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专题十三 《解析几何》讲义
13.6 弦长面积
知识梳理 . 弦长面积
1．弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x ，y)，B(x ，y)两个不同
1 1 2 2
的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x－x|；
1 2
②|AB|＝ |y－y|(k≠0)；
1 2
2．弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也
很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定
点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大
忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落
横轴，斜率倒数作参数”．
题型一 . 轨迹方程
1．已知O为坐标原点，圆M：x2+y2﹣2x﹣15＝0，定点F（﹣1，0），点N是圆M
上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
2．从抛物线y2＝4x上各点向x轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P．
（Ⅰ）求曲线P的方程，并说明曲线P是什么曲线；
3．在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2＝4上一动点，PD⊥x轴于点D．记满足
→ 1 → →
OM= (OP+OD)的动点M的轨迹为C．
2（1）求点M的轨迹C的方程．
题型二 . 中点弦——点差法
x2 y2
1．已知：椭圆 + =1，求：
16 4
（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
y2
2．已知斜率为k （k ≠0）的直线l与椭圆x2+ =1交于A，B两点，线段AB的中点为
1 1
9
C，直线OC（O为坐标原点）的斜率为k ，则k •k ＝（ ）
2 1 2
1 1
A．﹣3 B．− C．− D．﹣9
3 9
3．设F ，F 分别为椭圆 x2 y2 的左右焦点，点A，B分别为椭圆C
1 2 C： + =1(a＞b＞0)
a2 b2
的右顶点和下顶点，且点F 关于直线AB的对称点为M．若MF ⊥F F ，则椭圆C的离
1 2 1 2
心率为（ ）
√3−1 √3−1 √5−1 √2
A． B． C． D．
2 3 2 2题型三 . 弦长问题
1．已知椭圆x2 y2 1的离心率为√6，以椭圆的2个焦点与1个短
+ =1(a＞b＞0)=
a2 b2 3
轴端点为顶点的三角形的面积为2√2．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，以线段AB
为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为√5，求直线l的方程．
2．（2014·陕西）已知椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）经过点（0， ），离心率为1，左右焦
+ = √3
a2 b2 2
点分别为F （﹣c，0），F （c，0）．
1 2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
1
（Ⅱ）若直线l：y=− x+m与椭圆交于A、B两点，与以F F 为直径的圆交于C、D两
1 2
2
|AB| 5√3
点，且满足 = ，求直线l的方程．
|CD| 4
3．如图，已知椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的离心率为1，过椭圆右焦点F 作两条互相垂
+ = 2
a2 b2 2
直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，|AB|+|CD|＝7．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求|AB|+|CD|的取值范围．题型四 . 面积问题
1．已知直线l与直线x+y﹣1＝0垂直，其纵截距b=−√3，椭圆C的两个焦点为F
1
（﹣1，0），F （1，0），且与直线l相切．
2
（1）求直线l，椭圆C的方程；
（2）过F 作两条互相垂直的直线l 、l ，与椭圆分别交于P、Q及M、N，求四边形
1 1 2
PMQN面积的最大值与最小值．
2．（2016·全国1）设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重
合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆
1 1
A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
3．已知P（2，0）为椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0）的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，
+ =
a2 b2
过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直
1
线PA，PB的斜率之积为− ．
4
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若 → 2 → ，求△OAB面积的最大值．
AM= MB
课后作业 . 弦长面积
x2
1．已知椭圆G： + y2=1．过点（m，0）作圆x2+y2＝1的切线I交椭圆G于A，B两
4
点．
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
x2 1
2．已知椭圆 + y2=1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx+ 对称．
2 2（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
