在椭圆上，得y2＝b2 b2x2，代入①，解得x2＝a2 a2b2．
− −
a2 c2
∵0≤x2≤a2，∴0≤a2 a2b2 a2，
− ≤
c2
1
即0≤2− ≤1．
e2
∵e＞0，
√2
解得 ≤e≤1．
2
又∵e＜1，
√2
∴ ≤e＜1．
2
√3 √2
故答案为： ； ≤e＜1．
3 2
3．已知F （﹣c，0），F （c，0）为椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上
1 2 + =
a2 b2
→ → √3 √2
一点且 PF • PF =c2，则此椭圆离心率的取值范围是 [ ， ] ．
1 2 3 2
【解答】解：由椭圆定义可得|PF |+|PF |＝2a，①
1 2
∵ → • → c2，
PF PF =
1 2
∴|PF ||PF |cos∠F PF ＝c2，②
1 2 1 2
由余弦定理可得|PF |2+|PF |2﹣2|PF ||PF |cos∠F PF ＝4c2，③
1 2 1 2 1 2
由①②③得cos∠F PF c2 1，|PF ||PF |＝2a2﹣3c2，
1 2= ≤ 1 2
2a2−3c2
√2
∴e≤ ，
2
1
∵|PF ||PF |≤ （|PF |+|PF |）2＝a2，
1 2 1 2
4∴2a2﹣3c2≤a2，
√3
∴e≥ ，
3
√3 √2
∴此椭圆离心率的取值范围是[ ， ]．
3 2
√3 √2
故答案为：[ ， ]．
3 2
4．已知椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F （﹣c，0），F （c，0），若
+ = 1 2
a2 b2
a c
椭圆上存在一点P使 = ，则该椭圆的离心率的取值范围为
sin∠PF F sin∠PF F
1 2 2 1
(√2−1，1) ．
【解答】解：在△PF F 中，
1 2
由正弦定理得：
|PF | |PF |
2 = 1
sin∠PF F sin∠PF F
1 2 2 1
a C
则由已知得： = ，
|PF | |PF |
2 1
即：a|PF |＝c|PF |
1 2
设点（x ，y ）由焦点半径公式，
0 0
得：|PF |＝a+ex ，|PF |＝a﹣ex
1 0 2 0
则a（a+ex ）＝c（a﹣ex ）
0 0
a(c−a) a(e−1)
解得：x = =
0 e(c+a) e(e+1)
a(e−1)
由椭圆的几何性质知：x ＞﹣a则 ＞−a，
0 e(e+1)
整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜−√2−1或e＞√2−1，又e （0，1），
故椭圆的离心率：e∈(√2−1，1)， ∈
故答案为：(√2−1，1)．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/19 23:35:42；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
题型七 . 椭圆的第三定义——点差法x2 y2
1．（2013•大纲版）椭圆C： + =1的左、右顶点分别为A 、A ，点P在C上且直线
1 2
4 3
PA 斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 斜率的取值范围是（ ）
2 1
1 3 3 3 1 3
A．[ ， ] B．[ ， ] C．[ ，1] D．[ ，1]
2 4 8 4 2 4
x2 y2
【解答】解：由椭圆C： + =1可知其左顶点A （﹣2，0），右顶点A （2，0）．
1 2
4 3
设P（x 0 ，y 0 ）（x 0 ≠±2），则x2 0+ y2 0=1 ，得 y2 0 =− 3．
4 3 x2−4 4
0
∵ y ， y ，
k = 0 k = 0
PA 2 x −2 PA 1 x +2
0 0
∴ k ⋅k =
y2
0 =− 3，
PA 1 PA 2 x2−4 4
0
∵ ，
−2≤k ≤−1
PA
2
∴ 3 ，解得3 3．
−2≤− ≤−1 ≤k ≤
4k PA 8 PA 1 4
1
故选：B．
2．已知椭圆C：x2 y2 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过
+ =1(a＞b＞0)
a2 b2
原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为K 、K ，当
PM PN
1
K ⋅K =− 时，则椭圆方程为（ ）
PM PN 4
x2 y2 x2 y2
A． + =1 B． + =1
16 4 4 2
y2 x2
C．x2+ =1 D． + y2=1
4 4
【解答】解：由长轴长为4得2a＝4，解得a＝2，
设P（x ，y ），直线l方程为y＝kx，M（x ，kx ），N（﹣x ，﹣kx ），
0 0 1 1 1 1则K y −kx ，K y +kx ，
PM= 0 1 PN= 0 1
x −x x +x
0 1 0 1
由 K ⋅K =− 1得， y 0 −kx 1• y 0 +kx 1=− 1，即 y 0 2−k2x 1 2 =− 1，
PM PN 4 x −x x +x 4 x 2−x 2 4
0 1 0 1 0 1
所以
4 y 2=
（4k2+1）
x 2−x
2①，
0 1 0
又 P 在椭圆上，所以 x
0
2
+
y
0
2
=1
，即
4 y 2=4b2−b2x 2
，代入①式得 4b2
−b2x 2=
4 b2 0 0 0
（4k2+1） ，
x 2−x 2
1 0
所以4b2＝（4k2+1） （b2﹣1） ，
x 2+ x 2
1 0
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x 无关，
0
所以b2﹣1＝0，解得b＝1，
x2
所以所求椭圆方程为 + y2=1．
4
故选：D．
3．（2015•新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐
标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
【解答】解：（1）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
M（x ，y ），
M M
将y＝kx+b代入9x2+y2＝m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2＝0，
则判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
则x +x 2kb ，则x x +x kb ，y ＝kx +b 9b ，
1 2=− M= 1 2=− M M =
9+k2 2 9+k2 9+k2
于是直线OM的斜率k y 9，
OM= M =−
x k
M
即k •k＝﹣9，
OM
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．课后作业 . 椭圆
x2 y2
1．已知点A（0，1），而且F 是椭圆 + =1的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，
1
9 5
则|PF |+|PA|的最小值为（ ）
1
A．6−√5 B．6−√2 C．6+√2 D．6+√5
x2 y2
【解答】解：由椭圆 + =1，得a2＝9，b2＝5，
9 5
∴ ，则F （﹣2，0），又A（0，1），
c=√a2−b2=2 1
如图，设F 是椭圆的右焦点，
2
∵|PF |+|PF |＝2a＝6，∴|PF |＝6﹣|PF |，
1 2 1 2
∴|PF |+|PA|＝6﹣|PF |+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF |），
1 2 2
|PA|﹣|PF |的最小值为﹣|AF |=−√5，
2 2
此时，|PF |+|PA|也得到最小值，其值为6−√5．
1
故选：A．
2．以椭圆x2 y2 的右焦点F 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭
+ =1(a＞b＞0) 2
a2 b2
圆于M，N两点，若过椭圆左焦点F 的直线MF 是圆F 的切线，则该椭圆的离心率为
1 1 2
√3−1 ．
【解答】解：由题意得：|MF |＝|OF |＝c
2 2
|MF |+|MF |＝2a
1 2
|F F |＝2c
1 2
直角三角形MF F 中
1 2
|MF |2+|MF |2＝|F F |2
1 2 1 2
即（2a﹣c）2+c2＝4c2整理得2a2﹣2ac﹣c2＝0
即e2+2e﹣2＝0，解得e=√3−1或−√3−1（舍去）
故答案为：√3−1．
3．已知点P（﹣2，√14）在椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0）上，过点P作圆O：x2+y2＝2
+ =
2 a2 b2
的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
√14 30
【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y− ）2= ．
4 16
√14
与圆O：x2+y2＝2相减，可得直线AB的方程为2x− y+2＝0，
2
令y＝0，可得x＝﹣1，∴c＝1，
7
∵ 4 2 1，∴a2＝8，b2＝7，
+ =
a2 b2
∴a2+b2＝8+7＝15，
故选：C．
4．如图，从椭圆x2 y2 上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F ，又
+ =1(a＞b＞0) 1
a2 b2
点A是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则椭
圆的离心率为（ ）
1 √5 √2 √3
A． B． C． D．
2 5 2 2
【解答】解：由椭圆x2 y2
，可得A（a，0），B（0，b），F （﹣c，
+ =1(a＞b＞0) 1
a2 b2
0），设P（﹣c，y），则c2 y2 1，解得y＝±b2，可取P（﹣c，b2），
+ =
a2 b2 a a
由AB∥OP，则k ＝k ，
AB OP
b b2
即为− =− ，
a ac
即为b＝c，
则a c，
=√b2+c2=√2
c √2
即有e= = ．
a 2
故选：C．
x2 y2
5．若点O和点F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则
9 5
→ → 的最小值为（ ）
OP⋅FP
11
A． B．3 C．8 D．15
4
x2 y2
【解答】解：椭圆 + =1的中心和左焦点为O（0，0），F（﹣2，0）
9 5
x2 y2 5
∵ + =1，∴y2＝5− x2 （﹣3≤x≤3）
9 5 9
设 P （ x ， y ） ， 则 → → （ x ， y ） • （ x+2 ， y ） ＝ x2+2x+y2 ＝ x2+2x+5
OP⋅FP=
5 4 9 11
− x2= (x+ ) 2+
9 9 4 4
∵﹣3≤x≤3
9 11
∴x=− 时， → → 的最小值为
4
OP⋅FP
4
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A ，A ，B ，B 为椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的四个
1 2 1 2 + =
a2 b2
顶点，F为其右焦点，直线A B 与直线B F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，
1 2 1→ → 5−√17
且 则该椭圆的离心率为 ．
OT=3OM
2
b b
【解答】解：直线A B 的方程为y= x+b，直线B F的方程为y= x﹣b，
1 2 1
a c
b
{y= x+b
联立方程组 a ，解得T（ 2ac ，ab+bc）．
b a−c a−c
y= x−b
c
∵ → → ，
OT=3OM
2ac ab+bc
∴M（ ， ），
3(a−c) 3(a−c)
把M代入椭圆方程得： 4a2b2c2 a2b2 (a+c) 2 a2b2，
+ =
9(a−c) 2 9(a−c) 2
即4c2+（a+c）2＝9（a﹣c）2，
化简得：2a2+c2﹣5ac＝0，
∴e2﹣5e+2＝0，
5−√17 5+√17
解得e= 或e= （舍去）．
2 2
5−√17
故答案为： ．
2
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/19 23:42:29；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
